第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用（培優(yōu)課恒成立能成立問題）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

培優(yōu)課?恒成立、能成立問題第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用人教A版

數(shù)學選擇性必修第二冊課程標準1.了解利用導數(shù)研究存在性問題和恒成立問題的方法.2.初步運用導數(shù)解決存在性問題和恒成立問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1單變量恒成立、能成立的等價條件(從值域角度)設(shè)M={f(x)|x∈[a,b]}=[f(x)min,f(x)max].(1)任意型(恒成立)①?x∈[a,b],f(x)≥k?f(x)min≥k,如下圖所示.②?x∈[a,b],f(x)≤k?f(x)max≤k,如下圖所示.(2)存在型(能成立)①?x∈[a,b],f(x)≥k?f(x)max≥k.②?x∈[a,b],f(x)≤k?f(x)min≤k.③?x∈[a,b],f(x)=k?k∈{f(x)|x∈[a,b]}=[f(x)min,f(x)max],即f(x)min≤k≤f(x)max.如下圖所示.名師點睛只要記住恒成立問題,對于存在性問題只需將恒成立問題的最大值換成最小值,最小值換成最大值.譬如:若恒成立問題是最小值大于k,換成存在性問題就是最大值大于k.知識點2雙變量恒成立、能成立問題的最值等價條件(從值域角度)設(shè)M={f(x)|x∈A},N={g(x)|x∈B}.(1)?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)≥g(x2),則f(x)min≥g(x)max,如圖所示.(2)?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)≥g(x2)等價于f(x)min≥g(x)min.(3)?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)≥g(x2)等價于f(x)max≥g(x)max.(4)?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)≥g(x2)等價于f(x)max≥g(x)min.(5)?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)=g(x2)等價于M?N,即g(x)max≥f(x)max且f(x)min≥g(x)min.(6)?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)=g(x2)等價于N?M,f(x)max≥g(x)max.(7)?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)=g(x2)等價于M∩N≠?.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一由不等式恒成立求參數(shù)的值(取值范圍)【例1】

[2024北京通州高三階段練習]已知函數(shù)f(x)=e2x-2x.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)求f(x)的極值;(3)若對于任意x∈R,不等式f(x)>2(e-1)x+m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解

(1)由f(x)=e2x-2x得f'(x)=2e2x-2,又f'(0)=0,f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線方程為y=1.(2)f'(x)=2e2x-2,當x<0時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當x>0時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以當x=0時,f(x)取極小值f(0)=1,無極大值.(3)由f(x)>2(e-1)x+m得e2x-2x>2(e-1)x+m,故e2x-2ex>m.構(gòu)造函數(shù)g(x)=e2x-2ex,則g'(x)=2e2x-2e,規(guī)律方法

1.對不等式恒成立問題,多數(shù)情況下轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,常需對參數(shù)進行分類討論,求出參數(shù)的取值范圍.2.利用導數(shù)研究含參數(shù)的不等式問題,若能夠分離參數(shù),則常將問題轉(zhuǎn)化為形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通過求函數(shù)y=f(x)的最值求得參數(shù)范圍.變式訓練1已知函數(shù)f(x)=lnx+ax-a2x2(a>0).若f(x)<0在定義域內(nèi)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解

f(x)的定義域為(0,+∞),所以x,f'(x),f(x)的變化情況如下表:探究點二不等式能成立求參數(shù)的值(取值范圍)【例2】

已知函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a∈R).(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)函數(shù)g(x)=(1-a)x,若?x∈[1,e]使得f(x)≥g(x)成立,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)f'(x)=,當導函數(shù)f'(x)的零點x=a落在區(qū)間(1,2)內(nèi)時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上不是單調(diào)函數(shù),即a?(1,2),所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,1]∪[2,+∞).(2)由題意知,不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間[1,e]上有解,即x2-2x+a(ln

x-x)≥0在區(qū)間[1,e]上有解.因為當x∈[1,e]時,ln

x≤1≤x(不同時取等號),x-ln

x>0,規(guī)律方法

1.含參數(shù)的能成立(存在型)問題的解題方法a≥f(x)在x∈D上能成立,則a≥f(x)min;a≤f(x)在x∈D上能成立,則a≤f(x)max.2.含全稱、存在量詞不等式能成立問題(1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)max≥g(x)max;(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)min≥g(x)min.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)對于?x∈[1,e],?b∈[2,+∞),使得f(x)≥b,求實數(shù)a的取值范圍.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)函數(shù)中的存在性問題.(2)函數(shù)中的恒成立問題.(3)函數(shù)的最值或范圍問題.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法、分離參數(shù)法、分類討論.3.常見誤區(qū):分離參數(shù)后檢驗等號是否能成立.學以致用·隨堂檢測促達標12341.若對任意的實數(shù)x>0,xlnx-x-a≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,1]C.[-1,+∞) D.[1,+∞)A解析

令f(x)=xln

x-x-a,x∈(0,+∞),則f'(x)=ln

x,令f'(x)=0,得x=1.當0<x<1時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當x>1時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值為f(1)=-1-a.因為對任意的實數(shù)x>0,xln

x-x-a≥0恒成立,所以-1-a≥0?a≤-1.故選A.12342.已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx,若關(guān)于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-∞,e2-2) B.(-∞,e2-2]C.(-∞,1] D.(-∞,1)B解析

由題意可知,存在x∈[1,e],使得m≤f(x),則m≤f(x)max.∵f(x)=x2-2ln

x,∴f'(x)=,當x∈[1,e]時,f'(x)≥0,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增,則f(x)max=f(e)=e2-2,∴m≤e2-2,∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞,e2-2].12343.[2024山東煙臺高二階段檢測]已知函數(shù),若f(x)在R上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是

.

[1,+∞)12344.已知函數(shù)f(x)=ex(x2+2ax+2a)(a∈R),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;解

(1)f'(x)=ex(x2+2ax+2a)+ex(2x+2a)=ex[x2+(2a+2)x+4a]=ex(x+2a)(x+2),令f'(x)=0得x=-2a或x=-2,當-2a=-2,即a=1時,在(-∞,+∞)上f'(x)≥0,當且僅當x=-2時,等號成立,故f(x)單調(diào)遞增,當-2a>-2,即a<1時,在(-∞,-2)上f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,在(-2,-2a)上f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在(-2a,+∞)上f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.1234當-2a<-2,即a>1時,在(-∞,-2a)上f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,在(-2a,-2)上f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在(-2,+∞)上f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.綜上所述,當a=1時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,當a<1時,f(