高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）數(shù)列的概念與簡單表示法

田-H-

第一"P數(shù)列的概念與簡單表示法

1基礎(chǔ)部1R委打牢強(qiáng)雙基］固本源|得基礎(chǔ)分|掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

1.數(shù)列的定義、分類與通項(xiàng)公式

（1）數(shù)列的定義：

①數(shù)列：按照一定順序排列的一列數(shù).

②數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).

⑵數(shù)列的分類：

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

項(xiàng)數(shù)

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限

遞增數(shù)列Q-n+1>Hn

項(xiàng)與項(xiàng)間的其中

遞減數(shù)列<3/7+1〈a?

大小關(guān)系/7EN*

常數(shù)列<3〃+1--<3/7

（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式：

如果數(shù)列｛&｝的第A項(xiàng)與座號(hào)二之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通

項(xiàng)公式.

2.數(shù)列的遞推公式

如果已知數(shù)列｛aj的首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)Z與它的前一項(xiàng)（〃22）（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可用

一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫數(shù)列的遞推公式.

［小題能否全?。?/p>

2345

1.（教材習(xí)題改編）數(shù)列1,Q,7,75…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

Oi

nn

A.a=~~~B.a-----

n2/7+1n2/7-1

nn

C-an=2n-3D,a"=2/7+3

答案：B

2.設(shè)數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和S=則為的值為（）

A.15B.16

C.49D.64

解析：選Aa二國一S二64—49=15.

3.已知數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式為為二后，則這個(gè)數(shù)列是（）

A,遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

/?+1n77+12-n刀+21

解析：選Aa?+1-a?=---=—————=―丁丁〉6

f2-3-1〃為偶數(shù),

4.（教材習(xí)題改編）已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式是a=Lr斗大物則&飛=_________.

[2〃-5〃為奇數(shù)，

解析：&?a=2X33?（2X3-5）=54.

答案:54

5.已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為a?=pn+且a?=|,

3,

&貝Ua=.

'q3（-1

2^+2=2'n~~

乙乙P一A，

解析：由已知得《。解得14

q3c

4/?+-=-,[g=2.

,12d9

貝=F故a=].

答案.

1.對(duì)數(shù)列概念的理解

（1）數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”

的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無序性.因此，若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么

它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列.

（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù).集的區(qū)別.

2,數(shù)列的函數(shù)特征

數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就

是相應(yīng)的函數(shù)解析式，即/'（a）=%（〃GN*）.

區(qū)高頻考點(diǎn)要通關(guān)

抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分I掌握程度

由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式

典題導(dǎo)入

［例1］（?天津南開中學(xué)月考）下列公式可作為數(shù)列仿〃}：1,2,1,2,1,2,…的通項(xiàng)公式的是（）

-1"+1

A.a=1B.劣=-----------

-177-1+3

C.an-2-sin—D.劣—■Q

n兀

［自主解答］由&=2-sirry可得國=1,a2=2,

a3=1,&=2,….

［答案］C

?>一題多變

若本例中數(shù)列變?yōu)椋?,1,0,1,…，貝Na“}的一個(gè)通項(xiàng)公式為

答案：

f0n為奇數(shù),（1+-1"1+cos〃吟

&=11〃為偶數(shù).［或&=-2—或&=-2—J

由題悟法

1,根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系、

規(guī)律，可使用添項(xiàng)、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式來求.對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用

（-1）”或（-1）小來調(diào)整.

2.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想.

以題試法

1,寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

.（1）3,5,7,9,-；

137531

2)2-4-8-6-3-2-

(3)3,33,333,3333,…；

31313

I

X2-----6-

3)4?5)

解：(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以a0=2〃+1.

2n-1

(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1,而分母組成數(shù)列2122,2'2\…，所以為二三L.

9QQQQ99999

⑶將數(shù)列各項(xiàng)改寫為予y,—,丁，…,分母都是3,而分子分別是10-1,102-1,103-1,104

-1,….

所以a〃=1(10"T).

(4)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式的符號(hào)為各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4,…；

而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1,偶數(shù)項(xiàng)為3,即奇數(shù)項(xiàng)為2-1,偶數(shù)項(xiàng)為2+1,

2+-10

所以為=(-1)〃-------——,也可寫為

〃為正奇數(shù),

a-<

n3

〃為正偶數(shù).

由a與S的關(guān)系求通項(xiàng)為

典題導(dǎo)入

［例2］已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S,根據(jù)下列條件分別求它們的通項(xiàng)員.

.(1)S=2/+3A；(2)S=3"+1.

［自主解一答］(1)由題可知，當(dāng)〃=1時(shí)，a=S=2Xl2+3Xl=5,

當(dāng)G2時(shí)，a?=S?-S?-I=(2步+3〃)-［2(/7-1)2+3(/?-1)］=4/?+1,

當(dāng)〃=1時(shí)，4X1+1=5=a,故a=4〃+1.

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，a=5=3+1=4,

當(dāng)G2時(shí)，

a尸Sn-Sn八=(3"+1)-(3"7+1)=2X3"T.

當(dāng)77=1時(shí)，2X3-1=2W&,

4,n-1,

故為=

2X3"',啟2.

由題悟法

已知數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和跖求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過程分為三步：

(1)先利用ai=Si求出a；

(2)用〃-1替換S中的a得到一個(gè)新的關(guān)系，利用a〃=S-S-l(A22)便可求出當(dāng)A22時(shí)為的表達(dá)式；

(3)對(duì)〃=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)2的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公

式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分〃=1與G2兩段來寫.

以題試法

2.(?聊城模擬)已知數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,且S=則±二()

56

A，6B，5

1

C.—D.30

nn—1111

解析：選D當(dāng)后2時(shí)，^=Sn-Sn-i=---=nn+i,貝睡=熱=而

數(shù)列的性質(zhì)

2

典題導(dǎo)入

［例3］已知數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式為為=〃2-21〃+20.

(1)〃為何值時(shí)，a〃有最小值？并求出最小值；

(2)n為何值時(shí)，該數(shù)列的前n項(xiàng)和最??？

［自主解答］(1)因.為a.=772-2177+20=(^72-2］、36］,可知對(duì)稱軸方程為A=32"］=10.5.又因77GN*,

故〃=10或〃=11時(shí)，a〃有最小值，其最小值為112-21X11+20=-90.

(2)設(shè)數(shù)列的前A項(xiàng)和最小,則有晶W0,由1-2"+20<0,解得1W〃W2O,故數(shù)列｛晶｝從第21項(xiàng)

開始為正數(shù)，所以該數(shù)列的前19或20項(xiàng)和最小.

?>一題多變

在本例條件下，設(shè)4=三，則〃為何值時(shí)，4取得最小值？并求出最小值.

2

.3，n77-21/7+2020

解：bn-~-〃+了-21,

n

令/U)=x+：-21(x>0)，則f'(x)=1-總由f'(x)=0解得x=2乖或x=-2^5(舍)而4<275

<5,故當(dāng)〃W4時(shí)，數(shù)列依｝單調(diào)遞減；當(dāng)心5時(shí)，數(shù)列間單調(diào)遞增.而4=4+丁-21=-12,k=5

+-T-21=-12,所以當(dāng)〃=4或〃=5時(shí)，4取得最小值，最小值為-12.

U

由題悟法

1.數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法

根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)z=/■(〃)，利用求解函數(shù)最值的方法求解，但要注

意自變量的取值.

2.前〃項(xiàng)和最值的求法

(1)先求出數(shù)列的前n項(xiàng)和S,根據(jù)S的表達(dá)式求解最值；

⑵根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若為20,且為+《0,則&最大；若&W0,且&+〉0,則S,最小，這樣便

可直接利用各項(xiàng)的符號(hào)確定最值.

以題試法

3.(?江西七校聯(lián)考)數(shù)列面｝的通項(xiàng)&，則數(shù)列｛&｝中的最大值是()

A.3^/10B.19

1D迎

C

-W60

解析：選C劣-,由基本不寺式行，90(2領(lǐng)’由于〃CN,易知當(dāng)〃-9或10時(shí)，a,-

yQun19

n十一

n"+n

最大.

福解題訓(xùn)練要高效抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

油級(jí)全員必做題

1.已知數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和為S,且S=2(a-1),貝IJ勿等于()

A.4B,2

C.1D.-2

解析：選A由題可知5=2(2-1),

所以S二a二2(4-1),解得ai-2.

又￡=&+及=2(/-1),解得&二&+2=4.

2.按數(shù)列的排列規(guī)律猜想數(shù)列奈I，-*…的第10項(xiàng)是()

OUIU

解析：選C.所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間，求通項(xiàng)公式時(shí)，我們可以把每一部分進(jìn)行分解：

符號(hào)、分母、分子.很容易歸納出數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式，a.=（-1產(chǎn)|萬口，故"。=.

3.數(shù)列｛&｝的前A項(xiàng)積為那么當(dāng)〃22時(shí)，2=（）

A.2/7-1B.n

解析：選D設(shè)數(shù)列射的前n項(xiàng)積為T“,則Tn=氏

丁yj2

當(dāng)?shù)?2時(shí)，an=3—=-----------_2.

—

In-1Z?1

3-n+11

4.已知數(shù)列｛aj滿足國〉0,-貝?擻列｛@〃｝是（）

an乙

A,遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.不確定

為+11

解析：選B又a>0,則a>0,

an乙

「.｛a｝是遞減數(shù)列.

5.（?北京高考）某棵果樹前刀年的總產(chǎn)量S與刀之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看，前加

年的年平均產(chǎn)量最高，力的值為（）

Sn

011234567891011n

A.5B..7

C.9D.11

SS

解析：選c依題意藍(lán)表示圖象上的點(diǎn)（億S）與原點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知，當(dāng)〃=9時(shí)，清大，

故勿二9.

6.（?江西八校聯(lián)考）將石子擺成如圖的梯形形狀.稱數(shù)列5,9,14,20,…為“梯形數(shù)”.根據(jù)圖形的

構(gòu)成，此數(shù)列的第2012項(xiàng)與5的差，即功。12-5二（）

A.2018X2012B.2018X2011

C.1009X2012D,1009X2011

77+6n-1

解析選D因?yàn)閍一品一產(chǎn)刀+2(〃22),所以4=5+-----------------,所以52012-5=1009X2011.

7.已知數(shù)列?｝滿足數(shù)二區(qū)a(s,tEN*),且&=2,貝IJ為二.

解析：令s=方二2,貝IJa=2X/二4,

令s=2,t=4,貝IJa=/義包=8.

答案：8

,__<3/2-1

8.已知數(shù)列｛a｝滿足劭=1,改=2,且為二--(刀23),則/012=________________.

a?-2

11

,,**3，n-1____2故

為

-當(dāng)

解析：將2二1,為二2代入為二---得當(dāng)二一二2,同理可得&二1,備二-2--4->

5/7-22)

數(shù)列｛aj是周期數(shù)列，周期為6,故0-2012=<9335X6+2二z2=2.

答案：2

9.已知｛aj的前A項(xiàng)和為S,且滿足logz(S+1)=〃+1,貝lja〃=.

解析：由已知條件可得S+1=2小

貝1=當(dāng)〃=1時(shí)，ai=S=3,

,f3,〃=1,

當(dāng)時(shí)，a〃=S-S-i=2f-l-2"+l=2；A=1時(shí)不適合a〃，故為=<“、

10.數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式是a?=n-7/2+6.

⑴這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？

(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？

(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)？

解：(1)當(dāng)〃=4時(shí)，a=42-4X7+6=-6.

(2)令a=150,即一一7〃+6=150,

解得77=16或n=-9(舍去),

即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng).

(3)令&=〃2-7〃+6>0,解得〃>6或(舍).

故從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù).

11.已知數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和S?-2n+2n,數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和T?=2-b?.求數(shù)列｛aj與伍｝的通項(xiàng)公

式.

2

解：?.?當(dāng)〃三2時(shí)，an=Sn-Sn-i{2n+27?)-[2(/7-I)+2(/7-1)]=4/?,

當(dāng)〃二1時(shí)，a=S=4也適合，

｛品｝的通項(xiàng)公式是品=4刀(刀EN*).

,：Tn-2-bn,

「?當(dāng)〃=1時(shí)，61=2—hbi=1.

當(dāng)〃22時(shí)，bn=Tn-Tn-x=(2-&)-(2-^-1),

：.2bn=bn-\.

數(shù)列｛"｝是公比為?首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.

12.(?福州質(zhì)檢)數(shù)列｛a｝中，已知a=2,an+i=an+cn(nEK,常數(shù)cWO),且為，血功成等比數(shù)

列.

⑴求。的值；

(2)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.

解：(1)由題知，出=2,d2=2+c,&=2+3c,

因?yàn)樗母摹⒐Τ傻缺葦?shù)列，所以因+C)2=2(2+3C),

解得。=。或。=2,又cWO,故。=2.

(2)當(dāng)時(shí)，由an+i-an+c〃得

出一ai=c,

&一&二2c,

an-&-1=(77-1)c,

n77-1

以上各式相加，得為一包=[1+2+…+(刀-1)]c=-c,

又劭=2,c=2,故a=772一刀+2(77三2),

當(dāng)〃二1時(shí)，上式也成立，

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為為二方-刀+2(〃￡“).

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.(?嘉興質(zhì)檢)已知數(shù)列｛4｝滿足國=1,a〃+iz=2"(〃eN*),則為。=()

A.64B.32

C.16D.8

「a?+2

解析：選B因?yàn)?1n+13，n-2,所以3，n+1a+2=2,兩式相除得=2.又3,13,2—2,51—1,所以&二2,

則詈?注4即團(tuán)。=2'-

2.數(shù)列｛&｝中，S為｛劣｝的前〃項(xiàng)和，刀(品+i-2)=2(刀￡10,且a二兀，則tanS等于()

A.

3

C.邛

解析：選B法一：由刀(a+1-a)二為得

+1=(7?+1)an,

4

可得32二4&,已知為=兀，貝Ua二可兀.

0

/2

又由2&二3期得&二鼻兀，

0

ji10

由石2=2石1,31=—,故&=乃1+32+8+國二丁兀，

OJ

101~

tanS=tan-Ji=yj3.

法二：:由〃(a+i-4)=an,

//、2+1Q

得na\-(刀+D為即一二二一n,

n+77+1n

3，n&-13，n-2&兀

==

???3=7?_]=x—2二???~3~3'

JI

?*?a,n--n,

兀/、1010r-

W=4+82+a+&=彳(1+2+3+4)=~n,tan2=tan-兀二73.

2a+3a+m.

3.(?甘肅模擬)已知數(shù)列｛aj中，a=l,且滿足遞推關(guān)系為+戶——n—n—(〃EN*).

Oyj-r1

⑴當(dāng)m=1時(shí)，求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為；

(2)當(dāng)〃EN*時(shí)，數(shù)列｛4｝滿足不等式為+奇為恒成立，求力的取值范圍.

2an+3a+1*

解：(1),：m-1,由4+1=-----------------------------(〃EN),得

a?十

2劣+1&7+1

a+i=----------:--------=2a+],

an+l

an+i+1=2(a+1),

數(shù)歹Ha+D是以2為首項(xiàng)，公比也是2的等比數(shù)列.

n

于是a+1=2?2"：an=2-1.

(2)...a+12③，而勒=1,知421,

2奇+3劣+/2

?,1三a?,即勿》—&?—2&7,

3.n'1

依題意，有(&+1)?+1恒成立.

???/2-2?+1=-3,即滿足題意的力的取值范圍是［-3,+°°).

I備選題I

1.下列說法中，正確的是()

A.數(shù)列1,3,5,7可表示為｛1,3,5,7)

B.數(shù)列1,0,「1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列

［刀+1］1

C.數(shù)列［?。莸牡?項(xiàng)為1+7

D.數(shù)列0,2,4,6,8,…可記為｛2加

\n+1172+111

解析：選c?.?數(shù)列匕滔的通項(xiàng)公式為為二丁=1+方故C正確；由數(shù)列的定義可知

A、B均錯(cuò)；D應(yīng)記作｛2(〃-1)｝.

2.數(shù)列｛a｝滿足a+a+i=;(〃GN*),由=2、S是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，貝1］￡1為()

7

A.5B.—

9

C-2

1111

知

故

222222必

解析：選B劭=T-色二為

---&---a-的-&-----

2->2>>A-2>2

17

^i=5+--2=-

3.如圖關(guān)于星星的圖案中，第刀個(gè)圖案中星星的個(gè)數(shù)為則數(shù)列｛&｝的一個(gè)通項(xiàng)公式是()