22.3 實踐與探索 華師大版數(shù)學九年級上冊教案

22.3實踐與探索第1課時用一元二次方程解決簡單的應用問題※教學目標※【知識與技能】使學生理解并掌握利用一元二次方程的知識解決實際問題的一般思路與步驟，學會將實際問題轉化為數(shù)學模型，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效數(shù)學模型.【過程與方法】讓學生經(jīng)歷由實際問題轉化為數(shù)學模型的過程，領悟數(shù)學建模思想，體會如何尋找實際問題中的等量關系來建立一元二次方程.【情感態(tài)度】通過合作交流等活動進一步感知方程的應用價值，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，以及與他人交流的能力.【教學重點】利用一元二次方程對實際問題進行數(shù)學建模，從而解決實際問題.【教學難點】尋找實際問題中的相等關系.※教學過程※一、復習引入問題：利用一元一次方程解決實際問題的一般思路是什么？答：（1）認真審題，找出相等關系；（2）根據(jù)相等關系設出適當?shù)奈粗獢?shù)列出方程；（3）解方程確定出實際問題的答案.二、探索新知【例1】學生生物小組有一塊長32m、寬20m的矩形實驗田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道.要使種植面積為540m，小道的寬應是多少？分析：如圖①，設小道寬為xm,則兩條小道的面積分別為,其中重疊部分小正方形的面積為可根據(jù)題意列方程解答.解：設小道的寬應是xm，根據(jù)題意，得解得應舍去.只取x=2.答：小道的寬應是2m.【思維拓展】本題同學們還有其他解法嗎？①②如圖②，可將兩條小道平移到邊緣，從而將四小塊種植地合并成一個整體來解決問題.解：設小道的寬應是xm，根據(jù)題意,得只取x=2.答：小道的寬應是2m.點撥:（1）利用平移、旋轉、翻折等變換可以進行等面積變形.（2）從上面的解答過程可以看出利用一元二次方程解實際問題的思路和利用一元一次方程解實際問題的思路類似.其主要區(qū)別在于：解一元二次方程求得的未知數(shù)值往往有兩個，不一定都是實際問題的答案，需要進行適當?shù)娜∩?【例2】某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由56元降為31.5元.已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率.分析：若每次降價的百分率為x，則第一次降價后的零售價為原來的(1-x)倍，即56（1-x）元，第二次降價后的零售價為56（1-x）元的（1-x）倍.解：設每次降價的百分率為x，根據(jù)題意，得解這個方程,得因為降價的百分率不可能大于1，所以不符合題意.經(jīng)檢驗，符合本題要求.所以，每次降價的百分率為25%.三、鞏固練習1.學生會準備舉辦一次攝影展覽，在每張長和寬分別為18厘米和12厘米的矩形相片周圍鑲上一圈等寬的彩紙.經(jīng)試驗，彩紙面積為相片面積的時較美觀，求所鑲彩紙的寬.(精確到0.1厘米)2.某工廠1月份的產(chǎn)值是50000元，3月份的產(chǎn)值達到60000元，這兩個月的產(chǎn)值平均月增長的百分率是多少？（精確到0.1%）答案：1.設所鑲彩紙的寬為x厘米，根據(jù)題意，得解得所以，所鑲彩紙的寬約為2.1厘米.2.設這兩個月的產(chǎn)值平均月增長的百分率是x,根據(jù)題意，得解得-2.095(不合題意，舍去).所以，這兩個月的產(chǎn)值平均月增長的百分率是9.5%.四、歸納小結1.利用一元二次方程解實際問題的一般步驟：（1）審題找出等量關系；（2）設出適當?shù)奈粗獢?shù)列出方程；（3）解方程；（4）根據(jù)實際問題，確定答案；（5）作答.2.注意點：利用一元二次方程解實際問題時，解所列出的一元二次方程時，求出的未知數(shù)的值往往有兩個，需要注意的是未知數(shù)的兩個值不一定都是實際問題的答案，需要根據(jù)實際問題的意義進行適當?shù)娜∩?※課后作業(yè)※教材第40頁練習2、4.教材習題22.3第1、2題.第2課時用一元二次方程解決復雜的應用問題※教學過程※一、復習引入1.一元二次方程解決相關幾何問題，需要充分利用平面圖形的一些知識，如圖形的面積公式、體積公式、勾股定理、圖形的全等.2.列一元二次方程解決增長（降低）率問題時，要掌握下列關系式：（兩次變化）原數(shù)×（1+增長的=后來數(shù).原數(shù)×（1-降低的=后來數(shù).3.列一元二次方程解決有關利潤問題時，要掌握下列關系式：商品利潤=銷售價-原價=原價×利潤率=單件利潤×件數(shù).二、探索新知【例1】小明把一張邊長為10cm的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折疊成一個無蓋的長方體盒子，如圖.（1）如果要求長方體的底面積為81cm,那么剪去的正方形邊長為多少？（2）如果按下表列出的長方體底面積的數(shù)據(jù)要求，那么剪去的正方形邊長會發(fā)生怎樣的變化？折疊成的長方體的側面積又會發(fā)生怎樣的變化？（3）你認為折疊而成的長方體的側面積會不會有最大的情況？如果有，請你求出長方體側面積的最大值是多少？解：（1）設剪去的正方形的邊長為xcm,根據(jù)題意，得解得只取x=0.5.答：剪去的正方形邊長為0.5cm.(2)根據(jù)題意，填表如下：觀察表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：隨著折疊成的長方體底面積減小，剪去的正方形邊長增大，折疊成的長方體的側面積先增大后減小.（3）長方體的側面積存在最大值.設剪去的正方形邊長為xcm,折疊成的長方體的側面積為Scm.根據(jù)題意可得S隨x變化的函數(shù)關系式為整理,得配方,得所以當x=2.5時，S有最大值為50.答：當剪去的正方形邊長為2.5cm時，折疊成的長方體的側面積有最大值為【例2】某工廠計劃在兩年后實現(xiàn)產(chǎn)值翻一番，那么這兩年中產(chǎn)值的平均年增長率應為多少？如果第二年的增長率為第一年的2倍，那么第一年的增長率為多少時，可以實現(xiàn)兩年后產(chǎn)值翻一番？分析：翻一番，即為原產(chǎn)值的2倍.若設原產(chǎn)值為1個單位，那么兩年后的產(chǎn)值就是2個單位.解：（1）設原產(chǎn)值為1個單位，這兩年中產(chǎn)值的平均年增長率為x,根據(jù)題意，得解得∵增長率不可能為負值，答：這兩年中產(chǎn)值的平均年增長率為41.4%.（2）設第一年的增長率為x,則第二年的增長率應為2x.根據(jù)題意，得解得∵增長率不可能為負值，答：第一年的增長率為28%時，可以實現(xiàn)兩年后產(chǎn)值翻一番.【例3】某種新產(chǎn)品進價是120元，在試銷階段發(fā)現(xiàn)每件售價（元）與產(chǎn)品的日銷量（件）始終存在下表中的數(shù)量關系：(1)請你根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)表述出每件售價提高的價格（元）與產(chǎn)品的日銷售量減少的數(shù)量（件）之間的關系.（2）在不改變上述關系的情況下，請你幫助商場經(jīng)理策劃每件商品定價多少元時，每日盈利可達到1600元？分析：（1）從表中可以看出，每件售價提高多少元，日銷售量就要減少多少件.（2）可根據(jù)表格中“每件售價130元時，日銷售為70件”，以此為基礎，利用公式“每件商品的利潤×銷售量=總利潤”列出方程，得出答案.解：（1）由表格中數(shù)量關系可知，該產(chǎn)品每件售價上漲1元，其日銷售量就要減少1件.（2）設每件產(chǎn)品的售價在130元的基礎上，漲價x元，則銷售價為(130+x)元，日銷售量為(70-x)件.根據(jù)題意，得［（130+x）-120］×(70-x)=1600.解這個方程，得x+130=160.答：每件商品的定價為160元時，每日盈利可達到1600元.鞏固練習1.某花生種植基地原有花生品種每公頃產(chǎn)量為3000千克，出油率為55%.改用新品種之后，每公頃收獲的花生可加工得到花生油2025千克.已知新品種花生的每公頃產(chǎn)量和出油率都比原有品種有所增加，其中出油率增加是每公頃產(chǎn)量增長率的一半，求兩者的增長率.（精確到1%）2.某商店準備進一種季節(jié)性小家電，每臺進價為40元.經(jīng)市場預測，銷售定價為52元時，可售出180臺；銷售定價每增長（或降低）1元，銷售量將減少（或增加）10臺.商店若希望獲得2000元，則應進貨多少臺？銷售定價為多少？（1）本題如何設未知數(shù)較適宜？需要列出哪些相關量的代數(shù)式？（2）所列方程的解是否都符合題意？如何解釋？（3）請你為商店估算一下，若要獲得最大利潤，則應進貨多少臺？銷售定價為多少？答案：1.設新品種花生每公頃產(chǎn)量的增長率為x,則出油率的增長率為根據(jù)題意，得解得(不合題意，舍去).答：新品種花生每公頃產(chǎn)量的增長率約為14%，出油率的增長率約為7%.2.（1）設銷售定價在52元的基礎上增加了x元，則每臺家電所獲利潤為(52+x-40)元，銷售量為(180-10x)臺.（2）根據(jù)題意，得(52+x-40)(180-10x)=2000.解得當x=-2時，定價為52+(-2)=50(元)，此時的銷售量為180-10×(-2)=200(臺);當x=8時,銷售定價為52+8=60（元），此時的銷售量為180-10×8=100(臺).都符合題意.銷售定價為50元，進貨200臺；或銷售定價為60元，進貨100臺.（3）設最大利潤為W（元），則W=(12+x)(180-10x)=-10(x-3)+2250