八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第一章第07講 解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線(3類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第07講解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線(3類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】 1【考點(diǎn)二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高】 9【考點(diǎn)三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 20【考點(diǎn)一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】例題：（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為的中點(diǎn)，于E．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，D是BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且．求證：．2．（2023上·寧夏吳忠·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D：在中，，D為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的周長(zhǎng)．3．（2023上·北京·八年級(jí)期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，過A作，且．求證：(1)；(2)．4．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D為線段的中點(diǎn)，且．

(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．5．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且始終保持．(1)如圖①，若點(diǎn)分別在線段上，與相等且與垂直嗎？請(qǐng)說明理由；(2)如圖②，若點(diǎn)分別在線段的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說明理由．6．（2023上·浙江紹興·八年級(jí)新昌縣七星中學(xué)?？计谥校﹥蓚€(gè)同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)，，在同一直線上，為中點(diǎn)，已知．(1)求的長(zhǎng)．(2)求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高】例題：（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，，若，求的長(zhǎng)．

【變式訓(xùn)練】1．（2023下·廣東廣州·八年級(jí)廣州市番禺區(qū)鐘村中學(xué)校考期中）如圖，四邊形中，，，求四邊形的面積．2．（2023上·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，點(diǎn)D在上（不與點(diǎn)B，C重合）．

(1)如圖1，若是直角三角形，①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，點(diǎn)E在上（不與點(diǎn)A，B重合），且．若，求證：．3．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)邊上的高的長(zhǎng)度為；(2)如圖1，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．是否存在值，使得為等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，把沿著直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度．4．（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)是邊上的兩點(diǎn)．

(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設(shè)，．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在①的條件下，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．5．（2023上·河南商丘·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，過點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)）點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，與的位置關(guān)系是，若，則的長(zhǎng)為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：（2022春·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于．求證：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？计谥校?1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，可根據(jù)證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請(qǐng)直接寫出答案．2．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【情境建?！繉W(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)時(shí)遇到下面一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)在的角平分線上，過點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、．求證：．請(qǐng)你幫助完成此證明．

【應(yīng)用實(shí)踐】請(qǐng)嘗試直接應(yīng)用“情境建?！敝械慕Y(jié)論解決下列問題：（1）將圖1沿著過點(diǎn)的直線折疊，得到圖2，使點(diǎn)正好與邊上的點(diǎn)重合，此時(shí)測(cè)得．求的度數(shù)．（2）如圖3，，平分交于，若，，求邊的長(zhǎng)度．【拓展提升】（3）如圖4，是某小區(qū)綠化施工的一