小學數(shù)學行程問題的解題思路

在小學數(shù)學教學活動中，教師對于行程類問題的講解不僅僅在于讓學生熟記公式，更重要的是讓學生形成一種屬于自己的解題思維。行程類問題的難點在于對題目中各種變量的分析，將線段應用在行程類問題的解答中可以幫助學生理清楚行程類問題中存在的各種變量關(guān)系。一、一般相遇追及問題在小學數(shù)學行程類問題的解題教學環(huán)節(jié)中，學生最先接觸到的是一般性質(zhì)的相遇追及問題。一般性的相遇追及問題是題目中所給出來的已知項中，將多個變量變成了定量，減少了學生中間的思考環(huán)節(jié)，幫助學生在做題環(huán)節(jié)中減少中間變量時產(chǎn)生的條件干擾。解決一般類型的相遇追及問題時，要讓學生注意尋找題干中出現(xiàn)“一人或者兩人”“同時或者不同時”“同向或者異向”等這些字眼來畫圖解決。［1］在小學數(shù)學行程問題的教學實踐中，要科學全面地提升學生的學習質(zhì)量，不斷優(yōu)化學生的數(shù)學素養(yǎng)，教師應該注重創(chuàng)新以及變革行程問題的具體教學思路，更好地優(yōu)化學生的學習質(zhì)量。對于學生而言，一般相遇追及問題是相對比較簡單的。在具體的教學實踐中，教師可以為學生提供必要的教學指導，同時不斷優(yōu)化學生的解題思路，真正幫助學生建構(gòu)起完善且系統(tǒng)化的學習體系。當學生再遇到這類相遇問題時，能夠快速找到解題的切入點，也能夠快速高效地進行解答。在相遇追及問題的教學講解過程中，為幫助學生更加直觀地進行認知，也為了引導學生來展開思考，教師可以著重引導學生來進行畫圖輔助。依托于數(shù)形結(jié)合的方式，能夠簡化學生的解題思路，同時也能夠有效地幫助學生理解與認知。例如，在小學數(shù)學題目中，問：小明的家、小紅的家以及學校是在同一條路上，學校在小明和小紅家的中間，小明的速度是30米/分，小紅的速度是20米/分，已知小明和小紅同時從家里向?qū)W校出發(fā)，經(jīng)過十分鐘之后，兩人在學校門口相遇，求小明家和小紅家相距多少米？學生在這一道題目的作圖上，可以先畫一條線段，然后在線段上標出三個點，三個點分別就是題目中所說的小明的家、學校、小紅的家，小明家到小紅家的距離就是小明家到學校加上小紅家到學校的距離，也就是說根據(jù)路程的計算公式，小明家到學校的距離是30×10=300米，小紅家到學校的距離是20×10=200米，然后小明家到小紅家的距離就是300+200=500米。這種問題在小學數(shù)學行程類問題中屬于簡單的問題，教師在教學生利用線段巧解相遇追及類問題的時候，不用畫太過于復雜的線段進行求解，要先讓學生明白線段求解問題在于對線段的巧妙運用。二、復雜相遇追及問題在小學數(shù)學行程類問題的教學中，還會出現(xiàn)一種比較復雜的相遇追及問題。復雜的相遇追及問題分為兩個大的類別。首先是多人相遇追及類型的問題，也就是說，在一般追及相遇問題上多了一個要研究的運動對象，以前是對兩個人的運動進行分析，現(xiàn)在是對三個人的運動進行分析。對于三個人的運動分析和對于兩個人的運動分析其實在解題思路上是一樣的，對于這一類型的問題的解答，還是要看學生對于這一類問題的畫圖能力是否標準，學生在做題環(huán)節(jié)中所畫出來的圖能否正確、清楚地表達出問題中三個人的運動狀態(tài)。［2］小學數(shù)學追及類問題的涉及范圍是比較小的，最難的多次相遇追及問題的標準型主要是指，已知的是兩地之間的距離和兩個運動個體的速度，求解的問題是關(guān)于n次相遇的問題以及在一些較難的拓展學生數(shù)學思維的題目中會讓學生求解有關(guān)于純周期類型的問題（在純周期問題中，一般講的是兩個運動的個體做的都是折疊運動，在一個周期之后，求兩個運動個體在一個周期內(nèi)在均回到初始點之前相遇或者追及的次數(shù)）。在這些難度相對比較大的相遇問題的教學中，教師可以采用案例教學法。所謂案例教學法，就是通過列舉具體化的教學案例，指導學生注重開展深入的案例分析，在把握好案例中數(shù)量關(guān)系的基礎上，充分明確不同數(shù)量的具體關(guān)聯(lián)性，再將這部分內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的數(shù)學模型。通過這樣的轉(zhuǎn)換，能夠在很大程度上優(yōu)化學生的數(shù)學思維，也能夠全面提升學生的數(shù)學認知能力，還能夠保障學生的數(shù)學學習質(zhì)量。通過具體的案例分析，能夠幫助學生建構(gòu)起科學的數(shù)學思維，當他們再遇到這類型的題目時，可以快速找到解題的切入點，有效防范可能出現(xiàn)的思維障礙以及認知缺點。例如，卡車和小轎車同時從m城出發(fā)，在相距600千米的m城和n城不斷做往返運動，在這個過程中已知卡車每小時20千米，小轎車每小時30千米，問題一：兩車第一次相遇時距離中點多少千米？問題二：第一次迎面相遇之后又經(jīng)過多長時間之后小轎車和卡車再次相遇？在問題一中，教師可以先讓學生畫出一條線段，然后標注好線段的中點，小轎車的速度比卡車的速度快，所以小轎車和卡車若是從同一個地點相向而行，第一次相遇就是迎面相遇，也就是說，小轎車已經(jīng)從m城到達了n城，然后從n城返回的時候迎面遇上了卡車。教師在幫助學生完成對題目理解的時候，一定要讓學生能夠在線段中理解到在小轎車和卡車完成第一次相遇的時候，此刻小轎車行駛的距離加上卡車行駛的距離等于m城到n城的雙倍的距離。對于這道題目的第二問上的解答，在畫線段理解的過程中就可以看出來，第二次相遇小轎車和卡車的相遇有兩種可以假設的狀況，第一種是小轎車和卡車的迎面相遇，第二種是小轎車追上卡車是一種追及相遇。在第一種情況下，小轎車和卡車的迎面相遇是指小轎車從m城到n城，卡車從n城到m城；在第二種情況下小轎車完成了折回再次開始從m城到n城，卡車則繼續(xù)從m城到n城，這個時候小轎車從后面追上卡車完成追及相遇。對于上述這種多次相遇追及類型的問題，在運動的個體數(shù)量上沒有變化，僅僅是改變運動個體在某一時間段的運動狀態(tài)，最簡單的運動狀態(tài)的改變就是兩個運動個體在同一時間同一地點反復相遇反復追及，或者兩個運動個體在同一時間點不同的地點反復相遇反復追及的問題。在數(shù)學教學中，這一類型的問題被形象地稱為“反復折騰型”的行程類問題。三、流水行船問題流水行船問題在小學數(shù)學中算是一種比較特殊并且學生計算較為困難的行程類問題。在講解之前，教師首先應該讓學生明白船是如何在河流中行駛的，船在河流中行駛的時候不僅僅受到人為給的動力。也就是說，船在河流中行駛除了自己前進的速度外，河水還會給其一種往前推的外部動力，學生所要分析的是，在這種情況下，船的行駛的速度、時間、路程。在行程問題的解答過程中，這類問題是較為復雜且抽象的。［3］部分學生在理解與認知的過程中，可能會感覺到一定的思維難度，同時也難以全面系統(tǒng)地進行理解與認知。比如很多學生在解答這類問題時，常常會忽略到最為關(guān)鍵的水流問題。事實上，對于流水行船的過程中，水流給予船舶的力量，無非就是兩種力量，一種是順流的推進速度，一種是逆流的阻礙速度。在具體的行程問題解答中，教師要引導學生結(jié)合題干信息來判斷水流方向與行船方向是否一致。在明確兩種不同的方向的基礎上，教師要指導學生認真閱讀題干，有效把握題干中的變化。比如很多題型中，水流方向是不斷變化的?？赡茉谇捌谑琼樍鳎搅撕笃趧t會變成逆流。在明確這些水流方向的基礎上，教師再引導學生進行深入的思考，科學建構(gòu)數(shù)學模型。當然，為引導學生深入全面地進行認知，教師可以讓學生來進行自主思考和探究。待學生思考探究完成后，教師再結(jié)合學生的學習成效給予必要的教學指導，以此來真正有效地提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。例如，一艘小船從a地開往b地，這時候小船是順水而行，小船的速度是每小時28千米，小船到達b地后，然后又開始逆水行駛，小船再次回到a地的時候，發(fā)現(xiàn)回來比去多行駛了兩個小時，已知水流速度是每小時4千米。問：從a地到b地相距多少千米？在流水行船的問題中，常見的兩個公式是：順水速度=船的速度+水的速度、逆水速度=船的速度-水的速度；然后教師教學生利用線段求解這一類的問題，小船去的時候速度（順水速度）=船的速度+流水的速度=28千米/時。在這道題目中，題中已知小船的順水速度是28千米/時，在此時就可以計算出船在靜水中的速度28-4=24千米/時。船來的時候速度（逆水速度）=船的速度-流水的速度24-4=20千米/時。則小船回來的時候所用的時間為（20×2）÷（28-20）=5小時，由此就可以計算出來小船回來所用時間5小時，小船回來時逆水速度20千米/時，得出a地到b地的距離28×5=140千米。流水行船類型的問題在小學階段的學習是最基礎的，學生只要能夠找到船在靜水中的速度、船在逆水中的速度以及船在順水中的速度這三個量，就能弄清楚一般類型的流水行船問題，但是這一類問題難點也在于學生很容易會將這三種速度弄混淆，如一些學生會將船在順水中的速度認為是船在靜水中的速度。四、特殊行程問題在小學數(shù)學行程類數(shù)學問題的教學中，涉及到行程類問題是多種樣式的，但這些題目的類型都是行程類問題類型中最基本的題目。小學數(shù)學題目中出現(xiàn)的特殊行程問題，主要是幫助學生在這一學習階段在大腦中對行程類問題有一個最簡單最基礎的了解。對于特殊類型的行程問題，不少學生在初步接觸的過程中，無從下手，認為這部分的行程問題具有一定的特殊性，無法快速有效地把握好解題切入點。事實上，特殊行程問題是簡單行程問題的一種變式。［4］學生之所以會在解答過程中，無法找到切入點，就因為他們沒有認識到特殊與一般之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。為此，教師在特殊類行程問題的教學過程中，要引導學生將特殊行程問題通過數(shù)形結(jié)合的方式等轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄠€一般行程問題。在先解答一般行程問題的基礎上，再逐步提升到復雜行程問題的解決過程中。如此往復，學生的數(shù)學思維便得到了有效的提升和優(yōu)化，學生的數(shù)學解題能力也能夠得到有效的增進。為此，教師要注重不斷優(yōu)化學生的數(shù)學思維，積極培育學生良好的數(shù)學分析習慣，切實有效地提升學生數(shù)學認知能力。例如，小民和小紅在環(huán)形跑道上賽跑，已知小民的速度是每秒鐘跑6米，小紅的速度是每秒鐘跑4米，已知學校操場環(huán)形跑道300米，問小民第二次追上小紅的時候，小民已經(jīng)在環(huán)形跑道上跑了多少圈？教師在這一道題目的分析過程中，要注意讓學生在畫圖分析中解題。在這一道題目中，最好的作圖分析是環(huán)形圖，做好圖紙后教師要幫助學生理解有關(guān)于這一道題目的相關(guān)分析。題目中小民第一次追上小紅小民的路程是環(huán)形跑道的路程，然后此時就相當于小民和小紅再次同時同地開始跑，就可以將復雜的二次追及問題轉(zhuǎn)化成一次追及問題，這樣在一定程度上減少了學生的解題難度。特殊行程類問題的做法其實就是多個一般行程類問題的疊加，所以學生在特殊行程類問題的解答中，重點要學會將特