國家開放大學(xué)《高數(shù)基礎(chǔ)形考》1-4答案

2020年國家開放大學(xué)《高等數(shù)學(xué)答案》2020年國家開放大學(xué)《高等數(shù)學(xué)答案》#/192020年國家開放大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)形考1-4答案《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》作業(yè)一第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)(一)單項(xiàng)選擇題.下列各函數(shù)對中，(C)中的兩個(gè)函數(shù)相等.A.f(x)=(，；x)2，g(x)=X B.f(x)=v'x2，g(x)=xCx2—1.f(x) =In x3， g(x)=3lnxD. f(x) =x+1， g(x)=一x-1.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一8,+8)，則函數(shù)f(x)+f(-x)的圖形關(guān)于(C)對稱.A.坐標(biāo)原點(diǎn) B.x軸C.y軸 D.y=x.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).A.y=ln(1+x2) B.y=xcosxax+a-xC.y= D.y=ln(1+x)2.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).y=x+1y=x+1C.y=x,2y=-xD.y=1-1,.下列極限存計(jì)算不正確的是(D).A.limxA.limx-8x2x2+2=1B.limln(1+x)=0x-0lim處lim處=0x—8xlimxsin-=0x—8 x.當(dāng)x-0時(shí)，變量（C）是無窮小量.B.AsinxxB.C.xsin1C.xsin1xD.ln(x+2)7.若函數(shù)f（7.若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x滿足

0limf(x)=f(x)0x—x0C.limf(x)=f(x0)x—x+(二)填空題（A）,則f（x）在點(diǎn)x連續(xù)。0f（x）在點(diǎn)x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義0D.limf(x)=limf(x).函數(shù)f(x)="x2-9+ln(1+x)的定義域是{xIx>3}.x-3 TOC\o"1-5"\h\z.已知函數(shù)f(x+1)=x2+x，則Uf(x)= x2-xQ 1 . 1 , 1.1 1$lim(1+一)x=lim(1+——)x=lim(1+——)2xx2=e2x—8 2xx—8 2xx—8 2x.若函數(shù)f(x)=j(1+x4，x<0，在x=0處連續(xù)，則k=工.x+k,x>0.函數(shù)y=；x+1，x>0的間斷點(diǎn)是x=0.[sinx,x<0 .若limf(x)=A，則當(dāng)x—x°時(shí)，f(x)-A稱為XtX0x—x0 0時(shí)的無窮小量.解：y=解：y=lg上有意義

x解得1粉n<x>—或x<02x中0則定義域?yàn)椴穦x<0或x>23.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)．解：設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形解：設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形設(shè)高為h,即OE=h，下底CD=2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得AE=OJA2-OE2=RR2-h2則上底=2AE=2、.-R2-h2故S=2?CR+2、:R2-h2)=hQ+\,'r2-h2)4求同如主.xf0sin2xsin3x sin3x、 '3x一 X3x crccTOC\o"1-5"\h\zsin3x 3x 3x3 133解牛：lim =lim-^x =lim.。々x——一乂一=—sin2x sin2x sin2x2 122xf0sin4xxf0 X2x x_0 乙工aa2x22x.求lim x2-1x+1sin(x+1)解：limx2-1)lim(x-1)(x+ )limx--1sin(x+1) x--1sin(x+1)x--1sin(x+1)m—2.求3mtan3x1x3=1x-x3=31tan3x1x3=1x-x3=31x—0x cos3xx—03x cos3xx—0x cos3xx—03x cos3x.求limv1+x2—1x—0 sinx解：lim*'1+x解：lim*'1+x21=lim(%：1+x2—1)(V1+x2+1)二limx—0 sinx(\,1+x2+1)sinxx-0(、,；1+x2+1)sinx=limx=limx-0(<1+x2+1)0— =-f sinx—(1+1)x18求lim()x*解：lim()x=lim(1—1xx18求lim()x*解：lim()x=lim(1—1xx1[(1+—)-x]-1)x=lim(1+3)x

x=lim/Y1工[(1+x)3]3e—1—=e—4e3x2—6x+8用牛：lim =limx—4x2—5x+4 x—4(x-4)(x-2)

(x-4)(x-1)=limx-4x—1 4—1 310.設(shè)函數(shù)(x—2)2,x>1f(x)"x, —1<x<1x+1, x<—1討論f(x)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間.解：分別對分段點(diǎn)x=-1,x=1處討論連續(xù)性(1)

limf(x)=limx=-1x—>—1+ x—>—1+limf(x)=lim(x+1)=-1+1=0x-—1一 x—一1一(2)所以limf(x)^limf(x)，即f(x)在x=-1處不連續(xù)xT-1+ xT-(2)limf(x)=lim(x-2)2=(1-2)2=1x-t1+ x-t1+limf(x)=limf(f(1)=1xt1-所以limf(x)=limf(x)=f(1)即f(x)在x=1處連續(xù)xt1+ xt1-由(1)(2)得f(x)在除點(diǎn)x=-1外均連續(xù)故f(x)的連續(xù)區(qū)間為(f-1)u(Tw)

《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》作業(yè)二第3章導(dǎo)數(shù)與微分(一)單項(xiàng)選擇題1.設(shè)f(0)=1.設(shè)f(0)=0且極限lim1(X1.存在，xf0xA.C.f(0)f'(x)則lim1(X1=(C).xf0xB.fr(0)D.02.設(shè)f(x)在x0可導(dǎo)，則limf(xo-2入)T(x2.設(shè)f(x)在x0可導(dǎo)，hf0 2hB.fXx)0D——f'(B.fXx)0D——f'(x)00C.2f'(x)0.設(shè)f(x)=ex，則lim于(1+心)-f⑴=(A).TOC\o"1-5"\h\zAxf0 MA.e B.2eC1 d1c._e d.—e\o"CurrentDocument"2 4.設(shè)f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-99)，貝Uf，(0)=(D).A.99C.99!B.A.99C.99!D.-99!.下列結(jié)論中正確的是(C).a.若f(x)在點(diǎn)x有極限，則在點(diǎn)x可導(dǎo).00b.若f(x)在點(diǎn)x連續(xù)，則在點(diǎn)x可導(dǎo).00C.若f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，則在點(diǎn)x有極限.00D.若f(x)在點(diǎn)x有極限，則在點(diǎn)x連續(xù).00(二)填空題

.1一1?設(shè)函數(shù)f(x)」x2smx'-0，貝IJf，(0)二00,x=02?設(shè)f(ex)=e2x+5ex，則df(lnx)=至一+5.dxxx3曲線f（x）=、/x+1在（I,2）處的切線斜率是k=-24.曲線f(x)=sinx在（丁1）處的切線方程是(G5.設(shè)廠x2x,6.設(shè)y=xInx，貝Uy"（三）計(jì)算題1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y,：⑴y=(xjx+3)ex解：,3 31y'=(x2+3)ex+—x2ex⑵y=cotx+x2lnx解：y，二一csc2x+x+2xInx⑶y=三lnx解：y，二2x1nx+xln2xcosx+2xx3解：, x(一sinx+2x1n2)-3(cosx+2x)y二 x4lnx一x2sinx解：sinx(―-2x)-(Inx-x2)cosxxy= sin2xsinxi用牛：y=4x3- -cosxInxx⑺sinx+x2'八二-^―解：y'=3x(cosx+2x)一(sinx+x2)3xIn3y=extanx+Inx解：. ex 1y=extanx+ +—cos2xx2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y，：解：y，=e=1-x2⑵y=lncosx3一sinx3用牛： y= 3x2=-3x2tanx3cosx3⑶y=v'xv'xxy，二7x一18解：,1, .y=-(x+x2)3(1+-3 2⑸y=cos2ex解：y，=—exsin(2ex)⑹y=cosex2解：y'=-2xex2sinex2⑺y=sinnxcosnx解：y'=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsin(nx)⑻y=5sinx2解：y'=2xln5cosx25sinx2⑼y=esin2x解.y'=sin2xesin2x⑽y=xx2+ex2解：y'=xx2(x+2xlnx)+2xex2?y=xex+eexex解：y-xex(+exlnx)+ee^ex? x3.在下列方程中，y=y(x)是由方程確定的函數(shù)，求⑴ycosx=e2y解：y'cosx一ysinx=2e2yyrysinxy- cosx-2e2y⑵y=cosylnx解：y，=siny.y'Inx+cosy.—xy'=x(1y'=x(1+sinyInx)⑶2xsiny=-y解：2xcosy.y'+2siny=2yx_x2yy2x2 2yxy(2xcosy+——)= y2y22sinyy'二2xy2cosy+x2⑷y=x+Iny⑸Inx+ey=y2解■:—+eyy'=2yy'xy'二x(2y-ey)⑹y2+1=exsiny解：2yy,=excosy.y'+siny.ex,exsinyy二 2y—excosy解■:eyy'=ex一3y2y'，_exy +3y2ey⑻y=5x+2y解：y，=5xln5+yr2yIn2, 5xln5y= 1—2yln24.求下列函數(shù)的微分dy：⑴y=cotx+cscx一1cosx、［解：dy=( - )dxcos2xsin2x⑵丫二Jnxsinx

1. 1解：—sinx-Inxcosx解：dy=- dxsin2x-1-x=arcsin 1+x解：dy二——11-()2解：-(1+x)-(1-x) 1+x2 1 dx=-.' (1+x)2x(1+x)2dx兩邊對數(shù)得：ln3Hn(1-x)-ln(1+x)]y=-1,1-x,y=--3, ( + 331+x1-x1+x⑸y=sin2ex解：dy=2sinexex3exdx=sin(2ex)exdx⑹y=tanex3dy=sec2ex33x2dx=3x2ex3sec2xdx5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):=xlnx解：=xsinx解：y，=xcosx+sinxy"=-xsinx+2cosx⑶)y=arctanx解：2Xy"=——-(1+X2)2⑷y=3x2解：y'=2x3x21n3 y”=4x23x21n23+2ln3?3x2(四)證明題設(shè)f(X)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證f(X)是偶函數(shù).證：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)所以f(.X)=一f(X)兩邊導(dǎo)數(shù)得：f(-X)(-1)=-<(X)nf(-X)=f(X)所以f(x)是偶函數(shù)?！陡叩葦?shù)學(xué)基礎(chǔ)》作業(yè)三第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)單項(xiàng)選擇題.若函數(shù)f(X)滿足條件(D),則存在"(a,b),使得A.在(a,b)內(nèi)連續(xù)B.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)C.在(a,b)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D.在［a,b］內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)2.函數(shù)f(x)=x2+4x-1的單調(diào)增加區(qū)間是(D).A.(-8,2)B.(-1,1)C.(2,+8) D.(-2,+8)3.函數(shù)尸X2+4X-5在區(qū)間(-6,6)內(nèi)滿足(A).A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B.單調(diào)下降C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D.單調(diào)上升4.函數(shù)f(x)滿足f(x)=0的點(diǎn)，一定是f(x)的(C).A.間斷點(diǎn)C.駐點(diǎn)B.極值點(diǎn)D.拐點(diǎn)5.設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，x0e(a,b)，若f(x)滿足(C),則f(x)在x取到極小值.

0A.f'(X)>0,f〃(x)=000C.f'(X)=0,f〃(X)>000B.f'(X)<0,f〃(X)=000D.f'(X)=0,f〃(X)<0006.設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且尸(x)<0,f〃(x)<0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)是(A).A.單調(diào)減少且是凸的 B.單調(diào)減少且是凹的C.單調(diào)增加且是凸的 D.單調(diào)增加且是凹的(二)填空題1,設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，xg(a,b)，且當(dāng)x<x時(shí)f(x)<0，當(dāng)x>x時(shí)f(x)>0，則x0是f(x)的極小值點(diǎn)..若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f(x。)=0..函數(shù)尸in(i+x2)的單調(diào)減少區(qū)間是(一*0)..函數(shù)f(x)=ex2的單調(diào)增加區(qū)間是(0,+8).若函數(shù)f(x)在［a,b］內(nèi)恒有f(x)<0，則f(x)在［a,b］上的最大值是f(a)?6?函數(shù)f(x)=2+5x-3x3的拐點(diǎn)是x=0?(三)計(jì)算題.求函數(shù)k(x+1)(x-5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.令yy=(x+1)2(x+5)2=2(x—5)(x—2)n駐點(diǎn)x=2,x=5列表：X(列表：X(-8,2)2(2,5)5(5,+8)y'+極大極小+y上升27下降0上升極大值：f(2)=27極小值：f(5)=0.求函數(shù)y-x2-2x+3在區(qū)間［0,3］內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值．令：y'=2x-2=0 nx=1(駐點(diǎn))f(。)=3 f⑶=6 f⑴=2n最大值 f(3)=6n最小值 f⑴=23求曲線y2-2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短.

解：設(shè)p(x,y)是y2=2x上的點(diǎn)，d為P到A點(diǎn)的距離，則:2(x—2)+2x-1—=0nx=1令d'=d=q(x2(x—2)+2x-1—=0nx=1令d'=2\；'(x-2)2+2x (Xx一2)2+2xy2=2x上點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)4(2,0)的距離最短。4圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積V=n.R2h=n(L-h2)h3令.V=兀[h(-2h)+L2—h2]=兀[L2—3h2]=0 nL=3hh h=-3-LR=11-L .?.當(dāng)h=且,R=2LL時(shí)其體積最大。\'3 3Y35一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時(shí)表面積最?。吭O(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積VV=兀R2h S =2兀Rh+2兀R2=2+2兀R2TOC\o"1-5"\h\z表面積 RV_ _V令：S'=—2VR-2+4兀R=0 n——=R3nR=3——2兀 32兀h=甌h=3V答：當(dāng)R=3：V h=3：底時(shí)表面積最大。2兀 \兀6欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？解：設(shè)底連長為x，高為h。則：62.562.5=x2h nh=x2側(cè)面積為：S=x2+4xh=x2+受x令S'=2x—25°二0 nx3=125nx=5x2答：當(dāng)?shù)走B長為5米，高為2.5米時(shí)用料最省。(四)證明題.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式x>ln(1+x).證：由中值定理得：1n(1+x)=吧+x)—里二，<1 (丁0)x (1+x)—1 1+,n"(I+x)<1nx>1n(1+x) (當(dāng)x>0時(shí))x.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式ex>x+1.設(shè)/(x)=ex—(x+1)f(x)=ex—1>0 (當(dāng)x>0時(shí)) n當(dāng)x>0時(shí)f(x)單調(diào)上升且f(0)=0/.f(x)>0,即ex>(x+1)證畢《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》作業(yè)四第5章不定積分第6章定積分及其應(yīng)用(一)單項(xiàng)選擇題1?若f(X)的一個(gè)原函數(shù)是1，則f(x)=(D).xD.3x3A.叫? B.-D.3x3X2 X.下列等式成立的是(D).AJff(x)dx=f(x) B.Jdf(x)=f(x)C.dJf(x)dx=f(x) D.-d-Jf(x)dx=f(x)dx3?若f(x)=cosx，貝Jf'(x)dx=(B).A.sinA.sinx+cB.cosx+cC.一C.一sinx+cD.一cosx+c4.—Jx4.—Jx2f(x3)dx=(dxB)．A.f(x3) B.x2f(x3) C.3f(x) D.3f(x3)5?若Jf(x)dx=F(x)+c，則J上f(r)dx=(B).xA.FQ：x)+cC.F(2vxC.F(2vx)+cD.1JxF(%：x)+c6.由區(qū)間［〃,b］上的兩條光滑曲線y=f(x)和y=g(x)以及兩條直線x=a和x=b所圍成的平面區(qū)域的面積是(C).A.Jb[f(x)-g(x)]dxa

B.Jb[g(x)-f(x)]dxaC.Jbf(x)-g(x)|dxa(二)填空題D.1?函數(shù)f(x)的不定積分是Jf(x)dx.Jb[f(x)-g(x)]dxa2.若函數(shù)F(x)與G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之間有關(guān)系式 F(x)-G(x)=c(常數(shù))?3.dJex2dx=ex24」(tanx)fdx=tanx+c5若Jf(x)dx=cos3x+c，則Uf'(x)=-9cos(3x).J3(sin5x+2)dx=3.若無窮積分J+s±dx收斂，則p>0ixp (三)計(jì)算題1cos 1?J -dx=-Jcos—x2 xx1=-sin—+cx2JeXdx=2Jexdvx=2ex、,；x3J，dx二

xInx1d(Inx)=ln(lnx)+cInx4Jxsin2xdx=-1xcos2x+1