四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文（含解析）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分．）1．已知向量＝（1，4），＝（2，﹣m），⊥，則m＝（）A．8 B．﹣8 C． D．2．已知實數(shù)a，b滿意a＜b，則下列關(guān)系式肯定成立的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B．ln（b﹣a）＞0 C． D．2a＜2b3．下列說法正確的是（）A．直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體肯定是圓錐 B．用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分肯定是圓臺 C．正視圖和側(cè)視圖的高肯定是相等的，正視圖和俯視圖的長肯定是相等的 D．利用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖和原來正方形的面積之比是4．在△ABC中，點D在BC邊上，且，則（）A． B． C． D．5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝1，，，則b＝（）A．1 B．2 C． D．1或26．某圓柱的高為1，底面周長為8，其三視圖如圖．圓柱表面上的點P在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點Q在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從P到Q的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，b+c＝10，，則S△ABC＝（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a12＞0，a11+a12＜0，則滿意Sn＞0的最小正整數(shù)n的值為（）A．22 B．23 C．24 D．259．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了聞名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”“勢”即是高，“冪”即是面積，意思是：假如兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖所示，扇形的半徑為2，圓心角為，若扇形AOB繞直線OB旋轉(zhuǎn)一周，圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得幾何體與某不規(guī)則幾何體滿意“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A． B．2π C． D．10．設(shè)a＞0，b＞0，若a+b＝1，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．1111．已知A，B是球O的球面上兩點，，P為該球面上動點，若三棱錐O﹣PAB體積的最大值為，則球O的表面積為（）A．12π B．16π C．24π D．36π12．已知數(shù)列{an}滿意，Sn為{an}的前n項和，則S20＝（）A．300 B．320 C．340 D．360二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．求值：＝．14．已知平面對量，滿意，，且與的夾角為，則＝．15．在數(shù)列{an}中，a1＝2，＝（n≥2，n∈N*），則a9＝．16．已知ax2﹣2ax+1＞0對x∈R恒成立，則a的取值范圍是．三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+b+2，a∈R，b∈R．（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（1，2），求實數(shù)a，b的值；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上能成立，求實數(shù)a的取值范圍．18．已知向量，，若函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若θ為鈍角，且，求tanθ的值．19．已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC同時滿意下列4個條件中的三個：①，②a＝4，③，④．（1）指出這三個條件，并說明理由；（2）求邊長b和三角形的面積S△ABC．20．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an+1＝Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列的前n項和Tn．21．成都市為迎接2024年世界高校生運動會，需規(guī)劃馬路自行車競賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，依據(jù)自行車競賽的須要，需預(yù)留出AC，AD兩條服務(wù)車道（不考慮寬度），DC，CB，BA，AE，ED為賽道，∠ABC＝∠AED＝，∠BAC＝，BC＝2（km），CD＝4（km）．注：km為千米．（1）若cos∠CAD＝，求服務(wù)通道AD的長；（2）在（1）的條件下，求折線賽道AED的最長值（即AE+ED最大）．（結(jié)果保留根號）22．已知數(shù)列{an}滿意an+12＝an?an+2（n∈N*），且a1＝2，a4＝16．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn＝（2n﹣1）an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；（3）設(shè)cn＝，記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：Tn＜2．

參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分．）1．已知向量＝（1，4），＝（2，﹣m），⊥，則m＝（）A．8 B．﹣8 C． D．解：∵向量＝（1，4），＝（2，﹣m），⊥，∴＝1×2+4×（﹣m）＝0，求得m＝，故選：C．2．已知實數(shù)a，b滿意a＜b，則下列關(guān)系式肯定成立的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B．ln（b﹣a）＞0 C． D．2a＜2b解：A：當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣3時，滿意a＜b，但a2＞b2，∴A錯誤，B：當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣3時，滿意a＜b，但ln（b﹣a）＝0，∴B錯誤，C：當(dāng)a＝﹣4，b＝3時，滿意a＜b，但＜，∴C錯誤，D：∵y＝2x為增函數(shù)，a＜b，∴2a＜2b，∴D正確．故選：D．3．下列說法正確的是（）A．直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體肯定是圓錐 B．用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分肯定是圓臺 C．正視圖和側(cè)視圖的高肯定是相等的，正視圖和俯視圖的長肯定是相等的 D．利用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖和原來正方形的面積之比是解：對于A，直角三角形繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐的組合體，所以A錯誤；對于B，只有用一個平行于底面的平面截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分才是圓臺，所以B錯誤；對于C，依據(jù)三視圖畫法規(guī)則知，正視圖和側(cè)視圖的高相等，正視圖和俯視圖的長相等，所以C正確；對于D，用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖和原來正方形的面積之比是1：，所以D錯誤．故選：C．4．在△ABC中，點D在BC邊上，且，則（）A． B． C． D．解：如圖，＝\overrightarrow{BD}＝3\overrightarrow{DC}\overrightarrow{BD}＝\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}﹣\overrightarrow{AB}）\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}﹣\overrightarrow{AB}）\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，故選：B．5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝1，，，則b＝（）A．1 B．2 C． D．1或2解：因為a＝1，，，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得1＝b2+3﹣2×，整理可得：b2﹣3b+2＝0，解得b＝2，或1．故選：D．6．某圓柱的高為1，底面周長為8，其三視圖如圖．圓柱表面上的點P在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點Q在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從P到Q的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．1解：依據(jù)幾何體的三視圖：如圖所示：由于底面周長為8，得到：2πr＝8，解得：r＝，所以：點M到N在下地面上的射影的弧長為l＝＝2，所以：MN的最小值為|MN|＝＝．故選：B．7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，b+c＝10，，則S△ABC＝（）A． B． C． D．解：因為，b+c＝10，，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得40＝b2+c2﹣ab＝（b+c）2﹣3bc＝100﹣3bc，所以bc＝20，所以S△ABC＝bcsinA＝20×＝5．故選：A．8．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a12＞0，a11+a12＜0，則滿意Sn＞0的最小正整數(shù)n的值為（）A．22 B．23 C．24 D．25解：由等差數(shù)列{an}中a12＞0，a11+a12＜0可知a11＜0，∴依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)S22＝＝11（a11+a12）＜0，S23＝＝＝23a12＞0，由上面分析可知滿意Sn＞0的最小正整數(shù)n的值為23．故選：B．9．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了聞名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”“勢”即是高，“冪”即是面積，意思是：假如兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖所示，扇形的半徑為2，圓心角為，若扇形AOB繞直線OB旋轉(zhuǎn)一周，圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得幾何體與某不規(guī)則幾何體滿意“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A． B．2π C． D．解：因為扇形AOB繞直線OB旋轉(zhuǎn)一周，圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得幾何體是半球去掉一個圓錐體剩余部分，則該幾何體的體積為V＝?23﹣π?22?2＝．故選：C．10．設(shè)a＞0，b＞0，若a+b＝1，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1，∴＝（）（a+b）＝5+．當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即a＝，b＝時等號成立．故選：C．11．已知A，B是球O的球面上兩點，，P為該球面上動點，若三棱錐O﹣PAB體積的最大值為，則球O的表面積為（）A．12π B．16π C．24π D．36π解：如圖所示，當(dāng)點P位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣PAB的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VO﹣PAB＝VP﹣AOB＝＝，解得R＝2，則球O的表面積為4πR2＝16π，故選：B．12．已知數(shù)列{an}滿意，Sn為{an}的前n項和，則S20＝（）A．300 B．320 C．340 D．360解：因為，所以當(dāng)n為偶數(shù)時，有an+1+an＝3n+1，∴an+2﹣an+1＝3n+4，∴an+an+2＝6n+5，∴a2+a4＝6×2+5＝17；a6+a8＝6×6+5＝41，…，a18+a20＝6×18+5＝113，∴．當(dāng)n為奇數(shù)時，有an+1﹣an＝3n+1，∴an+2+an+1＝3n+4，∴an+2+an＝3，∴a1+a3＝3，a5+a7＝3，…，a17+a19＝3，∴a1+a3+?+a19＝5×3＝15，∴S20＝a1+a2+a3+?+a20＝（a1+a3+?+a19）+（a2+a4+?+a20）＝325+15＝340．故選：C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．求值：＝．解：＝tan（33°+27°）＝tan60°＝．故答案為：．14．已知平面對量，滿意，，且與的夾角為，則＝．解：平面對量，滿意，，且與的夾角為，則＝＝＝．故答案為：．15．在數(shù)列{an}中，a1＝2，＝（n≥2，n∈N*），則a9＝18．解：在數(shù)列{an}中，a1＝2，＝（n≥2，n∈N*），＝???×＝9＝，則a9＝9×2＝18．故答案為：18．16．已知ax2﹣2ax+1＞0對x∈R恒成立，則a的取值范圍是a∈[0，1）．解：當(dāng)a＝0時，ax2﹣2ax+1＞0為1＞0，恒成立；當(dāng)a≠0時，由ax2﹣2ax+1＞0對x∈R恒成立，得，解得0＜a＜1，綜上得0≤a＜1，所以a的取值范圍是[0，1）．故答案為：[0，1）．三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+b+2，a∈R，b∈R．（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（1，2），求實數(shù)a，b的值；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上能成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）因為f（x）＜0的解集為（1，2），所以1，2是方程x2﹣ax+b+2＝0的兩個根；所以a＝1+2＝3；b+2＝1×2＝2；解得a＝3，b＝0．（2）因為x2﹣ax+b+2≤b在x∈[1，3]上能成立；所以x2﹣ax+2≤0在x∈[1，3]上能成立；轉(zhuǎn)化為ax≥x2+2；即x∈[1，3]時，；因為（當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”），由于，所以a的取值范圍是．18．已知向量，，若函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若θ為鈍角，且，求tanθ的值．解：（1）∵＝，∴f（x）的最小正周期；令，∴，k∈Z，∴單調(diào)遞增區(qū)間為：，k∈Z．（2）∵，∴，∵，∴；；．19．已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC同時滿意下列4個條件中的三個：①，②a＝4，③，④．（1）指出這三個條件，并說明理由；（2）求邊長b和三角形的面積S△ABC．解：（1）該三角形同時滿意①②③，理由如下：若銳角△ABC同時滿意①④，∵，∴或（舍），又，∴，∴，這與△ABC為銳角三角形相沖突，故①④不能同時選，∴②③必選，若選②③④，∵a＜c，∴A＜C，∵，∴0＜，∴A+C＜，∴B＝π﹣（A+C）＞，與△ABC為銳角三角形相沖突，∴該三角形同時滿意①②③．（2）由余弦定理知，，化簡得b2﹣8b+16＝0，∴b＝4，∴．20．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an+1＝Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列的前n項和Tn．解：（1）∵an+1＝Sn，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣1，兩式相減得an+1＝2an（n≥2）．∴{an}為從其次項起先的等比數(shù)列，∵a2＝S1＝2，∴．（2）∵①當(dāng)n≥2時，＝＝．②當(dāng)n＝1時，T1＝1，滿意，綜上所述：．21．成都市為迎接2024年世界高校生運動會，需規(guī)劃馬路自行車競賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，依據(jù)自行車競賽的須要，需預(yù)留出AC，AD兩條服務(wù)車道（不考慮寬度），DC，CB，BA，AE，ED為賽道，∠ABC＝∠AED＝，∠BAC＝，BC＝2（km），CD＝4（km）．注：km為千米．（1）若cos∠CAD＝，求服務(wù)通道AD的長；（2）在（1）的條件下，求折線賽道AED的最長值（即AE+ED最大）．（結(jié)果保留根號）解：（1）在△ABC