勾股定理 題型全覆蓋（30題）-2020-2021學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊同步熱考題型全覆蓋（人教版）（原卷版）

專題04勾股定理題型全覆蓋（30題）

【思維導(dǎo)圖】

【考查題型】

考查題型一用勾股定理理解三角形

1.（2020?運(yùn)城市七年級期中）已知直角三角形兩邊的長為3和4,則此三角形的周長為（）

A.12B.7+幣C.12或7+J7D.以上都不對

【答案】C

【詳解】

設(shè)RtAABC的第三邊長為X,①當(dāng)4為直角三角形的直角邊時，x為斜邊，由勾股定理得，X=^2+42=5-此時這

個三角形的周長=3+4+5=12；②當(dāng)4為直角三角形的斜邊時，x為直角邊，由勾股定理得，x=“2—3?=布,此時

這個三角形的周長=3+4+/=7+4.故選C

2.（2020?大慶市七年級期末）如圖，在中，NACB=90°，AC=9,BC=I2,C點(diǎn)到AB的距離是

（）

93

C.一D.

44

【答案】A

【提示】

根據(jù)勾股定理求出AB,再根據(jù)三角形面積關(guān)系求CD.

【詳解】

在HfMBC中，ZACB=90°.AC=9,BC=12,

所以AB=7AC2+BC2=&+122=15

因?yàn)锳C-BC=ABCD

AC*BC9x1236

所以CD=

AB15-M

故選A

【名師點(diǎn)撥】

考核知識點(diǎn)：勾股定理的運(yùn)用.利用面積關(guān)系求斜邊上的高是關(guān)鍵.

3.（2020?大慶市七年級期末）已知直角三角形的斜邊長為10,兩直角邊的比為3：4,則較短直角邊的長為（）

A.3B.6C.8D.5

【答案】B

【解析】

試題提示：根據(jù)勾股定理：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，設(shè)這兩條直角邊分別為3x,4x,則由勾股定理得:

（3x）2+（4x）2=102,即9x2+16x2=100,25x2=100,x2=4,x=±2,負(fù)值舍去，所以x=2,所以較短直角邊為3x2=6.故

選B.

考點(diǎn)：勾股定理.

4.（2020?新泰市七年級期末）有一長、寬、高分別是5cm,4cm,3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一

個頂點(diǎn)A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長為（）

A.5桓cmB.5/74cmC.4小cmD.3y1\Qcm

【答案】B

【提示】

根據(jù)分類討論畫出幾何體的部分表面展開圖，即可得到螞蟻沿長方體表面爬行的三條線路圖，從而得到爬行的最短

路徑長.

【詳解】

解：（1）如圖所示：從長方體的一條對角線的一個端點(diǎn)A出發(fā)，沿表面運(yùn)動到另一個端點(diǎn)B,有三種方案，如圖是

2

它們的三種部分側(cè)面展開圖,

（2）如圖（1）,由勾股定理得：AB=〃2+82=廂=46，

22

如圖（2）,由勾股定理得：AB=5/9+3=A/9O=3.VIO.

如圖（3）,由勾股定理得：AB=752+72=四，

幅＜底＜回，

它想吃到與頂點(diǎn)A相對的頂點(diǎn)B的食物最短路程為cm.

故選B.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用一平面展開-最短路徑問題，根據(jù)題意畫出長方體的表面展開圖，利用勾股定理求解

是解答此題的關(guān)鍵，"化曲面為平面"是解決“怎樣爬行最近”這類問題的一般方法.

5.（202。山東濟(jì)南市期末）下列各組數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（）

A.2,3,4B.3,4,5C.5,12,13D.6,8,10

【答案】A

【提示】

欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方.

【詳解】

A、22+32^42,,不能構(gòu)成直角三角形，故正確；

B、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故錯誤；

C、52+122=132,能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故錯誤；

D、62+82=102.能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故錯誤.

故選：A.

【名師點(diǎn)撥】

3

本題主要考查了勾股數(shù)的定義以及勾股定理的逆定理：已知AABC的三邊滿足。2+〃=。2,則AABC是直角三角

形.

考查題型二勾股數(shù)問題

6.（2020,山東淄博市?七年級期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.12、15、18B.6、8、12C.4、5、6D.7、24、25

【答案】D

【提示】

根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b?=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】

解：A、因?yàn)?22+152x182,故不是勾股數(shù)；故此選項(xiàng)錯誤；

B、因?yàn)?2+82*122,故不是勾股數(shù)；故此選項(xiàng)錯誤；

C因?yàn)?2+52,62,故不是勾股數(shù)；故此選項(xiàng)錯誤；

D、因?yàn)?2+242=252,故是勾股數(shù).故此選項(xiàng)正確；

故選：D.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了勾股數(shù)的判定方法，比較簡單，首先看各組數(shù)據(jù)是否都是正整數(shù)，再檢驗(yàn)是否符合勾股定理的逆定理.

7.（2020?重慶市七年級期末）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)"的知識時，愛動腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄

在如下的表格中：

a68101214

b815243548

c1017263750

則當(dāng)。=20時，匕+C的值為（）

A.162B.200C.242D.288

【答案】B

【提示】

根據(jù)表格中數(shù)據(jù)確定a、b、c的關(guān)系，然后再代入a=20求出b、c的值，進(jìn)而可得答案.

【詳解】

解:根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得:a2+b2=c2,并且c=b+2,

則a2+b2=（b+2）2,

4

當(dāng)a=20時，202+b2=（b+2）2,

解得：b=99,

則c=99+2=101,

b+c=200,

故選：B.

【名師點(diǎn)撥】

此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是注意觀察表格中的數(shù)據(jù)，確定a、b、c的數(shù)量關(guān)系.

考查題型三以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

8.（2019?四川成都市?七年級期末）如圖，字母B所代表的正方形的面積是（）

A.12B.144C.13D.194

【答案】B

【提示】

外圍正方形的面積就是斜邊和一直角邊的平方，實(shí)際上是求另一直角邊的平方，用勾股定理即可解答.

【詳解】

根據(jù)勾股定理我們可以得出：

a2+b2—c2

a2=25,c2=169,

〃=169-25=144,

因此8的面積是144.

故選8.

【名師點(diǎn)撥】

本題主要考查了正方形的面積公式和勾股定理的應(yīng)用.只要搞清楚直角三角形的斜邊和直角邊本題就容易多了.

5

9.（2019?山東濟(jì)南市?七年級期末）如圖中字母A所代表的正方形的面積為（）

A.4B.8C.16D.64

【答案】D

【詳解】

試題提示：根據(jù)勾股定理的兒何意義解答.

解：根據(jù)勾股定理以及正方形的面積公式知：

以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，

所以A=289-225=64.

故選D.

10.（2018?山東淄博市?七年級期中）如圖，兩個較大正方形的面積分別為225、289,且中間夾的三角形是直角三角

形，則字母A所代表的正方形的面積為（）

A.4B.8C.16D.64

【答案】D

【提示】

根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方，由正方形PQED的面積和正方形PRQF的面積分別表示出PR2及PQ2,又三角形

PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理求出QfV,即為所求正方形的面積.

【詳解】

解：；正方形PQED的面積等于225,

即PQ2=225,

正方形PRGF的面積為289,

/.PR2=289,

又「APQR為宜角三角形，根據(jù)勾股定理得：

PR2=PQ2+QR2,

：.QR2=PR2-PQ2=289-225=64,

6

則正方形QMNR的面積為64.

故選：D.

【名師點(diǎn)撥】

此題考查了勾股定理，以及正方形的面積公式.勾股定理最大的貢獻(xiàn)就是溝通"數(shù)"與"形"的關(guān)系，它的驗(yàn)證和利用

都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，即把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來解決.能否由實(shí)際的問題，聯(lián)想到用勾股

定理的知識來求解是本題的關(guān)鍵.

11.（2021?山東煙臺市?七年級期末）如圖所示的圖案是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中一直角三

角形的斜邊和一直角邊長分別是13,12,則陰影部分的面積是（）

A.25B.16C.50D.41

【答案】C

【提示】

由勾股定理解得AB2、CD2+BD-，再根據(jù)正方形邊長相等的性質(zhì)得到CD2+BD2=BC2=AB2=25,據(jù)此解

題即可.

【詳解】

解：由勾股定理得，AB2=132-122=25

BC2CD2+BD2

CD2+BD2=BC2=AB2=25

陰影部分的面積是CD2+BD2+BC2=25+25=501

故選：C.

7

【名師點(diǎn)撥】

本題考查勾股定理，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

考查題型四利用勾股定理算網(wǎng)格中的線段長度

12.（2019?浙江溫州市?七年級期中）如圖，3x3方格中小方格的邊長為1,圖中的線段長度是（）

A.y/sB.MC.y/V3D.71

【答案】B

【提示】

根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

【詳解】

解：線段的長為：M+廿=而

故答案為B.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了勾股定理得知識，靈活應(yīng)用勾股定理解決問題是解答本題的關(guān)鍵.

13.（2019?浙江杭州市?七年級期中）如圖，每個小正方形的邊長為1個單位長度，圖中陰影部分是正方形，則此正

方形的邊長為（）

A.逐B(yǎng).V10

C.V13D.后

【答案】C

8

【提示】

根據(jù)每一個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，再根據(jù)勾股定理，列出算式，即可得出答案.

【詳解】

根據(jù)題意得：

陰影正方形的邊長是：疹手=而；

故選C.

【名師點(diǎn)撥】

此題考查了勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出算式.

14.（2020?江蘇常州市?七年級期末）如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為"格點(diǎn)”（格線的交點(diǎn)），以這5個格點(diǎn)中

的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，可以畫等腰三角形和直角三角形的個數(shù)分別是（）

A.2和3B.3和3C.2和4D.3和4

【答案】A

【提示】

結(jié)合格點(diǎn)圖形及勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】

解；（1）如圖，為等腰三角形有兩種

由勾股定理易知：ED=DC=732+12=710/符合題意，

9

由勾股定理易知：AE=EC=":不=2占，符合題意，

=AB2+BE2^由勾股定理逆定理知IAABE為直角二角形,

由勾股定理及格點(diǎn)圖知：BC=2,BE=4,CE=2jL滿足UE?=8。2+3￡：2,由勾股定理逆定理知ACBE為直角三角

形,

由勾股定理及格點(diǎn)圖知：DC=Jf6，DE=J10.CE=26，滿足GE?=。。2+?！?；2,由勾股定理逆定理知ACDE為

直角三角形,

10

故選：A

【名師點(diǎn)撥】

本題主要考查了在格點(diǎn)中畫等腰三角形及勾股定理在格點(diǎn)圖形中的應(yīng)用，結(jié)合格點(diǎn)圖形，利用勾股定理，合理構(gòu)造

是解決本題的關(guān)鍵.

15.（2020,山東煙臺市?七年級期中）如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能

構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）

CEB

7

//

A

G

A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB,CD,GHD.AB、CD、EF

【答案】B

【提示】

設(shè)出正方形的邊長，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗(yàn)算，看哪三

條邊能夠成直角三角形.

【詳解】

解：設(shè)小正方形的邊長為1,

則AB2=22+22=8,

CD2=22+42=20,

EF2=l2+22=5,

GH2=22+32=13.

因?yàn)锳B2+EF2=GH2,

所以能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是AB、EF、GH.

故選：B.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是解出AB、CD、EF、GH各自的長度.

考查題型五以弦圖為背景的計(jì)算題

12.（2019?浙江溫州市?七年級期中）如圖，3x3方格中小方格的邊長為1,圖中的線段長度是（）

11

A.瓜B.710c.713D.71

【答案】B

【提示】

根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

【詳解】

解：線段的長為：序不=而

故答案為B.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了勾股定理得知識，靈活應(yīng)用勾股定理解決問題是解答本題的關(guān)鍵.

13.（2019?浙江杭州市?七年級期中）如圖，每個小正方形的邊長為1個單位長度，圖中陰影部分是正方形，則此正

方形的邊長為（）

A.7?B.M

C.V13D.后

【答案】C

【提示】

根據(jù)每一個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，再根據(jù)勾股定理，列出算式，即可得出答案.

【詳解】

根據(jù)題意得:

陰影正方形的邊長是：正港=抽；

故選C.

【名師點(diǎn)撥】

此題考查了勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出算式.

12

14.（2020?江蘇常州市?七年級期末）如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為"格點(diǎn)"（格線的交點(diǎn)），以這5個格點(diǎn)中

的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，可以畫等腰三角形和直角三角形的個數(shù)分別是（）

A.2和3B.3和3C.2和4D.3和4

【答案】A

【提示】

結(jié)合格點(diǎn)圖形及勾股定理，等腰二角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】

解：（1）如圖，為等腰三角形有兩種

由勾股定理易知：ED=DC=j32+F=而,符合題意,

由勾股定理易知：AE=EC=^^2+42=2石，符合題意，

（2）如圖，為直角三角形有三種

13

BE=4,AE=2小,滿足AE?=AB?+，由勾股定理逆定理知AABE為直角三角形,

BE=4,CE=2右，CE2=BC2+BE2，由勾股定理逆定理知ACBE為直角二角

由勾股定理及格點(diǎn)圖知：DC=Jf6，DE=V10,CE=2y/5,滿足CE?=+0^2,由勾股定理逆定理知ACDE為

直角三角形，

故選：A

【名師點(diǎn)撥】

本題主要考查了在格點(diǎn)中畫等腰三角形及勾股定理在格點(diǎn)圖形中的應(yīng)用，結(jié)合格點(diǎn)圖形，利用勾股定理，合理構(gòu)造

是解決本題的關(guān)鍵.

15.（2020?山東煙臺市?七年級期中）如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能

構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）

14

A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CD、GHD.AB、CD、EF

【答案】B

【提示】

設(shè)出正方形的邊長，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗(yàn)算，看哪三

條邊能夠成直角三角形.

【詳解】

解：設(shè)小正方形的邊長為1,

則AB2=22+22=8,

CD2=22+42=20,

EF2=l2+22=5,

GH2=22+32=13.

因?yàn)锳B2+EF2=GH2,

所以能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是AB、EF、GH.

故選：B.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是解出AB、CD、EF、GH各自的長度.

考查題型六勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

16.（2020?山東泰安市?七年級期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩

子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m,則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）為（）

【答案】D

【提示】

根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為x,可得AC=AD=x,AB=（x-2）m,BC=8m,在ABC中利用勾股定理可求

15

出X.

【詳解】

設(shè)旗桿高度為X,則AC=AD=x,AB=(x-2)m,BC=8m,

在ABC中,AB2+BC2=AC2,即(x-2)2+82=x2,

解得：x=17,

即旗桿的高度為17米.

故選D.

【名師點(diǎn)撥】

考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線.

A

17.(2020?山東威海市?七年級期中)如圖，圓柱的高為8cm,底面半徑為一cm,一只螞蟻從點(diǎn)A沿圓柱外壁爬到

兀

點(diǎn)5處吃食，要爬行的最短路程是()

0

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】c

【提示】

這種求最短的一般都是空間想象，把圓柱體展開成平面的矩形.這個矩形長為底面周長，寬為圓柱體的高.兩點(diǎn)之間直

線最短.所以展開后畫圖連接AB,然后根據(jù)勾股定理，即可得解.

底面圓周長為2萬9=12cm,底面半圓弧長為6cm,

71

展開圖如圖所示，連接AB,

BC=8cm,AC=6cm,

A3=JAC。+BC°=而+8?=10

16

故選c.

【名師點(diǎn)撥】

此題主要考查勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是把空間圖展開.

18.（2020?泰安市七年級期中）如圖，今年第9號臺風(fēng)"利奇馬"過后，市體育中心附近一棵大樹在高于地面3米處

折斷，大樹頂部落在距離大樹底部4米處的地面上，那么樹高是（）

A.7mB.8mC.9mD.12m

【答案】B

【提示】

首先根據(jù)勾股定理求得折斷的樹高，繼而即可求出折斷前的樹高.

【詳解】

根據(jù)勾股定理可知：折斷的樹高=斤不=5米，

則這棵大樹折斷前的樹高=3+5=8米.

故選：B.

【名師點(diǎn)撥】

考查了利用勾股定理解應(yīng)用題，關(guān)鍵在于把折斷部分、大樹原來部分和地面看作一個直角三角形，利用勾股定理列

出方程求解.

19.（2020?山東東營市?七年級期中）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面30cm.突

然一陣大風(fēng)吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為60cm,則水是（）

cm.

A.35B.40C.50D.45

【答案】D

【提示】

如圖設(shè)BD=xcm,則AB=BC=30+x,利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，然后求解方程即可.

【詳解】

17

解：如圖，由題意可知AB=BC,AD=30cm,CD=60cm,

設(shè)BD=xcm,

在RtABCD中，BC2=BD2+CD2,

(x+30)2=x2+602,

解得x=45,

則水深45cm.

故選D.

【名師點(diǎn)撥】

本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答即可.

20.（2020?山東東營市?七年級期末）在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個有趣的問題，這個問題的意思

是：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，

如果把這根蘆葦沿與一邊垂直的方向拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.則這根蘆葦長為（）

13尺C.6尺D.7尺

【答案】B

【提示】

找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答.

【詳解】

設(shè)水池的深度為x尺，則蘆葦長為（x+l）尺,

10

根據(jù)勾股定理得：/+|=(X+1Y,

解得：x=12,

18

蘆葦?shù)拈L度=x+l=12+l=13（尺），

故選B.

【名師點(diǎn)撥】

此題是一道古代問題，屬于對勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理是解題的關(guān)鍵.

21.（2020?山東煙臺市,七年級期中）一艘輪船和一艘漁船同時沿各自的航向從港口0出發(fā)，如圖所示，輪船從港口

。沿北偏西20。的方向行60海里到達(dá)點(diǎn)M處，同一時刻漁船已航行到與港口。相距80海里的點(diǎn)N處.若M,N兩

點(diǎn)相距100海里，則NNOF的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.90°

【答案】C

【提示】

求出OM2+ON2=MN2,根據(jù)勾股定理的逆定理得出NMON=90°，根據(jù)平角定義求出即可.

【詳解】

解：QOM=60海里，QV=80海里，MN=100海里，

\OM2+ON2=MN2,

:"MON=90。,

Q?EOM20?,

\?NOF180?20?90?70?,

故選：C.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，能根據(jù)勾股定理的逆定理求出NMON=90。是解此題的關(guān)鍵.

22.（2020,山東濟(jì)寧市?七年級期末）一條河流的3。段長8km,在8點(diǎn)的正北方1km處有一村莊A，在。點(diǎn)的正

南方5km處有一村莊E,在BO段上有一座橋C,把。建在何處時可以使。到A村和E村的距離和最小，那么此

時橋C到A村和E村的距離和為（）

19

A

A.10B.屈C.12D.—

【答案】A

【提示】

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案.

【詳解】

則AC+CE距離和最小，且AC+CE=AE,

過A作AH_LED交ED的延長線于H,

AH=BD=8,EH=l+5=6,

AE^\lAH2+EH2=782+62=10'

此時橋c到A村和E村的距離和為10版,

故選：A.

【名師點(diǎn)撥】

本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，注意兩點(diǎn)之間線段最短這一知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用.

23.（2020?新泰市七年級期末）如圖，某地方政府決定在相距50km的A、B兩站之間的公路旁E點(diǎn)，修建一個土特

產(chǎn)加工基地，且使C、D兩村到E點(diǎn)的距離相等，已知DAJ_AB于A,CBJ_AB于B,DA=30km,CB=20km,那么基地

E應(yīng)建在離A站多少千米的地方？

20

【答案】20千米

【提示】

由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中利用斜邊相等兩次

利用勾股定理得到AD2+AE2=BE2+BC2,設(shè)AE為x,則BE=10-x,將DA=8,CB用代入關(guān)系式即可求得.

【詳解】

解：設(shè)基地E應(yīng)建在離A站x千米的地方.

則BE=（50-x）千米

在RSADE中，根據(jù)勾股定理得:AD2+AE2=DE2

302+x2=DE2

在RtACBE中,根據(jù)勾股定理得：CB2+BE2=CE2

202+（50-x）2=CE2

又???（：、D兩村到E點(diǎn)的距離相等.

DE=CE

DE2=CE2

3O2+x2=2O2+（50-x）2

解得x=20

基地E應(yīng)建在離A站20千米的地方.

考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.

24.（2020?山東濟(jì)南市?七年級期末）如圖，梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米.

（1）這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？

【答案】（1）24米；（2）8米.

【提示】

（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

（2）計(jì)算出AB長度，根據(jù)勾股定理求出3。，問題得解.

【詳解】

21

(1)根據(jù)題意得NABC=90°,

???梯子頂端距地面的高度=JAC*2_BC2=J252_72=24米；

(2)48=24—4=20米，

ZABC=9Q°

...根據(jù)勾股定理得，3C=JA'C'2一A0=抬2-2()2=15米，

CC=BC'-3C=15-7=8米，

本題考查勾股定理的應(yīng)用，難度不大，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得到NABCK0。，根據(jù)勾股定理解決問題.

25.（2020?山東煙臺市.七年級期中）為了積極響應(yīng)國家新農(nóng)村建設(shè)，某市鎮(zhèn)政府采用了移動宣講的形式進(jìn)行宣傳動

員.如圖，筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離為800米，假使宣講車P周圍1000米

以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路MN上沿PN方向行駛時：

W?BN

（1）請問村莊能否聽到宣傳，并說明理由；

（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是每分鐘300米，那么村莊總共能聽到多長時間的宣傳？

【答案】（1）村莊能聽到宣傳.理由見解析；（2）村莊總共能聽到4分鐘的宣傳.

【提示】

（1）根據(jù)題意村莊A到公路的距離為800米＜1000米，即可解答

（2）假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始影響村莊，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對村莊的影響

【詳解】

解：（1）村莊能聽到宣傳.

理由：因?yàn)榇迩fA到公路MN的距離為800米＜1000米，所以村莊能聽到宣傳

22

（2）如圖，假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始影響村莊，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對村莊的影響，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解

答

第23題解圖

則所=4。=1000米，48=800米.

BP=BQ=71OO（）2-8002=600米.

PQ=1200米.

、，影響村莊的時間為:12004.300=4（分鐘）.

二村莊總共能聽到4分鐘的宣傳.

【名師點(diǎn)撥】

此題考查解直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵

26.（2020?山東威海市?七年級期中）有一輛載有集裝箱的卡車，高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)如圖所示的上邊是半

圓，下邊是長方形的橋洞，已知半圓的直徑為2米，長方形的另一條邊長是2.3米.這輛卡車能否通過此橋洞？通

過計(jì)算說明理由.

2米

【答案】能通過，理由見解析.

【提示】

首先畫出卡車的橫截面圖，OE的長度為貨車寬的一半，根據(jù)勾股定理可求出CE的長度.如果BC的長度大于2.5

貨車可以通過，否則不能通過.

【詳解】

能通過.

如圖中的長方形A5CD是卡車橫截面的示意圖:

23

當(dāng)橋洞中心線兩邊各為0.8米時，設(shè)EC=x米，在RtZ\OEC中，由勾股定理得

0.82+x2=/，

解得x=0.6,

2.5<23+0.6,

???卡車能通過.

【名師點(diǎn)撥】

此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意化出圖形.

27.(2020?泰安市七年級期中)將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?00cm,彩旗完全

展開時的尺寸是如圖①所示的長方形，其中NB=90。，AB^Ocm,BC=120cm,在無風(fēng)的天氣里，彩旗自然下垂，如

圖②所示.求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度日

【答案】彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h為250cm.

【提示】

根據(jù)勾股定理就可求出彩旗的對角線的長，繼而求出h的值.

【詳解】

彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h也就是旗桿的高度減去彩旗的對角線的長,

在RtAABC中，Z8=90°,AB=90cm,BC=120cm,

?=y/AB2+BC2=J%?+12()2=150(cm),

h=400-150=250cm.

彩旗卜垂時最低處離地面的最小高度h為250cm.

24

【名師點(diǎn)撥】

本題考查勾股定理的實(shí)際運(yùn)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

28.（2019?山東威海市?文登區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）在甲村至乙村的公路上有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要

爆破.已知點(diǎn)C與公路上的停靠站A的距離為300米，與公路上的另一?？空?的距離為400米，且C4_LC5,

如圖所示為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問在進(jìn)行爆破時，公路A3段是否因?yàn)橛形ｋU

而需要暫時封鎖？請說明理由.

【答案】公路段需要暫時封鎖.理由見解析.

【提示】

如圖，本題需要判斷點(diǎn)C到AB的距離是否小于250米，如果小于則有危險，大于則沒有危險.因此過C作CD_LAB

于D.然后根據(jù)勾