3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

第3章圓錐曲線與方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程,并能運用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1橢圓的定義平面上到兩個定點F1,F2的距離之

為常數(shù)(大于

)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點F1,F2叫作橢圓的

,兩個焦點之間的距離|F1F2|叫作

.

名師點睛橢圓的定義用集合語言敘述為:{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}.所有滿足條件的點的集合

和

|F1F2|焦點

焦距

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)平面上到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點的集合是橢圓.(

)(2)橢圓的特殊形式是圓.(

)2.將橢圓定義中“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”,其他條件不變,點的軌跡是什么?改為“小于|F1F2|”呢?××提示當(dāng)距離之和等于|F1F2|時,點的軌跡是線段F1F2.當(dāng)距離之和小于|F1F2|時,動點的軌跡不存在.知識點2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖象標(biāo)準(zhǔn)方程

=1(a>b>0)

確定焦點的位置=1(a>b>0)焦點坐標(biāo)(-c,0)(c,0)

a,b,c的關(guān)系

(0,-c),(0,c)a2-c2=b2名師點睛1.若橢圓的焦點在x軸上,則標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項的分母較大;若橢圓的焦點在y軸上,則標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項的分母較大.簡記為:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.2.點與橢圓的位置關(guān)系:過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)橢圓x2+=1與橢圓y2+=1雖然焦點坐標(biāo)不同,但是焦距相同.(

)(2)若ab>0,則方程ax2+by2=1是橢圓的方程.(

)2.在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,a>b>c一定成立嗎?√×提示不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小關(guān)系不確定.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1待定系數(shù)法【例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:分析(1)可以利用焦點坐標(biāo)求c,利用定義求a;(2)由于焦點位置已知,因此可以直接設(shè)出方程,將點的坐標(biāo)代入求解;(3)由于焦點不確定,因此可以設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),列式求解.規(guī)律方法

待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟

變式訓(xùn)練1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)a+c=10,a-c=4;(2)焦點在x軸上,焦距為4,且橢圓過點(0,2);(3)經(jīng)過(-2,0),(,-1)兩點.解

(1)∵a+c=10,a-c=4,∴a=7,c=3,∴b2=a2-c2=72-32=40.角度2定義法【例2】一個動圓與圓Q1:(x+3)2+y2=1外切,與圓Q2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求這個動圓圓心的軌跡方程.分析

設(shè)出動圓的圓心及半徑,利用兩圓相切的幾何條件列式求解.解

兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為R,由題意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.由橢圓的定義可知點M在以Q1,Q2為焦點的橢圓上,且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.變式探究本例題兩個已知圓不變,若動圓與兩個圓都內(nèi)切,求動圓圓心的軌跡方程.解

設(shè)動圓圓心為P(x,y),半徑為r.由圓P與圓Q1內(nèi)切,得|PQ1|=r-1;由圓P與圓Q2內(nèi)切,得|PQ2|=9-r.所以|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|.所以點P軌跡是以Q

1,Q

2為焦點的橢圓,且2a=8,2c=6.即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.規(guī)律方法

定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法若動點的軌跡滿足橢圓的定義,可直接根據(jù)定義求橢圓的方程.其一般步驟為:(1)將條件轉(zhuǎn)化為到兩定點的距離之和為定值(該定值大于兩定點之間的距離);(2)確定橢圓的基本量a,b,c,從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練2若動圓M過定點A(-3,0),且內(nèi)切于定圓B:(x-3)2+y2=100,則動圓圓心M的軌跡方程為

.

解析

圓B的圓心為B(3,0),半徑為r1=10.∵(-3-3)2+02=36<100,即點A在圓B內(nèi)部,∴動圓M在圓B內(nèi)部.設(shè)圓M半徑為r2,則|MA|=r2,∴|MB|=r1-r2=10-r2=10-|MA|,即|MA|+|MB|=10.又|AB|=6,∴|MA|+|MB|>|AB|.∴動圓圓心M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓,此時a=5,c=3,∴b2=a2-c2=16.探究點二對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解【例3】(1)若方程

=1表示橢圓,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25)C.(8,25) D.(8,+∞)B即實數(shù)m的取值范圍是(-9,8)∪(8,25).(2)若方程x2-3my2=1表示焦點在x軸上的橢圓,則實數(shù)m的取值范圍是

.

規(guī)律方法

根據(jù)橢圓的方程求參數(shù)取值范圍的方法

變式訓(xùn)練3若方程

=1表示焦點在x軸上的橢圓,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(3,+∞) B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-6,-2)∪(3,+∞)D解析

因為橢圓的焦點在x軸上,解得a>3或-6<a<-2,故選D.探究點三橢圓的焦點三角形【例4】已知P是橢圓

=1上的一點,F1,F2是橢圓的兩個焦點,且∠F1PF2=60°,則△F1PF2的面積是

.

分析結(jié)合∠F1PF2=60°,借助橢圓的定義及余弦定理求出|PF1|·|PF2|后,利用三角形的面積公式求解.又由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a=4.在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即4=16-3|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|=4.變式探究(1)本例題條件不變,求點P的縱坐標(biāo).解

設(shè)點P的縱坐標(biāo)為yP,(2)本例題其他條件不變,將“∠F1PF2=60°”改為“∠PF1F2=120°”,求△PF1F2的面積.在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a=4.②規(guī)律方法

橢圓的焦點三角形問題(1)橢圓的焦點三角形的概念如圖,設(shè)P是橢圓上一點,F1,F2為橢圓的焦點,當(dāng)點P,F1,F2不在同一條直線上時,它們構(gòu)成一個三角形——焦點三角形.(2)關(guān)于橢圓的焦點三角形問題,可結(jié)合橢圓的定義列出|PF1|+|PF2|=2a,利用這個關(guān)系式轉(zhuǎn)化求解.因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法.在求解過程中要靈活運用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.(3)焦點三角形的常用公式①焦點三角形的周長L=2a+2c.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)橢圓的定義;(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.方法歸納:待定系數(shù)法、定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用橢圓的定義求解橢圓的焦點三角形問題.3.注意事項:橢圓的定義中不但要求到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù),而且常數(shù)要大于|F1F2|;當(dāng)焦點位置不確定求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時,要分類討論;求含參數(shù)的橢圓方程的焦距時要注意根據(jù)焦點的位置分類討論.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123456789101112131415161718A級必備知識基礎(chǔ)練1.若方程

=1表示橢圓,則實數(shù)m的取值范圍為(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(0,1)∪(1,2)D解得m的取值范圍為(0,1)∪(1,2),故選D.1234567891011121314151617182.橢圓

=1與y軸的一個交點為P,兩個焦點為F1,F2,則△PF1F2的面積為(

)A.6 B.8

C.10

D.12D解析

由橢圓方程可得c2=25-16=9,則|F1F2|=2c=6.設(shè)點P的縱坐標(biāo)為yP,在1234567891011121314151617183.橢圓的焦距為8,且2a=10,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)B1234567891011121314151617184.[2024甘肅武威高二開學(xué)考試]“-1<m<7”是“方程

=1表示焦點在y軸上的橢圓”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B123456789101112131415161718解析

由7-m>m+1>0,解得-1<m<3,所以“方程

=1表示焦點在y軸上的橢圓”的充要條件為-1<m<3.因為(-1,3)?(-1,7),所以“-1<m<7”是“方程

=1表示焦點在y軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選B.123456789101112131415161718D解析

∵線段PF1的中點M在y軸上且O是線段F1F2的中點(F2為橢圓的另一個焦點),∴PF2⊥x軸,∴點P的橫坐標(biāo)是±3.∵點P在橢圓上,123456789101112131415161718C1234567891011121314151617187.(多選題)若橢圓

=1(m>0)的焦距為2,則m的值是(

)A.3 B.15

C.5

D.1AC1234567891011121314151617188.若橢圓的焦點坐標(biāo)為(±3,0),且橢圓經(jīng)過點(4,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

1234567891011121314151617189.已知橢圓的兩焦點F1,F2在x軸上,且過點A(-4,3).若F1A⊥F2A,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.∴(-4+c)(-4-c)+32=0,∴c2=25,即c=5.∴F1(-5,0),F2(5,0).123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練B123456789101112131415161718123456789101112131415161718D解析

(方法1)由已知a=2,b=1,c=,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=4,∴m2+2mn+n2=16.在△PF1F2中,m2+n2-2mncos∠F1PF2=(2c)2,∴16-2mn-2mncos∠F1PF2=12,即mn+mncos∠F1PF2=2.123456789101112131415161718123456789101112131415161718C12345678910111213141516171812345678910111213141516171813.

如圖,已知F(-5,0)為橢圓C的左焦點,P為橢圓C上一點,滿足|OP|=|OF|且|PF|=6,則橢圓C的方程為(

)C123456789101112131415161718解析

由題意可得c=5,設(shè)右焦點為F',連接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,123456789101112131415161718B12345678910111213141516171815.已知F1,F2是橢圓C:

=1(a>b>0)的兩個焦點,點M在C上,|MF1||MF2|的最大值為25,則a=

.

5解析

因為F1,F2是橢圓C:

=1(a>b>0)的兩個焦點,點M在C上,所以|MF1|+|MF