2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用章末檢測(cè)課時(shí)作業(yè)含解析北師大版選修1-1

PAGE章末檢測(cè)(四)(時(shí)間90分鐘滿分100分)第Ⅰ卷(選擇題，共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若f(x)＝eq\f(lnx,x)，0<a<b<e，則有()A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b) D．f(a)·f(b)>1解析：∵f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)>0(0<x<e)，∴f(x)在(0，e)上是增加的．答案：C2．設(shè)a<b，函數(shù)y＝(x－a)2(x－b)的圖像可能是()解析：y′＝(x－a)(3x－2b－a)，由y′＝0，得x＝a或x＝eq\f(a＋2b,3)，∴當(dāng)x＝a時(shí)，y取極大值0，當(dāng)x＝eq\f(a＋2b,3)時(shí)，y取微小值且微小值為負(fù)．故選C.答案：C3．如圖是導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．(－1,3)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間B．(3,5)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)y＝f(x)在x＝0處取得極大值D．函數(shù)y＝f(x)在x＝5處取得微小值解析：由題圖，可知當(dāng)x<－1或3<x<5時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>5或－1<x<3時(shí)，f′(x)>0.故函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3,5)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,3)，(5，＋∞)，函數(shù)y＝f(x)在x＝－1，x＝5處取得微小值，在x＝3處取得極大值，故選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤．答案：C4．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A．150 B．200C．250 D．300解析：∵總利潤(rùn)P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,90090－100x－20000，x>390，))由P′(x)＝0，得x＝300，故選D.答案：D5．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)＋lnx，則有()A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)解析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))＋eq\f(1,x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以有f(2)<f(e)<f(3)．故選A.答案：A6．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－3x，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上取得最大值的點(diǎn)是()A．0 B．－2C．2 D．－eq\r(3)解析：∵f′(x)＝x2－3，令f′(x)＝0，得x＝±eq\r(3)，又f(－2)＝eq\f(10,3)，f(－eq\r(3))＝2eq\r(3)，f(eq\r(3))＝－2eq\r(3)，f(2)＝－eq\f(10,3).∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為2eq\r(3)，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為－eq\r(3).答案：D7．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有微小值點(diǎn)()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：由圖像看，在圖像與x軸的交點(diǎn)處左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0的點(diǎn)才滿意題意，這樣的點(diǎn)只有一個(gè)B點(diǎn)．答案：A8．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿意f(x)<－xf′(x)，則不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1,2) D．(2，＋∞)解析：令g(x)＝xf(x)，由f(x)<－xf′(x)，得[xf(x)]′<0，即g′(x)<0，∴函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴由f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，得(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，即g(x＋1)>g(x2－1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1<x2－1,x＋1>0,x2－1>0))，解得x>2.故選D.答案：D9．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x3－1)2＋1，下列結(jié)論中正確的是()A．x＝1是函數(shù)的微小值點(diǎn)，x＝0是極大值點(diǎn)B．x＝1及x＝0均是函數(shù)的極大值點(diǎn)C．x＝1及x＝0均是函數(shù)的微小值點(diǎn)D．x＝1是函數(shù)的微小值點(diǎn)，函數(shù)無極大值點(diǎn)解析：f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x－1)(x2＋x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.故x＝0不是極值點(diǎn)，x＝1是函數(shù)的微小值點(diǎn)．答案：D10．已知方程eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))))),x)＝k在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根a，b(a<b)，則下列結(jié)論正確的是()A．sina＝acosbB．sina＝－acosbC．cosa＝bsinbD．sinb＝－bsina解析：∵方程eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))))),x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根a，b，即方程eq\f(|sinx|,x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根a，b，∴函數(shù)y＝|sinx|的圖像和直線y＝kx在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像(如圖)，函數(shù)y＝|sinx|的圖像和直線y＝kx在(0，π)上有一個(gè)交點(diǎn)A(a，sina)，在(π，2π)上有一個(gè)切點(diǎn)B(b，－sinb)時(shí)滿意題意．當(dāng)x∈(π，2π)時(shí)，y＝f(x)＝|sinx|＝－sinx，則f′(x)＝－cosx，∴在點(diǎn)B處的切線為y＋sinb＝f′(b)(x－b)，將x＝0，y＝0代入方程，得sinb＝bcosb，∴eq\f(sinb,b)＝cosB．∵O，A，B三點(diǎn)共線，∴eq\f(sina,a)＝eq\f(－sinb,b)，∴eq\f(sina,a)＝－cosb，∴sina＝－acosB．選B.答案：B第Ⅱ卷(非選擇題，共60分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)11．函數(shù)y＝x3－9x，x∈(0,9)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．解析：由y′＝3x2－9>0，得x<－eq\r(3)或x>eq\r(3)，又x∈(0,9)．∴函數(shù)y＝x3－9x的單調(diào)遞增區(qū)間為(eq\r(3)，9)．答案：(eq\r(3)，9)12．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1處取得極值，則a＝________.解析：f′(x)＝eq\f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq\f(x2＋2x－a,x＋12)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝1處取得極值，則f′(1)＝eq\f(3－a,4)＝0，解得a＝3.答案：a＝313．若函數(shù)f(x)＝x3＋ax在區(qū)間[1,2]上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：f′(x)＝3x2＋a，令f′(x)≤0，即3x2＋a≤0，即a≤－3x2，又x∈[1,2]，故a≤－12.當(dāng)a＝－12時(shí)，明顯符合題意．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤－12.答案：(－∞，－12]14．隨著人們生活水平的提高，汽車的擁有量越來越多，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6點(diǎn)到9點(diǎn)，車輛通過某一路段的用時(shí)y(min)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似表示為y＝－eq\f(1,8)t3－eq\f(3,4)t2＋36t－eq\f(629,4)，則在上午6點(diǎn)到9點(diǎn)這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入該路段時(shí)，通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是__________．解析：由題意，知y′＝－eq\f(3,8)t2－eq\f(3,2)t＋36，令y′＝0，得3t2＋12t－36×8＝0，∴t1＝8，t2＝－12(舍去)．當(dāng)t∈(6,8)時(shí)，y′>0，當(dāng)t∈(8,9)時(shí)，y′<0，∴當(dāng)t＝8時(shí)，y取得最大值，∴通過該路段用時(shí)最多的時(shí)刻是上午8點(diǎn)．答案：上午8點(diǎn)三、解答題(本大題共4小題，共44分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(10分)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋b(x≠0)，其中a，b∈R.若曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(2，f(2))處的切線方程為y＝3x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式．解析：f′(x)＝1－eq\f(a,x2)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(2)＝3，所以a＝－8.由切點(diǎn)P(2，f(2))在直線y＝3x＋1上，得－2＋b＝7，解得b＝9.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x－eq\f(8,x)＋9.16．(10分)已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函數(shù)f(x)＝a·b在(－1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍．解析：由題意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，則f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，則在(－1,1)上f′(x)≥0.∵f′(x)的圖像是開口向下的拋物線，∴當(dāng)且僅當(dāng)f′(1)＝t－1≥0且f′(－1)＝t－5≥0時(shí)，f′(x)在(－1,1)上滿意f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．故t的取值范圍是[5，＋∞)．17．(12分)函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝x2－x－m.(1)若函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，求函數(shù)F(x)的極值；(2)若f(x)＋g(x)<x2－(x－2)ex在x∈(0,3)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：(1)F(x)＝lnx－x2＋x＋m，定義域?yàn)?0，＋∞)，∴F′(x)＝－eq\f(2x＋1x－1,x)，當(dāng)F′(x)>0時(shí)，0<x<1；當(dāng)F′(x)<0時(shí)，x>1；當(dāng)F′(x)＝0時(shí)，x＝1.當(dāng)x改變時(shí)，F(xiàn)′(x)，F(xiàn)(x)的改變狀況如下表：x(0,1)1(1，＋∞)F′(x)＋0－F(x)極大值故F(x)極大值＝F(1)＝m，沒有微小值．(2)∵f(x)＋g(x)<x2－(x－2)ex在x∈(0,3)上恒成立，∴m>(x－2)ex＋lnx－x在x∈(0,3)上恒成立．設(shè)h(x)＝(x－2)ex＋lnx－x，則h′(x)＝(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,x)))，當(dāng)x>1時(shí)，x－1>0，且ex>e，eq\f(1,x)<1，∴ex－eq\f(1,x)>0，∴h′(x)>0.當(dāng)0<x<1時(shí)，x－1<0，設(shè)u(x)＝ex－eq\f(1,x)(x>0)，則u′(x)＝ex＋eq\f(1,x2)>0，∴u(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)x→0時(shí)，eq\f(1,x)→＋∞，∴u(x)<0，當(dāng)x＝1時(shí)，u(x)＝e－1>0，∴存在x0∈(0,1)，使得u(x0)＝ex0－eq\f(1,x0)＝0，即ex0＝eq\f(1,x0).∴當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，u(x)<0；當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)，u(x)>0.∴當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h′(x)>0；當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)，h′(x)<0，即函數(shù)h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增．h(x0)＝(x0－2)ex0＋lnx0－x0＝(x0－2)·eq\f(1,x0)－2x0＝1－eq\f(2,x0)－2x0，∵x0∈(0,1)，∴－eq\f(2,x0)<－2，∴h(x0)＝1－eq\f(2,x0)－2x0<－1－2x0<－1，而h(3)＝e3＋ln3－3>0，∴當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，h(x)<h(3)，∴m≥h(3)，即m∈[e3＋ln3－3，＋∞)．18．(12分)甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得肯定凈收入，在乙方不賠付甲方的狀況下，乙方的年利潤(rùn)x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿意函數(shù)關(guān)系x＝2000eq\r(t)，若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必需賠付甲方S元(以下稱S為賠付價(jià)格)：(1)將乙方的利潤(rùn)W(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量；(2)甲方每年將受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y＝0.002t2(元)，在乙方根據(jù)獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格S是多少？解析：(1)因?yàn)橘r付價(jià)格為S元/噸，所以乙方的實(shí)際年利潤(rùn)：W＝2000eq\r(t)－St(t>0)，因?yàn)閃′＝eq\f(1000,\r(t))－S＝eq\f(1000－S\r(t),\r(t))，令W′＝0，得t0＝(eq\f(1000,S))2，當(dāng)t<t0時(shí)，W′>0，當(dāng)t>t0時(shí)，W′<0，所以當(dāng)t＝t0時(shí)，W取得最大值，因此，乙方取得最大年利