用空間向量研究距離、夾角問題 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1.4.2

用空間向量研究距離、夾角問題第一章空間向量與立體幾何

教學(xué)目標(biāo)(1)學(xué)會(huì)求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的向量法(2)能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題(3)提高分析與推理能力和空間想象能力問題與例題問題一、立體幾何中的距離問題包括點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條平行直線以及兩個(gè)平行平面的距離問題等。如何用空間向量解決這些問題呢？問題1、如何利用向量法求點(diǎn)到直線的距離？思考：u怎么求？問題2、類比點(diǎn)到直線的距離，如何求兩條平行直線之間的距離？轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離例1、如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為DD1、BB1的中點(diǎn)，求（1）A1到直線B1E的距離（2）直線FC1到直線AE的距離EF變式練習(xí)求點(diǎn)B到直線B1E的距離問題3、如何利用向量法求點(diǎn)到平面的距離？問題4、類比利用向量法求點(diǎn)到平面的距離，如何求直線到平面、平面到平面的距離？轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離例2、如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，求：（1）B到直線A1C1的距離（2）D1到平面A1BD的距離．（3）D1C到平面A1BD的距離（4）平面A1BD與平面B1CD1間的距離變式練習(xí)1、如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)（1）求點(diǎn)B到直線AC1的距離（2）求直線FC到平面AEC1的距離EF2、如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在棱BB1上，EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，B1C1，A1C1的中點(diǎn)，EF與B1D相交于點(diǎn)H．(1)求證：B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF與平面ABD的距離．

問題二、如何利用方向向量、法向量求異面直線的夾角、直線與平面所成夾角、平面與平面夾角、二面角？1、異面直線的夾角范圍：[0°,90°]2、直線與平面的夾角范圍：[0°,90°]3、平面與平面的夾角范圍：[0°,90°]C1PACBA1B1QR

例題3、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1。求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值1.已知向量m，n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝

，則l與α所成的角為（

）A.30° B.60° C.150° D.120°變式練習(xí)B2.已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，則平面α與β的夾角為____.3.如圖，在正方體ABEF－DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點(diǎn)，求（1）求直線MN與直線AC的夾角余弦值（2）求直線EN與平面MNB的夾角余弦值（3）平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值．課堂小結(jié)1、向量法求點(diǎn)到直線（平行直線）的距離．2、向量法求點(diǎn)到平面（直線到平面、平面到平面）的距離．3、向量法求直線與直線、直線與平面、平面