藝術(shù)生專用2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第六章不等式推理與證明第1節(jié)不等關(guān)系與不等式課時沖關(guān)

PAGEPAGE1第1節(jié)不等關(guān)系與不等式1．設(shè)a，b∈R，則“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：A[a＞1且b＞1?ab＞1；但ab＞1，則a＞1且b＞1不肯定成立，如a＝－2，b＝－2時，ab＝4＞1.故選A.]2．(2024·衡陽市一模)若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a＜b＜0，則下列命題正確的是()A．a(chǎn)c2＜bc2 B.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C.eq\f(b,a)＞eq\f(a,b) D．a(chǎn)2＞ab＞b2解析：D[當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，故選項(xiàng)A不成立；eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，∵a＜b＜0，∴b－a＞0，ab＞0，∴eq\f(b－a,ab)＞0，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故選項(xiàng)B不成立；∵a＜b＜0，∴取a＝－2，b＝－1，則eq\f(b,a)＝eq\f(－1,－2)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，∴此時eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，故選項(xiàng)C不成立；∵a＜b＜0，∴a2－ab＝a(a－b)＞0，∴a2＞ab.∴ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2.故選項(xiàng)D正確．]3．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)，q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2，其中a>2，x∈R，則p，q的大小關(guān)系是()A．p≥q B．p>qC．p<q D．p≤q解析：A[p＝a＋eq\f(1,a－2)＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時取等號．因?yàn)閤2－2≥－2，所以q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號．所以p≥q.]4．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)2＞b2 B．1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))aC.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＜2 D．a(chǎn)eb＞bea解析：D[由題意，b＜a＜0，則a2＜b2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＞1，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2，∵b＜a＜0，∴ea＞eb＞0，－b＞－a＞0∴－bea＞－aeb，∴aeb＞bea.]5．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：D[法一：(取特別值法)令m＝－3，n＝2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)即可．法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．]6．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的________條件．解析：∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分條件；而x2＋y2≥4不肯定得出x≥2且y≥2，例如當(dāng)x≤－2且y≤－2時，x2＋y2≥4亦成立，故“x≥2且y≥2”不是“x2＋y2≥4”的必要條件．∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要條件．答案：充分不必要7．(2024·邯鄲市質(zhì)檢)對于實(shí)數(shù)a，b，c有下列命題：①若a>b，則ac<bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a<b<0，則a2>ab>b2；④若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)；⑤若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a>0，b<0.其中是真命題的是________(寫出全部真命題的序號)．解析：若c>0，則①不成立；由ac2>bc2，知c≠0，則a>b，②成立；由a<b<0，知a2>ab，ab>b2，即a2>ab>b2，③成立；由c>a>b>0，得0<c－a<c－b，故eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)，④成立；若a>b，eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，則ab<0，故a>0，b<0，⑤成立．故全部的真命題為②③④⑤.答案：②③④⑤8．已知f(n)＝eq\r(n2＋1)－n，g(n)＝n－eq\r(n2－1)，φ(n)＝eq\f(1,2n)(n∈N*，n>2)，則f(n)，g(n)，φ(n)的大小關(guān)系是_____________________________________________________.解析：f(n)＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)<eq\f(1,2n)＝φ(n)，g(n)＝n－eq\r(n2－1)＝eq\f(1,n＋\r(n2－1))>eq\f(1,2n)＝φ(n)，∴f(n)<φ(n)<g(n)．答案：f(n)<φ(n)<g(n)9．已知12＜a＜60,15＜b＜36，求a－b，eq\f(a,b)的取值范圍．解：∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15.又12＜a＜60，∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45，即a－b的取值范圍是(－24,45)．∵eq\f(1,36)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,15)，∴eq\f(12,36)＜eq\f(a,b)＜eq\f(60,15)，∴eq\f(1,3)＜eq\f(a,b)＜4，即eq\f(a,b)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4)).10．某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“假如領(lǐng)隊(duì)買一張全票，其余人可享受7.5折實(shí)惠．”乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折實(shí)惠．”這兩個車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試依據(jù)單位去的人數(shù)比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更實(shí)惠．解：設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價(jià)為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.所以y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq