2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題04 三角形的性質(zhì)與判定 （講練）（原卷版）

專題04三角形的性質(zhì)與判定目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一三角形的基礎(chǔ)題型01三角形的三邊關(guān)系題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問(wèn)題題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問(wèn)題題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實(shí)際應(yīng)用【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】考點(diǎn)二特殊三角形的性質(zhì)與判定題型01線段垂直平分線的性質(zhì)與判定題型02角平分線的性質(zhì)與判定題型03等腰三角形的性質(zhì)與判定題型04等邊三角形的性質(zhì)與判定題型05直角三角形的性質(zhì)與判定題型06勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問(wèn)題題型07與三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題題型08趙爽弦圖題型09利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】

考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)三角形的基礎(chǔ)三角形的基礎(chǔ)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，所以在中考中考察的幾率比較大.在考察題型上，三角形基礎(chǔ)知識(shí)部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關(guān)系、內(nèi)角和/外角和定理、“三線”基本性質(zhì)等.特殊三角形的性質(zhì)與判定也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的，且等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大.直角三角形的出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問(wèn)題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸.特殊三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)一三角形的基礎(chǔ)題型01三角形的三邊關(guān)系三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．【解題技巧】1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說(shuō)明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a，b，求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過(guò)周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形．1．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長(zhǎng)，則(m?3)2+(m?7)A．2m?10 B．10?2m C．10 D．42．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，第三邊長(zhǎng)是方程x2?8x+12=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為3．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．84．（2023·河北·中考真題）四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問(wèn)題三角形有關(guān)的線段的性質(zhì)：高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=121.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．2.常見三角形的高：3.當(dāng)已知三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)，可考慮運(yùn)用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.1．（2023·安徽·中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2?AC

2．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D．若BF=3FE，則BDDC=3．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若AD是△ABC中∠BAC的內(nèi)角平分線，通過(guò)證明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過(guò)探究也有類似的性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC4．（2022·上海·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，ADAB=DEBC5．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，連接AD并延長(zhǎng)交l2于點(diǎn)M證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥∴△AEM∽．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS∴S△ABC(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在l2下方時(shí)，連接AD交l2于點(diǎn)E．若點(diǎn)A，E，D所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問(wèn)題三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個(gè)銳角的度數(shù),可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．三角形中角度計(jì)算的6種?？寄Ｐ停篈字模型8字模型飛鏢模型老鷹抓小雞模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鷹抓小雞模型（二）雙角平分線模型（一）雙角平分線模型（二）雙角平分線模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠21．（2019·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數(shù)是（）A．45° B．50° C．55° D．80°2．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC=55°，將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α=40°時(shí)，點(diǎn)D恰好落在BC上，此時(shí)∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°3．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點(diǎn)F．若∠BCD=α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（

）A．90°+12α B．90°?12α4．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°則∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°5．（2021·遼寧本溪·中考真題）一副三角板如圖所示擺放，若∠1=80°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°6．（2020·浙江紹興·中考真題）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，連結(jié)CP，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CP交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連結(jié)AP，則∠PAH的度數(shù)（）A．隨著θ的增大而增大B．隨著θ的增大而減小C．不變D．隨著θ的增大，先增大后減小7．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角0°<α<75°，與射線AB相交于點(diǎn)D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點(diǎn)E．若△

8．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD=α．(1)如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．(2)當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD=β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實(shí)際應(yīng)用1．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時(shí)施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，則C，D兩點(diǎn)的距離是m2．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過(guò)平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，則∠AEF=．3．（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應(yīng)（填“增加”或“減少”）度．4．（2023·四川自貢·中考真題）第29屆自貢國(guó)際恐龍燈會(huì)“輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對(duì)角線的夾角∠ACB=15°，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）

A．9 B．10 C．11 D．125．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖為商場(chǎng)某品牌椅子的側(cè)面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號(hào)“Δ”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.三角形的分類：1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的長(zhǎng)度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.1.三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后邊的字母為三角形的三個(gè)頂點(diǎn),字母的順序可以自由安排.即?ABC,?ACB等均為同一個(gè)三角形.2.等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.3.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.一、單選題1．（2022·河北保定·校考一模）能用三角形的穩(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（

）A．B．C．D．2．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，AC=7，BC=4，M是AB上的一點(diǎn)，若△ACM的周長(zhǎng)比△BCM的周長(zhǎng)大3，根據(jù)下列尺規(guī)作圖痕跡可以得到符合條件的CM的是（

）A．B．C．D．3．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡及圖上數(shù)據(jù)，則線段BC的長(zhǎng)可能為（

）

A．1 B．2 C．7 D．104．（2021·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（

）A．B．C．D．5．（2022·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考二模）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若AC=3，AD=4．則AB的長(zhǎng)不可能是（

）A．5

B．7

C．8

D．9甲同學(xué)認(rèn)為AB，AC，AD這條三邊不在同一個(gè)三角形中，無(wú)法解答，老師給的題目有錯(cuò)誤．乙同學(xué)認(rèn)為可以從中點(diǎn)D出發(fā)，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識(shí)解決．丙同學(xué)認(rèn)為沒(méi)必要借助全等三角形的知識(shí)，只需構(gòu)造一個(gè)特殊四邊形，就可以解決關(guān)于三位同學(xué)的思考過(guò)程，你認(rèn)為正確的是…（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙6．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC=60°，∠ABE=26°，則∠DAC的大小是（）A．20° B．22° C．24° D．26°7．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）已知a，b，c是三角形的三條邊，則c?a?b+c+b?a的化簡(jiǎn)結(jié)果為（A．0 B．2a+2b C．2b D．2a+2b?2c8．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD,BC=CD，則AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，則BC=CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB=CD,AD=BC．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④二、填空題9．（2023·河北衡水·二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，沿AD將△ABC折疊，使點(diǎn)C與BC邊上的點(diǎn)C'重合，展開后得到折痕a

（1）折痕a是△ABC的；（填“角平分線”“中線”或“高”）（2）若∠BAC'=15°，則∠C比∠B的度數(shù)大10．（2022·河北邢臺(tái)·?？既＃┤鐖D，AB，BC，CD是某正多邊形相鄰的三條邊，延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)P，∠P=120°．

（1）∠PBC的度數(shù)為；（2）該多邊形為正邊形．三、解答題11．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)初中部?？既＃┮阎切蔚膬蛇呴L(zhǎng)分別是1、2，第三邊為整數(shù)且為不等式組2x?112．（2022·陜西渭南·統(tǒng)考三模）如圖，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點(diǎn)D，使得∠ABD＝25°．（保留作圖痕跡，不寫作法）13．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=2α，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是ED上一點(diǎn)且∠EAF=α．(1)求∠AFB的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?2)連接FC，用等式表示線段FC與FA的數(shù)量關(guān)系，并證明．14．（2023·江西上饒·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在下列10×10的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，在AB邊上找一點(diǎn)P，連接PC，使S△APC(2)在圖2中，在邊AB上找一點(diǎn)Q，連接QC，使S△AQC考點(diǎn)二特殊三角形的性質(zhì)與判定題型01線段垂直平分線的性質(zhì)與判定垂直平分線的概念：經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.對(duì)于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連接起來(lái)．1．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N．作直線MN，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長(zhǎng)為（A．25 B．22 C．19 D．182．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法不一定正確的是（

）A．AF=BF B．AE=C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC3．（2020·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E，若∠EAC=49°，則∠BAE的度數(shù)為4．（2020·湖南·中考真題）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過(guò)點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長(zhǎng)CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．題型02角平分線的性質(zhì)與判定角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．性質(zhì)中的“距離”是指“點(diǎn)到角兩邊所在直線的距離”,因此在應(yīng)用時(shí)必須含有“垂直”這個(gè)條件,否則不能得到線段相等.1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=15，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA、BC于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AC于點(diǎn)D，則線段AD的長(zhǎng)為

2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE//AB，交AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，DE=5,DF=3，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=93（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°4．（2021·廣東深圳·中考真題）如圖，已知∠BAC=60°，AD是角平分線且AD=10，作AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)F，作DE⊥AC，則△DEF周長(zhǎng)為．5．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點(diǎn)C和D，使得OC=OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．

請(qǐng)寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可．他查閱資料：我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問(wèn)路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

題型03等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.1.等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒(méi)有明確是底還是腰,角沒(méi)有明是頂角還是底角，需要分類討論.2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個(gè)底角都為45°.3.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸．4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．5.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則b26.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1807.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于12FG的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于12BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=1

A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=12x(x>0)的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5，則AB3．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于點(diǎn)M，D是線段MC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段DM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，求證：D是MC的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段BM上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足DF=DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．4．（2022·新疆·中考真題）如圖，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)O，C重合），將△ACD沿AD折疊得到Δ

(1)當(dāng)AE⊥BC時(shí)，∠AEB=___________°；(2)探究∠AEB與∠CAD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；(3)設(shè)AC=4，△ACD的面積為x，以AD為邊長(zhǎng)的正方形的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．5．（2022·安徽·中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．(1)如圖1，若DE∥BC，求證：四邊形(2)如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．（?。┣蟆螩ED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．題型04等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形的三條邊相等.2）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).2.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．6.等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=31．（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知∠ABC=60°，點(diǎn)D為BA邊上一點(diǎn)，BD=10，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，線段OB長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E，連接DE，則BE的長(zhǎng)是（

）A．5 B．52 C．53 2．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB=27厘米，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為厘米．3．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）△ABC和△ADE都是等邊三角形．(1)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接BD，CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A重合），有PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；請(qǐng)證明．(2)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．4．（2020·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問(wèn)題解決】（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．5．（2022·湖北武漢·中考真題）問(wèn)題提出：如圖（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使DE=DB，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F，探究AFAB(1)先將問(wèn)題特殊化．如圖（2），當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，直接寫出AFAB(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問(wèn)題拓展：如圖（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，CGBC=1nn<2，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使DE=DG，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F6．（2022·山東臨沂·中考真題）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接AD，CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)在線段AC上任取一點(diǎn)Р（端點(diǎn)除外），連接PD．將線段PD繞點(diǎn)Р逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．(3)在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．題型05直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形的性質(zhì)：1）直角三角形兩個(gè)銳角互余.2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形的判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.面積公式：S=12ab=121．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'2．（2023·山東·中考真題）△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足(a?b)2+2a?b?3+|c?32A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形3．（2023·河北·中考真題）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠BA．30° B．n° C．n°或180°?n° D．30°或150°4．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC=60°，BD=43，則OE=（

A．4 B．23 C．2 D．5．（2020·廣東·中考真題）已知關(guān)于x，y的方程組ax+23y=?103（1）求a，b的值；（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)為26，另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x題型06勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問(wèn)題1）因?yàn)檎叫尉W(wǎng)格中的每一個(gè)角都是直角，所以在正方形網(wǎng)格中的計(jì)算都可以歸結(jié)為求任意兩個(gè)格點(diǎn)之間的長(zhǎng)度問(wèn)題，一般情況下都是設(shè)每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,然后應(yīng)用勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算.2）網(wǎng)格中，求頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的四邊形或五邊形等幾何圖形的面積，可利用外部補(bǔ)法，轉(zhuǎn)化成用長(zhǎng)方形(或正方形)的面積減去直角三角形面積.1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB,CD，則△ABE與△CDE的周長(zhǎng)比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：12．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A．35 B．255 C．23．（2022·天津·中考真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A，B，C及∠DPF的一邊上的點(diǎn)E，F(xiàn)均在格點(diǎn)上．（Ⅰ）線段EF的長(zhǎng)等于；（Ⅱ）若點(diǎn)M，N分別在射線PD,PF上，滿足∠MBN=90°且BM=BN．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M，N，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M，N的位置是如何找到的（不要求證明）．4．（2023·廣東·中考真題）綜合與實(shí)踐主題：制作無(wú)蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．5．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

題型07與三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題利用勾股定理解答折疊問(wèn)題的一般步驟：1）運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；2）在圖形中找到一個(gè)直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x，將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來(lái)；3）利用勾股定理列方程求出x；4）進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題.1．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，將△BDE沿直線DE翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在AB上，連接CB'，若CB'3．（2021·四川涼山·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長(zhǎng)為（

）A．198 B．2 C．254 3．（2021·河南·中考真題）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1．第一步，在AB邊上找一點(diǎn)D，將紙片沿CD折疊，點(diǎn)A落在A'處，如圖2，第二步，將紙片沿CA'折疊，點(diǎn)D落在D'處，如圖3．當(dāng)點(diǎn)D4．（2021·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=1，D是線段BC上的一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時(shí)，AF=題型08趙爽弦圖趙爽弦圖的幾何意義：1）證明勾股定理：c2=a2+b22)IJ=b-a3）S正方形EFGH=c2=a2+b2,S正方形IJKL=(b-a)24）S陰影=S正方形EFGH-S正方形IJKL=2ab1．（2022·四川宜賓·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為．2．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中AF=a，DF=b，連接AE,BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則b2a

3．（2023·湖北鄂州·中考真題）2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)．這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點(diǎn)P、O、Q，若BE:EQ=3:2，則OPOE的值是

4．（2021·貴州貴陽(yáng)·中考真題）（1）閱讀理解：我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過(guò)程；（2）問(wèn)題解決：勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過(guò)正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份．所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC=12,BC=5，求EF的值；（3）拓展探究：如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設(shè)大正方形N的邊長(zhǎng)為定值n，小正方形A,B,C,D的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d．已知∠1=∠2=∠3=α，當(dāng)角α(0°<α<90°)變化時(shí)，探究b與c的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過(guò)程（b與c的關(guān)系式用含n的式子表示）．5．（2020·湖北孝感·中考真題）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長(zhǎng)為m，小正方形的邊長(zhǎng)為n，若S1=S6．（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：將2a?3ab?4+6b因式分解．【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式=解法二：原式=【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】(1)請(qǐng)用分組分解法將x2【挑戰(zhàn)】(2)請(qǐng)用分組分解法將ax+a【應(yīng)用】(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和ba>b，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a題型09利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：1)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；2)明確已知條件及結(jié)論；3)利用勾股定理解答，并確定實(shí)際問(wèn)題的答案.1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，母線AB長(zhǎng)為30cm，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長(zhǎng)度是（

v

A．30cm B．303cm C．60cm D．20π2．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A

3．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．4．（2023·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=23,AA1=2，點(diǎn)M

5．（2021·廣西玉林·中考真題）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿方向航行．6（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，點(diǎn)A是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)a的點(diǎn)．（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實(shí)數(shù)的2的點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）利用數(shù)軸比較2和a的大小，并說(shuō)明理由．勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2變式：a2=c2?b2，b勾股定理的證明方法（常見）：方法一（圖一）：4SΔ+方法二（圖二）：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4×大正方形面積為S=(a+b)2=方法三（圖三）：S梯形=12圖一圖二圖三勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.判斷勾股數(shù)的方法：1）確定是三個(gè)正整數(shù)a，b，c；2）確定最大的數(shù)c；3）計(jì)算較小的兩個(gè)數(shù)的平方a2+b1.勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形.2.如果已知的兩邊沒(méi)有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解．3.應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．4.每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍也是勾股數(shù).勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b21.勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2+b2<c2，時(shí)，以a，2.定理中a，b，c及a2+b一、單選題1．（2024·陜西西安·一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD為△ABC的高，則AD的長(zhǎng)為（

）A．141020 B．141010 C．2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將兩個(gè)相同的含30°角的直角三角形擺放在一起，借助這個(gè)圖形，探究Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB嘉嘉：解：∵兩個(gè)含30°角的直角三角尺相同，∴AB=AD，BC=CD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABD是等邊