2024版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程

第八節(jié)函數(shù)與方程

考試要求：1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.

2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

3.了解用二分法求方程的近似解的方法.

---------、必備知識(shí)?回顧教材重“四基”/----------

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.函數(shù)的零點(diǎn)的概念

對(duì)于一般函數(shù)y=Ax）,把使Hx）=O的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=Ax）的零點(diǎn).

2.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系

方程Ax）=0有實(shí)數(shù)解=函數(shù)y=4x）的圖象與x軸有公共點(diǎn)＜=＞函數(shù)y=/x）有零點(diǎn).

3.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)曠=4團(tuán)在區(qū)間［a,句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且有血）?40v0.那么，函

數(shù)y=《x）在區(qū)間（a,6）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在cE（a,b）,使得人。=0,這個(gè)c也就是方

程4x）=0的解.

微提醒???

1.函數(shù)《&）的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程4x）=0的解，也是函數(shù)y=Hx）的圖象與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo).

2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件.判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根

據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性或結(jié)合函數(shù)圖象.

4.二分法

⑴函數(shù)y=在區(qū)間［a,句上的圖象連續(xù)不斷.

條件

（2）所在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值滿(mǎn)足血）斷＜0

不斷地把函數(shù)片Hx）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩

方法

個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值

5.常用結(jié)論

⑴若連續(xù)不斷的函數(shù)7W在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則Ax）至多有一個(gè)零點(diǎn).

⑵連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).

⑶連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).

二、基本技能?思想?活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

1.判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫(huà)7,錯(cuò)的畫(huà)“x”.

⑴函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).（x）

⑵二次函數(shù)y=aV+bx+&aW0）在當(dāng)毋-4acv0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).(V)

⑶若函數(shù)y=/U)在區(qū)間(a,加內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則北處)<0.(x)

⑷若心)在區(qū)間［a,句上連續(xù)不斷,且右)?煩>0,則心)在(a,加內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).

(x)

2.下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是()

A解析：根據(jù)二分法的概念可知選項(xiàng)A中函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn).

3.函數(shù)心)=€'+*-3在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

B解析：由題知函數(shù)是增函數(shù).根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理及<0)=-2<0,XD=e-2>0,

可知函數(shù)Ax)在區(qū)間(0,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).故選B.

4.已知2是函數(shù)儂={%2"‘血)’XN2,的一個(gè)零點(diǎn)，貝lj"4))的值是

2*,x<2

3解析：由題意知Iog2(2+s)=0,所以切=-1,所以々(4))=mog23)=2狽23=3.

5.設(shè)<x)=lgx+x-3,用二分法求方程lgx+x-3=0在(2,3)內(nèi)近似解的過(guò)程中得彩.25)<0,

X2.75)>0,X2.5)<0,X3)>0,則方程的根所在區(qū)間為

(2.5,2.75)解析：因?yàn)槁?5)<0,?75)>0,由零點(diǎn)存在定理知，在區(qū)間(2.25,2.75)內(nèi)必

有根，利用二分法得彩.5)<0,由零點(diǎn)存在定理知，方程的根所在區(qū)間為(2.5,2.75).

--------\關(guān)鍵能力?研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”/

考點(diǎn)1判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間一基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.函數(shù)me=Inx-《的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(-,7)和(3,4)D.(4,+8)

B解析：因?yàn)锳2)=ln2-l<0,人3)=In3-->0,且函數(shù)心)的圖象在(0,+8)上連續(xù)不

斷，口)為增函數(shù)，所以標(biāo))的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)±.

2.若函數(shù)心)的唯一零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間(0,4),(0,2),(1,2),(7,｝上，則與人0)符號(hào)相同

的是()

A.X4)B.X2)

C.XDD.嗎)

C解析：由題意知人力的零點(diǎn)在(7,｝上，可知《0)與《1)的符號(hào)相同.

3.曲線(xiàn)了=($*與/=乂向勺交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間為()

A.(。，$B.￡?

C.g令D.亭7)

B解析：設(shè)4x)=ex-x=,易知4x)單調(diào)遞減，

因?yàn)槊?=(y_(手>0,

題=(至_(芋<0,

所以姆姆<0,

所以函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為《，夕即所求交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間為￡夕

4.侈選題)已知函數(shù)仆)=//聲-2,利用零點(diǎn)存在定理確定各零點(diǎn)所在的范圍.下列區(qū)間

中存在零點(diǎn)的是()

A.(-3,-2)B.g7)

C.(2,3)D.(-7,今

AB解析：經(jīng)計(jì)算《一3)=—2=]>0,《一2)=—J+2—2=_與0,

X-l)=-1+^-2=妗=2+、-2=\>0,%1)=1+三一2=—/,

42)=32-2=《0,43)="r2=g0.

ZZJZO

又xWO,所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得區(qū)間(-3,-2),G，7),上存在零點(diǎn).

解題通法

確定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

⑴解決這類(lèi)問(wèn)題一般考慮利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y=《x)在區(qū)間[a,句上的圖象

是否連續(xù)，再看是否有4a)?46)<0.若有，則函數(shù)y=4x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)必有零點(diǎn).

⑵有些題目，如第3題也可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀(guān)察圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)的方法來(lái)

判斷

考點(diǎn)2確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)——綜合性

「典例引領(lǐng)」

例⑴函數(shù)場(chǎng)=lx-21-Inx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

C解析：由題意可知7W的定義域?yàn)椋?,+8）.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=lx-

2l（^>0）,y=lnxU>0）的圖象如圖所示.

由圖可知函數(shù)7U）在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

x?+x—2x<0

⑶函數(shù)口）={f,X；。的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2

C.7D.0

xv0x>0

B解析：由外）=。得J］：*產(chǎn)-。解得或….因此函數(shù).

共有2個(gè)零點(diǎn).

胴源異考/

將本例⑴中"KM=lx-2l-lnx”變?yōu)椤叭刷?lx-21-lln另”，結(jié)果如何？

D解析：由題意可知《x）的定義域?yàn)椋?,+8）.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=lx-

由圖可知函數(shù)4x）在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

解題通法

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

⑴直接求零點(diǎn).令4x)=0,有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

⑵函數(shù)零點(diǎn)存在定理.要求函數(shù)口)在區(qū)間［a,方上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且&)儂<0,再結(jié)合

函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

⑶利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出兩個(gè)函數(shù)圖象，觀(guān)察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù).

「多維訓(xùn)練」

1,設(shè)小，nEZ,已知函數(shù)《x)=k)g2(-3+8)的定義域是阿，n\,值域是［0,3］.當(dāng)切取最小

值時(shí)，函數(shù)以x)=2丘"+m+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

C解析：因?yàn)楹瘮?shù)7U)=log2(-區(qū)+8)的值域是［0,3］,所以1W-區(qū)+8W8,即-7WxW7.

因?yàn)楹瘮?shù)4Z=log2(-區(qū)+8)的定義域是㈤，n\,所以"的最小值為-7,此時(shí)式x)=-6.

令式x)=2E-6=0,解得x=2+log23或x=-logz3,即有2個(gè)零點(diǎn).

00<x<l

2.已知心)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)心0時(shí)，南)={‘一一’則函數(shù)y=/?Z)

-2x+4,x>7,

-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

8解析：函數(shù)y=也勸-1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程XXx))=1實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，令M=心)，則

A〃)=1.方程A〃)=1有3個(gè)實(shí)數(shù)根，且必1=-,,〃2=0,〃3=,.方程〃1=Ax)有2個(gè)實(shí)數(shù)

根，方程〃2=標(biāo))有2個(gè)實(shí)數(shù)根，方程〃3=3有4個(gè)實(shí)數(shù)根，故函數(shù)片有8個(gè)零

八占、、?

考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用一應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

考向1根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)

例?/⑴若函數(shù)7U)=2，-《-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)±,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,2)

C.(0,3)D.(0,2)

C解析:由條件可知以)42)<0,即(2-2-a)?(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得Ovav

3.

⑵若二次函數(shù)《團(tuán)=爐-2》+0在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

(-8,1］解析：由題意知切=-V+2x在(0,4)上有解.又-V+2x=-(x-l/+l,所以y

=(一x2)+2x在(0,4)上的值域?yàn)?-8,1］,所以-8<MWL

解題通法

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的步驟

把已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況轉(zhuǎn)化

Wr-為方程的解或兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)

的情況

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函

1列:式1-

數(shù)圖象列式

求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象

結(jié)1

1fel-得出參數(shù)的取值范圍

考向2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)

例?/⑴已知a是函數(shù)心）=2-logosx的零點(diǎn)，若0<x0<a,則心b）的值滿(mǎn)足（）

A.兀的=0

B.4^b）>0

C.人加）<0

D.4蜀）的符號(hào)不確定

C解析：心）在（0,+8）上是增函數(shù)，若Ovxo〈a,則4xo）v4a）=O.

⑵已知一元二次方程/+ax+1=0的一個(gè)根在（0,1）上，另一個(gè)根在（1,2）上，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為

（-1,一2）解析：設(shè)4入）=爐+公+1,作出y=4x）的圖象，如圖：

f（6>0,

由圖知。（7）<0,解得

f（2）>0,

解題通法

利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的方法

由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題，可采用數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，變?yōu)殛P(guān)于兩個(gè)初等函數(shù)

的方程，再在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解.

「多維訓(xùn)練」

px-nXV。

1.已知函數(shù)[見(jiàn)={'—'(aER),若函數(shù)7U)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

2x-a,x>0

值范圍是()

A.(0,1]B.[1,+8)

C.(0,1)D.(-co,1]

A解析：畫(huà)出函數(shù)<x)的大致圖象如圖所示.

因?yàn)楹瘮?shù)人力在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以7U)在(-8,0］和Q+8)上各有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)xWO

時(shí)，仙)有一個(gè)零點(diǎn)，需1-aNO,即awl；當(dāng)x>0時(shí)，仆)有一個(gè)零點(diǎn)，需-a<0,即a>0.

綜上，0<aWl.

2.若函數(shù)4x)=3x-7+Inx的零點(diǎn)位于區(qū)間(A,n+1)(/2EN)_t,則〃=

2解析：因?yàn)樾?在(0,+8)上單調(diào)遞增，且&)=-1+ln2<0,X3)=2+In3>0,所以

函數(shù)晚)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故〃=2.

—x>2

3.已知函數(shù)7(x)={xT'若方程式x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的

\2X-7|,x<2,

取值范圍是

(0,1)解析：畫(huà)出標(biāo))的圖象如圖所示，要使方程4x)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則需人力

的圖象與直線(xiàn)y=a有三個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).

_X2_2x~f~1X0

4.已知函數(shù)4力={'~'若函數(shù)4x)=3有四個(gè)不同的解見(jiàn)X2,X&&,

|iog—x|,x>o,

且X1V&V匹V&,則之的最小值是________,x4(x7+X2)7■—%的最大值是____________

X3X4

14解析：作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示.

由圖可知，要使方程Ax)=a有四個(gè)不同的解，則需lWa<2,故a的最小值是1.

由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，為+至=-2,由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，llogo_5闔=

llogo.sAl,即logo,赧=-1。9.5乂4,所以即i=l,所以X“(X7lx?)-以4+當(dāng)又函數(shù)

y=-2x+”在[2,4)上單調(diào)遞減，所以X4(x7+X2)+々的最大值為-2x2+5=4.

XXjX4Z

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(十三)

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.已知函數(shù);W=q-log2X,則的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,+8)

C解析：易知心)是單調(diào)函數(shù)，X3)=2-log23>0,X4)=1-log24=1-2=-^<0,故右)的零

點(diǎn)所在的區(qū)間是(3,4).

xW0,

2.已知函數(shù)仆)={1'則函數(shù)以工)=仆)-7的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

|log2x|,x>0,

A.0B.1

C.2D.3

C解析：令奴x)=《x)-T=0，即有4x)=(

當(dāng)xWO時(shí)，今=(解得x=l,不滿(mǎn)足xWO,所以無(wú)解；

當(dāng)x>0時(shí)，Ilog閡=；,解得x=，球x=與.

所以奴x)有2個(gè)零點(diǎn).故選C.

Inxx>7

3.已知函數(shù)7(x)={,'7'若函數(shù)y=4x)-1恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取

f(2—x)+k,x<1,

值范圍是()

A.(1,+8)B.[1,+8)

C.(-8,1)D.(-8,1]

B解析：當(dāng)口寸，若4x)=lnx=l,則”6,因此函數(shù)y=Rx)-1在xMl時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，

從而在x<l時(shí)無(wú)零點(diǎn).當(dāng)廣1時(shí)，2-x>l,=42-x)+A=In(2-方+A,它是減函數(shù)，值

域?yàn)橐?8),要使=1無(wú)解，則左》1.

4.二次函數(shù)4x)=/+6x+c,若心)>0,X2)<0,則Ax)在(1,2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A,至多有一個(gè)

B.有一個(gè)或兩個(gè)

C.有且僅有一個(gè)

D.一個(gè)也沒(méi)有

C解析：因?yàn)?1)>0,X2)<0,所以心)在(1,2)上必有零點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)為二次函數(shù)，所以

有且僅有一個(gè)零點(diǎn).故選C.

5.(2023?青島模擬)已知定義在R上的函數(shù)心)滿(mǎn)足：①<x)=44-x),②氏+2)=依)，③在

［0,1］上表達(dá)式為Hx)=2X-1,則函數(shù)以x)=4x)—log3區(qū)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4B.5

C.6D.7

A解析：由口)=44-方可得函數(shù)仆)關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，由心+2)=仆)可知函數(shù)人力是周

期為2的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)在［0,1］上的解析式和性質(zhì)可繪制函數(shù)的圖象如圖，函數(shù)以力的零

點(diǎn)滿(mǎn)足《X)=log3區(qū)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中繪制函數(shù)y=log3區(qū)的圖象，觀(guān)察可得，函數(shù)4x)=次x)

-log3區(qū)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.

6.若函數(shù)Ax)=必-"+1在區(qū)間C，y上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

［2§解析：由題意知方程數(shù)=*+1在￡3)上有解，即a=x+(在巳3)上有解.設(shè)

t=x&xeg3),貝L的取值范圍是［2,苧，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2,9.

7.方程1。80.5g-2")=2+*有解，貝lja的最小值為

1解析：若方程log0.5(a-2')=2+x有解，則(今2+x=2,有解，即Ixgx+2、=a有解.因

為;*今+2、3/+202%=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時(shí)，等號(hào)成立，故a的最小值為1.

8.已知函數(shù)&)=必+*-6的零點(diǎn)為A+1)(AEZ),其中常數(shù)a,6滿(mǎn)足生=3,3、2,

貝II刀=_________

-1解析：5=log23>l,0<5=log32Vl.令7(x)=0,得1/=-x+5.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)

出函數(shù)夕=寸和y=-x+Z?的圖象，如圖所示.

由圖可知，兩函數(shù)的圖象在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有交點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有零點(diǎn),

所以72=-1.

9.設(shè)函數(shù)加)={''

4(x-67)(x-2a),x>7.

⑴若a=l,求4x)的最小值；

⑵若心)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

0—7x<1

解⑴若2=1,則<X)={''

4(x-7)(x-2),x>7.

作出函數(shù)儂的圖象如圖所示，由圖可得人X)的最小值為-1.

(2)當(dāng)￡<1時(shí),7U)E(-a,2-a),所以當(dāng)心1時(shí)，要使心)恰有2個(gè)零點(diǎn)，需滿(mǎn)足2】-aW0,

即心2；

當(dāng)時(shí)，要使心)恰有2個(gè)零點(diǎn)，需滿(mǎn)足解得二Wa<L

21-a>0,2

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為g,7)U[2,+oo).

10.已知二次函數(shù)Hx)=/+5x+c滿(mǎn)足力>c,且41)=0,函數(shù)4x)=/x)+5x.

⑴證明：函數(shù)y=/x)必有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)；

⑵設(shè)函數(shù)y=4x)的兩個(gè)零點(diǎn)為百，亞，求出-對(duì)的取值范圍.

⑴證明：由k1)=0得a+8+c=0,所以5=-(a+c),g^x)=f^x)+bx=+2Z?x+c.

令雙才=0,即HA2+2Z?x+c=0,貝！Jd=4妤-4ac=4(a+。產(chǎn)-4ac=4(才+2ac+c2—ac)=4(a"+

ac+如2)+3天=4(a*C)2+3/>O,即/+26x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.所以函

數(shù)y=奴x)必有兩個(gè)不相等的零點(diǎn).

⑵解：由⑴知尸奴x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，即方程/+26x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

X7+X2=-也

所以｛0

C

XX=一.

72a

所以區(qū)-照1=“*7+X》2-4XjX2

=2,=2厘警

az=a，=a，

=21/(-)2+-+1=2y/(.-+^2+-.

aaaz4

因?yàn)閄I)=3+〃+C=0,且2>5>C,

所以2>0,C<0.

當(dāng)a>0,CVO且?=一夕寸，由一X2lmin=，3

所以由-初的取值范圍為W3+OO).

B組新高考培優(yōu)練

11.設(shè)函數(shù)7U)的定義域?yàn)镽,4—x)=Kx),《x)=42-X).當(dāng)xE[0,1]時(shí)，4x)=H則函數(shù)

4x)=lcosFJVI-TU)在區(qū)間[一T，§上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4

C.5D.6

C解析：由4-x)=Ax),得4x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).由4x)=A2-x),得Rx)的圖象關(guān)于直

線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng).當(dāng)xC［O,1］時(shí)，XA-)=Z所以7(x)在［-1,2］上的圖象如圖.

令4X)=Icos1T兄-4x)=0,得IcosTT兌=4x),函數(shù)了=4X)與/=IcOSTT弁的圖象在j上

的交點(diǎn)有5個(gè).

12.侈選題)已知心)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，在(-8,0)上單調(diào)遞減，且A-3)26)<0,

那么下列結(jié)論中正確的是()

A.小)可能有三個(gè)零點(diǎn)

B.43)?4一4)三0

C.X-4)<X6)

D.X0)<X-6)

AC解析：因?yàn)閮z是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，又4-3)?46)<0,所以X3)-X6)<0.又G)在(0,

+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)<x)在(0,+8)上有一個(gè)零點(diǎn)，且《3)<0,X6)>0,所以函數(shù)人力

在(-8,0)U(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn).但是加)的值沒(méi)有確定，所以函數(shù)4組可能有三個(gè)零

點(diǎn)，故A正確；又<-4)=<4),4￡(3,6),所以4-4)的符號(hào)不確定，故B不正確；C項(xiàng)顯

然正確；由于40)的值沒(méi)有確定，所以40)與4-6)的大小關(guān)系不確定，所以D不正確.

—7x三2.

13.(多選題乂2023?煙臺(tái)質(zhì)檢)已知函數(shù)7(x)={，'一'(RCR),奴x)=《x)-s,

-x2+6x-8,x>A

則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)R=0時(shí)，函數(shù)&)有3個(gè)零點(diǎn)

B.若函數(shù)心)恰有2個(gè)零點(diǎn),則入日2,4)

C.當(dāng)a=2時(shí)，若函數(shù)/X)有三個(gè)零點(diǎn)Xi,x2,23,則X1+熱+X3C(6,6+In2)

D.若存在實(shí)數(shù)s使得函數(shù)4x)有3個(gè)零點(diǎn)，則八以-8,3)

,,ex-1,x<0,

ACD解析：對(duì)于A(yíng),當(dāng)4。時(shí)’.二｛./"Xi,x>。,

x<0,x>0,

令4x)=0,得｛或｛

ex—1=0,-x2+6x—8=0,

解得x=0或x=2或x=4,故應(yīng)才有3個(gè)零點(diǎn)，A正確.

PX—7xv為

作出函數(shù)仆)={，'一'(|CR)的大致圖象，如圖所示,

-x2+6x-8,x>2

O/2小

>?=-%2+6%-8

對(duì)于B,當(dāng)4<0時(shí)，函數(shù)y=e，-l沒(méi)有零點(diǎn)，函數(shù)y=-必+6x-8有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)aNO時(shí)，函數(shù)y=e，-1的零點(diǎn)只有一個(gè)，要使7(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則必須滿(mǎn)足2W4<4,

故4E(-8,0)U[2,4),故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,若函數(shù)式X)有三個(gè)零點(diǎn)幾X2,題，即方程7W="有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

也即/=4方的圖象與直線(xiàn)了=必有3個(gè)不同的交點(diǎn)，止匕時(shí)Ovm<1,

當(dāng)4=2時(shí)，y=e，-l單調(diào)遞增，y=-V+6x-8的圖象為心>2的部分，函數(shù)在(2,3)上單調(diào)

遞增，在(3,+8)上單調(diào)遞減，所以直線(xiàn)y=s與函數(shù)y=-必+6x-8(x>2)的圖象有2個(gè)交

點(diǎn)，與函數(shù)y=e*-l(xW2)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)y=s與函數(shù)y=-*+6x-8(x>2)的

圖象的2個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為，物與/=6，-1(十忘2)的圖象的1個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為品，由

二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知M+至=6,當(dāng)砂-1=1吐x=ln2,所以。<不<In2,所以為+用

+為6(6,6+In2),故C正確；對(duì)于D,結(jié)合人力的圖象，當(dāng)八=3時(shí)，y=e—l單調(diào)遞增，

y=(-xD+6x-8單調(diào)遞減，此時(shí)最多有2個(gè)零點(diǎn)，所以若存在實(shí)數(shù)m使得函數(shù)雙x)有3

個(gè)零點(diǎn)，則4<3,故D正確.故選ACD.

|2X-7|,x<7,

14.(多選題)已知函數(shù)7U)={4,，若存在實(shí)數(shù)力使得方程式x)=m有四個(gè)互不

x+一—4,x>7.

X

相等的實(shí)數(shù)根Xi,X2,匹，X4(X1<X2<X3<X4),則下列敘述中正確的有()

A.Xi+J^<0

B.電1=4

C.X3)</77

D.4&)+不有最小值

ABD解析：作出函數(shù)標(biāo))的圖象如圖：

234%

由條件知Ov及vl,1<X3<2,2<X4,0<277<l.

由&1)=兀及)=山得啰7—[=12X2—II,

即7—2X7=2X2—L得2X7+2X2=2,

得2>2^2X7?2X2=2^2X7-2,

則2X7—2V1,即為+奧VO成立，故A正確；

由4毛)=《%)=277知匹，蜀是方程X+：—4=777,即A2—(4+m)x+4=0的兩個(gè)根，貝！J=4,

故B正確；

43)=3+：-4=一，而Ovmvl,兩者無(wú)法比較大小，故C錯(cuò)誤；

?二4奧)=《品)=m,<奧)+瑪=4瑪)+瑪=七+2-4+吊=2吊+<-4^2V^x5---4=N2-4,

x3x3x3

當(dāng)且僅