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文檔簡介

第1章通信與編碼概述習(xí)題

1.通信系統(tǒng)的基本模型

通信系統(tǒng)的基本模型如圖1.1所示,組成部分如下:

信源:消息的發(fā)出者。

信宿:消息的接收者。

信源編碼器:消息的重組單元。

信道編碼器:消息抗毀能力的構(gòu)建單元。

信道:消息的傳輸媒介,如電話機之間的電纜、無線電臺之間的電磁空間等。

干擾源:毀壞傳輸信號的各種因素的等價體,可分為自然干擾源和人為干擾源兩類。如大氣的雷電干擾、電離層的擾動等屬于自然干擾;信號的轉(zhuǎn)發(fā)干擾等屬于人為干擾。

信道譯碼器:消息的毀壞檢驗及恢復(fù)單元。

信源譯碼器:消息的還原單元。

發(fā)送端:從信源到信道前的各部分的總稱。

接收端:從信道后到信宿的各部分的總稱。圖1.1通信系統(tǒng)的基本模型

2.信道模型

信道是發(fā)送端和接收端之間的連接通道,它可以等效為一個輸入端和一個輸出端的系統(tǒng),如圖1.2所示。圖1.2信道簡化模型根據(jù)信道是否存在干擾,可將其分為無噪信道和有噪信道;根據(jù)傳輸信道是否連續(xù),可將其分為離散信道和模擬信道;根據(jù)信道當前輸出與先前的輸入是否有關(guān),可將其分為有記憶信道和無記憶信道;根據(jù)信道參數(shù)是否隨時間而變化,可將其分為恒參信道和隨參信道;此外,信道還可以分為二元信道和多元信道,對稱信道和非對稱信道,有損信道和無損信道等。

1)離散信道

首先,我們來考慮信道的表示。假設(shè)發(fā)送端發(fā)射的信號都取自字符集:

X={a1,a2,…,an}由于信道中存在噪聲干擾、傳輸衰落、傳輸失真等因素,因此從發(fā)送端發(fā)出符號ai,在接收端收到的未必是符號ai,甚至于還可能是X中不存在的符號。于是可以假設(shè)接收端接收的信號都屬于符號集:

Y={b1,b2,…,bm}

對給定的信道進行大量的實驗后,經(jīng)統(tǒng)計可以發(fā)現(xiàn):從發(fā)送端符號集中發(fā)送的符號ai以概率pij轉(zhuǎn)化為接收端符號集中的bj。為方便起見,概率pij常常表示為條件概率的形式,即

pij=p(bj|ai)

(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)這樣,用符號轉(zhuǎn)移概率pij就可以充分描述信道特性。為方便起見,引入信道轉(zhuǎn)移矩陣P,即常用的離散信道模型有以下幾種:

(1)二元對稱信道。在這種信道中,X=Y={0,1},并且p(1|0)=p(0|1)=p,即字符0和1發(fā)生錯傳的概率相同,信道轉(zhuǎn)移矩陣P為

二元對稱信道常常用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖來簡化表示,如圖1.3所示。圖1.3二元對稱信道

(2)二元刪除信道。在這種信道中,X={0,1},Y={0,1,ω},Y中的字符ω表示0或1在傳輸中發(fā)生畸變而在接

收端產(chǎn)生的一種發(fā)送端字符集中不存在的字符。在一個通信系統(tǒng)中,字符0和1分別代表正脈沖和負脈沖,發(fā)送端發(fā)送出正脈沖或負脈沖后,接收端收到的是受到干擾的畸變正脈沖

或負脈沖,當畸變變化比較嚴重時,無法識別出是正脈沖還是負脈沖,這種接收信號就用ω來表示。ω對接收端是沒有意義的,應(yīng)被刪除?;兠}沖如圖1.4所示。圖1.4接收端收到的畸變脈沖(a)畸變的正脈沖;(b)畸變的負脈沖;(c)畸變的脈沖ω二元刪除信道的信道轉(zhuǎn)移矩陣P為

其中,p(ω|0)=p,p(ω|1)=q。

二元刪除信道常用圖1.5來表示。圖1.5二元刪除信道

(3)多元(N元)對稱信道。

多元(N元)對稱信道常用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖來簡化表示,如圖1.6所示。圖1.6多元(N元)對稱信道

(4)無記憶擴展信道。字符序列x經(jīng)信道后轉(zhuǎn)移成y的概率為

(1.1.1)二維擴展信道的信道轉(zhuǎn)移矩陣P為(1.1.2)

2)輸入離散、輸出連續(xù)的AWGN信道

AWGN信道的全稱是加性高斯白噪聲(AdditiveWhiteGaussianNoise,AWGN)信道。輸入離散、輸出連續(xù)的AWGN信道具有輸入信號是離散的、輸出信號是連續(xù)的、信道受到的干擾服從高斯分布等特點,是通信中最常用的信道模型之一。圖1.7是二元輸入離散、輸出連續(xù)的AWGN信道簡化模型。圖1.7二元輸入離散、輸出連續(xù)的AWGN信道簡化模型

3.編碼定理

1)香農(nóng)第一定理(無失真壓縮編碼定理)

定義1.1.1設(shè)離散信源空間X={a1,a2,…,an},離散變量ai(i=1,2,…,n)及對應(yīng)變量的概率分布p(X)為

式中, 。稱-lbp(ai)為離散變量ai的自信息量;稱

為信源空間X的熵,單位為bit。(1.1.3a)

定義1.1.2設(shè)有離散空間X={a1,a2,…,an}和Y={b1,b2,…,bm},稱

為條件熵;稱

為平均互信息量。其中,p(ai,bj)為離散變量ai與bj的聯(lián)合概率密度,p(ai|bj)為條件概率密度。(1.1.3b)(1.1.3c)

定義1.1.3對信源輸出的一列符號序列按一定規(guī)則進行變換稱為編碼,變換后形成的新序列稱為碼字,碼字中的每一個元素稱為碼元,碼元所屬符號集稱為碼符號集,碼字中碼元的數(shù)量稱為碼長,全部碼字構(gòu)成的集合稱為碼。如果q=2,則稱為二元碼;如果q>2,則稱為q元碼,這里q表示碼符號集中元素的個數(shù)。

如果在一種碼的編譯碼過程中沒有信息損失,并且該碼在理想信道(無噪無信道損失)上傳輸后能不失真地恢復(fù)原消息,則稱該編碼為無失真編碼;如果在編譯碼過程中有控制地損失一些信息,則稱該編碼為限失真編碼。

限失真編碼在通信中是十分重要的,如一張僅幾百兆的光盤能容納數(shù)十小時的視頻內(nèi)容就源于該技術(shù)的重要貢獻。

定義1.1.4設(shè)有碼C={c1,c2,…,ci,…},p(ci)=pi

,碼字ci的長度為li,稱

為碼C的平均碼長,單位為bit。

定義1.1.5設(shè)信源符號集為X,并有q元碼C,稱

為編碼效率。(1.1.5)(1.1.4)

引理1.1.1(概率匹配原則)設(shè)無記憶信源X={0,1,2,…,q-1}且元素相互獨立和等出現(xiàn)概率,其上有一種碼C={ci|i=1,2,…,M},ci有長度li,發(fā)生概率為pi,若C是無損編碼且L(C)最小,那么(1.1.6)

證明由于0,1,2,…,q-1是獨立等概的,因此每一個這樣的元素有自信息量 。這樣,碼C中平均每個碼字含有的信息量為L(C)lbq。由于是無損編碼,因此L(C)lbq不應(yīng)當小于H(X),又由于L(C)最小,因此

定理1.1.1設(shè)離散平穩(wěn)無記憶信源的熵為H(X),X={a1,a2,…,an},那么一定存在一種碼C使熵和平均碼長間滿足下列關(guān)系:

證明基于信源X,構(gòu)造一個長度為N的符號串si=(r1,r2,…,rN),ri∈X,這樣的符號串si形成一個N維擴展信源XN,對N維擴展信源進行編碼,獲得碼C={ci|i=1,2,…},每個ci長為li,發(fā)生概率為pi。按概率匹配原則進行編碼,碼長應(yīng)滿足:(1.1.7)

式(1.1.8)兩邊乘以pi并求和后,有(1.1.8)(1.1.9)注意到

由此可得(1.1.10)由于是無記憶信源,故

H(XN)=NH(X)

(1.1.11)

將式(1.1.11)代入式(1.1.10),即得式(1.1.7)。

2)香農(nóng)第二定理

定義1.1.6對離散無記憶信道,信源和信宿分別為X和Y,{px}表示信源X的概率分布,稱

為信道容量。(1.1.12)

定義1.1.7消息在信道上的傳輸過程中,單位時間內(nèi)傳送的實際信息量稱為信息傳輸速率,記為R。

定理1.1.2設(shè)離散無記憶信道的信道容量為Cc,

總存在一種R<Cc的碼C使接收端恢復(fù)消息的誤碼率pe<ε。同時,不存在一種R>Cc的碼C使pe任意小。

順便指出,在連續(xù)AWGN信道上,香農(nóng)信道容量公式為(1.1.13)

3)香農(nóng)第三定理

在許多實際情況下進行無失真編碼是不必要的,信源可以在信宿恢復(fù)消息所需的條件下對消息進行壓縮處理,以減小存儲或傳輸?shù)目偭?。這種壓縮方式通常就是去掉消息間的冗余度。要滿足信宿恢復(fù)消息所需要的條件,就必須在編碼時對失真設(shè)置一個最大值,稱為保真度,記為D。保真度越

高,即D越小,意味著壓縮去掉的傳輸?shù)男旁葱畔⒘烤驮缴?,需要傳輸更多的信源信息量。很顯然,對給定的保真度D,信息傳輸速率R不能低于某一個下限值。保真度不同,下限值也不一定相同,即下限值是D的函數(shù),稱為率失真函數(shù),記為R(D)。

定理1.1.3對任意給定的保真度D≥0,只要碼長N足夠大,一定可以找到一種碼C使編碼后每個符號的信息傳輸率不小于R(D),且碼的平均失真度不超過D。

4.數(shù)字調(diào)制的基本原理

所謂調(diào)制,是指根據(jù)調(diào)制信號的變化規(guī)律去改變載波某些參數(shù)的過程。調(diào)制具有搬移信號頻譜的作用,能夠把信號的頻譜搬移到理想的位置,從而獲得適合于信道傳輸?shù)男盘枺蟠筇岣咝盘杺鬏數(shù)挠行院涂煽啃?。調(diào)制可以分為模擬調(diào)制和數(shù)字調(diào)制兩種,模擬調(diào)制的調(diào)制信號取值是連續(xù)的,數(shù)字調(diào)制的調(diào)制信號取值是離散的。

1)二進制數(shù)字調(diào)制

二進制數(shù)字調(diào)制是指調(diào)制信號為二進制數(shù)字信號的調(diào)制方式,在這類調(diào)制中,載波的某個參數(shù)(如幅度、頻率或相位)僅有兩種簡單的變化狀態(tài)。二進制數(shù)字調(diào)制分為幅度鍵控、頻移鍵控和相移鍵控三種。

(1)二進制幅度鍵控(BinaryAmplitudeShiftKeying,BASK)。設(shè)xk是來自于信源的二進制數(shù)字信息1和0,其發(fā)生概率分別為p和1-p,即則BASK信號可以表示為

式中:fc為載波頻率;g(t)是一個矩形脈沖;Ts為持續(xù)時間。

式(1.1.14)表明在二進制幅度鍵控調(diào)制中,載波幅度隨二進制被調(diào)信號序列的變化而改變,如圖1.8所示。(1.1.14)圖1.8

BASK調(diào)制信號示意圖

(2)二進制頻移鍵控(BinaryFrequencyShiftKeying,BFSK)。設(shè)xk是來自于信源的二進制數(shù)字信息1和0,其發(fā)生概率分別為p和1-p,則BFSK信號可以表示為

式(1.1.15)表明BFSK調(diào)制信號隨被調(diào)信號序列在兩個載波頻率間切換。當xk=1時,使用載波頻率f1;當xk=0時,使用載波頻率f2,如圖1.9所示。(1.1.15)圖1.9

BFSK調(diào)制信號示意圖

(3)二進制相移鍵控(BinaryPhaseShiftKeying,BPSK)。設(shè)xk是來自于信源的二進制數(shù)字信息1和0,其發(fā)生概率分別為p和1-p,則BPSK信號可以表示為

式(1.1.16)表明BPSK調(diào)制信號隨被調(diào)信號序列在兩個相位相差為180°的信號間切換。當xk=1時,載波信號為-cos(2πfct);當xk=0時,載波信號為cos(2πfct),如圖1.10所示。(1.1.16)圖1.10

BPSK調(diào)制信號示意圖

2)M進制數(shù)字調(diào)制

設(shè)xk是來自于信源的二進制數(shù)字信息1和0,將m個二進制符號的所有可能組合與M(M=2m)個載波相位相對應(yīng),則MPSK信號可以表示為

例如,取m=2,那么載波相位數(shù)為M=22=4,稱為QPSK(即4PSK)信號。2個

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