提高二 數(shù)列求和的方法（教師版）

拓展二數(shù)列求和常用的方法（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一裂項(xiàng)相消法【例1】（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an是Sn和1的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列{bn}滿足b1＋S4＝0，b9＝a1.（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Wn.【答案】（1）an＝2n－1；bn＝2n－17；（2）.【解析】（1）∵an是Sn和1的等差中項(xiàng)，∴Sn＝2an－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1－1.∴a1＝1且an≠0，∴＝2，∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝2n－1，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1.設(shè){bn}的公差為d，b1＝－S4＝－15，b9＝－15＋8d＝1，∴d＝2，∴bn＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.（2）cn＝＝，∴Wn＝＝＝.【一隅三反】1．（2021·全國(guó)）已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2．∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．（2）∵an＝2n＋1，∴－1＝4n(n＋1)，∴．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝．2（2021·六盤山高級(jí)中學(xué)高二月考（文））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）由題意，數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足．當(dāng)時(shí)，，可得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得．所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．所以數(shù)列是等差數(shù)列為．（2）由（1）知，可得，所以.3．（2021·內(nèi)蒙古集寧一中（文））等差數(shù)列中，，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知等差數(shù)列中，，由可得，由等差數(shù)列的定義可得：是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）得.所以.考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法【例2】（2021·六盤山高級(jí)中學(xué)高二月考）設(shè)等差數(shù)列中，，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)為，已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】（1）；；（2）．【解析】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴；∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上∴，∴，即；∴數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3．∴，即．（2）解：．得，∴．【一隅三反】1．（2021·四川閬中中學(xué)）已知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，可得，又由，即，即數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，，所以，所以，于是，兩式相減，可得：，所以.2．（2021·福建省連城縣第一中學(xué)高二月考）已知①；②；③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，對(duì)都有成立.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）時(shí)，，時(shí)，，又符合上式，，因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，.選①，，或（舍）選②，，選③由得，或（舍），（2）①②①-②得：．3．（2021·黑龍江道里·哈爾濱三中高二月考）已知數(shù)列滿足，，設(shè).（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1），為等差數(shù)列；（2），，，，①，②①②得：，考點(diǎn)三分組求和法【例3-1】（2021·河南新鄭·高二月考（文））已知數(shù)列，且，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），所以，又，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以（2）由（1）可得，所以，.【例3-2】（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）設(shè)，求{bn}前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由得.又因?yàn)?，所以，則，解得；故，.（2）.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：.綜上得.【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.（1）求通項(xiàng)公式an；（2）求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項(xiàng)和.【答案】（1）an＝3n－1；（2）【解析】（1）由題意得：，則，又當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1，n∈N*.（2）設(shè)bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.當(dāng)n≥3時(shí)，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T1＝2，T2＝3.當(dāng)n≥3時(shí)，Tn＝3＋，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)n＝2時(shí)也符合上式.所以，Tn＝.2．（2021·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由于，，成等比數(shù)列，則，解得，所以，（2）由題意，，所以．3．（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由題意，得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，也滿足，∴，∴.（2）由（1）知，，即數(shù)列是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n﹣1為偶數(shù)，；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n﹣1，n+1均為奇數(shù)，；綜上所述，可知：.4．（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，a1＝1，其前n項(xiàng)和為Sn；數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．（Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn＝bn+，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（Ⅰ）an＝n，bn＝2n；（Ⅱ）2n+1﹣．【解析】（Ⅰ）等差數(shù)列{an}的公差d為正數(shù)，a1＝1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，解得q＝2，d＝1，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n；（Ⅱ）cn＝bn+＝2n+＝2n+2（），則前n項(xiàng)和Tn＝（2+4+…+2n）+2（）＝+2（1﹣）＝2n+1﹣考點(diǎn)四倒序相加法【例4】（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，①，②，由①②可得，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為.故選：D.【一隅三反】1．（2021·新余市第一中學(xué)高二月考）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（）A．2018 B．2019 C．4036 D．4038【答案】A【解析】∵，∴．又∵，∴．令，則，兩式相加得，∴．故選：A2．（2021·贛州市贛縣第三中學(xué)高二開學(xué)考試（理））已知函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的方法，可求得（