2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第七章 隨機(jī)變量及其分布 7.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差（教師用書(shū)）教案 新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差（教師用書(shū)）教案新人教A版選擇性必修第三冊(cè)課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂弧⒔虒W(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來(lái)自于2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布的7.3.2節(jié)，具體內(nèi)容是離散型隨機(jī)變量的方差。本節(jié)課的主要內(nèi)容包括：

1.離散型隨機(jī)變量的方差的定義和計(jì)算公式。

2.離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)和意義。

3.利用方差分析和解決實(shí)際問(wèn)題。

在教學(xué)過(guò)程中，需要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、思考、討論等方式，理解方差的本質(zhì)和計(jì)算方法，并能運(yùn)用方差解決實(shí)際問(wèn)題。同時(shí)，要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)包括：

1.邏輯推理：通過(guò)講解和練習(xí)，使學(xué)生理解離散型隨機(jī)變量方差的定義和計(jì)算方法，能夠運(yùn)用邏輯推理能力推導(dǎo)出方差的計(jì)算公式。

2.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學(xué)生利用方差分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，能夠從數(shù)據(jù)中提取有用的信息，運(yùn)用數(shù)據(jù)分析的思維和方法，對(duì)數(shù)據(jù)的波動(dòng)性和離散程度進(jìn)行合理的描述和解釋。

3.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)實(shí)例分析和練習(xí)，使學(xué)生能夠建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用方差解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

4.直觀想象：通過(guò)圖形和實(shí)際例子，幫助學(xué)生建立直觀的方差概念，能夠想象和理解方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用和意義。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

（1）離散型隨機(jī)變量方差的定義和計(jì)算公式。

舉例：講解離散型隨機(jī)變量X的方差公式：D(X)=E[(X-E(X))^2]，引導(dǎo)學(xué)生理解方差的本質(zhì)是衡量隨機(jī)變量取值偏離均值的程度的平方的平均值。

（2）離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)和意義。

舉例：通過(guò)具體例子，講解方差在描述數(shù)據(jù)波動(dòng)性和離散程度方面的作用，引導(dǎo)學(xué)生理解方差的意義。

（3）利用方差分析和解決實(shí)際問(wèn)題。

舉例：給出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，如某產(chǎn)品的質(zhì)量數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生利用方差分析產(chǎn)品的質(zhì)量穩(wěn)定性。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

（1）方差的計(jì)算公式的推導(dǎo)和理解。

難點(diǎn)分析：學(xué)生可能對(duì)公式的推導(dǎo)過(guò)程和其中涉及的數(shù)學(xué)概念難以理解，如期望的定義和性質(zhì)。

教學(xué)方法：通過(guò)講解、示例和練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，加深對(duì)方差概念的理解。

（2）方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

難點(diǎn)分析：學(xué)生可能難以將方差的概念與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，不知道如何運(yùn)用方差進(jìn)行分析。

教學(xué)方法：通過(guò)給出具體的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方差進(jìn)行分析和解決，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

（3）方差的性質(zhì)和意義的理解。

難點(diǎn)分析：學(xué)生可能對(duì)方差的性質(zhì)和意義難以理解，如方差與數(shù)據(jù)波動(dòng)性的關(guān)系。

教學(xué)方法：通過(guò)圖形、實(shí)際例子和講解，幫助學(xué)生建立直觀的方差概念，引導(dǎo)學(xué)生深入理解方差的性質(zhì)和意義。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.引導(dǎo)法：通過(guò)提出問(wèn)題、設(shè)置懸念等方式，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考和探索離散型隨機(jī)變量方差的概念和性質(zhì)。

2.案例分析法：通過(guò)給出具體的實(shí)際案例，讓學(xué)生運(yùn)用方差進(jìn)行分析，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

3.小組討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享彼此對(duì)方差的的理解和應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生之間的交流和學(xué)習(xí)。

教學(xué)手段：

1.多媒體演示：利用多媒體設(shè)備，通過(guò)動(dòng)畫(huà)、圖表等形式展示方差的定義和計(jì)算過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受和理解。

2.在線教學(xué)平臺(tái)：利用在線教學(xué)平臺(tái)，提供豐富的教學(xué)資源和練習(xí)題，方便學(xué)生自主學(xué)習(xí)和鞏固知識(shí)。

3.數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用：利用數(shù)學(xué)軟件，如MATLAB、Python等，進(jìn)行方差的計(jì)算和分析，提高學(xué)生的實(shí)踐操作能力。

4.互動(dòng)式教學(xué)：通過(guò)教學(xué)互動(dòng)平臺(tái)，進(jìn)行實(shí)時(shí)提問(wèn)、解答疑問(wèn)，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并給予針對(duì)性的指導(dǎo)。

5.學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)系統(tǒng)：利用學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)系統(tǒng)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行實(shí)時(shí)跟蹤和評(píng)估，為學(xué)生提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)建議和輔導(dǎo)。五、教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解離散型隨機(jī)變量方差的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問(wèn)或不懂的地方。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)方差的概念和性質(zhì)做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確方差的定義、計(jì)算方法和性質(zhì)等教學(xué)目標(biāo)和方差的重難點(diǎn)。

準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確保方差教學(xué)過(guò)程的順利進(jìn)行。

設(shè)計(jì)課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)方差的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

激發(fā)興趣：

提出問(wèn)題或設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入方差學(xué)習(xí)狀態(tài)。

回顧舊知：

簡(jiǎn)要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的隨機(jī)變量的期望值，幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系。

提出問(wèn)題，檢查學(xué)生對(duì)期望值的掌握情況，為方差新課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計(jì)用時(shí)：25分鐘）

知識(shí)講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解方差的定義、計(jì)算方法和性質(zhì)，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

突出方差的重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)計(jì)算方法和性質(zhì)的難點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動(dòng)探究：

設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞方差的應(yīng)用展開(kāi)討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。

鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的觀點(diǎn)和疑問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)或?qū)嶒?yàn)，讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)方差的應(yīng)用，提高實(shí)踐能力。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對(duì)方差的掌握情況。

鼓勵(lì)學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決方差問(wèn)題。

錯(cuò)題訂正：

針對(duì)學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的方差計(jì)算錯(cuò)誤，進(jìn)行及時(shí)訂正和講解。

引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

知識(shí)拓展：

介紹與方差相關(guān)的拓展知識(shí)，如方差的推廣概念和相關(guān)性質(zhì)。

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。

情感升華：

結(jié)合方差的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感。

鼓勵(lì)學(xué)生分享學(xué)習(xí)方差的收獲和體會(huì)，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計(jì)用時(shí)：2分鐘）

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的方差內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)方差的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

肯定學(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的方差內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時(shí)間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.知識(shí)與技能：

-學(xué)生能夠準(zhǔn)確地理解離散型隨機(jī)變量方差的定義和計(jì)算方法。

-學(xué)生能夠運(yùn)用方差分析和解決實(shí)際問(wèn)題，如產(chǎn)品質(zhì)量分析、數(shù)據(jù)分析等。

-學(xué)生能夠掌握方差的性質(zhì)和意義，理解方差在描述數(shù)據(jù)波動(dòng)性和離散程度方面的作用。

2.過(guò)程與方法：

-學(xué)生能夠通過(guò)小組討論、實(shí)踐操作等方式，培養(yǎng)合作精神和溝通能力。

-學(xué)生能夠在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用方差進(jìn)行分析，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

-學(xué)生能夠通過(guò)方差的計(jì)算和分析，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：

-學(xué)生能夠理解方差在實(shí)際生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和認(rèn)識(shí)。

-學(xué)生能夠體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，培養(yǎng)社會(huì)責(zé)任感。

-學(xué)生能夠積極分享學(xué)習(xí)方差的收獲和體會(huì)，增進(jìn)師生之間的情感交流。七、反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.實(shí)踐環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)：在方差的教學(xué)中，加入了實(shí)際案例分析和實(shí)踐操作環(huán)節(jié)，讓學(xué)生能夠更好地理解方差的概念和應(yīng)用。

2.小組討論法：采用小組討論法，讓學(xué)生在討論中思考、交流，提高了學(xué)生的參與度和積極性。

（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生理解困難：部分學(xué)生對(duì)于方差的計(jì)算方法和性質(zhì)的理解存在困難，導(dǎo)致在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用不夠靈活。

2.教學(xué)方法單一：在教學(xué)過(guò)程中，過(guò)于依賴講解法，缺乏學(xué)生主動(dòng)參與和互動(dòng)，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)效果不佳。

（三）改進(jìn)措施

1.多元化教學(xué)方法：采用多元化的教學(xué)方法，如案例分析、小組討論、實(shí)踐活動(dòng)等，豐富教學(xué)手段，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度。

2.強(qiáng)化學(xué)生參與：在教學(xué)過(guò)程中，注意引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題、分享觀點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

3.反饋與評(píng)價(jià)：加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的反饋和評(píng)價(jià)，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，針對(duì)存在的問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性的講解和輔導(dǎo)。

4.教學(xué)內(nèi)容調(diào)整：根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，減緩教學(xué)進(jìn)度，確保學(xué)生能夠扎實(shí)掌握方差的概念和計(jì)算方法。

5.家校合作：加強(qiáng)與家長(zhǎng)的溝通，讓家長(zhǎng)了解學(xué)生在校的學(xué)習(xí)情況，共同關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步，形成家校共育的良好氛圍。八、板書(shū)設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-離散型隨機(jī)變量方差的定義：D(X)=E[(X-E(X))^2]

-方差的性質(zhì)：方差是衡量隨機(jī)變量取值偏離均值的程度的平方的平均值。

-方差的應(yīng)用：利用方差分析和解決實(shí)際問(wèn)題，如產(chǎn)品質(zhì)量分析、數(shù)據(jù)分析等。

②關(guān)鍵詞：

-隨機(jī)變量

-期望值

-方差

-離散型隨機(jī)變量

③句式表達(dá)：

-離散型隨機(jī)變量X的方差公式：D(X)=E[(X-E(X))^2]

-方差是衡量隨機(jī)變量取值偏離均值的程度的平方的平均值。

-利用方差分析和解決實(shí)際問(wèn)題，如產(chǎn)品質(zhì)量分析、數(shù)據(jù)分析等。

④藝術(shù)性和趣味性：

-利用圖形、圖表等形式展示方差的定義和計(jì)算過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受和理解。

-通過(guò)設(shè)置問(wèn)題或懸念，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

-結(jié)合實(shí)際案例，讓學(xué)生了解方差在生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。重點(diǎn)題型整理1.離散型隨機(jī)變量方差的計(jì)算

【題型】已知隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3，對(duì)應(yīng)的概率分別為1/4,1/2,1/4，求X的方差。

【解答】首先計(jì)算期望值E(X)=1*1/4+2*1/2+3*1/4=3/2。然后根據(jù)方差的定義計(jì)算方差D(X)=E[(X-E(X))^2]=(1-3/2)^2*1/4+(2-3/2)^2*1/2+(3-3/2)^2*1/4=3/8。

2.方差的性質(zhì)

【題型】已知隨機(jī)變量X的期望值為2，方差為3，求隨機(jī)變量Y=2X的方差。

【解答】根據(jù)方差的性質(zhì)，方差具有線性性質(zhì)，即如果隨機(jī)變量Y=aX+b，那么D(Y)=a^2D(X)。所以Y的方差D(Y)=(2)^2*D(X)=4*3=12。

3.利用方差分析實(shí)際問(wèn)題

【題型】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，平均重量為100g，標(biāo)準(zhǔn)差為5g?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品，求其重量超過(guò)110g的概率。

【解答】首先計(jì)算超過(guò)110g的區(qū)間概率。由于正態(tài)分布是對(duì)稱的，所以超過(guò)110g的概率等于小于90g的概率。使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或計(jì)算器得到小于90g的概率為0.0228，因此超過(guò)110g的概率為1-0.0228=0.9772。

4.方差的計(jì)算和應(yīng)用

【題型】某班級(jí)有50名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分。求這個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)。

【解答】首先計(jì)算中位數(shù)的位置，中位數(shù)是第25百分位數(shù)，即0.5*50=25。由于正態(tài)分布是對(duì)稱的，中位數(shù)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)等于平均分，即80分。

5.方差的推廣

【題型】已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=1)=1/6,P(X=2)=1/3,P(X=3)=1/2，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)。

【解答】首先計(jì)算期望值E(X)=1*1/6+2*1/3+3*1/2=2。然后根據(jù)方差的定義計(jì)算方差D(X)=E[(X-E(X))^2]=(1-2)^2/6+(2-2)^2/3+(3-2)^2/2=1/6。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)是評(píng)價(jià)教學(xué)效果的重要指標(biāo)。通過(guò)觀察學(xué)生在課堂上的參與度、提問(wèn)和回答問(wèn)題的積極性，可以了解他們對(duì)離散型隨機(jī)變量方差概念的理解程度和掌握情況。

2.小組討論成果展示：小組討論是促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考的有效方式。通過(guò)學(xué)生小組討論的成果展示，可以了解他們?cè)诶斫夥讲罡拍詈蛻?yīng)用方面的掌握情況，以及他們的合作能力和溝通能力。

3.隨堂測(cè)試：隨堂測(cè)試是檢查學(xué)生對(duì)方差概念和計(jì)算方法的掌握程度的重要手段。通過(guò)測(cè)試，可以了解學(xué)生對(duì)重點(diǎn)知識(shí)和難點(diǎn)的掌握情況，以及他