人教版數(shù)學(xué)七年級下教案：第9章 不等式與不等式組

9.1不等式

9.1.1不等式及其解集

鮮翱醐

1.了解不等式的概念；

2.會用不等式表示簡單問題的數(shù)量關(guān)系；(重點)

3.理解不等式的解、解集及解不等式.(難點)

欲談i

一、情境導(dǎo)入

有一群猴子，一天結(jié)伴去摘桃子.分桃子時，如果每只猴子分3個，那么還剩下59個；

如果每只猴子分5個，那么最后一只猴子分得的桃子不夠5個.你知道有幾只猴子，幾個桃

子嗎？

二、合作探究

探究點一：不等式的概念

1例d下列各式中：①一3<0；②4x+3y>0；③x=3：@x1+xy+y2i⑤xW5：⑥x+2

>y+3.不等式的個數(shù)有()

A.5個B.4個C.3個D.1個

解析：③是等式，④是代數(shù)式，沒有不等關(guān)系，所以不是不等式.不等式有①②⑤⑥，

共4個.故選B.

方法總結(jié)：本題考查不等式的判定，一般用不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式.解

答此類題的關(guān)鍵是要識別常見不等號：>,V,W,》，W.如果式子中沒有這些不等號，

就不是不等式.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第1題

探究點二：列簡單不等式

raa根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系，列出不等式：

(l)x與2的和是負數(shù)；

(2>與1的相反數(shù)的和是非負數(shù)；

(3).與一2的差不大于它的3倍；

(4)a,b兩數(shù)的平方和不小于它們的積的兩倍.

解析：(1)負數(shù)即小于0:(2)非負數(shù)即大于或等于0;(3)不大于就是小于或等于；(4)不

小于就是大于或等于.

解：(l)x+2<0;

⑵機一120;

(3)a+2W3“；

(4)〃2+/>222成

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第6題

探究點三：不等式的解與解集

［類型一］對不等式解的理解

砸1下列不是不等式5x-3<6的一個解的是()

A.1B.2C.-1D.-2

解析：分別把四個選項中的值代人不等式，能使不等式成立的數(shù)分別為5X1—3=2<6,

5X(-1)-3=—8<6,5X(—2)—3=-13<6,而5X2—3=7>6不能使不等式成立，故選B.

方法總結(jié)：判斷某個數(shù)值是否為不等式的解的方法：可直接將數(shù)值代入不等式的左右兩

邊看不等式是否成立.如果成立，則是不等式的解；反之，則不是.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第1題

［類型二］對不等式解集的理解

網(wǎng)11下列說法中，正確的是()

A.x=2是不等式x+3<4的解

B.x=3是不等式3x<7的解

C.不等式3x<7的解集是x=2

D.x=3是不等式3x>8的解

解析：A不正確，因為當(dāng)x=2時，x+3<4不成立；B不正確，因為不等式3x<7的解

7

集是xq,當(dāng)x=3時，不等式3x<7不成立；C不正確，因為不等式3x<7有無數(shù)多個解，

而x=2只是其中一個解，因此只能說x=2是3x<7的解，而不能說不等式3x<7的解集是尤

=2：D正確，因為當(dāng)x=3時，不等式3x>8成立.故選D.

方法總結(jié)：不等式的解可以有無數(shù)個，一般是某個范圍內(nèi)的所有數(shù).未知數(shù)取解集中任

何一個值時，不等式都成立；未知數(shù)取解集外任何一個值時，不等式都不成立.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

三、板書設(shè)計

1.不等式的概念

2.用不等式表示數(shù)量關(guān)系

3.不等式的解、解集

皺暮信思

本節(jié)課通過實際問題引入不等式，并用不等式表示數(shù)量關(guān)系.要注意常用的關(guān)鍵詞的含

義：負數(shù)、非負數(shù)、正數(shù)、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超過等，這些關(guān)鍵詞中

如果含有“不”“非”等文字，一般應(yīng)包括“="，這也是學(xué)生容易出錯的地方

9.1.1不等式及其解集

【教學(xué)目標(biāo)】

1、感受生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式和一元一次不等式的意義，通過解決

簡單的實際問題，使學(xué)生自發(fā)地尋找不等式的解，會把不等式的解集正確地表示到數(shù)

軸上；

2、經(jīng)歷由具體實例建立不等模型的過程，經(jīng)歷探究不等式解與解集的不同意義的過程，

滲透數(shù)形結(jié)合思想；

3、通過對不等式、不等式解與解集的探究，引導(dǎo)學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上積極參與對數(shù)

學(xué)問題的討論，培養(yǎng)他們的合作交流意識；讓學(xué)生充分體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，并

能將它們應(yīng)用到生活的各個領(lǐng)域。

【教學(xué)重點與難點】

1.難點：正確理解不等式、不等式解與解集的意義，把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸

上。

2.建立方程解決實際問題，會解"ax+b=cx+d”類型的一元一次方程

【教學(xué)過程】

—>提出問題

1、兩個體重相同的孩子正在蹺蹺板上做游戲.現(xiàn)在換了一個小胖子上去，蹺蹺板發(fā)生

了傾斜，游戲無法繼續(xù)進行下去了.這是什么原因呢？

2、一輛勻速行駛的汽車在11：20時距離A地50千米。要在12：00以前駛過A地，車

速應(yīng)該具備什么條件？若設(shè)車速為每小時x千米，能用一個式子表示嗎？

二、探究新知

(一)不等式、一元一次不等式的概念

1、在學(xué)生充分發(fā)表自己意見的基礎(chǔ)上，師生共同歸納得出：用“V”或“〉”表示大小關(guān)

系的式子叫做不等式；用“并”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。

2、下列式子中哪些是不等式？

(1)a+b=b+a(2)-3>-5(3)xWl

(4)x+3>6(5)2m<n(6)2x-3

上述不等式中，有些不含未知數(shù)，有些含有未知數(shù).我們把那些類似于一元一次方程，

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式.

3、小組交流：說說生活中的不等關(guān)系.

分組活動.先獨立思考，然后小組內(nèi)互相交流并做記錄，最后各組選派代表發(fā)言，在此

基礎(chǔ)上引出不等號和補充說明：用和“W”表示不等關(guān)系的式子也是

不等式.

(-)不等式的解、不等式的解集

問題1.要使汽車在12：00以前駛過A地，你認為車速應(yīng)該為多少呢？

問題2.車速可以是每小時85千米嗎？每小時82千米呢？每小時75.1千米呢？每小

時74千米呢？

問題3.我們曾經(jīng)學(xué)過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”，我們也可以把

使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.剛才同學(xué)們所說的這些數(shù)，哪些

是不等式2*x>50的解？

3

2

問題4.數(shù)中哪些是不等式一X>50的解：

3

76,73,79,80,74.9,75.1,90,60

你能找出這個不等式其他的解嗎？它到底有多少個解？你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

22

討論后得出：當(dāng)x>75時，不等式一尤>50成立；當(dāng)x<75或x=75時，，不等式一x>

33

2

50不成立。這就是說，任何一個大于75的數(shù)都是不等式>50的解，這樣的解有

3

2

無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式>50成立的“x”的取值范圍。我們把它

3

2

叫做不等式一X>50的解的集合，簡稱解集.這個解集還可以用數(shù)軸來表示(教師示

3

范表示方法).回到前面的問題，要使汽車在12：00以前駛過A地，車速必須大于每小

時75千米。

一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集.求不等式

的解集的過程叫做解不等式.

三、鞏固新知

1、下列哪些是不等式x+3〉6的解？哪些不是？

-4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12

2、直接想出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來：

(1)x+3>6(2)2x<8(3)x-2>0

四、拓廣探索

對于問題1還有不同的未知數(shù)的設(shè)法嗎？

學(xué)生思考回答：若設(shè)去年購買計算機x臺，得方程

Y

—+x+2x=140

2

若設(shè)今年購買計算機X臺，得方程

XX.“八

—+-+x=140

42

五、解決問題

某開山工程正在進行爆破作業(yè).已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.8厘米，人跑開的

速度是每秒4米.為了使放炮的工人在爆炸時能跑到100米以外的安全地帶，導(dǎo)火索的長

度應(yīng)超過多少厘米？

六、總結(jié)歸納

1、不等式與一元一次不等式的概念；

2、不等式的解與不等式的解集；

3、不等式的解集在數(shù)軸上的表示.

七、布置作業(yè)

1、用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系：

(1)a比1大；

(2)x與一3的差是正數(shù)；

(3)x的4倍與5的和是負數(shù)

2、在一4,—2,—1,0,1,3中，找出使不等式成立的x值：

(1)x+5>3,(2)3x<5

3、在數(shù)軸上表示下列不等式的解集：

(1)x<2,(2)x>-3

4、不等式x<5有多少個解？有多少個正整數(shù)解？

9.1.2不等式的性質(zhì)

第1課時不等式的性質(zhì)

1.理解并掌握不等式的性質(zhì)；(重點)

2.會利用不等式的性質(zhì)解簡單不等式.(重點、難點)

一、情境導(dǎo)入

小剛的爸爸今年32歲，小剛今年9歲，小剛說：“再過24年，我就比爸爸年齡大了.”

小剛的說法對嗎？為什么？

.我9歲：、

再過24年.

二、合作探究

探究點一：不等式的性質(zhì)

［類型—］比較代數(shù)式的大小

硒1已知一xV—y,用或“>”填空：

(1)—2%-2y；

(2)2x2y；

(3)|x|y.

解析：(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)2,不等式兩邊同乘以2,不等號方向不變，故填<;(2)

根據(jù)不等式的性質(zhì)3,不等式兩邊同乘以一2,不等號方向改變，故填>：(3)根據(jù)不等式的

2

性質(zhì)3,不等式兩邊同乘以一可，不等號方向改變，故填>.

方法總結(jié)：利用不等式的性質(zhì)2、3把不等式進行變形時，首先必須弄清兩邊同時乘(或

除以)的數(shù)的符號，如果這個數(shù)是正數(shù)，不等號的方向不變；如果是負數(shù)，不等號的方向改

變.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第1題

［類型二］判斷變形是否正確

儂根據(jù)不等式的性質(zhì)，下列變形正確的是()

A.由“泌得“<?>岳2

B.由cic2>b(r得a>b

C.由一呼>2得”<2

D.由2r+l>x得》<一1

解析：A中c=0時，a(?"=b<?',故A錯誤：B中不等式的兩邊都乘(或除以)同一

個正數(shù)，不等號的符號不改變，故B正確；C中不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，

不等號的方向改變，右邊也應(yīng)乘以一2,故C錯誤；D中不等式的兩邊都加或減同一個整式，

不等號的方向不變，故D錯誤.故選B.

方法總結(jié)：本題考查了不等式的性質(zhì)，注意不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不

等號的方向改變.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第3題

［類型三］根據(jù)不等式的變形確定字母的取值范圍

如果不等式（〃+l）x〈a+1可變形為x>1,那么a必須滿足.

解析：根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷a+1為負數(shù)，即“+1V0,可得“〈一1.

方法總結(jié)：只有當(dāng)不等式的兩邊都乘（或除以）一個負數(shù)時，不等號的方向才改變.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

探究點二：利用不等式的性質(zhì)解簡單的不等式

硒1利用不等式的性質(zhì)解下列不等式：

（l）2x—2<0；

（2）3L9<6X；

13

（3）2-*-2>2^~5.

解析：根據(jù)不等式的性質(zhì)，把含未知數(shù)的項放到不等式的左邊，常數(shù)項放到不等式的右

邊，然后把系數(shù)化為1.

解：（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)1,兩邊都加上2得版<2.根據(jù)不等式的性質(zhì)2,兩邊除以2

得K1;

（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)1,兩邊都加上9—6x得一3x<9.根據(jù)不等式的性質(zhì)3,兩邊都除以

—3得x>一3；

3

（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)1,兩邊都加上2—本得一4—3.根據(jù)不等式的性質(zhì)3,兩邊都除

以一1得x<3.

方法總結(jié)：運用不等式的性質(zhì)進行變形時，可以先在不等式兩邊同時加上一個適當(dāng)?shù)拇?/p>

數(shù)式，使含未知數(shù)的項在不等式的左邊，常數(shù)項在不等式的右邊，然后把未知數(shù)的系數(shù)化為

1.要注意的是：如果兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；如果兩邊都乘（或除

以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第7題

三、板書設(shè)計

不等式的性質(zhì)1：如果那么a土c>任c.

不等式的性質(zhì)2：如果c>0,那么ac>bc（或￡>§）.

不等式的性質(zhì)3：如果c<0,那么（或

欲裳康恩

在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時，可與等式的性質(zhì)進行類比學(xué)習(xí).在課堂中，讓學(xué)生大膽質(zhì)疑，

同時通過易錯例題加深學(xué)生對不等式的性質(zhì)3的理解和認識.通過學(xué)習(xí)，還需要學(xué)生能獨立

把不等式的三條性質(zhì)用數(shù)學(xué)符號表示出來

第1課時不等式的性質(zhì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1、經(jīng)歷通過類比、猜測、驗證發(fā)現(xiàn)不等式性質(zhì)的探索過程，掌握不等式的性質(zhì)；

2、初步體會不等式與等式的異同；

3、通過創(chuàng)設(shè)問題情境和實驗探究活動，積極引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

趣，增進學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，體會在解決問題的過程中與他人交流合作的重要性.

【教學(xué)重點與難點】

3.難點：正確運用不等式的性質(zhì)。

4.重點：理解并掌握不等式的性質(zhì)。

【教學(xué)過程】

—■、提出問題

教師出示天平，并請學(xué)生仔細觀察老師的操作過程，回答下列問題：

1、天平被調(diào)整到什么狀態(tài)？

2、給不平衡的天平兩邊同時加入相同質(zhì)量的祛碼，天平會有什么變化？

3、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質(zhì)量的磋碼，天平會有什么變化？

4、如果對不平衡的天平兩邊祛碼的質(zhì)量同時擴大相同的倍數(shù)，天平會平衡嗎？縮小相

同的倍數(shù)呢？

二、探究新知

1、用或填空.

(1)-1<3-1+2_3+2-1-3_3-3

(2)5>35+a_3+a5~a_3-a

(3)6>26X52X56X(-5)2X(-5)

(4)-2<3(-2)X6_3X6

(-2)X(-6)_3X(—6)

(5)-4>-6(-4)+2(-6)4-2

(-4)十(-2)(-6)(-2)

2、從以上練習(xí)中，你發(fā)現(xiàn)了什么？請你再用幾個例子試一試，還有類似的結(jié)論嗎？請把你

的發(fā)現(xiàn)告訴同學(xué)們并與他們交流.

3、讓學(xué)生充分發(fā)表“發(fā)現(xiàn)”，師生共同歸納得出：

不等式性質(zhì)1：不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變.

不等式性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

不等式性質(zhì)3：不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

4、你能說出不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)的相同之處與不同之處嗎？

5、下列哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？

-4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12

6、直接想出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來：

(1)x+3>6(2)2x<8(3)x-2>0

三、鞏固新知

1、判斷

(1)Va<ba-b<b-b

(2)：a.<b—<—

33

(3)Va<b-2a<一2b

(4)V-2a>0a>0

(5)V-a<0a<3

2、填空

(1),/2a>3a，a是數(shù)

(2)V-<-二a是數(shù)

32

(3)；ax<a且x>1a是數(shù)

3、根據(jù)下列已知條件，說出a與標(biāo)不等關(guān)系，并說明是根據(jù)不等式哪一條性質(zhì)。

(1)a—3>b—3(2)—<—

33

(3)-4a>-4b

四、總結(jié)歸納

1、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的不同之處；

2、在運用“不等式性質(zhì)3”時應(yīng)注意的問題.

五、布置作業(yè)

第2課時含的不等式

暮竊圜痂

1.理解“w”的含義，并掌握它們與的區(qū)別；(重點)

2.掌握不等式的解集如何在數(shù)軸上表示.(重點)

一、情境導(dǎo)入

如圖所示是一條公路上的交通標(biāo)志圖案，它們有著不同的意義，你知道圖中的80所表

示的含義嗎？試著用不等式表示出來.

二、合作探究

探究點一：認識含“W”或的不等式

硒1下列根據(jù)語句列出的不等式錯誤的是()

A.“x的3倍與1的和是正數(shù)”，表示為3x+l>0

B.“加的士與〃的抽差是非負數(shù)"，表示為'-；心0

C."x與y的和不大于“的；”，表示x+y當(dāng)

D.“以〃兩數(shù)的和的3倍不小于這兩數(shù)的積”，表示為3a+b力ab

解析：根據(jù)題意，找出關(guān)鍵詞語“正數(shù)”“非負數(shù)”“不大于”“不小于”列出不等式

即可.A.“x的3倍與1的和是正數(shù)”，表示為3x+l>0,正確；B.am的1與n的：的差是

非負數(shù)”，表示為，一;〃20,正確；C."x與y的和不大于〃的g",表示為x+yW%,正

確；D.“a、h兩數(shù)的和的3倍不小于這兩數(shù)的積”，表示為錯誤，應(yīng)表示為3(“

十份》H.故選D.

方法總結(jié)：此題主要考查了由實際問題列出不等式，關(guān)鍵是抓住題目中的關(guān)鍵詞，如大

于(小于)、不超過(不低于)、是正數(shù)(負數(shù))、至少、最多等等，正確選擇不等號.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第3題

崛小明借到一本有72頁的圖書，要在10天之內(nèi)讀完，開始2天每天只讀5頁，那

么以后幾天里每天至少要讀多少頁？設(shè)以后幾天里每天要讀x頁，所列不等式為()

A.10+8x272B.2+10x272

C.10+8x^72D.2+10x<72

解析：設(shè)以后每天讀x頁，根據(jù)小明借到一本有72頁的圖書，要在10天之內(nèi)讀完，開

始2天每天只讀5頁，可列出不等式2X5+(10-2)x272,整理得出10+8x272.故選A.

方法總結(jié)：本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，關(guān)鍵設(shè)出每天讀多少頁，以

總頁數(shù)作為等量關(guān)系列方程.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第2題

探究點二：在數(shù)軸上表示不等式的解集

MB根據(jù)不等式的性質(zhì)，解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：

(l)2x+525x—4；

(2)4—3xW4x—3

(3)-亨

解析：先根據(jù)不等式的性質(zhì)1,可以對不等式進行變形，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)2或3,

可把不等式化為“x>/'“x<a”或“xWa”的形式.

解：(1)不等式兩邊同時減5x,得一3x+5》-4.不等式兩邊同時減5,得一3xN-9.不等

式兩邊同時除以一3,得xW3.

在數(shù)軸上表示x的取值范圍如圖所示.

~~1,

03

(2)不等式兩邊同時加一4x—4,得一7xW—7.不等式兩邊同時除以一7,得x2l.在數(shù)軸

上表示x的取值范圍如圖所示.

0I

(3)運用不等式的性質(zhì)2,兩邊同時乘6,得一4x+6Z3x-3.不等式兩邊同時加一3x-6,

得一7》》一9.兩邊同時除以一7,得xW*9

在數(shù)軸上表示x的取值范圍如圖所示.

09.

7

方法總結(jié)：用數(shù)軸表示不等式的解集的方法：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示

出來，在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意兩個“確定”：一是確定“邊界點”，二是確

定“方向（1）確定“邊界點”：若邊界點是不等式的解，則用實心圓點，若邊界點不是不

等式的解，則用空心圓圈；（2）確定"方向"：對邊界點a而言，x>a或向右畫，x<a

或xW。向左畫.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第5題

三、板書設(shè)計

1.含“W”的不等式

含等號用實心圓點

在數(shù)軸上表示

2不等式的解集不含等號用空心圓圈

小于向左，大于向右

利用數(shù)軸表示不等式的解集，能讓學(xué)生直觀形象地了解不等式的解集的特征：不等式的

解集中包括無限個解.由于數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大，所以大于向

右畫線，小于向左畫線.教學(xué)時要特別注意解集的四種情況在數(shù)軸上表示的區(qū)別，這也是本

節(jié)課中學(xué)生容易出錯的地方

第2課時含的不等式

【教學(xué)目標(biāo)】

1、會根據(jù)“不等式性質(zhì)1"解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示其解集；

2、學(xué)會運用類比思想來解不等式，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和歸納的能力；

3、在積極參與數(shù)學(xué)活動的過程中，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、勇于發(fā)言與合作交流的意識和實

事求是的態(tài)度以及獨立思考的習(xí)慣.

【教學(xué)重點與難點】

5.難點：根據(jù)“不等式性質(zhì)1”正確地解一元一次不等式。

6.重點：根據(jù)“不等式性質(zhì)1”正確地解一元一次不等式。

【教學(xué)過程】

一、提出問題

小希就讀的學(xué)校上午第一節(jié)課上課時間是8點開始.小希家距學(xué)校有2千米，而他的

步行速度為每小時10千米.那么，小希上午幾點從家里出發(fā)才能保證不遲到？

1、若設(shè)小希上午x點從家里出發(fā)才能不遲到，則x應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

2、你會解這個不等式嗎？請說說解的過程.

3、你能把這個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來嗎？

二、探究新知

1、分組探討：對上述三個問題，你是如何考慮的？先獨立思考然后組內(nèi)交流，作出記

錄，最后各組派代表發(fā)主。

2、在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，師生共同歸納得出：

（1）x應(yīng)滿足的關(guān)系是：xH—W8

5

(2)根據(jù)“不等式性質(zhì)1”，在不等式的兩邊減去!，得：x+---<8--,即x

5555

(3)這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下:

°4

我們在表示724的點上畫實心圓點，意思是取值范圍包括這個數(shù)。

5

3、例題

解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：

(1)3x<2x+l(2)3-5x>4-6x

師生共同探討后得出：上述求解過程相當(dāng)于由3x<

2x+l,得3x-2x〈l；由3—5x24—6x,得一5x+6x24-3.這類似于解方程中的“移項可

見，解不等式也可以“移項”，即把不等式一邊的某項變號后移到另一邊，而不改變不等號

的方向.

最后由教師完整地板書解題過程.

三、鞏固新知

1、解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：

(1)x+5>-l(2)4x<3x-5(3)8x-2<7x+3

2、用不等式表示下列語句并寫出解集：

(1)x與3的和不小于6；

(2)y與1的差不大于0.

四、解決問題

1、某容器呈長方體形狀，長5cm,寬3cm,高10cm.容器內(nèi)原有水的高度為3cm。現(xiàn)

準(zhǔn)備繼續(xù)向它注水.用Vcm,示新注入水的體積，寫出V的取值范圍。

2、三角形任意兩邊之差與第三邊有著怎樣的大小關(guān)系？

五、總結(jié)歸納

1、通過學(xué)習(xí)，我們學(xué)會了簡單的一元一次不等式的解法。

2、還明臼了生活中的許多實際問題都是可以用不等式的知識去解決的。

六、布置作業(yè)

9.2元一次不等式

第1課時元一次不等式的解法

卷翱圖嬴

1.理解一元一次不等式的概念；（重點）

2.掌握一元一次不等式的解法.（重點、難點）

一、情境導(dǎo)入

1.什么叫一元一次方程？

2.解一元一次方程的一般步驟是什么？要注意什么？

3.如果把一元一次方程中的等號改為不等號，怎樣求解？

二、合作探究

探究點一：一元一次不等式的概念

［類型一］一元一次不等式的識別

硒|下列不等式中，是一元一次不等式的是（）

A.5x-2>0B.—3V2+：

C.6x-3yW-2D./+1>2

解析：選項A是一元一次不等式，選項B中含未知數(shù)的項不是整式，選項C中含有兩

個未知數(shù)，選項D中未知數(shù)的次數(shù)是2,故選項B,C,D都不是一元一次不等式.故選A.

方法總結(jié):如果一個不等式是一元一次不等式，必須滿足三個條件:①含有一個未知數(shù)；

②未知數(shù)的最高次數(shù)為1;③不等式的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第1題

［類型二］根據(jù)一元一次不等式的概念確定字母的取值范圍

傍胸己知一手"-|+5>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則a的值是.

解析：由一/2ar+5>0是關(guān)于x的一元一次不等式得2“一1=1,則。=1.故答案為1.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第2題

探究點二：解一元一次不等式

［類型一］解一元一次不等式及在數(shù)軸上表示不等式的解集

砸1解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來:

x+12x-l9x+2

Wl.

(l)2x—3<2*6

解析：先去分母，再去括號、移項、合并同類項，系數(shù)化為1,求出不等式的解集，然

后在數(shù)軸上表示出來即可.

解：⑴去分母，得3(解-3)Vx+l,

去括號，得6x—9(x+l,

移項，合并同類項，得5x<10,

系數(shù)化為1,得x<2.

不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

-4-3-2-101234

(2)去分母，得2(2v-l)-(9x+2)W6,

去括號，得4x—2—9犬—2《6,

移項，得4x-9xW6+2+2,

合并同類項，得一5xW10,

系數(shù)化為1,得x2一2.

不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

_4-3-2-101234

方法總結(jié)：在數(shù)軸上表示不等式的解集時，一要把點找準(zhǔn)確，二要找準(zhǔn)方向，三要區(qū)別

實心圓點與空心圓圈.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第8題

［類型二］根據(jù)不等式的解集求待定系數(shù)

砸I已知不等式X+8>4X+,〃(〃2是常數(shù))的解集是x<3,求〃?的值.

解析：先解不等式x+8>4x+m,再列方程求解.

解：因為x+8>4x+/?,所以x—4x>w—8,所以一3x>，〃-8,所以8).

因為其解集為x<3,

所以一g(機-8)=3,解得機=-I.

方法總結(jié)：已知解集求字母系數(shù)的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯

一性列方程求字母的值.解題過程體現(xiàn)了方程思想.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

［類型三］求不等式的特殊解

麗y為何值時，代數(shù)式^的值不大于代數(shù)式(一導(dǎo)的值？并求出滿足條件的最

大整數(shù).

解析：根據(jù)題意列出不等式空於忘1一?，再求出解集，然后找出符合條件的最大整

0(53

數(shù).

解：依題意，得安3^^一寧，

去分母，得4(5y+4)<21—8(1—y),

去括號，得20)，+16W21—8+8y,

移項，得20y—8yW21—8—16,

合并同類項，得12yW—3,

把y的系數(shù)化為1，得y<一/

yW一；在數(shù)軸上表示如下：

-4-3-2-l_101234

由圖可知，滿足條件的最大整數(shù)是一1.

方法總結(jié)：求不等式的特殊解，先要準(zhǔn)確求出不等式的解集，然后確定特殊解.在確定

特殊解時，一定要注意是否包括端點的值，一般可以結(jié)合數(shù)軸，形象直觀，一目了然.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第8題

［類型四］一元一次不等式與二元一次方程組的綜合

____［x—y=3,

硒已知關(guān)于x、y的方程組［i+y=6”的解滿足不等式x+><3,求實數(shù)。的取值范

圍.

解析：先解方程組，求得x、y的值，再根據(jù)x+yV3解不等式即可.

X=2Q+1?

解:解方程組得

y=2a—2.

9：x+y<3,???2。+1+2。-2V3,

??.4aV4,

方法總結(jié)：已知方程組，可先求出方程組的解，再把方程組的解代入不等式，求出字母

系數(shù)的取值范圍.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第10題

三、板書設(shè)計

1.一元一次不等式的概念

2.解一元一次不等式的基本步驟：

去分母

去括號

移項

合并同類項

系數(shù)化為1

煞暮信恩

本節(jié)課通過類比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，讓學(xué)生感受到解一元

一次不等式與解一元一次方程只是在兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)這一步時有所不同.如果這個

系數(shù)是正數(shù)，不等號的方向不變；如果這個系數(shù)是負數(shù)，不等號的方向改變.這也是這節(jié)課

學(xué)生容易出錯的地方.教學(xué)時要大膽放手，不要怕學(xué)生出錯，要通過學(xué)生犯的錯誤引起學(xué)生

注意，理解產(chǎn)生錯誤的原因，以便在以后的學(xué)習(xí)中避免出錯

第1課時一元一次不等式的解法

【教學(xué)目標(biāo)】

1、會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，會用一元一次不等式解決實際問題；

2、通過觀察、實踐、討論等活動，經(jīng)歷從實際中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，積累利用一元

一次不等式解決實際問題的經(jīng)驗,滲透分類討論思想,感知方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系；

3、在積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程中，初步認識一元一次不等式的應(yīng)用價值，形成實事

求是的態(tài)度和獨立思考的習(xí)慣。

【教學(xué)重點與難點】

1、難點：弄清列不等式解決實際問題的思想方法，用去括號法解一元一次不等式。

2、重點：尋找實際問題中的不等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。

一、提出問題

某學(xué)校計劃購實若干臺電腦，現(xiàn)從兩家商店了解到同一型號的電腦每臺報價均為

6000元，并且多買都有一定的優(yōu)惠.甲商場的優(yōu)惠條件是：第一臺按原報價收款，其余

每臺優(yōu)惠25%；乙商場的優(yōu)惠條件是：每臺優(yōu)惠20%.如果你是校長，你該怎么考慮，

如何選擇？

二、探究新知

1、分組活動.先獨立思考，理解題意.再組內(nèi)交流，發(fā)表自己的觀點.最后小組匯報，

派代表論述理由.

2、在學(xué)生充分發(fā)表意見的基礎(chǔ)上，師生共同歸納出以下三種采購方案：

(D什么情況下，到甲商場購買更優(yōu)惠？

(2)什么情況下，到乙商場購買更優(yōu)惠？

(3)什么情況下，兩個商場收費相同？

3、我們先來考慮方案：

設(shè)購買x臺電腦，如果到甲商場購買更優(yōu)惠.

問題1：如何列不等式？

問題2：如何解這個不等式？

在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，教師歸納并板書如下：解：設(shè)購買x臺電腦，如果到甲商場

購買更優(yōu)惠，則6000+6000(1-25%)(x-1)<6000(1-20%)x

去括號，得：6000+4500x-45004<4800x

移項且合并，得：-300x<1500

不等式兩邊同除以一300,得：x<5

答：購買5臺以上電腦時，甲商場更優(yōu)惠.

4、讓學(xué)生自己完成方案(2)與方案(3),并匯報完成情況.

三、結(jié)決問題

甲、乙兩個商場以同樣的價格出售同樣的商品，同時又各自推出不同的優(yōu)惠措施.甲

商場的優(yōu)惠措施是：累計購買100元商品后，再買的商品按原價的90%收費；乙商場

則是：累計購買50元商品后，再買的商品按原價的95%收費.顧客選擇哪個商店購物

能獲得更多的優(yōu)惠？

問題1：這個問題比較復(fù)雜.你該從何入手考慮它呢？

問題2：由于甲商場優(yōu)惠措施的起點為購物100元，乙商場優(yōu)惠措施的起點為購物

50元，起點數(shù)額不同，因此必須分別考慮.你認為應(yīng)分哪幾種情況考慮？

分組活動.先獨立思考，再組內(nèi)交流，然后各組匯報討論結(jié)果.

最后教師總結(jié)分析：

1、如果累計購物不超過50元，則在兩家商場購物花費是一樣的；

2、如果累計購物超過50元但不超過100元，則在乙商場購物花費小。

3、如果累計購物超過100元，又有三種情況：

(1)什么情況下，在甲商場購物花費??？

(2)什么情況下，在乙商場購物花費?。?/p>

(3)什么情況下，在兩家商場購物花費相同？

上述問題，在討論、交流的基礎(chǔ)上，由學(xué)生自己解決，教師可適當(dāng)點評。

四、總結(jié)歸納

通過體驗買電腦、選商場購物，感受實際生活中存在的不等關(guān)系，用不等式來表示這

樣的關(guān)系可為解決問題帶來方便.由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，就把實際問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)問題，再通過解不等式可得到實際問題的答案.

五、布置作業(yè)

1、某校兩名教師擬帶若干名學(xué)生去旅游，聯(lián)系了兩家標(biāo)價相同的旅游公司.經(jīng)洽談，

甲公司的優(yōu)惠條件是一名教師全額收費，其余師生按7.5折收費；乙公司的優(yōu)惠條件則

是全體師生都按8折收費.

(1)當(dāng)學(xué)生人數(shù)超過多少時，甲公司的價格比乙公司優(yōu)惠？

(2)經(jīng)核算，甲公司的優(yōu)惠價比乙公司要便宜金，問參加旅游的學(xué)生有多少人？

2、某單位要制作一批宣傳資料?.甲公司提出：每份材料收費20元，另收設(shè)計費3000

元；乙公司提出：每份材料收費30元，不收設(shè)計費.

(1)什么情況下，選擇甲公司比較合算？

(2)什么情況下，選擇乙公司比較合算？

(3)什么情況下，兩公司收費相同？

3、某移動通訊公司開設(shè)兩種業(yè)務(wù)：“全球通”月租費30元，每分鐘通話費0.2元；“神

州行”沒有月租費，每分鐘通話費0.4元(兩種通話均指市內(nèi)通話).如果一個月內(nèi)通話

x分鐘，選擇哪種通訊業(yè)務(wù)比較合算？

4、某商場畫夾每個定價20元，水彩每盒定價5元.為了促銷，商場制定了兩種優(yōu)惠

辦法：一是買一個畫夾送一盒水彩；一是畫夾和水彩均按九折付款.章老師要買畫夾4個，

水彩若干盒(不少于4盒).問：哪種方法更優(yōu)惠？

第2課時一元一次不等式的應(yīng)用

暮烹圜瀛

i.會在實際問題中尋找數(shù)量關(guān)系；

2.會列一元一次不等式解決實際問題.(重點、難點)

豌暮誦

一、情境導(dǎo)入

我店累計購買元商品

后，再購買的商品按原

價的90%收費."

我店累計購買5。元商品

后，再購買的商品按原

價的95%收費./X

如果你要分別購買40元、80元、140元、160元的商品，應(yīng)該去哪家商店更優(yōu)惠？

二、合作探究

探究點：一元一次不等式的應(yīng)用

［類型—］商品銷售問題

硒1某商品的進價是120元，標(biāo)價為180元，但銷量較小.為了促銷，商場決定打折

銷售，為了保證利潤率不低于20%,那么最多可以打幾折出售此商品？

解析：由題意可知，利潤率為20%時，獲得的利潤為120X20%=24（元）.若打x折，

YX

該商品獲得的利泗=該商品的標(biāo)價X行一進價，即該商品獲得的利潤=180X行一120,列出

不等式，解得x的值即可.

解：設(shè)可以打x折出售此商品，由題意得

Y

180X^-1202120X20%,

解得x28.

答：最多可以打8折出售此商品.

方法總結(jié)：商品銷售問題的基本關(guān)系是：售價一進價=利潤.讀懂題意列出不等關(guān)系式

求解是解題關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

［類型二］競賽積分問題

M0某次知識競賽共有25道題，答對一道得4分，答錯或不答都扣2分.小明得分要

超過80分，他至少要答對多少道題？

解析：設(shè)小明答對x道題，則答錯或不答的題數(shù)為（25—0道，根據(jù)得分要超過80分，

列出不等關(guān)系式求解即可.

解：設(shè)小明答對x道題，則他答錯或不答的題數(shù)為（25—x）道.根據(jù)他的得分要超過80

分，得

4x-2（25-x）>80,

2

解得x>21］.

因為x應(yīng)是整數(shù)而且不能超過25,所以小明至少要答對22道題.

答：小明至少要答對22道題.

方法總結(jié)：競賽積分問題的基本關(guān)系是：得分一扣分=最后得分.本題涉及不等式的整

數(shù)解，取整數(shù)解時要注意關(guān)鍵詞：“至多”“至少”等.

【類型三】安全問題

砸1在一次爆破中，用一條1m長的導(dǎo)火索來引爆炸藥,導(dǎo)火索的燃燒速度為0.5cm/s,

引爆員點著導(dǎo)火索后，至少以每秒多少米的速度才能跑到600m以外（包括600m）的安全區(qū)

域？

解析：本題首先依題意可得出不等關(guān)系即引爆員所跑路程大于等于600米，然后列出不

等式為G標(biāo)x2600,解出不等式即可.

解：設(shè)以福秒xm的速度能跑到600m以外（包括600m）的安全區(qū)域.0.5cm/s=0.005m/s,

依題意可得。（；（枕2600,

解得x23.

答：引爆員點著導(dǎo)火索后，至少以每秒3m的速度才能跑到600m以外（包括600m）的安

全區(qū)域.

方法總結(jié)：題中的“至少”是建立不等式的關(guān)鍵詞，也是列不等式的依據(jù).

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第6題

［類型四］分段計費問題

觸I小明家每月水費都不少于15元，自來水公司的收費標(biāo)準(zhǔn)如下：若每戶每月用水不

超過5立方米，則每立方米收費1.8元；若每戶每月用水超過5立方米，則超出部分每立方

米收費2元.小明家每月用水量至少是多少？

解析：當(dāng)每月用水5立方米時，花費5X1.8=9（元），則可知小明家每月用水超過5立

方米.設(shè)每月用水x立方米，則超出（X—5）立方米，根據(jù)題意超出部分每立方米收費2元，

列一元一次不等式求解即可.

解：設(shè)小明家每月用水x立方米.

V5X1.8=9<15,

二小明家每月用水超過5立方米.

則超出（x—5）立方米，按每立方米2元收費，

列出不等式為5X1.8+（x—5）X2215,

解得x28.

答：小明家每月用水量至少是8立方米.

方法總結(jié)：分段計費問題中的費用一般包括兩個部分：基本部分的費用和超出部分的費

用，根據(jù)費用之間的關(guān)系建立不等式求解即可.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第7題

【類型五】調(diào)配問題

例?有10名菜農(nóng)，每人可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝，已知甲種蔬菜每畝可收入

0.5萬元，乙種蔬菜每畝可收入0.8萬元，要使總收入不低于15.6萬元，則最多只能安排多

少人種甲種蔬菜？

解析：設(shè)安排x人種甲種蔬菜，則種乙種蔬菜的為（10—x）人.則種甲種蔬菜3x畝，乙

種蔬菜2（10-x）畝.再列出不等式求解即可.

解：設(shè)安排x人種甲種蔬菜，則種乙種蔬菜的為（10—x）人.

根據(jù)題意得0.5X3x+0.8X2（10—x）215.6,

解得xW4.

答：最多只能安排4人種甲種蔬菜.

方法總結(jié)：調(diào)配問題中，各項工作的人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù).

［類型六］方案決策問題

畫13為了保護環(huán)境，某企業(yè)決定購買10臺污水處理設(shè)備.現(xiàn)有A、B兩種型號的設(shè)備，

其中每臺的價格、月處理污水量及年消耗費如下表.經(jīng)預(yù)算，該企業(yè)購買設(shè)備的資金不高于

105萬元.

A型8型

價格（萬元/臺）1210

處理污水量（噸/月）240200

年消耗費（萬元/臺）11

（1）該企業(yè)有幾種購買方案？

（2）若企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量為2040噸，為了節(jié)約資金，應(yīng)選擇哪種購買方案？

解析：（1）設(shè)購買污水處理設(shè)備A型x臺，則B型為（10—x）臺，列出不等式求解即可，x

的值取整數(shù)；（2）根據(jù)題表信息列出不等式求解，再根據(jù)x的值選出最佳方案.

解：（1）設(shè)購買污水處理設(shè)備A型