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文檔簡(jiǎn)介

分類討論思想經(jīng)典考題講練

解題要點(diǎn)剖析

當(dāng)所研究的對(duì)象具有某種不確定性,難以用統(tǒng)一的方法進(jìn)行研究時(shí),需要分不同情況進(jìn)行討論,簡(jiǎn)單地說(shuō),分類討論就是“化

整為零,逐個(gè)擊破”.分類討論問(wèn)題往往是綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題,也是創(chuàng)新型問(wèn)題之一.我們經(jīng)常會(huì)遇到“不知如何下手”或“結(jié)論不完整,

有漏解”的情況.本文以近幾年中考?jí)狠S小題為載體,主要探究以下三種分類討論類型:結(jié)論不確定型、圖形位置不確定型和無(wú)圖幾

何題.希望大家在賞析中體會(huì)分類討論思想,在實(shí)踐中應(yīng)用分類討論的方法思考問(wèn)題.

經(jīng)典考題解析

例1如圖10-1所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線y=kx(k>0)分別交反比例函數(shù).y

=孑口y=[在第一象限的圖象于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)B作BDJ_x軸,垂足為點(diǎn)D,交y=[的圖象于

點(diǎn)C,連接A。若八ABC是等腰三角形,則k的值是

分析因?yàn)榈妊切伟薃BC沒(méi)有指明哪條邊是腰,哪條邊是底,所以需要分三種情況討論:AB是底,BC是底和AC是底.

聯(lián)立方程組,求出直線與雙曲線的交點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及等腰三角形兩腰相等建立方程,即可求出k的值.

,?,點(diǎn)B是y=kx和y=糊交點(diǎn),令kx=,解得:x=%y=3限

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為3的.

??,點(diǎn)人是丫=心和.y=[的交點(diǎn),令心=3解得:x=^=,y=y[k.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為仁,皿)

?.,BD_Lx軸,

???點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為靠縱坐標(biāo)為|=當(dāng).

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為隰*).

若^ABC是等腰三角形:

⑴當(dāng)AB=BC時(shí),則JC?+(3小包)2=3Vfc-當(dāng)解得:k=浮

⑵當(dāng)AC=BC時(shí),則+(合用*=3a-當(dāng)

解得:女吟;

(3)當(dāng)AB=AC時(shí),由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得:點(diǎn)A的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)B和點(diǎn)C縱坐標(biāo)之和的一半,即迎='嬖,故k=

0,矛盾,舍去.

綜上可得:上=學(xué)或上=¥.

小結(jié)本題綜合考查了一次函數(shù),反比例函數(shù),求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn),等腰三角形的性質(zhì)以及分類討論思想方法

等知識(shí).求解的關(guān)鍵是先聯(lián)立方程組求出直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),然后把等腰三角形分三種情況討論,最后建立關(guān)于k的方程并求出

k的值.

A

例2如圖10-2所示NAOB=45。,點(diǎn)M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn),若/

X

使點(diǎn)P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè),則x的取值范圍是—./

M/

分析假如點(diǎn)M,N位置確定,尋找使點(diǎn)P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P的方法是“兩圓一線”、“兩/

OB

圓”指的是分別以點(diǎn)M、N為圓心,以MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,與射線OB有幾個(gè)不同的交點(diǎn)就意味著有幾個(gè)符圖10_2

合條件的點(diǎn)P;“一線”指的是線段MN的垂直平分線與射線OB的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.因?yàn)橐蠓蠗l件的

點(diǎn)P只有三個(gè),故只需保證“兩圓”與射線OB的交點(diǎn)只有2個(gè);又因?yàn)镸N是射線OA上的運(yùn)動(dòng)的定長(zhǎng)線段,故可以考慮讓點(diǎn)M從

點(diǎn)。出發(fā),慢慢地向前移動(dòng),觀察并思考“兩圓”與射線OB的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

分三種情況討論:

①如圖10-3所示,當(dāng)M與O重合時(shí),以M為圓心,以4為半徑的。M與射線OB交于點(diǎn)P】;;以N為圓心,以4為半徑的。N與

射線OB交于點(diǎn),Pz;;線段MN的中垂線交射線OB于點(diǎn).P3,故當(dāng)久=0時(shí),點(diǎn)P恰好有三個(gè).

②如圖10-4所示,以N為圓心,以4為半徑畫(huà)圓,當(dāng)ON與射線OB相切時(shí),切點(diǎn)為Pi;以M為圓心,以4為半徑的。M與

射線OB交于P2;線段MN的中垂線與射線OB交于P3.故此時(shí)點(diǎn)P恰好有三個(gè).

?/ZAOB=45°,

/.△NOPt是等腰直角三角形NPt=0Pl=4.

ON=4V2x=ON-MN=4V2-4.

③如圖10-5所示以M為圓心,以4為半徑畫(huà)。M;以N為圓心,以4為半徑畫(huà)。N.設(shè)。Mi恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)OQM?恰好與射線OB相

切.

當(dāng)點(diǎn)M和Mi重合時(shí),即。M恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí),此時(shí)x=4,OMi與射線OB只有一個(gè)交點(diǎn)(點(diǎn)O除外).此時(shí)ON】=8,ON1與射

線OB無(wú)交點(diǎn),線段MiNi的中垂線與射線OB有一個(gè)交點(diǎn),故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè);

當(dāng)點(diǎn)M和M2重合時(shí),即。M恰好與射線OB相切,此時(shí)久=4V2,OW2=4V2+4,ON2與射線OB無(wú)交點(diǎn),線段M2N2的中

垂線與射線OB有一個(gè)交點(diǎn),故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè);

當(dāng)4Vx<4四時(shí),即點(diǎn)M在線段MiM2之間運(yùn)動(dòng),OM與射線0B有兩個(gè)交點(diǎn),ON與射線OB無(wú)交點(diǎn),線段MN的中垂

線與射線0B有一個(gè)交點(diǎn),故滿足條件的點(diǎn)P恰好有三個(gè).

綜上所述,若使點(diǎn)P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè),貝Ux=0或工=4&-4或4〈久V4或.

解答0或4立一4或4c久<4V2.

小結(jié)本題以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為載體,綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、“兩圓一線”找

等腰三角形以及分類討論思想等知識(shí).求解的關(guān)鍵是讓點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā),觀察。M和。N與射線0B的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化,在整

個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)三種滿足題意的情況:點(diǎn)M和點(diǎn)O重合,ON與射線OB相切,OM與射線OB有兩個(gè)交點(diǎn),ON與射線O

B無(wú)交點(diǎn).

例3如圖10-6所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=-x+m分別交x軸.y軸于A,B兩

點(diǎn),已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)O到直線AB的距離是___;

(2)設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn),連接PA,PC,若LCPA=NABOTHm的值是—.

圖10-6

分析當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,易求m的值,進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo);最后根據(jù)RtAAOB的等面積法求

出點(diǎn)。至U直線AB的距離;因?yàn)楸绢}沒(méi)有告訴m的范圍,故需要分m>0和m<0(由題可知m=0不需考慮),當(dāng)m>0時(shí),易知Z.CPA

=ZABO=45°,故可以構(gòu)造“一線三等角”模型,在y軸負(fù)半軸上取(0D=0C,易知△PCDCO&APB,然后借助相似三角形的性質(zhì)即

可建立關(guān)于m的方程,最后求出m的值;當(dāng)m<。時(shí),NCPA=NABO不可能成立.

⑴當(dāng)x=2時(shí),y=-2+m=0,即m=2.

所以直線AB的解析式為y=-x+2,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2).

所以O(shè)B=OA=2,AB=2V2.

設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d.

2

由S0AB=l0A=lAB-4得4=2魚(yú)d,則d=V2.

⑵由y=-x+m可得A、B的坐標(biāo)分另U為(m,0),(0,m).所以O(shè)A=OB,故NOBA=NOAB=4

5°.

當(dāng)m<0時(shí),如圖10-7所示,NAPC>NAPO>NOBA=45。,這與NCPA=NABO矛盾故不

合題意.

當(dāng)m>0時(shí),如圖10-8所示,作OD=OC=2,連接CD故NPDC=45。,

因?yàn)镹CPA=NABO=45。,

所以NBPA+NOPC=NBAP+NBPA=135。,即/OPC=NBAPjil!UPCD^AAPB.

所以9=霽,艮警=注解得m=12.

ABPBy/2m-m

2

綜上可得:m=12.解答⑴V2;(2)12.

10-8

小結(jié)本題綜合考查了一次函數(shù)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、構(gòu)造“一線轉(zhuǎn)角”模型、相似三角形的判定和

性質(zhì)、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想方法等方法.本題的難點(diǎn)在于第⑵問(wèn),首先根據(jù)數(shù)形結(jié)合排除X)的情況;當(dāng)m>0時(shí),求解的

\EW風(fēng)⑷

困難點(diǎn)在于如何使用NCPA-ABO,當(dāng)題目給出相等的角,需求邊長(zhǎng)(線段OB的長(zhǎng),即m的嚼匕鯉需要借助冕后改韁立

方程模型求解,考慮到NCPA=NABO=45。,故可以構(gòu)造“一線三等角”模型找到包含PB的相似三保病

AB

圖10-9圖10-10

例4在三角形紙片ABC中,NA=90。,NC=30。,AC=30cm,將該紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線

折疊,使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處,折痕記為BD(圖10-9),剪去△CDE后得到雙層

ABDE(圖10-10),再沿著過(guò)八BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi),使得展開(kāi)后的平面

圖形中有一個(gè)是平行四邊形,則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為—cm.

分析沿著過(guò)△BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi),有三種情況:沿著過(guò)點(diǎn)D的直線剪,沿著過(guò)點(diǎn)B的直線剪和沿著過(guò)點(diǎn)

E的直線剪.因?yàn)檎归_(kāi)后的平面圖形中有一個(gè)是平行四邊形,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,展開(kāi)得到的平行四邊形一定是菱形.沿著過(guò)點(diǎn)B

的直線將雙層三角形剪開(kāi),得到的是一個(gè)“箏形”(兩組鄰邊相等的四邊形),不是平行四邊形,故不符合題意;沿著過(guò)點(diǎn)D的直線D

F將雙層三角形剪開(kāi),當(dāng)DF=BF時(shí),可以得到一個(gè)平行四邊形;沿著過(guò)點(diǎn)E的直線EG將雙層三角形剪開(kāi),當(dāng)ED=EG時(shí),可以得

到一個(gè)平行四邊形.

NA=9(T,NC=3(r,AC=30,,AB=10V3,ZABC=60°.

VAADB^AEDB,

2LABD=乙EBD=^ABC=30°,BE=AB=10V3.

DE=10,BD=20.

如圖10-11,平行四邊形的邊是DF,BF.由NE=9(P,NEDF=3(r,DE=10濯DF=BF=萼

故平行四邊形的周長(zhǎng)=竿;

如圖10-12,平行四邊形的邊是DE,EG,且DE=EG=10,故平行四邊形的周長(zhǎng)=40.

綜上所述:平行四邊形的周長(zhǎng)為40或竿.

解答40或等.

小結(jié)本題綜合考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、

全等三角形的性質(zhì)以及分類討論思想方法等知識(shí).求解的關(guān)鍵是:得到一個(gè)展開(kāi)的平行四邊形,本質(zhì)上就是得到一個(gè)展開(kāi)的菱形,根

據(jù)菱形的四條邊相等可知,沿著過(guò)△BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi),必須得到一個(gè)等腰三角形才符合題意.

例5(沈陽(yáng))如圖10-13所示,在RtAABC中,乙4=90°,AB=AC,BC=20/DE是AABC的中位線,點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn),BM=3,

點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DN,ME,相交于點(diǎn)O.若△OMN是直角三角形,則DO的長(zhǎng)是—.

分析因?yàn)椤鱋MN是直角三角形,但沒(méi)有指明哪個(gè)角是直角,故需要分類討論,考慮到NOMN不可能是直角,故需要分

乙0NM=90。和AMON=90。.要求線段OD的長(zhǎng),需要借助相似三角形的判定和性質(zhì)來(lái)求,故首先需要構(gòu)造和△DOE相似的三角彩

當(dāng)40NM=90。時(shí),如圖10-14所示作EF±BC于點(diǎn)F,易知DN||EF.

四邊形DEFN是平行四邊形.

VZEFN=90°,A四邊形DEFN是矩形.

VDE是^ABC的中位線,DEBC,DE=^BC=10.

???EF=DN,DE=FN=10.

VAB=AC,ZA=90°,

JB=M=45I.BN=DN=EF=FC=W=5.

,:BM=3,MN=BN-BM=2.

pn

;訴OD10_OD

???DOExsNOM,.ONi2-5-OD'

OD=空(或者利用△DOE~AFEM).

6

當(dāng)乙MON=90。時(shí),如圖10-15作EF1BC于F,易知EM=VEF2+FM2=13.v

圖10-15

OD10OD

DOE?EFM,—

EF13

50

???OD

13,

綜上可得:OD="或OD=

解答親照.

小結(jié)本題綜合考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、

相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討論思想方法等知識(shí).求解的關(guān)鍵是:考慮到△DOE是直角三角形,故通過(guò)作垂線或識(shí)別“8字形”

基本圖形可以構(gòu)造和△DOE相似的三角形△EFM或ANOM,最后借助相似三角形的性質(zhì)建立方程模型即可求解.

例6如圖10-16所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8點(diǎn)P在矩形AB-CD的內(nèi)部,點(diǎn)E在邊BC上.滿足△PBES/\DBC苕AAPD

是等腰三角形,則PE的長(zhǎng)為—.

分析由八PBEs/\DBC,可得NPBE=NDBC,進(jìn)而可知點(diǎn)P在BD上,然后再根據(jù)△APD是等腰

三角形,故分DP=DA、AP=DP兩種情況進(jìn)行討論即可得.

四邊形ABCD是矩形,二ZBAD=ZC=90°,CD=AB=6....BD=V62+82=10.

APBE^ADBC,,NPBE=/DBC..,.點(diǎn)P在BD上.

①如圖10-16,當(dāng)DP=DA=8時(shí),BP=2.

VAPBE^ADBC,APE:CD=PB:DB=2:10.

PE:6=2:10..1.PE=1.2.

②如圖10-17,當(dāng)AP=DP時(shí),易知點(diǎn)P為BD中點(diǎn)

APBE^ADBC,,PE:CD=PB:DB=1:2.

PE:6=1:2,/.PE=3.

綜上所述.PE的長(zhǎng)為1.2或3.

解答1.2或3.

小結(jié)本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及分類討論和數(shù)形結(jié)合思想等方法.

求解的關(guān)鍵是先根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等,確定出點(diǎn)P在線段BD±,然后針對(duì)等腰三角形△APD進(jìn)行分類討論,并結(jié)合數(shù)形結(jié)

合思想進(jìn)行求解.

例7在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(-1⑵,(2,1),若拋物線y=ax2-x+2(a0)與線段MN有兩個(gè)不

同的交點(diǎn),則a的取值范圍是().

A.aW-1或;<a<|

。.?!叮刍颉!担菘?20-1或(12:

分析題目沒(méi)有說(shuō)明a的符號(hào),故需要分a>0和a<0兩種情況討論:

①當(dāng)a>0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸為x=?0.如圖10-18,當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N時(shí),即當(dāng)x=2時(shí),4a=1,所以a=土.又因?yàn)閽佄锞€與

線段有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故拋物線的開(kāi)口應(yīng)該變小,所以

MNa24

又易知直線MN的解析式為y=一?+|,如圖10-19,令ax2-x+2=-|%+所以△>0,解得(a</所以:4a<去

②當(dāng)a<0時(shí),如圖10-20,拋物線的對(duì)稱軸為x=/<0,與y軸交點(diǎn)為(0,2).

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí),即當(dāng)x=-l時(shí),a+3=2,所以a=-l.

觀察圖象可知:a±L

綜上可知,[Va<5或a±l,故選A.

解答A.

小結(jié)本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),二次函數(shù)中a,b,c只拋物線的作用,二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系

(用判別式判斷根或交點(diǎn)的情況),以及分類討論、數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí).求解的關(guān)鍵是先對(duì)拋物線開(kāi)口方向進(jìn)行討論,對(duì)于每一種

情況,借助數(shù)形結(jié)合思想求出拋物線與直線存在交點(diǎn)時(shí)的臨界情況,即求出a的邊界值,最后再根據(jù)拋物線開(kāi)口大小進(jìn)而確定a的

取值范圍.

_DE

例8如圖10-21所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,點(diǎn)E在CD上.DE=1,點(diǎn)F是邊AB上一

動(dòng)點(diǎn),以EF為斜邊作RtAEFP.若點(diǎn)P在矩形ABCD的邊上,且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè),則A

F取值范圍是—.B

圖10-21

分析因?yàn)椤鱁FP是以EF為斜邊的直角三角形,所以可以借助輔助圓的思想來(lái)分析問(wèn)題,即作出以EF為直徑的

00,觀察。O與矩形ABCD交點(diǎn)的情況,則。。與矩形ABCD的交點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)P.

①當(dāng)F與點(diǎn)A重合時(shí),如圖10-22所示,此時(shí)點(diǎn)P有兩個(gè),一個(gè)與D重合,另一個(gè)交點(diǎn)在邊AB上.

②當(dāng)00與AD相切時(shí),如圖10-23所示,此時(shí)EF_LAB.因?yàn)锳D=2,DE=1.所以AF=1廁OO與AD邊的切點(diǎn)為P,交點(diǎn)P只有一個(gè).

③當(dāng)。O與BC相切時(shí),如圖10-24所示,連接OP,此時(shí)存在3個(gè)交點(diǎn)P,則OPLBC.設(shè)AF=x,則.BF=P1C=4-x,EP1=x-l.

1Y—1

???OP//EC.OE=OF,:.OG==半

.:OF=OP=OG+GP=^+4-X=^.

在RtAOGF中,由勾股定理得:OF2=OG2+GF2,BP

(,=(/+/,解得久罟

.?.當(dāng)1<4F<三時(shí),如圖10-25所示,符合條件的直角三角形恰好有兩個(gè).

④當(dāng)F與B重合時(shí),如圖10-26所示,同①的方法,符合條件的直角三角形恰好有兩個(gè).

綜上所述,AF=0或4或1<4F<£.

解答AF=0或AF=4或1<AF

小結(jié)本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、圓的切線的性質(zhì)、構(gòu)造輔助圓、三角形中位線定理、圓的性質(zhì)(直徑所對(duì)的

圓周角是直角)、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí).求解的關(guān)鍵是構(gòu)造以EF為直徑的。O,讓點(diǎn)F從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,觀察動(dòng)圓O

與矩形ABCD的交點(diǎn)情況,畫(huà)出相應(yīng)的臨界情況,求出對(duì)應(yīng)的邊界值,最后通過(guò)數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論.

全真模擬訓(xùn)練

1.如圖10-27是一張長(zhǎng)方形紙片ABCD,已知AB=8,AD=7,E為AB上一點(diǎn),AE=5,現(xiàn)要剪下一張等腰

三角形紙片((A4EP),使點(diǎn)P落在長(zhǎng)方形ABCD的某一條邊上,則等腰三角形AEP的底邊長(zhǎng)是—.

2.當(dāng)a<x<a+l時(shí),函數(shù)y=必-2x+1的最小值為1,則a的值為(

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