2024-2025學年高中數(shù)學第三章概率單元綜合檢測課時跟蹤訓練含解析新人教A版必修3

PAGE單元綜合檢測(三)時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．下列事務是隨機事務的是 ()①同種電荷，相互排斥；②明天是晴天；③自由下落的物體作勻速直線運動；④函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)在定義域上是增函數(shù)．A．①③ B．①④C．②④ D．③④解析：②④是隨機事務；①是必定事務；③是不行能事務．答案：C2．先后拋擲兩顆骰子，設出現(xiàn)的點數(shù)之和是12，11，10的概率依次是P1、P2、P3，則 ()A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1解析：先后拋擲兩顆骰子的點數(shù)共有36個基本領件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每個基本領件都是等可能發(fā)生的．而點數(shù)之和為12的只有1個：(6，6)；點數(shù)之和為11的有2個：(5，6)，(6，5)；點數(shù)之和為10的有3個：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3.答案：B3．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品至少有一件是次品”．則下列結論正確的是 ()A．A與C互斥 B．任何兩個均互斥C．B與C互斥 D．任何兩個均不互斥解析：三件產(chǎn)品至少有一件次品包含三件產(chǎn)品全是次品，所以B、C不互斥，而A與C對立且互斥．答案：A4．下列說法正確的是 ()A．由生物學知道生男生女的概率均約為eq\f(1,2)，一對夫婦生兩個孩子，則肯定為一男一女B．一次摸獎活動中，中獎概率為eq\f(1,5)，則摸5張票，肯定有一張中獎C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到的可能性大D．10張票中有1張有獎，10人去摸，無論誰先摸，摸到有獎票的概率都是eq\f(1,10)答案：D5．從一批羽毛球中任取一個，假如其質(zhì)量小于4.8g的概率是0.3，質(zhì)量不小于4.85g的概率是0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85)范圍內(nèi)的概率是 ()A．0.62 B．0.38C．0.70 D．0.68解析：記“取到質(zhì)量小于4.8g”為事務A，“取到質(zhì)量不小于4.85g”為事務B，“取到質(zhì)量在[4.8，4.85)范圍內(nèi)”為事務C.易知事務A，B，C互斥，且A∪B∪C為必定事務．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.答案：B6．從含有3個元素的集合的子集中任取一個，所取的子集是含有2個元素的集合的概率為 ()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,12)C.eq\f(45,64) D.eq\f(3,8)解析：設3個元素分別為a、b、c.全部子集共8個，含有兩個元素的子集共3個．答案：D7．在區(qū)間[0，2]上隨機地取一個數(shù)x，則事務“－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：不等式－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\s\do9(\f(1,2))2≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).答案：A8．一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個球同色的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：記2個紅球分別為a1，a2，2個白球分別為b1，b2，則基本領件空間為{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}，共16個基本領件．記事務A＝“取出的兩個球同色”＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，b1)，(b2，b2)}共8個基本領件．所以P(A)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).答案：A9．如圖的矩形長為5、寬為2，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計出陰影部分的面積為 ()A.eq\f(23,5) B.eq\f(23,50)C．10 D．不能估計解析：利用幾何概型的概率計算公式，得陰影部分的面積約為eq\f(138,300)×(5×2)＝eq\f(23,5).答案：A10．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么以eq\f(7,10)為概率的是 ()A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多有一件一等品解析：從5件產(chǎn)品中任取2件，共有10種可能結果，2件都是二等品的可能結果只有1種，2件都是一等品的可能結果有3種，一件一等品、一件二等品的可能結果有6種．答案：D11．在區(qū)間(0，1)內(nèi)任取一個數(shù)a，能使方程x2＋2ax＋eq\f(1,2)＝0有兩個相異實根的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2－\r(2),2)解析：方程有兩個相異實根的條件是Δ＝(2a)2－4×1×eq\f(1,2)＝4a2－2>0，解得|a|>eq\f(\r(2),2)，又a∈(0，1)，所以eq\f(\r(2),2)<a<1，區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))的長度為1－eq\f(\r(2),2)，而區(qū)間(0，1)的長度為1，所以方程有兩個相異實根的概率為eq\f(1－\f(\r(2),2),1)＝eq\f(2－\r(2),2).答案：D12．小莉與小明一起用A，B兩枚勻稱的小立方體(立方體的每個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6)玩嬉戲，以小莉擲的A立方體朝上的數(shù)字為x，小明擲的B立方體朝上的數(shù)字為y來確定點P(x，y)，那么他們各擲一次所確定的點P(x，y)落在已知拋物線y＝－x2＋4x上的概率為 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,18)解析：依據(jù)題意，兩人各擲骰子一次，每人都有六種可能性，則(x，y)的狀況有6×6＝36(種)，即P點有36種可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在拋物線上的點有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3個，因此滿意條件的概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).答案：C二、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分．)13．乘客在某電車站等待26路或16路電車，該站?？?6，22，26或31四路電車，假定各路電車?？康母怕室粯?，則乘客期盼26路或16路電車首先?？康母怕实扔赺_________．解析：由互斥、對立事務的概率公式可計算．答案：0.514．向邊長為a的正三角形內(nèi)投一點，點落在三角形內(nèi)切圓內(nèi)的概率是__________．解析：點落在三角形內(nèi)的每一處是一個基本領件，即基本領件總區(qū)域的面積為MΩ＝eq\f(\r(3),4)a2.設“點落在三角形的內(nèi)切圓內(nèi)”為事務A，則P(A)＝eq\f(Ma,MΩ)＝eq\f(\r(3),9)π.答案：eq\f(\r(3),9)π15．在區(qū)間(0，1)中隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于eq\f(6,5)的概率是__________．解析：設兩數(shù)為x、y，則有序實數(shù)對(x，y)滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x＜1，,0＜y＜1，,0＜x＋y＜\f(6,5)，))如下圖所示的陰影部分．由圖知，點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,5)))，AC＝BC＝eq\f(4,5)，∴S陰＝1－eq\f(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(17,25).∴P＝eq\f(S陰,S正)＝eq\f(17,25)，故填eq\f(17,25).答案：eq\f(17,25)16．有以下說法：①一年按365天計算，兩人生日相同的概率是eq\f(1,365)；②買彩票中獎的概率為0.001，那么買1000張彩票就肯定能中獎；③乒乓球賽前，確定誰先發(fā)球，抽簽方法是從1～10共10個數(shù)字中各抽取1個，再比較大小，這種抽簽方法是公允的；④昨天沒有下雨，則說明“昨天氣象局的天氣預報降水概率是90%”是錯誤的．依據(jù)我們所學的概率學問，其中說法正確的序號是__________．解析：依據(jù)“概率的意義”求解．答案：①③三、解答題：(共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)17．(10分)隨機地排列數(shù)字1，5，6，得到一個三位數(shù)，計算下列事務的概率．(1)所得的三位數(shù)大于400；(2)所得的三位數(shù)是偶數(shù)．解析：運用1，5，6三個數(shù)字可以排成156，165，516，561，615，651，共6個不同的三位數(shù)．(1)大于400的三位數(shù)的個數(shù)為4，所以P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)；(2)三位數(shù)為偶數(shù)的有156，516，共2個，所以相應的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).18．(12分)爸爸和亮亮用4張撲克牌(方塊2，黑桃4，黑桃5，梅花5)玩嬉戲，他倆將撲克牌洗勻后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回．(1)若爸爸恰好抽到了黑桃4.①請把下面這種狀況的樹狀圖繪制完整；②求亮亮抽出的牌的牌面數(shù)字比4大的概率．(2)爸爸、亮亮約定，若爸爸抽出的牌的牌面數(shù)字比亮亮的大，則爸爸勝；反之，則亮亮勝．你認為這個嬉戲是否公允？假如公允，請說明理由；假如不公允，更換一張撲克牌使嬉戲公允．解析：(1)①樹狀圖：②由①可知亮亮抽出的牌的牌面數(shù)字比4大的概率是eq\f(2,3).(2)不公允，理由如下：爸爸抽出的牌的牌面數(shù)字比亮亮的大有5種狀況，其余均為小于等于亮亮的牌面數(shù)字，所以爸爸勝的概率只有eq\f(5,12)，明顯對爸爸來說是不公允的．只需把黑桃5改成黑桃6即可使這個嬉戲公允(答案不唯一)．19．(12分)在圓O：x2＋y2＝1的某始終徑上隨機地取一點Q.試求過點Q且與該直徑垂直的弦的長度不超過1的概率．解析：如圖所示：記事務過點Q且與該直徑垂直的弦的長度超過1為A.設EF＝1則在Rt△OQE中，OE2＝OQ2＋QE2，1＝OQ2＋eq\f(1,4)，∴OQ＝eq\f(\r(3),2).由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).而過點Q且與該直徑垂直的弦的長度不超過1的概率為1－eq\f(\r(3),2).20．(12分)有7位歌手(1至7號)參與一場歌頌競賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票確定歌手名次．依據(jù)年齡將大眾評委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持狀況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委，其中從B組抽取了6人，請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率．解析：(1)由題設知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3位評委分別為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號歌手；從B組抽到的6位評委分別為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號歌手，從{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的全部結果如圖：由樹狀圖知全部結果共18種，其中2人都支持1號歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4種，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).21．(12分)(1)在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點，過該點作垂直于直徑的弦，其長度超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少？(2)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，以該點為中點作弦，問其長超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少？(3)在半徑為1的圓周上任取兩點，連成一條弦，其長超過該圓內(nèi)接正三角形邊長eq\r(3)的概率是多少？解析：(1)設事務A＝“弦長超過eq\r(3)”，弦長只與它跟圓心的距離有關，∵弦垂直于直徑，∴當且僅當它與圓心的距離小于eq\f(1,2)時才能滿意條件，由幾何概率公式知P(A)＝eq\f(1,2).(2)設事務B＝“弦長超過eq\r(3)”，弦被其中點惟一確定，當且僅當其中點在半徑為eq\f(1,2)的同心圓內(nèi)時，才能滿意條件，由幾何概率公式知P(B)＝eq\f(1,4).(3)設事務C＝“弦長超過eq\r(3)”，固定一點A于圓周上，以此點為頂點作內(nèi)接正三角形ABC，明顯只有當弦的另一端點D落