數(shù)學(xué)（人教版選修22）課件133函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)1．理解函數(shù)的最值的概念．(難點(diǎn))2．了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn))3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最值．(重點(diǎn))1．函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條________的曲線，那么它必有最大值與最小值．2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的________；(2)將函數(shù)y＝f(x)的________與________處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)就是________，最小的一個(gè)就是________．連續(xù)不斷極值各極值端點(diǎn)最大值最小值1．函數(shù)f(x)＝x3－3x(x<1)(

)A．有最大值，無最小值B．有最大值，最小值C．無最大值，最小值 D．無最大值，有最小值解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1(舍)．當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)<0.從而函數(shù)f(x)有最大值，無最小值，故選A.答案：A(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值．若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值．(2)函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念．對(duì)函數(shù)最值的兩點(diǎn)說明(1)函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部概念，函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念．(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)．(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得．有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值不在端點(diǎn)處取得時(shí)必定是極值．函數(shù)極值與最值的關(guān)系【想一想】

1.函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某極值嗎？提示：不一定，也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值．2．怎樣確定函數(shù)f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？提示：比較極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值．3．如果在開區(qū)間(a，b)上的函數(shù)y＝f(x)只有一個(gè)極值且為極小值，那么函數(shù)在開區(qū)間(a，b)上有最值嗎？提示：有最小值，無最大值．若x0是函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)在(a，x0)是減函數(shù)，在(x0，b)是增函數(shù)，故f(x)在x0處取得最小值．

求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．求已知函數(shù)的最值[自主解答]

(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60；當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)．故x＝－1時(shí)，f(x)最小值＝－12；x＝1時(shí)，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值為－12，最大值為2.1．把本例(1)中“x∈[－3,2]”改為“x∈[0,2]”求相應(yīng)問題．已知函數(shù)的最值求參數(shù)解決由函數(shù)的最值來確定參數(shù)問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性確定某些極值就是函數(shù)的最值，同時(shí)由于系數(shù)a的符號(hào)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有直接的影響，其最值也受a的符號(hào)的影響，因此，需要進(jìn)行分類討論．本題是運(yùn)用最值的定義，從逆向出發(fā)，由已知向未知轉(zhuǎn)化，通過待定系數(shù)法，布列相應(yīng)的方程，從而得出參數(shù)的值．2．已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．解：由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾．求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(2)當(dāng)a<0時(shí)，同理可得，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極小值b，也就是函數(shù)在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

已知函數(shù)f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x＞0)在x＝1處取得極值－3－c，其中a，b，c為常數(shù)．若對(duì)任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范圍．與最值有關(guān)的恒成立問題1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的問題時(shí)，一般需轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來解決．若不等式中含參數(shù)，則可考慮分離參數(shù)，以求避免分類討論．2．不等式恒成立、能成立常見的轉(zhuǎn)化策略：(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立?a<f(x)min；(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立?k＜[f(x)－g(x)]min；(3)f(x)＞g(x)恒成立?f(x)min＞g(x)max；(4)a＞f(x)能成立?a＞f(x)min，a＜f(x)能成立?a＜f(x)max.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m對(duì)t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴當(dāng)x＝－t時(shí)，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式4．證明：當(dāng)x>0時(shí)，1＋2x<e2x.證明：設(shè)f(x)＝1＋2x－e2x，則f′(x)＝2－2e2x＝2(1－e2x)．當(dāng)x>0時(shí)，e2x>e0＝1，∴f′(x)＝2(1－e2x)<0.∴函數(shù)f(x)＝1＋2x－e2x在(0，＋∞)上是減函數(shù)．∴f(x)<f(0)＝0，x∈(0