一題多解圓錐曲線離心率

一題多解圓錐曲線離心率典型例題【例1】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率的取值范圍是【解析】【解法1】如圖，設(shè)右焦點(diǎn)為，易知四邊形是矩形，令，，所以，，，，所以.因?yàn)?，所以?所以，所以.【評(píng)注】利用橢圓定義以及橢圓的對(duì)稱性得到離心率的表達(dá)式，再由三角函數(shù)的有界性求解.【評(píng)注】先由直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程得到與之間的關(guān)系，利用余弦函數(shù)的有界性得到關(guān)于的不等式.【解法2】如圖，易得，，則有，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所以，且，化簡后解得，又因?yàn)?，所?【解法3】以為直徑的圓的方程為，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，且，所以上式整理后解?又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所以，且，化簡后解得，又因?yàn)?，所?【評(píng)注】設(shè)直線的方程為，由已知可得，在以為圓心，為半徑的圓上，聯(lián)立方程組消去，后得到與，，的關(guān)系式，利用傾斜角范圍求出的范圍，得到不等式求解.【解法4】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，易知四邊形是矩形，令，.如圖12-1，，，，由橢圓定義知:，又因?yàn)?，，，所以，其中，所?【評(píng)注】同【解法1】得到離心率與的關(guān)系，把表達(dá)式平方后，，利用對(duì)勾函數(shù)求解.【解法5】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以.所以,當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)記為.由得.由題意得,所以,所以所以.又因?yàn)?所以.【評(píng)注】利用橢圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的變化趨勢,結(jié)合極端情況,得到離心率的不等式巧解.【解法6】因?yàn)?所以四邊形為矩形,又因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以,所以,又因?yàn)?所以.【評(píng)注】利用矩形面積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)焦點(diǎn)三角形面積后確定參數(shù)范圍.【賞析】【解法1】利用橢圓的對(duì)稱性,將轉(zhuǎn)化為,將與用角表示,再利用橢圓的定義將離心率表示為的函數(shù),進(jìn)而求出離心率的取值范圍。應(yīng)用【解法1】求解時(shí)應(yīng)注意角的取值范圍.【解法1】體現(xiàn)了函數(shù)思想,要求學(xué)生有較好的分析能力及化歸能力.【解法2】將點(diǎn)的坐標(biāo)用角表示,然后代入橢圓方程解出利用,求出的取值范圍,得到關(guān)于的不等式,結(jié)合得出的取值范圍.【解法2】利用了點(diǎn)在曲線上即點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程的特征,解題過程中體現(xiàn)了方程思想與化歸思想,對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力及化歸能力有較高的要求,利用余弦函數(shù)的有界性將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題是解題的關(guān)鍵.【解法3】將直線的方程與圓聯(lián)立,求出后代入粗圓方程解出后，再結(jié)合,得出,建立關(guān)于的不等式,結(jié)合,求出的取值范圍.【解法3】與【解法2】類似,前者利用點(diǎn)的坐標(biāo),后者利用斜率,兩者的思想完全相同,恰當(dāng)合理的轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵.【解法4】將用表示,利用橢圓的定義及是直角三角形,將表示為的函數(shù),利用對(duì)勾函數(shù)求解.【解法4】與【解法1】類似,只是對(duì)的處理上有所不同.【解法4】利用化切處理再結(jié)合均值不等式得解,體現(xiàn)了函數(shù)思想與化歸思想,在數(shù)和式的處理上對(duì)學(xué)生提出了較高的要求.【解法5】利用極端情況,即時(shí)的情況,將的長度用表示,再結(jié)合得到事實(shí)上這里也利用余弦定理及勾股定理將用表示,再結(jié)合橢圓定義得解.【解法5】采用“以靜制動(dòng)”的方式處理問題,要求學(xué)生具有較好的觀察能力與推理能力.【解法6】利用,結(jié)合焦點(diǎn)三角形面積公式將用表示,再利用的有界性求出的取值范圍.【解法6】與【解法2】類似,這里利用了正弦函數(shù)的有界性,同樣要求學(xué)生具有較好的分析、解決問題的能力和豐富的函數(shù)不等式的知識(shí)儲(chǔ)備.【例2】設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn),過點(diǎn)向的一條漸近線引垂線,垂足為,交另一條漸近線于點(diǎn).若,則的離心率是（）A.B.2C.D.【解析】【解法1】不妨設(shè)直線的方程為.將直線的方程與漸近線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用距離求解.聯(lián)立.可得，由可得,可得或,所以或者當(dāng)時(shí)不滿足,所以.故選C.【評(píng)注】將直線的方程與漸近線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用距離求解.【解法2】不妨設(shè)直線的方程為.聯(lián)立可得,同理可得.由得,所以,可得,所以故選.【評(píng)注】將直線的方程與漸近線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用縱坐標(biāo)關(guān)系求解.【解法3】由雙曲線的性質(zhì)知,焦點(diǎn)到漸近線的距離,所以.因?yàn)?所以.因?yàn)?所以,整理得,所以故選.【評(píng)注】利用雙曲線中的幾何意義,以及正切函數(shù)的定義得到的關(guān)系式求解.【解法4】過點(diǎn)向雙曲線的另一條漸近線作垂線,垂足為,則.在中,得,所以故選.【評(píng)注】由雙曲線的對(duì)稱性,構(gòu)造含角的直角三角形解決問題.【賞析】【解法1】利用坐標(biāo)法求出直線與浙近線的交點(diǎn)坐標(biāo),再利用得到的關(guān)系式,進(jìn)而求出離心率的值(注意對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)).【解法1】利用坐標(biāo)法求解,將轉(zhuǎn)化為,利用兩點(diǎn)間距離進(jìn)行處理.解題過程中體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用.本解法思路較為簡單,對(duì)運(yùn)算能力要求較高.【解法2】首先求出直線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo),然后利用得到(這里也可以分別過點(diǎn)向軸作垂線得到),進(jìn)而得到的關(guān)系式,解出離心率【解法2】較之【解法1】降低了運(yùn)算量,思路也更為自然,選擇縱坐標(biāo)的運(yùn)算量明顯少于選擇橫坐標(biāo)的運(yùn)算量.解題過程中體現(xiàn)了方程思想,要求學(xué)生有較好的運(yùn)算能力.【解法3】首先將與的正切用表示,再利用正切二倍角公式得到之間的關(guān)系式,進(jìn)而求出離心率的值.【解法3】利用了雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為的特征,結(jié)合圖形,巧妙地利用了長度關(guān)系及雙曲線的對(duì)稱性.解題過程中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想與方程思想,對(duì)學(xué)生的觀察能力及分析問題的能力有較高的要求.【解法4】則通過添加輔助線,將“”化到同一直角三角形中,利用的長度關(guān)系及相似、雙曲線漸近線的對(duì)稱性得到的大小,進(jìn)而求出離心率,構(gòu)思巧妙,易于運(yùn)算.【解法4】與【解法3】類似,但優(yōu)于【解法3】,可謂把數(shù)形結(jié)合運(yùn)用到了極致,對(duì)學(xué)生分析問題的能力要求很高.【例3】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,若為雙曲線上一點(diǎn),且,則雙曲線離心率的取值范圍為（）A.B..C.D.【解析】【解法1】如圖,設(shè)當(dāng)點(diǎn)在右頂點(diǎn)處時(shí),因?yàn)?所以,故選【評(píng)注】利用雙曲線的定義以及余弦定理求出離心率的表達(dá)式,由余弦函數(shù)的有界性求解.【解法2】設(shè),則,所以,又(當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立),所以,即,得.又,所以,故選.【評(píng)注】利用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意本題可以取到等號(hào),因?yàn)榭梢匀c(diǎn)共線.【解法3】設(shè),因?yàn)?所以由焦半徑公式可得,解得.因?yàn)?所以,解得.又,所以.故選.【評(píng)注】利用焦半徑公式,以及右支上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍構(gòu)建不等式,確定與的關(guān)系.【解法4】依題意可知點(diǎn)在雙曲線的右支上.因?yàn)?所以,解得.又,所以.故選.【評(píng)注】利用雙曲線右支上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為,得到不等式求解.【解法5】設(shè)所以.由面積得,即.所以,即因?yàn)?所以.故選.【評(píng)注】由雙曲線的定義,求出,利用焦點(diǎn)三角形的面積公式通過算兩次得到以及兩焦半徑夾角之間的關(guān)系,再利用余弦函數(shù)的有界性求解.【解法6】設(shè),已知.因?yàn)?所以,即,解得.因?yàn)?所以,解得.又,所以.故選.【評(píng)注】利用兩點(diǎn)間距離公式求解.【賞析】【解法1】首先將表示為,再利用余弦定理將用表示,消去后將表示為的函數(shù),結(jié)合的取值范圍求出的取值范圍.【解法1】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,利用余弦函數(shù)的有界性求出離心率的取值范圍,要求學(xué)生有較好的化歸能力.【解法2】利用了三角形的三邊關(guān)系.應(yīng)注意利用兩邊之和與第三邊的關(guān)系只能求出離心率的上界,不能求出下界,還要借助雙曲線離心率大于1的特征得出離心率的取值范圍.【解法2】的運(yùn)算量較小,思路也較為簡單,對(duì)本題是一種較為實(shí)用的方法.【解法3】利用?曲線焦半徑公式,建立的不等關(guān)系求解.【解法3】體現(xiàn)了方程思想,借助雙曲線性質(zhì)中的范圍,建立關(guān)于的不等關(guān)系得到的上界,再結(jié)合得解.【解法3】思路較為簡單,利用范圍建立不等式的方法也是通法,學(xué)生較易想到此種方法.【解法4】由雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為,建立的不等關(guān)系求解.【解法4】與【解法3】類似,只是將點(diǎn)的范圍代換為的范圍,而這里的范圍則利用雙曲線的定義得到.【解法4】也是常見的解題思路,只要掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法即可.【解法5】首先利用雙曲線的定義將用表示,然后利用焦點(diǎn)三角形面積及余弦函數(shù)的有界性求解.面積法也是解決圓錐曲線問題的常見方法,【解法5】對(duì)學(xué)生代數(shù)式的處理能力及三角恒等變換能力要求較高.【解法6】利用兩點(diǎn)間距離公式及求出的取值范圍,再利用及求出的取值范圍.有界性是處理離心率范圍問題的常見方法.通過解不等式得到,這是建立不等關(guān)系的關(guān)鍵.【例4】已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,若雙曲線右支上存在點(diǎn),使得線段的中點(diǎn)仍在雙曲線上,則雙曲線離心率的取值范圍是________.【解析】【解法1】設(shè),依題可知,因?yàn)?所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,兩式聯(lián)立消去得,解得,所以,又因?yàn)?整理可得.【評(píng)注】利用點(diǎn)在雙曲線上,以及右支上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍求解.【解法2】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),為的中點(diǎn),結(jié)合雙曲線的第一定義可得,所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn),長軸長為的雙曲線上,即點(diǎn)在雙曲線向左平移單位長度所得雙曲線的右支上,其右頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,由題意知存在點(diǎn)的條件是兩條雙曲線有交點(diǎn),所以,解得【評(píng)注】利用雙曲線定義、三角形中位線定理,以及兩雙曲線有交點(diǎn)的條件解題.【解法3】設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,右焦點(diǎn)為,不妨設(shè)點(diǎn)在直線上,依雙曲線的對(duì)稱性可知,只需考慮直線的斜率即可，直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),即當(dāng)從0逐漸增大時(shí),逐漸減小,若要滿足仍為中點(diǎn),則只需即可,即,解得【評(píng)注】利用幾何動(dòng)態(tài)變化,觀測的變化趨勢，得到不等式求解.【解法4】設(shè),則,由得,即,解得.【評(píng)注】利用雙曲線的定義以及三角形不等式求解.【解法5】設(shè),由雙曲線的第二定義,因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,即因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,即,兩式相減消去得,所以.【評(píng)注】利用雙曲線第二定義,以及余弦函數(shù)的有界性求解.【賞析】【解法1】利用點(diǎn)在曲線上進(jìn)行解答.條件中曲線上存在點(diǎn)滿足關(guān)系式的題目均可使用此解法.【解析】【解法1】利用了坐標(biāo)法,結(jié)合建立關(guān)于的不等式后得解,是處理離心率取值范圍問題的常見方法.【解法2】考慮點(diǎn)所滿足的方程和雙曲線方程的關(guān)系進(jìn)而求解,方法獨(dú)特.【解法2】體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)越性,對(duì)能力要求較高.【解法3】利用直線斜率的變化情況,判斷結(jié)論的臨界取值,是解答小題的一種策略.【解法3】體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.【解法4】有效利用平面幾何中的三角形邊長關(guān)系,簡潔明快.兩邊之和與第三邊的關(guān)系是建立不等式的常見思路.【解法5】利用雙曲線的橫坐標(biāo)公式與余弦的有界性求解,運(yùn)算量較小.【例5】設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn),分別為的左、右焦點(diǎn),若的內(nèi)切圓的直徑為,則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.【解析】【解法1】如圖,不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限,設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn),則有,由雙曲線定義有，所以,所以,所以點(diǎn)在雙曲線上,即點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn),所以內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為,所以的內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)為.當(dāng)趨向無窮大時(shí),幾乎與漸近線平行,設(shè)漸近線的傾斜角為,切線的傾斜角為,則.因?yàn)?且,因?yàn)?，由得?解得,因?yàn)?所以,所以,所以,解得故選.【評(píng)注】利用雙曲線定義,以及角的特點(diǎn)得到不等關(guān)系.【解法2】不妨先固定,由【解法1】知內(nèi)切圓切于頂點(diǎn),內(nèi)切圓圓心為當(dāng)焦點(diǎn)遠(yuǎn)離頂點(diǎn)時(shí),雙曲線離心率越來越大,當(dāng)焦點(diǎn)接近頂點(diǎn)時(shí),離心率越來越小,其臨界狀態(tài)為.當(dāng)時(shí),.因?yàn)?所以,，，因?yàn)?所以,所以,此時(shí),所以,故選.【評(píng)注】固定,分析變化時(shí)離心率的變化規(guī)律，得到當(dāng)時(shí)為的極小值位置(不能取到).【解法3】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限,因?yàn)榈膬?nèi)切圓半徑為,則又,所以,所以,又因?yàn)?而,所以.所以,所以.又點(diǎn)在雙曲線上,所以,消去,有,整理得到.所以關(guān)于的方程在上有解.令,當(dāng)時(shí),,此時(shí)恒成立,方程在上無解,故舍去;當(dāng)時(shí),恒成立,方程在上無解,故舍去;當(dāng)時(shí),注意到,拋物線開口向上,此時(shí)在上有解,所以滿足題意,所以,所以,所以.故選.【評(píng)注】利用函數(shù)與方程思想,轉(zhuǎn)化為方程解的問題.【賞析】如果題目涉及焦點(diǎn)三角形,常常運(yùn)用圓錐曲線的定義,結(jié)合圖形借助平面幾何知識(shí)尋求不等關(guān)系,如【解法1】利用角度之間的關(guān)系,結(jié)合三角恒等變換,得到的不等關(guān)系.【解法1】體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想與方程思想,對(duì)能力要求較高.極端分析就是將所要研究的問題向極端狀態(tài)進(jìn)行分析,使因果關(guān)系變得更加明顯,從而迅速解決問題.對(duì)于計(jì)算量大的題,有時(shí)采用極端分析,就能較快地解決問題,如【解法2】.利用圓錐曲線橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)自身的限制條件,例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求.如果問題圍繞“在曲線上存在一點(diǎn)”展開,則可考慮將該點(diǎn)坐標(biāo)用表示,且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍限制就是求離心率范圍的突破口,或轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有解,如【解法3】.【例6】已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),曲線的一個(gè)交點(diǎn)為,且,則的離心率與的離心率一定滿足的關(guān)系是（）A.B.C.D.【解析】【解法1】因?yàn)?不妨令,所以,所以,故選D.【評(píng)注】采用特例排除法解題.【解法2】不妨設(shè)橢圓的方程為,雙曲線的方程為,點(diǎn)在第一象限,半焦距為,則,所以,因?yàn)?所以,所以,所以,所以,故選.【評(píng)注】利用橢圓與雙曲線的定義,借助勾股定理求解.【解法3】設(shè)橢圓的方程為,雙曲線的方程為.如圖,由焦點(diǎn)三角形的面積公式,在橢圓中有:在雙曲線中有:所以.所以.故選D.【點(diǎn)撥】利用橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式求解.【解法4】如圖,設(shè),則,故選D.【評(píng)注】利用橢圓及雙曲線的定義及正弦定理.【賞析】【解法1】取特例,對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)排除,可以快速地得到答案.作為選擇題,如果能用特例進(jìn)行排除,可以提高準(zhǔn)確率.【解法1】體現(xiàn)了特殊化方法的優(yōu)勢.【解法2】是求解圓錐曲線離心率的常用方法,利用圓錐曲線定義結(jié)合平面幾何知識(shí),從幾何關(guān)系尋求的關(guān)系式.分析圖形的幾何特征,利用幾何關(guān)系建立關(guān)于的方程是解決離心率問題的常見策略.【解法2】體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用,對(duì)代數(shù)式的恒等變形能力要求較高.【解法3】利用橢圓與雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式,得到曲線之間的關(guān)系.橢圓焦點(diǎn)三角形面積:其中.【解法3】體現(xiàn)了方程思想與化歸思想的運(yùn)用,要求學(xué)生具有較好的分析、解決問題的能力.【解法4】對(duì)代數(shù)式的恒等變形要求較高.強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),是虛軸的端點(diǎn),直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn).若則的離心率是（）A.B.C.D.【解析】易得直線的方?為:,則,則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,中垂線方程為.由題意得,所以,即,所以.故選.2.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）【解析】設(shè).則,由余弦定理得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以,故選.3.如圖,已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上的一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn)的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為,若,則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.2D.3【解析】如答圖12-1所示,設(shè)直線與的內(nèi)切圓相切于點(diǎn).則.所以,所以,所以,所以,即2.由,可得,所以該雙曲線的離心率,故選.4.已知點(diǎn)在軸上,點(diǎn)分別為雙曲線的右頂點(diǎn)及右焦點(diǎn),且與的夾角為,則此雙曲線離心率的最小值為________.【解析】如答圖,以為半徑作圓,.欲使軸上存在點(diǎn),使得,則圓必與軸有公共點(diǎn),所以,即,所以.故離心率的最小值為3.5.設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn),過點(diǎn)向的一條漸近線引垂線,垂足為,交另一條漸近線于點(diǎn),若,則雙曲線的離心率是________.【解析】由題意得右焦點(diǎn),設(shè)一漸近線的方程為,則另一漸近線的方程為,設(shè),因?yàn)?所以,所以,所以.由可得,所以,所以.6.已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為為其右焦點(diǎn),若,則橢圓的離心率的取值范圍是________.【解析】點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以點(diǎn)在橢圓上,設(shè)左焦點(diǎn)為,根據(jù)橢圓定義得,又因?yàn)?所以(1),為的斜邊中點(diǎn),所以,又