新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第13講 解三角形（講）（解析版）

第03講解三角形本講為高考命題熱點(diǎn)，分值10分，題型以選擇題為主，多出現(xiàn)于高考前六題選擇題中，平面向量主要考察線性運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，近幾年多考察拓展類，例如平面向量中的范圍最值，平面向量與三角函數(shù)結(jié)合等內(nèi)容；復(fù)數(shù)主要考察復(fù)數(shù)的概念，四則運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模與幾何意義，考察邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力.考點(diǎn)一正余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)考點(diǎn)二三角形解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解考點(diǎn)三三角形面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).考點(diǎn)四測量中的幾個(gè)數(shù)據(jù)1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).3.方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.5.常用結(jié)論：三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.高頻考點(diǎn)一利用正余弦定理解三角形【例1】（四川省綿陽市2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】利用正弦定理SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，根據(jù)三角形性質(zhì)和邊角互化得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解方程組可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0①；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0②；由①②可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.故選：B.【例2】（2022·黑龍江·哈爾濱市第四中學(xué)校高三模擬）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對的邊分別是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用余弦定理建立方程可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以由余弦定理可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0；解得SKIPIF1<0.故選：D.【方法技巧】利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷).利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個(gè)角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.【變式訓(xùn)練】1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】B【分析】由二倍角公式求得SKIPIF1<0，再用余弦定理即可求得AC.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，代入數(shù)據(jù)得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）故選：B.2．（2022·貴州·貴陽樂灣國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試（文））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，B=SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積S=2，則SKIPIF1<0=___________.【答案】5【分析】先由面積公式計(jì)算SKIPIF1<0，再利用余弦定理計(jì)算SKIPIF1<0.【詳解】由三角形面積公式，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.由余弦定理，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0.故答案為：5.高頻考點(diǎn)二正弦定理、余弦定理的應(yīng)用【例3】（2022·浙江省淳安中學(xué)高三開學(xué)考試）在平行四邊形SKIPIF1<0中，對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】不妨設(shè)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得到SKIPIF1<0，基本不等式得到SKIPIF1<0；在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0的取值范圍【詳解】如圖示：不妨設(shè)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號成立）.在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號成立）.即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D【例4】（2022·四川省武勝烈面中學(xué)校高三開學(xué)考試（文））SKIPIF1<0的三內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【分析】對已知條件結(jié)合正弦定理進(jìn)行邊換角，另一個(gè)條件說明三角形是等腰三角形，兩者結(jié)合起來判斷.【詳解】根據(jù)條件：SKIPIF1<0，利用正弦定理可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（不可能SKIPIF1<0），故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0為等邊三角形.故選：B.【例5】（2022·湖南·隆回縣教育科學(xué)研究室高一期末）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0°(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求sinC的值；(3)若D為邊BC上一點(diǎn)，且cos∠ADC=SKIPIF1<0，求BD的長.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】（1）由余弦定理得：SKIPIF1<0＝7∴SKIPIF1<0（2）由正弦定理：SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.（3）如圖所示：過A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝SKIPIF1<0，∠B＝300，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【方法技巧】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2.三角形面積計(jì)算問題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化.3.求解幾何計(jì)算問題要注意(1)根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示.(2)選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理.【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我國古代通過觀察記錄正午時(shí)影子長度的長短變化來確定季節(jié)變化的一種天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午陽光照射在表上時(shí)，影子就會落在圭面上，圭面上影子長度最長的那一天定為冬至，影子長度最短的那一天定為夏至.如圖是根據(jù)蚌埠市（北緯SKIPIF1<0）的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知蚌埠市冬至正午太陽高度角（即SKIPIF1<0）約為SKIPIF1<0，夏至正午太陽高度角（即SKIPIF1<0）約為SKIPIF1<0.圭面上冬至線和夏至線之間的距離（即SKIPIF1<0的長）為7米，則表高（即SKIPIF1<0的長）約為（

）（已知SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米【答案】C【分析】由題意可求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的長為7米，求出SKIPIF1<0，即可得出答案.【詳解】由圖可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故選：C.2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，為了測量某障礙物兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)最好選用數(shù)據(jù)（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理可以判斷.【詳解】由余弦定理知SKIPIF1<0，所以只要測量出SKIPIF1<0，且這三個(gè)數(shù)據(jù)便于測量．故選：C3．（2022·湖南·長沙一中高二開學(xué)考試）神舟十三號飛船于2022年4月16日首次實(shí)施快速返回技術(shù)成功著陸．若由搜救地面指揮中心的提供信息可知：在東風(fēng)著陸場搜索區(qū)域內(nèi)，A處的返回艙垂直返回地面．空中分隊(duì)和地面分隊(duì)分別在B處和C處，如圖為其示意圖，若A，B，C在同一水平面上的投影分別為A1，B1，C，且在C點(diǎn)測得B的仰角為26.6°，在C點(diǎn)測得A的仰角為45°，在B點(diǎn)測得A的仰角為26.6°，BB1=7km，∠B1A1C=120°．則CA1的長為________km．（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）【答案】10【分析】設(shè)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則由題意可表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后在△SKIPIF1<0中利用余弦定理列方程可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖：設(shè)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPI