2023-2024學年北京市朝陽外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市朝陽外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共8題，共24分，每小題3分）1．（3分）如圖，在平面內(nèi)將三角形標志繞其中心旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖案（）A． B． C． D．2．（3分）若點M（1，2）、N（5，2）在拋物線y＝（x﹣h）2+k上，則h的值為（）A．4 B．3 C．2 D．13．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一個根是0，則a的值為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．04．（3分）如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，則∠AOD等于（）A．55° B．45° C．40° D．35°5．（3分）南宋著名數(shù)學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以列方程為（）A．x（x+30）＝864 B．x（x+60）＝864 C．x2﹣60x+864＝0 D．x2﹣60x﹣864＝06．（3分）如圖，點A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx（m為常數(shù)），當﹣1≤x≤2時，函數(shù)值y的最小值為﹣2，則m的值是（）A．﹣2或 B．﹣2或 C．2或﹣ D．2或﹣8．（3分）將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當直線y＝x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為（）A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3二、填空題（共8題，共計24分，每小題3分）9．（3分）近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5m，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是．10．（3分）二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象如圖所示，則滿足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍是．11．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是．12．（3分）若點A（m，﹣2）在反比例函數(shù)的圖象上，則當函數(shù)值y≥﹣2時，自變量x的取值范圍是．13．（3分）一副三角板如圖放置，將三角板ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一邊所在的直線與BC垂直，則α的度數(shù)為．14．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的兩個不等的實數(shù)根，則a2+b+ab的值為．15．（3分）2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成——中國民航商業(yè)運營國產(chǎn)大飛機正式起步．12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預(yù)演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇．此時相遇點H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H'距地面米．16．（3分）如圖，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一點，且滿足CE＝CB，連接AE，以AE為腰，A為直角頂點作等腰Rt△ADE，連接CD，當CD最大，且最大值為+1時，則AB．三、解答題（共8大題，共計52分，其中17題8分、18題7分、19-23每小題8分、24題7分）17．（8分）解方程（1）x2﹣2x＝5（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）18．（7分）解方程：．19．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的2倍，求a的值．20．（6分）如圖，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點D在AC上，將△ABD繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度數(shù)；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的長．21．（6分）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系xOy．如果她從點A（3，10）起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅嬋的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m033.544.5豎直高度y/m1010k106.25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出k的值為，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式：；（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓練的入水點的水平距離為d1；比賽當天入水點的水平距離為d2，則d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點B開始計時，若點B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270C動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？22．（6分）在平面直角坐標系xOy中，記函數(shù)的圖象為G，直線l：經(jīng)過A（2，3），與圖象G交于B，C兩點．（1）求b的值；（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．記圖象G在B，C之間的部分與線段BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當m＝2時，區(qū)域W內(nèi)的整點個數(shù)為個；②各區(qū)域W內(nèi)恰有4個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，m的取值范圍為．23．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A（x0，m），B（x0+4，n）在拋物線y＝x2﹣2bx+1上．（1）當b＝5，x0＝3時，比較m與n的大小，并說明理由；（2）若對于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范圍．24．（7分）在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，點O（0，0），點A（6，0），點B（0，8）．以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，點O，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．（Ⅰ）如圖①，當α＝30°時，求點D的坐標；（Ⅱ）如圖②，當點E落在AC的延長線上時，求點D的坐標；（Ⅲ）當點D落在線段OC上時，求點E的坐標（直接寫出結(jié)果即可）．

2023-2024學年北京市朝陽外國語學校九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8題，共24分，每小題3分）1．（3分）如圖，在平面內(nèi)將三角形標志繞其中心旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖案（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可進行求解．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知只有D選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）若點M（1，2）、N（5，2）在拋物線y＝（x﹣h）2+k上，則h的值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)點M（1，2）、N（5，2）在拋物線y＝（x﹣h）2+k上，可以得到該拋物線的對稱軸為直線x＝h＝＝3，本題得以解決．【解答】解：∵點M（1，2）、N（5，2）在拋物線y＝（x﹣h）2+k上，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝h＝＝3，故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．3．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一個根是0，則a的值為（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【分析】由一元二次方程的定義，可知a﹣2≠0；一根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0可得a2﹣4＝0．a(chǎn)的值可求．【解答】解：∵（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①由一個根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②由①②得a＝﹣2．故選B．【點評】本題考查一元二次方程的定義應(yīng)用，二次項系數(shù)不為0．解題時須注意，此為易錯點．否則選C就錯了．4．（3分）如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，則∠AOD等于（）A．55° B．45° C．40° D．35°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠BOD＝90°，即可求解．【解答】解：∵△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△OCD的位置，∴∠BOD＝90°，∵∠AOB＝45°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝45°．故選：B．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)兩相等的性質(zhì)：即對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．5．（3分）南宋著名數(shù)學家楊輝所著的《楊輝算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長闊各幾何？”意思是“一塊矩形田地的面積是864平方步，只知道它的長與寬的和是60步，問它的長和寬各是多少步？”設(shè)矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可以列方程為（）A．x（x+30）＝864 B．x（x+60）＝864 C．x2﹣60x+864＝0 D．x2﹣60x﹣864＝0【分析】由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60﹣x）步，根據(jù)矩形田地的面積是864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵矩形田地的長為x步，矩形田地的長與寬的和是60步，∴矩形田地的寬為（60﹣x）步．依題意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0．故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，點A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】延長BA交y軸于點D，根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義得到，S矩形OCBD＝3，根據(jù)四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解．【解答】解：延長BA交y軸于點D，∵AB∥x軸，∴DA⊥y軸，∵點A在函數(shù)的圖象上，∴，∵BC⊥x軸于點C，DB⊥y軸，點B在函數(shù)的圖象上，∴S矩形OCBD＝3，∴四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；故選：B．【點評】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用．熟練掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．7．（3分）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx（m為常數(shù)），當﹣1≤x≤2時，函數(shù)值y的最小值為﹣2，則m的值是（）A．﹣2或 B．﹣2或 C．2或﹣ D．2或﹣【分析】先求得拋物線對稱軸，然后非兩種情況討論得到關(guān)于m的方程，解方程即可求得m值．【解答】解：由二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx（m為常數(shù)），得到對稱軸為直線x＝1，∵當﹣1≤x≤2時，函數(shù)值y的最小值為﹣2，∴當m＞0時，x＝1時，y＝﹣2，則m﹣2m＝﹣2，解得m＝2．當m＜0時，x＝﹣1時，y＝﹣2，則m+2m＝﹣2，解得m＝﹣．故m的值為2或﹣，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（3分）將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當直線y＝x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為（）A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3【分析】分兩種情形：如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，當直線y＝x+b與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，分別求解即可．【解答】解：二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點坐標為（1，4），當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸的交點為A（﹣1，0），B（3，0），把拋物線y＝﹣x2+2x+3圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，則翻折部分的拋物線解析式為y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），頂點坐標M（1，﹣4），如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，∴3+b＝0，解得b＝﹣3；當直線y＝x+b與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的實數(shù)解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，所以b的值為﹣3或﹣，故選：A．【點評】此題主要考查了翻折的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，拋物線的性質(zhì)，確定翻折后拋物線的關(guān)系式；利用數(shù)形結(jié)合的方法是解本題的關(guān)鍵，畫出函數(shù)圖象是解本題的難點．二、填空題（共8題，共計24分，每小題3分）9．（3分）近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5m，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝．【分析】由于近視鏡度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間成反比例關(guān)系可設(shè)y＝，由200度近視鏡的鏡片焦距是0.5米先求得k的值．【解答】解：由題意設(shè)y＝，由于點（0.5，200）適合這個函數(shù)解析式，則k＝0.5×200＝100，∴y＝．故眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝．故答案為：y＝．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．10．（3分）二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象如圖所示，則滿足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍是﹣3＜x＜0．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分的x的取值范圍即可．【解答】解：由圖可知，﹣3＜x＜0時二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，所以，滿足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范圍是﹣3＜x＜0．故答案為：﹣3＜x＜0【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，數(shù)形結(jié)合準確識圖是解題的關(guān)鍵．11．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是a＜．【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到（2a﹣1）2﹣4a2＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＞0，解得a＜，所以a的取值范圍是a＜．故答案為：a＜．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．12．（3分）若點A（m，﹣2）在反比例函數(shù)的圖象上，則當函數(shù)值y≥﹣2時，自變量x的取值范圍是x≤﹣2或x＞0．【分析】根據(jù)題意可求點A的坐標；畫出草圖，運用觀察法求解．【解答】解：∵點A（m，﹣2）在反比例函數(shù)的圖象上，∴﹣2m＝4，m＝﹣2．∴A（﹣2，﹣2）．∴當函數(shù)值y≥﹣2時，自變量x的取值范圍是x≤﹣2或x＞0．故答案為：x≤﹣2或x＞0．【點評】此題考查了反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)以及運用觀察法解不等式，難度中等．注意反比例函數(shù)的圖象是雙曲線．13．（3分）一副三角板如圖放置，將三角板ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一邊所在的直線與BC垂直，則α的度數(shù)為15°或60°．【分析】分情況討論：①DE⊥BC；②AD⊥BC．【解答】解：分情況討論：①當DE⊥BC時，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；②當AD⊥BC時，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．故答案為：15°或60°【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的定義、旋轉(zhuǎn)角的求法以及一副三角板的各個角的度數(shù)，理清定義是解答本題的關(guān)鍵．14．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的兩個不等的實數(shù)根，則a2+b+ab的值為1．【分析】根據(jù)一元二次方程的解定義及根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b＝1，ab＝﹣3，a2﹣a﹣3＝0，得到a2＝a+3，將a2+b+ab化為（a+b）+ab+3，代入進行計算即可得到答案．【解答】解：由題意可知：a+b＝1，ab＝﹣3，a2﹣a﹣3＝0，∴a2＝a+3，∴原式＝a+3+b+ab＝（a+b）+ab+3＝1+（﹣3）+3＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的定義，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：，．15．（3分）2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成——中國民航商業(yè)運營國產(chǎn)大飛機正式起步．12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預(yù)演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇．此時相遇點H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H'距地面19米．【分析】根據(jù)題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令x＝0求平移后的拋物線與y軸的交點即可．【解答】解：由題意可知：A（﹣40，4）、B（40，4）．H（0，20），設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+20，將A（﹣40，4）代入解析式y(tǒng)＝ax2+20，解得：a＝﹣，∴y＝﹣+20，消防車同時后退10米，即拋物線y＝﹣+20向左平移后的拋物線解析式為：y＝﹣+20，令x＝0，解得：y＝19，故答案為：19．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖象的平移及坐標軸的交點，解題的關(guān)鍵是求得移動前后拋物線的解析式．16．（3分）如圖，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一點，且滿足CE＝CB，連接AE，以AE為腰，A為直角頂點作等腰Rt△ADE，連接CD，當CD最大，且最大值為+1時，則AB＝2．【分析】將CA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AH，連接CH，DH，利用SAS證明△CAE≌△HAD，得DH＝CE，當C、H、D三點共線時，CD最大，從而求出AC的長，即可解決問題．【解答】解：將CA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AH，連接CH，DH，∴CA＝AH，∠CAH＝90°，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，∠DAE＝90°，∴∠CAH＝∠DAE，∴∠CAE＝∠DAH，∴△CAE≌△HAD（SAS），∴DH＝CE，∴當C、H、D三點共線時，CD最大，設(shè)AC＝x，∵點C為AB的中點，∴CA＝CB，∵CE＝CB，∴CE＝AC＝DH＝x，CH＝x，∴x+x＝+1，∴x＝1，∴AB＝2AC＝2，故答案為：＝2．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8大題，共計52分，其中17題8分、18題7分、19-23每小題8分、24題7分）17．（8分）解方程（1）x2﹣2x＝5（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）【分析】（1）根據(jù)配方法可以解答此方程；（2）先移項，然后根據(jù)提公因式法可以解答此方程．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝5，∴x2﹣2x+1＝5+1，∴（x+1）2＝6，∴，解得，，；（2）∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（2﹣3x）＝0，∴x﹣3＝0或2﹣3x＝0，解得，x1＝3，．【點評】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適的解答方法．18．（7分）解方程：．【分析】可根據(jù)方程特點設(shè)y＝x2﹣2x，則原方程可化為y2﹣y﹣6＝0．解一元二次方程求y，再求x．【解答】解：設(shè)y＝x2﹣2x，則原方程化為y2﹣y﹣6＝0．即（y﹣3）（y+2）＝0，解得y1＝﹣2，y2＝3．當y1＝﹣2時，x2﹣2x＝﹣2，無解，當y2＝3時，x2﹣2x＝3．解得x1＝3，x2＝﹣1，檢驗：當x1＝3時，9﹣6﹣＝3﹣2＝1，當x2＝﹣1時，1+2﹣＝3﹣2＝1，x1＝3，x2＝﹣1都是原方程的根，∴原方程的根是x1＝3，x2＝﹣1．【點評】本題考查用換元法解分式方程的能力，用換元法解一些復雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．19．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的2倍，求a的值．【分析】（1）計算根的判別式的值得到Δ＝（a﹣2）2≥0，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝a﹣1，根據(jù)題意得a為整數(shù)，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1），然后解一次方程得到a的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，∴該方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：x2﹣ax+a﹣1＝0．（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]＝0，x﹣1＝0或x﹣（a﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝a﹣1，∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個根是另一個根的2倍，∴a為整數(shù)，a﹣1＝2×1或1＝2（a﹣1），解得a＝3或a＝（舍去），∴a的值為3．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．20．（6分）如圖，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點D在AC上，將△ABD繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度數(shù)；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的長．【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)求得∠BAD、∠BCD的度數(shù)，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得∠BCE的度數(shù)，故此可求得∠DCE的度數(shù)；（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的長，然后依據(jù)比例關(guān)系可得到CE和DC的長，最后依據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BAD＝∠BCE＝45°．∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°．（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴AC＝＝4．∵CD＝3AD，∴AD＝，DC＝3．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AD＝EC＝．∴DE＝＝2．【點評】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，求得∠DCE＝90°是解題的關(guān)鍵．21．（6分）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標系xOy．如果她從點A（3，10）起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅嬋的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m033.544.5豎直高度y/m1010k106.25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出k的值為11.25，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓練的入水點的水平距離為d1；比賽當天入水點的水平距離為d2，則d1＜d2（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點B開始計時，若點B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的270C動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？【分析】（1）待定系數(shù)法求出解析式，即可；（2）分別求出兩個解析式當y＝0時，x的值，進行比較即可；（3）先求出c的值，再求出t＝1.6時的y值，進行判斷即可．【解答】解：（1）由表格可知，圖象過點（3，10），（4，10），（4.5，6.25），∴h＝＝3.5，∴y＝a（x﹣3.5）2+k，∴，解得：，∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；故答案為：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，（2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，當y＝0時：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，解得：x＝5或x＝2（不合題意，舍去）；∴d1＝5米；∵y＝﹣5x2+40x﹣68，當y＝0時：﹣5x2+40x﹣68＝0，解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合題意，舍去）；∴d2＝+4＞5，∴d1＜d2，故答案為：＜；（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，∴B（4，12），∴c＝12，∴y＝﹣5t2+12，當t＝1.6時，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，∵﹣0.8＜0，即她在水面上無法完成此動作，∴她當天的比賽不能成功完成此動作．【點評】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式．22．（6分）在平面直角坐標系xOy中，記函數(shù)的圖象為G，直線l：經(jīng)過A（2，3），與圖象G交于B，C兩點．（1）求b的值；（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．記圖象G在B，C之間的部分與線段BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．①當m＝2時，區(qū)域W內(nèi)的整點個數(shù)為6個；②各區(qū)域W內(nèi)恰有4個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，m的取值范圍為3≤m＜4．【分析】（1）將點A的坐標代入一次函數(shù)關(guān)系式可得答案；（2）①結(jié)合圖象分析可得答案；②考慮臨界位置，結(jié)合圖象得出答案．【解答】解：（1）∵直線經(jīng)過點A（2，3），∴，解得b＝4，所以b＝4；（2）①如圖所示，區(qū)域W內(nèi)的整點有（1，3），（2，2），（3，2），（3，1），（4，1），（5，1），共6個．故答案為：6；②當m＝3時，區(qū)域W內(nèi)有4個整點，如圖所示．當m＜4時，區(qū)域W內(nèi)有4個整點，如圖所示．所以區(qū)域W內(nèi)有4個整點，m的取值范圍是3≤m＜4．故答案為：3≤m＜4．【點評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)（反比例函數(shù)）關(guān)系式，理解新定義等，確定臨界點是解題的關(guān)鍵．23．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A（x0，m），B（x0+4，n）在拋物線y＝x2﹣2bx+1上．（1）當b＝5，x0＝3時，比較m與n的大小，并說明理由；（2）若對于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范圍．【分析】（1）拋物線的解析式化成頂點式，即可求得對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；（2）求得拋物線與直線y＝1的交點，即可求得對稱軸，由對于3≤x0≤4，都有m＜n＜1得到，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，從而得到，解得4＜b＜5．【解答】解：（1）由題意可知A（3，m），B（7，n）在拋物線y＝x2﹣10x+1上，∵y＝x2﹣10x+1＝（x﹣5）2﹣24，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝5，∵A（3，m），B（7，n）到對稱軸的距離相同，∴m