2023-2024學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共16分，每題2分）1．（2分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．1，3，1 B．1，3，﹣1 C．0，﹣3，1 D．0，﹣3，﹣12．（2分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2分）已知A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在拋物線y＝3x2上，則y1與y2之間的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定大小關系4．（2分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0經(jīng)過配方變形為（x﹣2）2＝k，則k的值是（）A．﹣3 B．﹣7 C．1 D．75．（2分）將拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向下平移，關于平移前后的拋物線，下列說法正確的是（）A．開口方向改變 B．開口大小改變 C．對稱軸不變 D．頂點位置不變6．（2分）陀螺是一款常見的玩具．圖1為通過折紙制作的一種陀螺，圖2為這種陀螺的示意圖．若將圖2中的圖案繞點O旋轉x°可以與自身重合，則x的值可以是（）A．30 B．45 C．60 D．1057．（2分）小明熱愛研究鳥類，每年定期去北京各個濕地公園觀鳥．從他的觀鳥記錄年度總結中摘取部分數(shù)據(jù)如下：觀鳥記錄年度總結2020年：觀測鳥類150種2021年：觀測鳥類2022年：觀測鳥類216種設小明從2020年到2022年觀測鳥類種類數(shù)量的年平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．2×150x＝216 B．150x2＝216 C．150+150x2＝216 D．150（1+x）2＝2168．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，將AC繞點A逆時針旋轉α（0°＜α≤90°），得到線段AE，連接CE，設AB＝a，CE＝b，下列說法正確的是（）A．若α＝30°，則 B．若α＝45°，則 C．若α＝60°，則b＝a D．若α＝90°，則b＝2a二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）方程x2﹣4＝0的解是．10．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點A（3，4）與點B關于原點對稱，則點B的坐標是．11．（2分）寫出一個頂點在坐標原點，開口向下的拋物線的表達式．12．（2分）若關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值為．13．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△ADE．若AD⊥BC，則旋轉角的度數(shù)是．14．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以某點為中心，將右上方圖形“”旋轉到圖中左下方的陰影位置，則旋轉中心的坐標是．15．（2分）如圖，二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+k的圖象與y軸的交點坐標為（0，1），若函數(shù)值y＜1，則自變量x的取值范圍是．16．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（m，n），稱關于x的方程x2+mx+n＝0為點P的對應方程．如圖，點A（﹣1，0），點B（1，1），點C（﹣2，2）．給出下面三個結論：①點A的對應方程有兩個相等的實數(shù)根；②在圖示網(wǎng)格中，若點P（m，n）（m，n均為整數(shù)）的對應方程有兩個相等的實數(shù)根，則滿足條件的點P有3個；③線段BC上任意點的對應方程都沒有實數(shù)根．上述結論中，所有正確結論的序號是．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22-23題，每題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（5分）解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．18．（5分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，EF過點O且分別與AD，BC交于點E，F(xiàn)．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）記四邊形ABFE的面積為S1，?ABCD的面積為S2，用等式表示S1和S2的關系．19．（5分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，求代數(shù)式m（m﹣1）+5的值．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x．（1）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該二次函數(shù)的圖象；（2）點P（﹣2，7）該函數(shù)的圖象上（填“在”或“不在”）．21．（6分）已知關于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個根是正數(shù)，求m的取值范圍．22．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，4），B（﹣2，0），將△OAB繞原點O順時針旋轉90°得到△OA'B'（A'，B'分別是A，B的對應點）．（1）在圖中畫出△OA′B′，點A'的坐標為；（2）若點M（m，2）位于△OAB內（不含邊界），點M'為點M繞原點O順時針旋轉90°的對應點，直接寫出M'的縱坐標n的取值范圍．23．（5分）閱讀下面的材料并完成解答．《田畝比類乘除捷法》是我國南宋數(shù)學家楊輝的著作，其中記載了這樣一個數(shù)學問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，欲先求闊步，得幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬之和為60步，問它的寬是多少步？書中記載了這個問題的幾何解法：①將四個完全相同的面積為864平方步的矩形，按如圖所示的方式拼成一個大正方形，則大正方形的邊長為步；②中間小正方形的面積為平方步；③若設矩形田地的寬為x步，則小正方形的面積可用含x的代數(shù)式表示為；④由②③可得關于x的方程，進而解得矩形田地的寬為24步．24．（6分）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），（3，0）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）當x＞3時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝x+n的值小于二次函數(shù)y＝x2+bx+c的值，直接寫出n的取值范圍．25．（6分）在投擲實心球時，球以一定的速度斜向上拋出，不計空氣阻力，在空中劃過的運動路線可以看作是拋物線的一部分．如圖，建立平面直角坐標系xOy，實心球從出手到落地的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關系，記出手點與著陸點的水平距離為投擲距離．（1）小剛第一次投擲時水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m01234豎直高度y/m1.62.12.42.52.4①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，實心球運行的豎直高度的最大值為m；②求小剛第一次的投擲距離；（2）已知第二次投擲出手點豎直高度與第一次相同，且實心球達到最高點時水平距離與第一次也相同．若小剛第二次投擲距離比第一次遠，則實心球第二次運行過程中豎直高度的最大值比第一次（填“大”或“小”）．26．（6分）已知二次函數(shù)．（1）若b＝﹣1，求該二次函數(shù)圖象的對稱軸及最小值；（2）若對于任意的0≤x≤2，都有y≥﹣1，求b的取值范圍．27．（7分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在AB上（BD＜AD），過點D作DE⊥BC于點E，連接AE，將線段EA繞點E順時針旋轉90°，得到線段EF，連接DF．（1）依題意補全圖形；（2）求證：FD＝AB；（3）DF交BC于點G，用等式表示線段CE和FG的數(shù)量關系，并證明．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，已知點M不與原點重合．對于點P給出如下定義：點P關于點M的對稱點為P′，點P′關于直線OM的對稱點為Q，稱點Q是點P關于點M的“轉稱點”．（1）如圖，已知點M（t，0），P（t+1，1），點Q是點P關于點M的“轉稱點”．①當t＝2時，在圖中畫出點Q的位置，并直接寫出點Q的坐標；②PQ的長度是否與t有關？若無關，求PQ的長；若有關，說明理由；（2）已知點A（3，4），△ABC是邊長為2的等邊三角形（點A，B，C按逆時針方向排列），點N是點B關于點C的“轉稱點”，在△ABC繞點A旋轉的過程中，當BN最大時，直接寫出此時OB的長．

2023-2024學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）1．（2分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．1，3，1 B．1，3，﹣1 C．0，﹣3，1 D．0，﹣3，﹣1【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．據(jù)此作答．【解答】解：一元二次方程x2+3x﹣1＝0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1，3，﹣1．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．2．（2分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：選項A、B、C的圖形不都能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項D的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：D．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．3．（2分）已知A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在拋物線y＝3x2上，則y1與y2之間的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定大小關系【分析】先求得函數(shù)y＝3x2上的對稱軸為y軸，再判斷A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）在對稱軸左側，從而判斷出y1與y2的大小關系．【解答】解：∵函數(shù)y＝3x2上的對稱軸為y軸，∴A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）在對稱軸左側，∴拋物線開口向上，對稱軸左側y隨x的增大而減小．∵﹣1＞﹣2∴y1＜y2．故選：B．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的特征，利用已知解析式得出對稱軸進而利用二次函數(shù)增減性得出是解題關鍵．4．（2分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0經(jīng)過配方變形為（x﹣2）2＝k，則k的值是（）A．﹣3 B．﹣7 C．1 D．7【分析】利用解一元二次方程﹣配方法進行計算，即可解答．【解答】解：x2﹣4x+3＝0，x2﹣4x＝﹣3，x2﹣4x+4＝﹣3+4，（x﹣2）2＝1，∴k＝1，故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關鍵．5．（2分）將拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向下平移，關于平移前后的拋物線，下列說法正確的是（）A．開口方向改變 B．開口大小改變 C．對稱軸不變 D．頂點位置不變【分析】由拋物線向下移動可得拋物線對稱軸，頂點，開口方向和大小的變化，進而求解．【解答】解：將拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向下平移后，拋物線對稱軸不變，開口方向和大小不變，頂點位置改變，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律．6．（2分）陀螺是一款常見的玩具．圖1為通過折紙制作的一種陀螺，圖2為這種陀螺的示意圖．若將圖2中的圖案繞點O旋轉x°可以與自身重合，則x的值可以是（）A．30 B．45 C．60 D．105【分析】根據(jù)旋轉對稱圖形的概念（把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角）計算出角度即可．【解答】解：該圖形內部是八邊形，那么最小的旋轉角度為x＝＝45，故選：B．【點評】本題考查利用旋轉設計圖案，旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角．7．（2分）小明熱愛研究鳥類，每年定期去北京各個濕地公園觀鳥．從他的觀鳥記錄年度總結中摘取部分數(shù)據(jù)如下：觀鳥記錄年度總結2020年：觀測鳥類150種2021年：觀測鳥類2022年：觀測鳥類216種設小明從2020年到2022年觀測鳥類種類數(shù)量的年平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．2×150x＝216 B．150x2＝216 C．150+150x2＝216 D．150（1+x）2＝216【分析】根據(jù)2020年觀測鳥類種類數(shù)量×（1+年平均增長率）2＝2022年觀測鳥類種類數(shù)量，列出一元二次方程即可．【解答】解：由題意得：150（1+x）2＝216．故選：D．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．8．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，將AC繞點A逆時針旋轉α（0°＜α≤90°），得到線段AE，連接CE，設AB＝a，CE＝b，下列說法正確的是（）A．若α＝30°，則 B．若α＝45°，則 C．若α＝60°，則b＝a D．若α＝90°，則b＝2a【分析】分別求出當α＝30°，45°，60°，90°時，b與a的關系即可解答．【解答】解：當α＝30°時，過點C作CF⊥AE，如圖：∵四邊形是正方形，∴AC＝a，根據(jù)旋轉的性質可得AE＝a，∴CF＝a，AF＝a，EF＝，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理可得b2＝（3﹣）a2，∴b≠a，故A不合題意；當α＝45°時，如圖，AE＝AC＝a，CD＝a，根據(jù)勾股定理b2＝a2+（a）2＝3a2，∴b＝a，故B不合題意；當α＝60°時，如圖，∵AE＝ACa，∴△ACE是等邊三角形，∴b＝a，故C不合題意；當α＝90°時，如圖，∴AC＝AE＝a，∴CE＝2a，∴b＝2a．故選：D．【點評】本題考查勾股定理，特殊直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題關鍵．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）方程x2﹣4＝0的解是x1＝2，x2＝﹣2．【分析】首先移項可得x2＝4，再兩邊直接開平方即可．【解答】解：x2﹣4＝0，移項得：x2＝4，兩邊直接開平方得：x1＝2，x2＝﹣2，故答案為：x1＝2，x2＝﹣2．【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．10．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點A（3，4）與點B關于原點對稱，則點B的坐標是（﹣3，﹣4）．【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征求解．【解答】解：∵點A（3，4）與點B關于原點對稱，∴點B的坐標是（﹣3，﹣4）．故答案為：（﹣3，﹣4）．【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y）．11．（2分）寫出一個頂點在坐標原點，開口向下的拋物線的表達式y(tǒng)＝﹣x2（答案不唯一）．【分析】由于頂點坐標為（0，0），則拋物線解析式為y＝ax2，然后a取一負數(shù)即可．【解答】解：頂點在坐標原點，開口向下的拋物線的表達式可為y＝﹣x2．故答案為：y＝﹣x2．（答案不唯一）【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質．12．（2分）若關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值為1．【分析】由于關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，可知其判別式為0，據(jù)此列出關于m的方程，解答即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案為：1．【點評】本題主要考查了根的判別式的知識，解答本題的關鍵是掌握一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則可得Δ＝0，此題難度不大．13．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△ADE．若AD⊥BC，則旋轉角的度數(shù)是25°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質求出∠BAD的度數(shù)，就是旋轉角的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝25°，故答案為：25°．【點評】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．14．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以某點為中心，將右上方圖形“”旋轉到圖中左下方的陰影位置，則旋轉中心的坐標是（3，2）．【分析】對應點連線的交點即為旋轉中心．【解答】解：如圖，點Q即為旋轉中心，Q（3，2）．故答案為：（3，2）．【點評】本題考查坐標與圖形變化﹣旋轉，解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質，屬于中考?？碱}型．15．（2分）如圖，二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+k的圖象與y軸的交點坐標為（0，1），若函數(shù)值y＜1，則自變量x的取值范圍是0＜x＜2．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過（0，1），對稱軸為直線x＝1，由函數(shù)的性質可以得出函數(shù)圖象經(jīng)過（2，1），結合函數(shù)圖象得出結論．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+k的圖象與y軸的交點坐標為（0，1），對稱軸為直線x＝1，∴當x＝2時，y＝1，∵拋物線開口向上，∴函數(shù)值y＜1，自變量x的取值范圍是0＜x＜2，故答案為：0＜x＜2．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，關鍵是二次函數(shù)的性質和數(shù)形結合的思想的應用．16．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（m，n），稱關于x的方程x2+mx+n＝0為點P的對應方程．如圖，點A（﹣1，0），點B（1，1），點C（﹣2，2）．給出下面三個結論：①點A的對應方程有兩個相等的實數(shù)根；②在圖示網(wǎng)格中，若點P（m，n）（m，n均為整數(shù)）的對應方程有兩個相等的實數(shù)根，則滿足條件的點P有3個；③線段BC上任意點的對應方程都沒有實數(shù)根．上述結論中，所有正確結論的序號是②③．【分析】①根據(jù)新定義頂點方程x2﹣x＝0，求得方程的兩個解，即可判斷；②由題意得到Δ＝m2﹣4n＝0，即m2＝4n，由m，n都為整數(shù)，可以得到3組解；③由題意得到方程x2+mx﹣+＝0，利用根的判別式判斷即可．【解答】解：①∵點A（﹣1，0），∴點A的對應方程為x2﹣x＝0，解得x＝0或x＝1，故①錯誤；②∵點P（m，n）（m，n均為整數(shù)）的對應方程有兩個相等的實數(shù)根，∴方程x2+mx+n＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝m2﹣4n＝0，∴m2＝4n，∵m，n都為整數(shù)，∴在圖示網(wǎng)格中，m，n的整數(shù)解有、、共3個；故②正確；③∵點B（1，1），點C（﹣2，2），∴線段BC的解析式為y＝﹣x+（﹣2≤x≤1），∴線段BC上任意點的坐標為（m，﹣+），其對應方程為x2+mx﹣+＝0，∴Δ＝m2﹣4（﹣+）＝m2+m﹣＝（m+）2﹣，∵﹣2≤m≤1，∴﹣≤m+≤，∴Δ＝（m+）2﹣＜0，∴線段BC上任意點的對應方程都沒有實數(shù)根，故③正確．故答案為：②③．【點評】本題考查了點的坐標，根的判別式，能夠明確新定義，正確得到對應的方程是解題的關鍵．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22-23題，每題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（5分）解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【解答】解：x2﹣6x+2＝0移項，得x2﹣6x＝﹣2，即x2﹣6x+9＝﹣2+9，∴（x﹣3）2＝7，解得x﹣3＝±，即x＝3±．∴x1＝3+，x2＝3﹣．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．18．（5分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，EF過點O且分別與AD，BC交于點E，F(xiàn)．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）記四邊形ABFE的面積為S1，?ABCD的面積為S2，用等式表示S1和S2的關系．【分析】（1）由平行四邊形的性質得AD∥BC，OA＝OC，則∠OAE＝∠OCF，而∠AOE＝∠COF，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“ASA”證明△AOE≌△COF；（2）先證明△ABC≌△CDA，則S△ABC＝S△CDA＝S?ABCD，而S△AOE＝S△COF，則S四邊形ABFE＝S△四邊形ABFO+S△AOE＝S△四邊形ABFO+S△COF＝S△ABC＝S?ABCD，所以S1＝S2．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD交于點O，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．（2）在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴S△ABC＝S△CDA＝S?ABCD，∵△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S四邊形ABFE＝S△四邊形ABFO+S△AOE＝S△四邊形ABFO+S△COF＝S△ABC＝S?ABCD，∴S1＝S2．【點評】此題重點考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，證明S△ABC＝S△CDA＝S?ABCD是解題的關鍵．19．（5分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，求代數(shù)式m（m﹣1）+5的值．【分析】首先把m代入已知方程中，然后利用整體代值的思想即可求解．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，∴m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，∴m（m﹣1）+5＝m2﹣m+5＝2+5＝7．【點評】此題主要考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是利用整體代入的思想．20．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x．（1）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該二次函數(shù)的圖象；（2）點P（﹣2，7）不在該函數(shù)的圖象上（填“在”或“不在”）．【分析】（1）用描點法畫出二次函數(shù)的圖象即可；（2）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2x，解得y＝8，即可判斷點P（﹣2，7）不在該函數(shù)的圖象上．【解答】解：（1）列表：x…﹣10123…y…30﹣103…描點、連線，畫出函數(shù)圖象如圖：；（2）∵當x＝﹣2時，y＝x2﹣2x＝8，∴點P（﹣2，7）不在該函數(shù)的圖象上．故答案為：不在．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)點的坐標畫出函數(shù)圖象是解題的關鍵．21．（6分）已知關于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個根是正數(shù)，求m的取值范圍．【分析】（1）證明一元二次方程的判別式大于等于零即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝2﹣m，x2＝﹣1，結合該方程有一個根是正數(shù)可得出2﹣m＞0，解之即可得出m的取值范圍．【解答】（1）證明：∵一元二次方程x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0，∴Δ＝（m﹣1）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣2m+1﹣4m+8＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，∴Δ≥0．∴該方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：∵x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0，∴（x+m﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝2﹣m，x2＝﹣1．∵該方程有一個根是正數(shù)，∴2﹣m＞0，∴m＜2．【點評】本題考查了根的判別式、偶次方的非負性以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有實數(shù)根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．22．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，4），B（﹣2，0），將△OAB繞原點O順時針旋轉90°得到△OA'B'（A'，B'分別是A，B的對應點）．（1）在圖中畫出△OA′B′，點A'的坐標為（4，2）；（2）若點M（m，2）位于△OAB內（不含邊界），點M'為點M繞原點O順時針旋轉90°的對應點，直接寫出M'的縱坐標n的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質作圖，即可得出答案．（2）由題意可得﹣2＜m＜﹣1，進而可得1＜n＜2．【解答】解：（1）如圖，△OA′B′即為所求．由圖可得，A'（4，2）．故答案為：（4，2）．（2）由題意得，﹣2＜m＜﹣1，∴點M'在線段CD上，且不與點C，D重合，∴1＜n＜2．【點評】本題考查作圖﹣旋轉變換，熟練掌握旋轉的性質是解答本題的關鍵．23．（5分）閱讀下面的材料并完成解答．《田畝比類乘除捷法》是我國南宋數(shù)學家楊輝的著作，其中記載了這樣一個數(shù)學問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，欲先求闊步，得幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬之和為60步，問它的寬是多少步？書中記載了這個問題的幾何解法：①將四個完全相同的面積為864平方步的矩形，按如圖所示的方式拼成一個大正方形，則大正方形的邊長為60步；②中間小正方形的面積為144平方步；③若設矩形田地的寬為x步，則小正方形的面積可用含x的代數(shù)式表示為（60﹣2x）2平方步；④由②③可得關于x的方程（60﹣2x）2＝144，進而解得矩形田地的寬為24步．【分析】①由矩形田地的長與寬之和，可得出大正方形的邊長為60步；②利用中間小正方形的面積＝大正方形的面積﹣4×矩形田地的面積，即可求出結論；③若設矩形田地的寬為x步，則長為（60﹣x）步，中間小正方形的邊長為（60﹣2x）步，進而可得出小正方形的面積為（60﹣2x）2平方步；④由②③可得關于x的方程，此題得解．【解答】解：①∵矩形田地的長與寬之和為60步，∴按如圖所示的方式拼成一個大正方形，則大正方形的邊長為60步．故答案為：60；②根據(jù)題意得：中間小正方形的面積為60×60﹣864×4＝144（平方步）．故答案為：144；③若設矩形田地的寬為x步，則長為（60﹣x）步，中間小正方形的邊長為（60﹣x﹣x）＝（60﹣2x）步，∴小正方形的面積為（60﹣2x）2平方步．故答案為：（60﹣2x）2平方步；④由②③可得關于x的方程：（60﹣2x）2＝144．故答案為：（60﹣2x）2＝144．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．24．（6分）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），（3，0）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）當x＞3時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝x+n的值小于二次函數(shù)y＝x2+bx+c的值，直接寫出n的取值范圍．【分析】（1）利用交點式直接寫出拋物線解析式；（2）由于當直線y＝x+n經(jīng)過點（3，0）時，n＝﹣3，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質，當n≤﹣3時，數(shù)y＝x+n的值小于二次函數(shù)y＝x2+bx+c的值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），（3，0），∴二次函數(shù)解析式為y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）當直線y＝x+n經(jīng)過點（3，0）時，3+n＝0，解得n＝﹣3，此時函數(shù)y＝x+n的值等于二次函數(shù)y＝x2+bx+c的值，所以當n≤﹣3時，數(shù)y＝x+n的值小于二次函數(shù)y＝x2+bx+c的值，即n的取值范圍為n≤﹣3．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質．25．（6分）在投擲實心球時，球以一定的速度斜向上拋出，不計空氣阻力，在空中劃過的運動路線可以看作是拋物線的一部分．如圖，建立平面直角坐標系xOy，實心球從出手到落地的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關系，記出手點與著陸點的水平距離為投擲距離．（1）小剛第一次投擲時水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m01234豎直高度y/m1.62.12.42.52.4①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，實心球運行的豎直高度的最大值為2.5m；②求小剛第一次的投擲距離；（2）已知第二次投擲出手點豎直高度與第一次相同，且實心球達到最高點時水平距離與第一次也相同．若小剛第二次投擲距離比第一次遠，則實心球第二次運行過程中豎直高度的最大值比第一次小（填“大”或“小”）．【分析】（1）①由拋物線的對稱性可知實心球運行的豎直高度的最大值；②利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令y＝0，即可求出小剛第一次的投擲距離；（2）根據(jù)拋物線的對稱性即可作出判斷．【解答】解：（1）①由表格數(shù)據(jù)可知，拋物線的對稱軸為直線x＝＝3，當x＝3時，y＝2.5，故答案為：2.5；②設拋物線的解析式為：y＝a（x﹣3）2+2.5，∵當x＝0時，y＝1.6，∴1.6＝a×32+2.5，解得a＝，∴拋物線的解析式為：y＝（x﹣3）2+2.5，當y＝0時，0＝（x﹣3）2+2.5，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝8，答：小剛第一次的投擲距離為8m；（2）∵第二次投擲實心球達到最高點時水平距離與第一次也相同，∴第二次投擲拋物線對稱軸與第一次對稱軸相同，又∵第二次投擲出手點豎直高度與第一次相同，第二次投擲距離比第一次遠，∴實心球第二次運行過程中豎直高度的最大值比第一次小，故答案為：小．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，掌握二次函數(shù)的性質，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關鍵．26．（6分）已知二次函數(shù)．（1）若b＝﹣1，求該二次函數(shù)圖象的對稱軸及最小值；（2）若對于任意的0≤x≤2，都有y≥﹣1，求b的取值范圍．【分析】（1）把b＝﹣1代入解析式，并把解析式化為頂點式即可求解；（2）求出拋物線對稱軸為直線x＝﹣b，再分﹣b≤0，0＜﹣b＜2，﹣b≥2三種情況由函數(shù)的性質進行討論．【解答】解：（1）當b＝﹣1時，y＝x2+bx+1＝x2﹣x+1＝（x﹣1）2+，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1，最小值為；（2）∵y＝x2+bx+1，∴對稱軸為直線x＝﹣＝﹣b，①當x＝﹣b≤0，即b≥0時，∴當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，∴當x＝0時，y最小，最小值為1＞﹣1，∴b≥0；②當0＜﹣b＜2時，即﹣2＜b＜0，此時對稱軸在0～2段內，∴當x＝﹣b時y有最小值，∴ymin＝×（﹣b）2+b×（﹣b）+1＝﹣b2+1，令﹣b2+1≥﹣1，解得﹣2≤b≤2，∴﹣2＜b＜0；③當x＝﹣b≥2時，即b≤﹣2，∴當0≤x≤2時，y隨x的增大而減小，∴當x＝2時，ymin＝×22+2b+1＝2b+3≥﹣1，解得b≥﹣2，∴b＝﹣2，綜上所述，b的取值范圍為b≥﹣2．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的最值，關鍵是進行分類討論．27．（7分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在AB上（BD＜AD），過點D作DE⊥BC于點E，連接AE，將線段EA繞點E順時針旋轉90°，得到線段EF，連接DF．（1）依題意補全圖形；（2）求證：FD＝AB；（3）DF交BC于點G，用等式表示線段CE和FG的數(shù)量關系，并證明．【分