知識點大全-第8章《平面向量》典例版-分享

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯滬教版高中數(shù)學知識點大全典例版——第8章平面向量第8章平面向量.18.1向量的概念和線性運算.18.1.1向量的概念.18.1.2向量的加法和減法.18.1.2.1向量加法的平行四邊形法則.18.1.2.2向量加法的三角形法則.28.1.2.3向量加法的運算律.28.1.2.4向量的減法.28.1.3實數(shù)與向量的乘法..28.1.3.1實數(shù)與向量乘法的定義.28.1.3.2向量平行的充要條件.28.1.3.3實數(shù)與向量乘法的運算律.38.1.3.4向量的單位向量.38.2向量的數(shù)量積.58.2.1向量的投影.58.2.1.1投影向量的概念.58.2.1.2向量的夾角.58.2.1.3向量的數(shù)量投影.58.2.2向量的數(shù)量積的定義與運算律.68.2.2.1數(shù)量積的定義.68.2.2.2數(shù)量積的運算律.68.2.2.3向量數(shù)量積的變形公式與結論.78.2.3*極化恒等式..88.3向量的坐標表示.108.3.1向量基本定理.108.3.1.1向量基本定理108.3.1.2*三點共線的“爪型結論”.118.3.1.3*等和線128.3.2向量的正交分解與坐標表示.148.3.3向量線性運算的坐標表示.158.3.4向量數(shù)量積與夾角的坐標表示.178.4向量的應用.198.4.1證實不等式.198.4.2定比分點公式.198.4.3三角形面積公式.198.4.4*飛馳定理.198.4.4.1飛馳定理:198.4.4.2飛馳定理的推論:208.4.5*三角形的四心與向量有關的結論..208.4.5.1外心208.4.5.2重心.218.4.5.3內(nèi)心.218.4.5.4垂心.211.松念既有大小又有方向5.向量的坐標表示模.1.2.1單位向量模為1設a=x1,y1b=x2,y2零向量模為0.0a⊥b?x1x2+y1y2=0a//ba=?bcos<a?SΔBOC:SΔCOA,SΔAOB=sin2A:sin2B:sin2C第8章平面向量8.1向量的概念和線性運算8.1.1向量的概念（1）既有大小又有方向的量叫做向量(vector).常用有向線段(directedline-segment)表示向量,在物理學中常稱為矢量.向量的兩個要素:大小(一個非負實數(shù))與方向（2）僅有數(shù)值（可以是隨意實數(shù)）而沒有方向的量稱為數(shù)量（scalar），又稱為標量.（3）向量a的大小叫做a的模(modulus),記作a.（4）模為1的向量叫做單位向量(unitvector).規(guī)定模為0的向量叫做零向量(zerovector),記作0,可以認為它具有隨意方向.（5）倘若兩個非零向量所在的直線平行或重合,那么稱這兩個向量平行.a//b表示a與b平行,規(guī)定0倘若兩個向量同方向且具有相同的模,它們就是同一個向量即為相等的向量.按照向量相等的定義,零向量都是相等的.常常通過證實共起點的兩向量平行來證實三點共線.（6）倘若一對平行向量a與b具有相等的模但方向相反,那么稱它們互為負向量,或者稱b為a的負向量,記作b=?8.1.2向量的加法和減法8.1.2.1向量加法的平行四邊形法則設給定兩個不平行的向量a、b,倘若以O為起點,分離作OA=a,OB=b,那么以OAOB為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線所表示的向量我們把這種作向量和的主意叫做向量加法的平行四邊形法則(parallelogramlaw)8.1.2.2向量加法的三角形法則若以O為起點作向量OA=a,再以A為起點作向量AC=b,則銜接起點O與盡頭C得到向量OC,它就是a、異常地,a+08.1.2.3向量加法的運算律交換律a+b結合律a+b提醒:平行四邊形法則要求參加加法的兩個向量的起點相同,三角形法則要求參加加法的兩個向量的首尾相接.可推廣到A1A2+A28.1.2.4向量的減法已知向量a+b=c,那么向量b叫做向量c與向量a的差,記作求向量差的運算,叫做向量的減法.向量的減法滿意c?a8.1.3實數(shù)與向量的乘法8.1.3.1實數(shù)與向量乘法的定義實數(shù)λ與向量a的乘積是一個向量,記作λa.它的模λa當λ>0時,λa的方向與a相同;當λ<0時,λa異常地,當a=0或λ=0時,8.1.3.2向量平行的充要條件向量b與非零向量a平行的充要條件是:存在實數(shù)λ,使得b典例(向量平行的充要條件)(2023年年嘉定一模10)已知非零向量a、b、c兩兩不平行,且ax,y∈R，則x+2【解析】∵a//b+c?∴存在λ∈R,使得b+c=λa?b+xa8.1.3.3實數(shù)與向量乘法的運算律設a、b是向量,λ、μ∈R8.1.3.4向量的單位向量與非零向量a同方向的單位向量叫做向量a的單位向量,記作a0,有a0注重:非零向量的單位向量是唯一的,與其平行的單位向量有兩個.向量的加法、減法以及實數(shù)與向量的乘法,統(tǒng)稱為向量的線性運算(linearoperation).從一個或幾個向量出發(fā),通過線性運算得到的新向量稱為本來那些向量的線性組合(linearcombination).典例(向量模的幾何意義)1.已知向量a=cosα,sinα,b=cosc?a?b=1【解析】由題意,a=b=1,且a與b夾角為結合圖像,如圖,OA=OD=∴OC≤OD+CD2.已知平面向量a,b,c,e滿意a=3,e=1,b?a=13.(2023年年年上海卷12).已知a1,a2,且對于隨意的i=1,2,及j=1【答案】6【解析】設OA1=a1,OAj=1,2,?,k有則有A1Bj等于1或者2,且所以點Bj,j=1,2,4.(2023年年金山一模10)向量i、j是平面直角坐標系x軸、y軸的基本單位向量,且a?i+a【答案】6【解析】按照題意,i=1,0,j=0,1,設a=x,y,按照a?i+a?2j=5的幾何意義,x,y軌跡是一條線段(圖中5.(2023年年崇明一模12)已知AB為單位圓O的一條弦,P為單位圓Ofλ=AP?λABλ∈R的最小值為m,當點段AB【答案】46.(2023年年閔行一模11)已知平面向量a,b,c,對隨意實數(shù)t,都有a=3,c【解析】由題意,b?a⊥a,b∴A、B、C、O在以∴cos∠∴8.2向量的數(shù)量積8.2.1向量的投影8.2.1.1投影向量的概念倘若向量AB的起點A和盡頭B在直線l上的投影分離為點A′和B′,那么向量A′B′叫做向量A典例(向量的投影)1.已知點A1,2,B3,4,C8.2.1.2向量的夾角以一點O為起點,作OA=a,OB=b,我們把射線OA、OB的夾角稱為向量a與8.2.1.3向量的數(shù)量投影易知OB′故向量b在向量a方向上的投影為bcos?在上式中,實數(shù)bcos?a,b?稱為向量b在向量a方向上的數(shù)量投影.它是一個數(shù)量,其絕對值等于向量b在向量a方向上的投影的模.當?a,b?<π2典例(數(shù)量投影)(2023年年黃浦一模11)在邊長為1的正六邊形ABCDEF中,記以A為起點,其余頂點為盡頭的向量分離為a1.a2,a3,a4,a5,若ai與aj的夾角記為【解析】由ai?cosθij幾何意義,表示向量ai在向量a5=AF,結合圖像可知,ai?cosθij的最大值為方向上的投影,∴a3?cos8.2.2向量的數(shù)量積的定義與運算律8.2.2.1數(shù)量積的定義設a與b是兩個非零向量,定義a與b的數(shù)量積(scalarproduct)a?b=abcos?a,b?約定a?a簡記為a2,即為規(guī)定零向量與隨意向量的數(shù)量積為0.a?b的幾何意義:a?b等于其中一個向量a的模a與另一個向量b在向量a的方向上的數(shù)量投影b8.2.2.2數(shù)量積的運算律設a、b和c是向量,λ向量數(shù)量積的交換律:a?b向量數(shù)量積對數(shù)乘的結合律:λa?向量數(shù)量積對加法的分配律:a?b典例(數(shù)量積的運算)(2023年年黃浦一模12)已知正六邊形A1A2A3A4A5A6的邊長為2,點【解析】302+OPA+A3∴8.2.2.3向量數(shù)量積的變形公式與結論(1)cos?a（2）a⊥b當且僅當a（3）a?b≤ab典例(利用定義求數(shù)量積)1.邊長為2的正△ABC【答案】-2(注重夾角)2.如圖,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,∠BAC=60°,點D,E分離【答案】43.(2023年年上海卷理14)在銳角△ABC中,tanA=12,D為BC邊上的一點,△ABD與△ACD面積分離為2和4,過D作【答案】?【解析】由題可知,cos∠ESS△ABCDE?DE?典例(利用數(shù)量投影求數(shù)量積)1.如圖所示,圓M,N公共弦AB長為3,則2.(2023年年奉賢一模16)若正方體A1Ax∣x=AA.1B.2C.3D.4【答案】A3.菱形ABCD的邊長為2,∠A=60°,M為DC【答案】94.已知OA=1,OB=3,且OA,OB的夾角為150°,點C【答案】1當MC與OA同向時,OC在OA在△AOB∴AB=7∴∴5.已知A、B為平面上的兩個定點,且AB=2.該平面上的動線段PQ的端點P、Q,滿意AP≤【答案】608.2.3*極化恒等式在△ABC中,M為邊(1)AB?(2)AM?結論:在平行四邊形中,四條邊的平方和等于對角線的平方和.典例(利用極化恒等式求數(shù)量積)1.如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上兩個三等分點,【答案】7【解析】設B由極化恒等式得BA?B解之得x2=138,?2.正方形ABCD的邊長為4,O是正方形ABCD的中央,過中央O的直線l與邊AB交于點M,與邊CD交于點N,【解析】-7,設OQ=定理,可知點Q在直線BC上,P為OQ中點,P∵PO3.已知正方形ABCD邊長為，使PE?PF=λ【解析】?1,4.(2023年年普陀一模11)設P是邊長為22的正六邊形A1A2A3A4A5A6的邊上的【解析】取MN中點=PCPCmin即PM?8.3向量的坐標表示8.3.1向量基本定理8.3.1.1向量基本定理倘若e1與e2是平面上兩個不平行的向量,那么該平面上的隨意向量a,都可唯一地表示為e1與e2的線性組合,即存在唯一的一對實數(shù)λ與μ,使得給定平面上的一組向量,倘若平面上的隨意向量都可以唯一地表示成這組向量的線性組合,那么就稱這組向量是平面向量的一個基.那么向量基本定理還可以表述成:平面上隨意兩個不平行的向量都組成平面向量的一個基.典例(向量基本定理)1.(2023年年松江一模11)已知向量q,e2是平面α內(nèi)的一組基向量,O為α內(nèi)的定點,對于α內(nèi)隨意一點P,當OP=xe+ye2時,則稱有序?qū)崝?shù)對x,y為點①線段A、B的中點的廣義坐標為x②A、B兩點間的距離為x③向量OA平行于向量OB的充要條件是x④向量OA垂直于向量OB的充要條件是x其中的真命題是___.(請寫出所有真命題的序號)①③【解析】由題知OA=x1e1+y1e①若線段AB的中點為C,則OC則Cx1+x②由AB=AB=x1?x③若OA//OB?存在非零實數(shù)k,有O即x1?④若O=x1x2+y2y2+2.(2023年年普陀一模16)設θ是兩個非零向量a、b的夾角,若對隨意實數(shù)t1,則下列判斷準確的是()(A)若a決定,則θ唯一決定(B)若b決定,則θ唯一決定(C)若θ決定,則b唯一決定(D)若θ決定,則a唯一決定【答案】D8.3.1.2*三點共線的“爪型結論”(1)“爪”字型圖:在△ABC中,D是BBD:CD=m:n,則異常地,倘若AD是BC邊上的中線,則A（2）對任向來線AB外一點O,點P在直線AB上?存在實數(shù)λ,使O典例(爪型結論)1.在△ABC中,已知CD=2DB,P若△ABC的面積為3,∠A【解析】43?CP=mCA+49CC2?12.已知平面向量a、b、c滿意a=1,b=ca?λ【解析】如圖所示,OB=∴點A在以O為圓心,1為半徑的圓上.λb+1?λc表示OD(a即求AD的取值范圍.∵OODmin?OA≤∴a?λb?13.(2023年年青浦一模12)已知平面向量a、b、c滿意a=1,b=c=2,且b【解析】如圖所示,OB=∴點A在以O為圓心,1為半徑的圓上.λb+1?λc表示OD(a即求AD的取值范圍.∵OODmin?OA≤∴a?λb?18.3.1.3*等和線平面內(nèi)一組基OA,OB及任一向量若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上,則λ+μ=k(定值),反之也成立,我們把直線A①當?shù)群途€恰為直線AB時,k=②當?shù)群途€在點O和直線AB之間時,k∈③當直線AB在點O和等和線之間時,k∈④當?shù)群途€過點O時,k=0⑤若兩等和線關于點O對稱,則定值k互為相反數(shù);⑥定值k的絕對值大小與等和線到點O的距離成正比.典例（等和線）1.在平行四邊形ABCD中,E、F分離是CD、BC【答案】432.(1)給定兩個模長為1的向量OA和OB,他們的夾角為120°,點C在以O為圓心的圓弧AB上變動,若OC=xOA+【答案】2（2）如圖,扇形的半徑為1,圓心角∠BAC=120°,點PAP=xAB+【答案】23933.如圖所示,∠BAC=2π3,圓M與AAD=1,點P是圓M及其內(nèi)部隨意x,y∈R,則【答案】4【解析】如圖所示,當P點位于右圖位置時,x+y此時MA=當P位于線段MA與⊙M的交點時,可得最小值4.在平面直角坐標系中,O是坐標原點,若兩定點A,B滿意OA=OB【答案】165.(2023年年金山一模16)已知△ABC的外接圓圓心為O,∠A=120°(A)12(B)23(C)3【解析】法一:設AB=則AO?A??x+y=23+b3c法二:選D,由題意,OA=∴AO收拾得1?x∴平方得1?x即1?x∴1?x?y2即t?12≥t24,收拾得3t2?法三:如圖所示,由等和線知識:x+y=AOA8.3.2向量的正交分解與坐標表示把向量a寫成所在平面上兩個不平行向量e1與e2的線性組合的過程稱為a關于e1與e2的分解(decomposition)在e在平面直角坐標系中隨意一個向量a關于x軸與y軸正方向上的單位向量i與j的正交分解a=xi+yj稱為向量a在這個平面直角坐標系中的坐標分解(coordinatedecomposition),從而有序?qū)崝?shù)對x,y則稱為向量向量的這種表示法稱為它的坐標表示(coordinaterepresentation),可以直接用向量的坐標x,y作從原點O出發(fā)的向量OA=a,才干用A點坐標x,y表示向量a的坐標,把向量OA稱為8.3.3向量線性運算的坐標表示設x1,y1、x2,y2xλ對平面上隨意兩點Px1,y1與Qx設a=x,y,則典例（坐標法求向量的模）1.已知向量m=1,1,向量n與向量m的夾角為34π（1）求向量n；（2）若向量n與q=1,0的夾角為π2,向量p=cosA,2cos2C2,其中A、C【答案】(1)n=0,?1或n=?1【解析】(1)設n=x,y,由m?n又因為向量n與向量m的夾角為34π,所以x聯(lián)立①和②,解得:x=0y=?1或x=?1y（2）由n⊥q,知:n=0,?1,又因為從而A+C=2π3nn由0<A<2π3,得:π從而n+p所以n+p的取值范圍是22.(2023年年上海春考11)已知A1、A2、A3An=1,2,3【答案】6【解析】設A1A2=x欲求A1A5的最小值,則必有A1A2與A3A4如圖建系,設A10∴A1A52=?x22∴A1A5的最小值為3.(2023年年金山一模12)已知平面向量a、b滿意條件:a向量c=λa+μbλ,μ∈R【解析】主意一:如圖建系,a=cos∴c=λcosα,OD=∴DE∴由題意,D主意二:由α∈0,π2設cosβ=32λ?1cosαsin則c=518∴c的最小值為134.(2023年年黃浦一模11)已知平面向量a、b滿意a=5,b=1,a?b=3,向量c=【答案】?【解析】法一:在平面直角坐標系中,記b=1,0,a=3再記點B1,0,A3,4,D?3k,?4的距離2k+25法二:由c???20λ2+44k+??8.3.4向量數(shù)量積與夾角的坐標表示給定兩個坐標表示的向量a=x1,y1（1）它們的數(shù)量積a（2）夾角的余弦值cos（3）a⊥b的充要條件是x1x2+典例(向量的夾角)1.已知向量a=m?2,m+3,b=2m+【答案】若向量a與b的夾角為鈍角,則a?b<0,且a與b不共線,則m?2解得?43<m<5典例(利用坐標法求數(shù)量積)1.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點E為BC中點,點F在邊【答案】2以A為坐標原點,建系:B2,0,設Fx,y,由F在C再由AB?AF=2∴∴2.(2023年年上海春考10)在直角△ABC中,AC=BC=2,角C=π2,M為邊AC的中點.若P在邊AB【解析】主意一:如圖建系,Px,主意二:M3.如圖,在等腰梯形ABCD中,BC=3,∠C=45°,高為a,E為AD的中點,P為折線段C?有兩不等實根,則實數(shù)k的取值范圍是___.【答案】72,8.4向量的應用8.4.1證實不等式柯西-施瓦茲不等式(Cauchy-SchwarzInequality)已知x1、x2、y1、8.4.2定比分點公式定比分點公式已知P是直線P1P2上一點,且P1P=λPP2(λ為實數(shù),且λx2,y2.則點P的坐標x,y注:當λ=0時,點P與P1