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2025屆安徽省蕪湖市名校高三三校聯(lián)合測(cè)試數(shù)學(xué)試題試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的定義域?yàn)?,集合,則()A. B. C. D.2.已知,,,,則()A. B. C. D.3.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.4.在中,,則=()A. B.C. D.5.已知,若方程有唯一解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.6.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)()A. B. C.2 D.7.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.8.某個(gè)小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.1409.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn)(設(shè)點(diǎn)位于第一象限),過點(diǎn),分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為點(diǎn),,拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn),若,則直線的斜率為A.1 B. C. D.10.已知函數(shù)的一條切線為,則的最小值為()A. B. C. D.11.如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),則()A.在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中,存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值12.已知表示兩條不同的直線,表示兩個(gè)不同的平面,且則“”是“”的()條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的角所對(duì)的邊分別為,且,,若,則的值為__________.14.(5分)已知函數(shù),則不等式的解集為____________.15.設(shè)、、、、是表面積為的球的球面上五點(diǎn),四邊形為正方形,則四棱錐體積的最大值為__________.16.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房,銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金:每月的還款額呈遞減趨勢(shì),且從第二個(gè)還款月開始,每月還款額與上月還款額的差均相同;②等額本息:每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定,在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款(若2019年7月7日貸款到賬,則2019年8月7日首次還款).已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年,月利率為0.004.(1)若小張采取等額本金的還款方式,現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元,最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元,試計(jì)算小張?jiān)摴P貸款的總利息;(2)若小張采取等額本息的還款方式,銀行規(guī)定,每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半,已知小張家庭平均月收入為1萬元,判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批(不考慮其他因素);(3)對(duì)比兩種還款方式,從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮,小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù):.18.(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若(1)求角的大?。?)若,求的周長(zhǎng)19.(12分)在四棱錐中,是等邊三角形,點(diǎn)在棱上,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值;(3)設(shè)直線與平面相交于點(diǎn),若,求的值.20.(12分)已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為和,右頂點(diǎn)為,且,短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)若過點(diǎn)作垂直軸的直線,點(diǎn)為直線上縱坐標(biāo)不為零的任意一點(diǎn),過作的垂線交橢圓于點(diǎn)和,當(dāng)時(shí),求此時(shí)四邊形的面積.21.(12分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點(diǎn)..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22.(10分)設(shè)函數(shù).(1)若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對(duì)數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.本題考查了交集及其運(yùn)算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.2.D【解析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.3.D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個(gè)交點(diǎn),而函數(shù)在上有3個(gè)交點(diǎn),則在上有4個(gè)不同的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),;當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),,可知當(dāng)時(shí),直線與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn),即方程,在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想,屬于中檔題.4.B【解析】
在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
求出的表達(dá)式,畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布,求出的范圍即可.【詳解】解:令,則,則,故,如圖示:由,得,函數(shù)恒過,,由,,可得,,,若方程有唯一解,則或,即或;當(dāng)即圖象相切時(shí),根據(jù),,解得舍去),則的范圍是,故選:.本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.6.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選:A本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長(zhǎng)線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.8.C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C9.C【解析】
根據(jù)拋物線定義,可得,,又,所以,所以,設(shè),則,則,所以,所以直線的斜率.故選C.10.A【解析】
求導(dǎo)得到,根據(jù)切線方程得到,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,計(jì)算得到答案.【詳解】,則,取,,故,.故,故,.設(shè),,取,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故.故選:.本題考查函數(shù)的切線問題,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.11.C【解析】
采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.12.B【解析】
根據(jù)充分必要條件的概念進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于充分性:若,則可以平行,相交,異面,故充分性不成立;若,則可得,必要性成立.故選:B本題主要考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系,以及充要條件的判斷,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.解決充要條件判斷問題,關(guān)鍵是要弄清楚誰是條件,誰是結(jié)論.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因?yàn)?,故,因?yàn)?,所?由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因?yàn)椋獾没颍ㄉ幔?故答案為:.本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標(biāo)對(duì)所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.14.【解析】
易知函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則是上的偶函數(shù).由于在上單調(diào)遞增,而在上也單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,故知在上單調(diào)遞增.令,知,則不等式可化為,即,可得,又,是偶函數(shù),可得,由在上單調(diào)遞增,可得,則,解得,故不等式的解集為.15.【解析】
根據(jù)球的表面積求得球的半徑,設(shè)球心到四棱錐底面的距離為,求得四棱錐的表達(dá)式,利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑,設(shè)球心到四棱錐底面的距離為,棱錐的高為,底面邊長(zhǎng)為,的體積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為:本小題主要考查球的表面積有關(guān)計(jì)算,考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法,屬于中檔題.16.【解析】
設(shè),則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設(shè),則,又由,,所以為的中點(diǎn),為的三等分點(diǎn),則,,所以.本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)289200元;(2)能夠獲批;(3)應(yīng)選擇等額本金還款方式【解析】
(1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,即可由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得其還款總額,減去本金即為還款的利息;(2)根據(jù)題意,采取等額本息的還款方式,每月還款額為一等比數(shù)列,設(shè)小張每月還款額為元,由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù),即可求得其還款額,與收入的一半比較即可判斷;(3)計(jì)算出等額本息還款方式時(shí)所付出的總利息,兩個(gè)利息比較即可判斷.【詳解】(1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,記為,表示數(shù)列的前項(xiàng)和,則,,則,故小張?jiān)摴P貸款的總利息為元.(2)設(shè)小張每月還款額為元,采取等額本息的還款方式,每月還款額為一等比數(shù)列,則,所以,即,因?yàn)椋孕堅(jiān)摴P貸款能夠獲批.(3)小張采取等額本息貸款方式的總利息為:,因?yàn)?,所以從?jīng)濟(jì)利益的角度來考慮,小張應(yīng)選擇等額本金還款方式.本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用,數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用,理解題意是解決問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.18.(1)(2)11【解析】
(1)利用二倍角公式將式子化簡(jiǎn)成,再利用兩角和與差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再將平方,利用向量數(shù)量積可得,從而可求周長(zhǎng).【詳解】由題解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周長(zhǎng)為本題主要考查了余弦定理解三角形、兩角和與差的余弦公式、需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)取中點(diǎn)為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證;(2)以為原點(diǎn),過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點(diǎn)在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解;(3)設(shè),,則,求得,,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進(jìn)而求解.【詳解】(1)證明:取中點(diǎn)為,連接,因?yàn)槭堑冗吶切?所以,因?yàn)榍蚁嘟挥?所以平面,所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?在平面內(nèi),所以,所以.(2)以為原點(diǎn),過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,因?yàn)樵诶馍?可設(shè),所以,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?所以,即,令,可得,即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時(shí),取最大值.(3)設(shè),則有,得,設(shè),那么,所以,所以.因?yàn)?,所以.又因?yàn)?所以,,設(shè)平面的法向量為,則,即,,可得,即因?yàn)樵谄矫鎯?nèi),所以,所以,所以,即,所以或者(舍),即.本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.20.(1)(2)【解析】
(1)依題意可得,解方程組即可求出橢圓的方程;(2)設(shè),則,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去,設(shè),,列出韋達(dá)定理,即可表示,再根據(jù)求出參數(shù),從而得出,最后由點(diǎn)到直線的距離得到,由即可得解;【詳解】解:(1)∵,∴解得,∴橢圓的方程為.(2)∵,∴可設(shè),∴.∵,∴,∴設(shè)直線的方程為,∴,∴,顯然恒成立.設(shè),,則,,∴.∴,∴,∴解得,解
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