八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版（上冊(cè)）12.2 第3課時(shí)“角邊角”、“角角邊”

第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定第3課時(shí)“角邊角”、“角角邊”目錄頁(yè)講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．2．會(huì)用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”證明兩個(gè)三角形全等．新課導(dǎo)入如圖,小明不慎將一塊三角形玻璃打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來(lái)一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說(shuō)明其中理由嗎?321情境引入講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課1三角形全等的判定（“角邊角”定理）問(wèn)題：如果已知一個(gè)三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？ABCABC圖一圖二“兩角及夾邊”“兩角和其中一角的對(duì)邊”它們能判定兩個(gè)三角形全等嗎？講授新課先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B′C′，

使A′B′=AB，∠A

′=∠A，∠B′=∠B(即使兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等).把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？ACB作圖探究ACBA′B′C′ED作法：（1）畫A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁畫∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于點(diǎn)C'.想一想：從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

“角邊角”判定方法文字語(yǔ)言：有兩角和它們夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.幾何語(yǔ)言：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′

已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD

判定方法：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等．例1例2

如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求證：AD=AE.ABCDE分析：證明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.證明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B

（已知），∴△ACD≌△ABE（ASA)，∴AD=AE.

在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，則下列補(bǔ)充的條件中錯(cuò)誤的是（）A．AC＝DFB．BC＝EFC．∠A＝∠DD．∠C＝∠FA練一練在證兩三角形全等所需要的角相等時(shí)，目前通常采用的方法有：(1)公共角、對(duì)頂角分別相等；(2)等角加(減)等角，其和(差)相等，即等式的性質(zhì)；(3)同角或等角的余(補(bǔ))角相等；(4)角平分線得到相等角；(5)平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；(6)直角都相等；(7)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；(8)第三角代換，即等量代換等．總結(jié)2用“角角邊”判定三角形全等問(wèn)題：若三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和45°，且45°所對(duì)的邊為3cm，你能畫出這個(gè)三角形嗎?60°45°合作探究60°45°思考：

這里的條件與1中的條件有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？你能將它轉(zhuǎn)化為1中的條件嗎？75°文字語(yǔ)言：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”.∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′

（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′幾何語(yǔ)言：

“角角邊”判定方法

如圖，AD是△ABC的中線，過(guò)C，B分別作AD及

AD的延長(zhǎng)線的垂線CF，BE.求證：BE＝CF.導(dǎo)引：要證明BE＝CF，可根據(jù)中線及垂線的定義和

對(duì)頂角的性質(zhì)來(lái)證明△BDE和△CDF全等．證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.∵CF⊥AD，BE⊥AE，∴∠CFD＝∠BED＝90°.

在△BDE和△CDF中，

∠BED＝∠CFD，

∠BDE＝∠CDF，

BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴BE＝CF.例3

如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS).例4(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.證明：∵△BDA≌△AEC,判定兩三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法看缺什么條件，再去證什么條件，簡(jiǎn)言之：即綜合利用分析法和綜合法尋找證明途徑．

利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化．方法總結(jié)當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1、在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么這兩個(gè)三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不對(duì)B2、如圖，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ADF≌△CBE的是(

)A．∠A＝∠C

B．AD＝CB

C．BE＝DF

D．AD∥BC

B當(dāng)堂練習(xí)3、如圖，某同學(xué)不小心把一塊三角形玻璃打碎成三塊，現(xiàn)在要到玻璃店配一塊與原來(lái)完全相同的玻璃，最省事的方法是(

)

A．帶(1)和(2)去

B．只帶(2)去C．只帶(3)去

D．都帶去

C當(dāng)堂練習(xí)4、已知：如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,求證：AB=AD.ACDB12證明：∵

AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°.

在△ABC和△ADC中，∠1=∠2（已知），∠B=∠D（已證），AC=AC（公共邊），∴△ABC≌△ADC（AAS)，∴AB=AD.當(dāng)堂練習(xí)5、如圖，E，F(xiàn)在線段AC上，AD∥CB，AE=CF．若∠B=∠D，求證：DF=BE．ABCDEF證明：∵AD∥CB，∴∠A=∠C.∵AE=CF，∴AF=CE.在△ADF和△CBE中,∠A=∠C，∠D=∠B，AF=CE，∴△ADF≌△CBE（AAS）．∴DF=BE．當(dāng)堂練習(xí)變式若將條件“∠B=∠D”變?yōu)椤癉F∥BE”，那么原結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．ABCDEF成立.證明：∵AD∥CB，∴∠A=∠C.∵AE=CF，∴AF=CE.

∵DF∥BE，

∴∠DFE=∠BEF.

∴∠DFA=∠BEC.在△ADF和△CBE中,∠A=∠C，AF=CE，∠DFA=∠BEC，∴△ADF≌△CBE（ASA）．∴DF=BE．當(dāng)堂練習(xí)6、如圖，四邊形ABCD中，E點(diǎn)在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE.求證：△ABC與△DEC全等．證明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3＋∠4＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠5，在△ACD中，∠ACD＝90°，∴∠2＋∠D＝90°，∵∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC(AAS)．當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)能力提升：已知：如圖，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高.試說(shuō)明AD＝A′D′，并用一句話說(shuō)出你的發(fā)現(xiàn).ABCDA′B′C′D′當(dāng)堂練習(xí)解：∵△ABC

≌△A′B′C′，∴AB=A'B'（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，∴∠ADB=∠A'D'