2024年中考數(shù)學一輪復習第12講 反比例函數(shù)的圖象、性質及應用（講義）（原卷版）

第12講反比例函數(shù)的圖象、性質及應用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一反比例函數(shù)的相關概念題型01用反比例函數(shù)描述數(shù)量關系題型02判斷反比例函數(shù)題型03根據(jù)反比例函數(shù)的定義求字母的值考點二反比例函數(shù)的圖象與性質題型01判斷反比例函數(shù)圖象題型02反比例函數(shù)點的坐標特征題型03已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式題型04由反比例函數(shù)解析式判斷其性質題型05由反比例函數(shù)圖象分布象限，求k值題型06判斷反比例函數(shù)經(jīng)過象限題型07已知反比例函數(shù)增減性，求參數(shù)的取值范圍題型08已知反比例函數(shù)增減性，求k值題型09由反比例函數(shù)的性質比較大小題型10求反比例函數(shù)解析式題型11與反比例函數(shù)有關的規(guī)律探究問題考點三反比例系數(shù)k的幾何意義題型01一點一垂線題型02一點兩垂線題型03兩點一垂線題型04兩點兩垂線題型05兩點和原點題型06兩曲一平行考點四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題型01一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象綜合題型02一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題題型03一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應用考點五反比例函數(shù)的實際應用題型01行程問題題型02工程問題題型03物理問題題型04分段問題題型05幾何問題考點要求新課標要求命題預測反比例函數(shù)相關概念理解與掌握反比例函數(shù)相關概念.反比例函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都會考，總分值為15分左右，常考考點為:反比例函數(shù)圖象的性質k的幾何意義、雙曲線上點的坐標特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及反比例函數(shù)的應用與綜合題等.其中前三個考點多以選擇、填空題的形式出題，后三個考點則是基礎解答題以及壓軸題的形式出題.在填空題中,對反比例函數(shù)點的坐標特征考察的比較多，而且難度逐漸增大，常結合其他規(guī)則幾何圖形的性質一起出題,多數(shù)題目的技巧性較強，復習中需要多加注意.另外壓軸題中也常以反比例函數(shù)為背景，考察一些新定義類問題.綜合反比例函數(shù)以上特點，考生在復習該考點時，需要準備堂握其各性質規(guī)律，并日多注意其與幾何圖形結合題的思考探究.反比例函數(shù)的圖象與性質能畫反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達式y(tǒng)=kx(k≠0)探索并理解k>0和k能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式.反比例系數(shù)k的幾何意義理解與掌握反比例系數(shù)k的幾何意義.反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合反比例函數(shù)的實際應用能用反比例函數(shù)解決簡單實際問題考點一反比例函數(shù)的相關概念反比例函數(shù)的概念：一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).反比例函數(shù)的解析式也可以寫成xy=k（k≠0、xy≠0）、反比例函數(shù)解析式的特征:①等號左邊是函數(shù)y，等號右邊是一個分式；②k≠0；③分母中含有自變量x，且指數(shù)為1.1.反比例1.反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的自變量x的取值為一切非零實數(shù)，函數(shù)2.反比例函數(shù)的表達式中，分子是不為零的常數(shù)k，分母不能是多項式，只能是x的一次單項式．3.反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標之積是定值k.題型01用反比例函數(shù)描述數(shù)量關系【例1】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預測）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即F1L1=F2L

A．正比例函數(shù)關系 B．一次函數(shù)關系 C．反比例函數(shù)關系 D．二次函數(shù)關系【變式1-1】（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）下面的三個問題中都有兩個變量：①矩形的面積一定，一邊長y與它的鄰邊x；②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積S與全村總人口n；③汽車的行駛速度一定，行駛路程s與行駛時間t．其中，兩個變量之間的函數(shù)關系可以用如圖所示的圖象表示的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一學校?？级＃┯覉D是一種古代計時裝置（稱為“漏刻”）的示意圖：水從上面的貯水壺慢慢漏入下方的受水壺中，假設漏水量是均勻的，受水壺中的浮子和標尺就會均勻升高，那么，就可以根據(jù)標尺上的刻度來反映浮子的高度從而計時．現(xiàn)向貯水壺內注水，則在受水壺注滿水之前，浮子的高度與對應注水時間滿足的函數(shù)關系是（

）A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．反比例函數(shù) D．無法確定題型02判斷反比例函數(shù)【例2】（2023·湖北恩施·?？寄M預測）下列函數(shù)中，不是反比例函數(shù)的是（

）A．y=?3x B．y=?32x C．【變式2-1】（2022·福建南平·統(tǒng)考一模）下面四個函數(shù)中，圖象為雙曲線的是（

）A．y=5x B．y=2x+3 C．y=4x 題型03根據(jù)反比例函數(shù)的定義求字母的值【例3】（2022上·山東棗莊·九年級?？计谀┮阎瘮?shù)y=(m+1)xm2?5是關于x的反比例函數(shù)，則【變式3-1】（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）已知反比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點（1，3）、（m，n），則mn的值為【變式3-2】（2023·浙江杭州·?？级＃┮阎cA(?2,m?1)在反比例函數(shù)y=?2x的圖象上，則m=．【變式3-3】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學統(tǒng)考二模）如果反比例函數(shù)y=k?1x的圖象經(jīng)過點?2,1，則k的值是（A．1 B．?2 C．?1 D．3考點二反比例函數(shù)的圖象與性質一、反比例函數(shù)的圖象與性質圖象特征1）反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．2）反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=±x，對稱中心為原點．性質表達式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，圖象k>0k<0經(jīng)過象限一、三象限（x、y同號）二、四象限（x、y異號）增減性在每個象限內，y隨x的增大而減小在每個象限內，y隨x的增大而增大對稱性①圖象關于原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（-a，-b）在雙曲線的另一支上;②圖象關于直線y=x對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（b，a）在雙曲線的另一支上;③圖象關于直線y=?即：反比例函數(shù)的圖象關于直線y=±x成軸對稱,關于原點成中心對稱.反比例函數(shù)解析式的確定方法待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：1）設反比例函數(shù)的解析式為y=k2）把已知的一對x，y的值帶入解析式，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；3）解方程求出待定系數(shù)k；4）將所求的k值代入所設解析式中.【說明】由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．1.1.反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在描述反比例函數(shù)的增減性時，一定要有“在其每個象限內”這個前提．當k＞0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k＞0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k＜0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．2.反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性，都是由常數(shù)k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號。3.雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經(jīng)過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．題型01判斷反比例函數(shù)圖象【例1】（2022·黑龍江綏化·?？既＃┊旈L方形的面積S是常數(shù)時，長方形的長a與寬b之間關系的函數(shù)圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-1】（2023·安徽亳州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始終保持∠PAQ=100°．設BP=x，CQ=y（）

A．

B．

C．

D．

【變式1-2】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）在平行四邊形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，設EF=x，BF=y，假設x、y能組成函數(shù)，則y與x的函數(shù)的圖象為（

）

A．

B．

C．

D．

【變式1-3】（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）參照學習函數(shù)y=2x的過程與方法，探究函數(shù)x…?2?101132537456…y=…?1?2■4241424121…y=…???1m?2?4■424121…

(1)m=__________________．(2)請畫出函數(shù)y=2(3)觀察圖象并分析表格，回答下列問題：①當x<2時，y隨x的增大而___________；（填“增大”或“減小”）②y=2x?2的圖象是由③圖象關于點__________中心對稱．（填點的坐標）題型02反比例函數(shù)點的坐標特征【例2】（2023·廣西北?！そy(tǒng)考模擬預測）下列各點在反比例函數(shù)y=2x圖象上的是（A．?1,2 B．2,?1 C．1,3 D．?1,?2【變式2-1】（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預測）下列四個點中，有三個點在同一反比例函數(shù)y=kx的圖象上，則不在這個函數(shù)圖象上的點是（

）A．1,6 B．?12,12， 【變式2-2】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，直線y=kxk>0與雙曲線y=4x交于A，B兩點，若A2，A．2,2 B．?2,?1 C．?2,?2 D．?1,?4【變式2-3】（2019·吉林長春·中考模擬）如圖，函數(shù)y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的圖象將第一象限分成了A、B、C三個部分．下列各點中，在B部分的是（A．（1，1） B．（2，4） C．（3，1） D．（4，3）【變式2-4】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知正比例函數(shù)y=ax（a為常數(shù)，a≠0）與反比例函數(shù)y=?2x的圖象的一個交點坐標為1,m，則另一個交點的坐標為【變式2-5】（2022·福建漳州·統(tǒng)考模擬預測）已知直線y=2x與雙曲線y=kx相交于A，B兩點．若點A2,m，則點B【變式2-6】（2022·陜西西安·交大附中分校校考模擬預測）已知直線y=kx與雙曲線y=k+6x的一個交點的橫坐標是2，則另一個交點坐標是．題型03已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式【例3】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預測）如圖，下列解析式能表示圖中變量x，y之間關系的是（

A．y=1|x| B．|y|=1x C．【變式3-1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，對于點Pa,b，若ab>0，則稱點P題型04由反比例函數(shù)解析式判斷其性質【例4】（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知反比例函數(shù)y=?5A．圖象位于第一、三象限B．y隨x的增大而增大C．圖象不可能與坐標軸相交D．圖象必經(jīng)過點3【變式4-1】（2022·江西九江·?？级＃╆P于反比例函數(shù)y=kxk≠0A．該函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B．當k<0時，該函數(shù)的圖象在第二、四象限C．該函數(shù)的圖象與直線y=kx+b有且只有兩個交點D．當k>0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小題型05由反比例函數(shù)圖象分布象限，求k值【例5】（2023·貴州貴陽·?？家荒＃┓幢壤瘮?shù)y=kx（k≠0）的圖象如圖所示，則k的值可能是（

）

A．5 B．12 C．?5 D．?12【變式5-1】（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象如圖所示，則k的值可能是（

A．?2 B．1 C．3 D．5題型06判斷反比例函數(shù)經(jīng)過象限【例6】（2023·湖南郴州·模擬預測）已知反比例函數(shù)y=kx（k≠0），當x1A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二象限 D．三，四象限【變式6-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）當k>2時，反比例函數(shù)y=k?2x的圖象位于（A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【變式6-2】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)圖象中，可能是反比例函數(shù)y=6x的圖象的是（A．

B．

C．

D．

題型07已知反比例函數(shù)增減性，求參數(shù)的取值范圍【例7】（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預測）反比例函數(shù)y=a+3x的圖象在每個象限內，y隨x的增大而增大，則A．a(chǎn)≥?3 B．a(chǎn)>?3 C．a(chǎn)≤?3 D．a(chǎn)<?3【變式7-1】（2022·湖北武漢·?？寄M預測）在反比例函數(shù)y=3m+1x圖象上有兩點Ax1,y1，BA．m≤?13 B．m>?13 C．【變式7-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）若點m?1,y1和m+1,y2在y=kxk>0的圖象上，若yA．m>1或m<?1 B．?1<m<1C．?1<m<0或0<m<1 D．m≠±1【變式7-3】（2022上·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）若反比例函數(shù)y=3k?2x在每個象限內，y隨x的增大而減小，則k的值可能是（A．?1 B．0 C．12 題型08已知反比例函數(shù)增減性，求k值【例8】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)y1=kx,y2=?kx(k>0)，當1≤x≤3時，函數(shù)y【變式8-1】（2023·陜西咸陽·二模）已知反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象在每個象限內y隨x的增大而增大，且當1≤x≤3時，函數(shù)y的最大值和最小值之差為4，則k【變式8-2】已知反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，當1≤x≤3時，y的最大值與最小值之差是4，則題型09由反比例函數(shù)的性質比較大小【例9】（2023·廣東東莞·校聯(lián)考一模）若點A?2,y1、B?1,yA．y1<y2<y3 B．y2<【變式9-1】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）若點Ax1，y1、BA．y1<y2<y3 B．y3<【變式9-2】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預測）已知Ax1,y1A．y1+y2>0 B．y1【變式9-3】（2022·河北邯鄲·?？既＃┮阎幢壤瘮?shù)y=kx的圖象在第一、第三象限內，設函數(shù)圖象上有兩點Ax1,y1、Bx2A．y1>y2 B．y1【變式9-4】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）已知Ax1,y1，Bx2,yA．若x1x2>0，則y2C．若x1x3<0，則y2題型10求反比例函數(shù)解析式【例10】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知A?1,p與B2,p?3是反比例函數(shù)y=kx圖象上的兩個點，則【變式10-1】（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）若反比例函數(shù)y=kx的圖象過點?2,a、2,b，且a?b=?6，則k=【變式10-2】（2023·廣東廣州·校考一模）反比例函數(shù)y=kx的圖象上有一點Pa，b，且a、b是方程【變式10-3】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過a,2，a+1,1、(b【變式10-4】（2022·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）如圖，直線y=?x+3與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象交于點C，過點C作CB⊥x軸于點B題型11與反比例函數(shù)有關的規(guī)律探究問題【例11】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OAP1B的頂點A、B分別在x軸、y軸上，點P1在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，過P1A的中點B1作矩形B1AA（1）點P2的坐標為（2）作出矩形B18A17A18【變式11-1】（2023上·湖南·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在反比例函數(shù)y=4x的圖象上有A2,m、B兩點，連接AB，過這兩點分別作x軸的垂線交x軸于點C、D，已知BD=12AC，點F1是CD的中點，連接AF1、BF1，得到△AF1B【變式11-2】（2021上·四川成都·九年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，橫坐標，縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點，正方形邊長的整點稱為邊整點，如圖，第一個正方形有4個邊整點，第二個正方形有8個邊整點，第三個正方形有12個邊整點…按此規(guī)律繼續(xù)作下去，若從內向外共作了5個這樣的正方形，那么其邊整點的個數(shù)共有____個，這些邊整點落在函數(shù)y=4x的圖象上的概率是【變式11-3】（2020上·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，等邊三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，???的邊OE1，

（1）第1個等邊三角形△OD1E1的周長C1=______；第2個等邊三角形△E1D（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，猜想第n（n是正整數(shù)）個等邊三角形△En?1D（3）計算：C1【變式11-4】（2023·江蘇徐州·校考三模）如圖，在x軸的正半軸上依次截取OA1=A1A2=A2A3，過點A1，A2，A3A．11012 B．12023 C．12024考點三反比例系數(shù)k的幾何意義一、一點一垂線【模型結論】反比例函數(shù)圖象上一點關于坐標軸的垂線、與另一坐標軸上一點（含原點）圍成的三角形面積為12【拓展一】【拓展二】【拓展三】(前提：OA=AC)結論：S△AOB=S△CODS△AOE=S四邊形CEBDS△AOC=k二、一點兩垂線【模型結論】反比例函數(shù)圖象上一點與坐標軸的兩條垂線圍成的矩形面積為k.【拓展一】【拓展二】【拓展三】結論：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS?ABCD=k三、兩點一垂線【模型結論一】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|，結論：S△ABC=2S△ABO=k【模型結論二】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點及坐標軸上任一點構成三角形的面積，等于坐標軸所分的兩個三角形面積之和．如左圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=k則S△AOB=S△AOC+S△BOC=12co?|yA|+12co?|yB|=12co(|yA|+如右圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=k則S△AOB=S△AOC+S△BOC=12co?|xA|+12co?|xB|=12co(|xA|+四、兩點兩垂線【模型結論】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|五、兩點和原點方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】方法二：作AE⊥x軸于點E，交OB于點M，BF⊥x軸于點F，而S△OAM＝S四邊形MEFB，則S△AOB＝S直角梯形AEFB．方法三：S△AOB＝S四邊形COFD－S△AOC－S△BOF.【補形】方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD?（|yA|-|yB|方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC?（|xB|-|xA|【拓展】方法一：當AD/AC(或BD/BF)＝m時，則S四邊形OADB＝m|k|．方法二：作AE⊥x軸于E，則S△OAB＝S直角梯形AEFB（類型一）．六、兩曲一平行【模型講解】兩條雙曲線上的兩點的連線與一條（或兩條）坐標軸平行，求這兩點與原點或坐標軸上的點圍成的圖形面積，過這兩點作坐標軸的垂線，結合k的幾何意義求解．類型一兩條雙曲線的k值符號相同結論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝12|k1|-12結論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE類型二兩條雙曲線的k值符號相同結論：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|)S陰影＝|k1|+|k2以下題型均包括兩種類型：已知比例系數(shù)求特殊圖形面積、以及圖形面積求比例系數(shù)題型01一點一垂線【例1】如圖，A是反比例函數(shù)y=kx的圖象上一點，AB⊥y軸于B，點C在x軸上，若△ABC面積為2，則k的值為（

A．?4 B．1 C．2 D．4【變式1-1】（2023·安徽·九年級專題練習）如圖，等腰直角三角形OAB的斜邊OB在x軸的負半軸上，頂點A在反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象上，△AOB的面積為4，則k

A．?8 B．8 C．?4 D．4【變式1-2】（2022上·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯(lián)考期末）若圖中反比例函數(shù)的表達式均為y=4x，則陰影部分面積為2的是（A．B．C．D．【變式1-3】（2022·福建福州·?？寄M預測）如圖，在y=1x的圖象上有兩點A、C，過這兩點分別向x軸引垂線，交x軸于B、D兩點，連結OA、OC，記△ABO、△CDO的面積S1，S2，則S1

A．S1>S2 B．S1【變式1-4】（2023·廣西北?！そy(tǒng)考模擬預測）如圖，P1?1,4、P2?2,2、P3?4,1是雙曲線上的三點，過這三點分別作y軸的垂線，得到三個三角形△P1A1O、△P2A2O、

A．S1=S2=S3 【變式1-5】（2020·吉林四平·統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)y=2x（x＞0）和y=6x（x＞0）的圖象將第一象限分成三個區(qū)域，點M是②區(qū)域內一點，MN⊥x軸于點N，則△A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．【變式1-6】（2020下·山西太原·九年級太原五中校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，BA⊥x軸于點A，反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象與線段AB相交于點C，且C是線段AB的中點，若ΔOAB的面積為3，則k【變式1-7】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，A，B是反比例函數(shù)y=9x圖象上的兩點，分別過點A，B作x軸的垂線．已知A．3 B．7 C．8 D．9題型02一點兩垂線【例2】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點A、D在x軸的正半軸上，成C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B、E在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，OA=1，OC=6，則正方形

A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上有點P1,P2,P3，它們的縱坐標依次為6，2，1，分別過這些點作x軸與A．3 B．4 C．5 D．6題型03兩點一垂線【例3】（2023上·山東德州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y=mx與雙曲線y=kx交于A、B兩點．過點A作AM⊥x軸，垂足為M，連結BM．若S△ABM=2，則A．2 B．m?2 C．m D．4【變式3-1】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，點Am，1和B?2，n都在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，過點A分別向x軸y軸作垂線，垂足分別是M、N，連接OA、OB、AB，若四邊形OMAN的面積記作A．S1:SC．S1:S【變式3-2】（2022下·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=mx（m≠0，m為常數(shù)）與雙曲線y=kx（k≠0，k為常數(shù)）交于點A，B，若A(?1,a),B(b,?3).，過點A作AM⊥x軸，垂足為M，連接BM,，則A．2 B．m?1 C．3 D．6【變式3-3】（2019下·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直x軸于點C，連結BC.若（1）求k的值；（2）直接寫出：①點A坐標____________；點B坐標_____________；②當kx≤2x時，（3）x軸上是否存在一點D，使△ABD為直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.題型04兩點兩垂線【例4】（2023·吉林長春·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，AB∥x軸，點B、D在反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象上，若?ABCDA．10 B．15 C．20 D．25【變式4-1】（2021·河南許昌·統(tǒng)考一模）如圖，點A是第一象限內雙曲線y＝mx?（m＞0）上一點，過點A作AB∥x軸，交雙曲線y＝nx?（n＜0）于點B，作AC∥y軸，交雙曲線y＝nx?（n＜0）于點C，連接BC．若△ABC的面積為?92，則A．m＝19?，n＝﹣109? B．m＝14?，nC．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2【變式4-2】（2022·新疆烏魯木齊·烏魯木齊市第六十八中學?？寄M預測）如圖，A，B是函數(shù)y=mx（m＞0）的圖象上關于原點對稱的任意兩點，BC∥x軸，AC∥y軸，△ABCA．S=m B．S=2m C．m<S<2m D．S>2m題型05兩點和原點【例5】（2023·遼寧營口·校考三模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N兩點，△OMN的面積為10．則k

A．12 B．10 C．8 D．24【變式5-1】（2023·福建寧德·統(tǒng)考一模）如圖，已知直線l與x，y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象交于C，D兩點，連接OC，OD．若△AOC和△COD的面積都為3，則kA．?2 B．?3 C．?4 D．?6【變式5-2】（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，點A，C為函數(shù)y=kxx<0圖象上的兩點，過A，C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB于點E，且點E恰好為OC的中點．當△AEC的面積為34時，A．?1 B．?2 C．?3 D．?4【變式5-3】（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）下列圖形中，陰影部分面積與另外三個不同的是（）A．B．C． D．【變式5-4】（2023·吉林長春·校考一模）如圖，平面直角坐標系中，直線CD分別與x軸、y軸分別交于點D、C，點A、B為線段CD的三等分點，且A、B在反比例函數(shù)y=kxx>0,k>0的圖象上，若△AOD的面積為12，則kA．2 B．4 C．6 D．8【變式5-5】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，點A，B在x軸的正半軸上，以AB為邊向上作矩形ABCD，過點D的反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過BC的中點E．若△CDE的面積為1，則A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-6】（2023·安徽合肥·合肥壽春中學?？寄M預測）如圖，矩形OABC，雙曲線y=kx(x>0)分別交AB、BC于F、E兩點，已知OA=4，OC=3，且S△BEF=A．2 B．94 C．3 D．題型06兩曲一平行【例6】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，過反比例函數(shù)y=2x(x>0)的圖象上一點A作AB⊥y軸交反比例函數(shù)y=kx(x<0)的圖象于點B，連接OA，OB，若A．8 B．6 C．?8 D．?6【變式6-1】（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，點A在反比例函數(shù)y=6x的圖象上，點B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，點C,D在x軸上．若四邊形ABCD是正方形，且面積為9，則

A．11 B．15 C．?11 D．?15【變式6-2】（2023·遼寧鐵嶺·?？级＃┤鐖D，四邊形OABC是平行四邊形，點O是坐標原點，點C在y軸上，點B在反比例函數(shù)y=3xx>0的圖象上，點A在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，若平行四邊形

A．?4 B．?5 C．?6 D．?7【變式6-3】（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，設點P作反比例函數(shù)y=k1x(x>0)的圖象上，PC⊥x軸于點C，交反比例函數(shù)y=k2x(x>0)的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交反比例函數(shù)

A．k1+k2 B．k1?【變式6-4】（2021·貴州銅仁·校考一模）如圖，點A是反比例函數(shù)y1＝1x（x＞0）圖象上一點，過點A作x軸的平行線，交反比例函數(shù)y2=kx（x＞0）的圖象于點B，連接OA、OBA．3 B．4 C．5 D．6【變式6-5】（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)y1=k1x（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點M，N，與反比例函數(shù)y2=k2x（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點B，連接OM，ON．若四邊形A．3 B．-3 C．32 D．【變式6-6】（2023·安徽·九年級專題練習）如圖，正方形ABCD的頂點A，D分別在函數(shù)y=?3xx<0和y=6xx>0的圖象上，點B，C在

A．1,3 B．2,3 C．2,2 D．3,2【變式6-7】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，點A在反比例函數(shù)y=3x(x<0)的圖象上，點B在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，連接AB，AB與y軸交于點C，且AB∥x軸，BC=2AC，D是x正半軸上一點，連接

A．3 B．72 C．92 【變式6-8】（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，點B在反比例函數(shù)y=?5xx<0的圖象上，點C在反比例函數(shù)y=3xx>0的圖象上，BC∥x軸，且

A．3.5 B．4 C．5.5 D．6【變式6-9】（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P是函數(shù)y=6xx>0圖象上的一個動點，過點P作PQ⊥y軸交函數(shù)y=?2xx<0的圖象于點Q，點M、N在x軸上(M在N的左側，且MN=PQ，連接QM、A．8 B．12C．24 D．四邊形PQMN的面積無法確定【變式6-10】（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P是函數(shù)y=k1xk1>0,x>0的圖象上一點，過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點A、B，交函數(shù)y=k2xk2>0,x>0的圖象于點C、D，連接OC、OD、CD、A．①② B．①③ C．②③ D．①【變式6-11】（2021·全國·九年級專題練習）如圖，點C在反比例函數(shù)y=1x的圖象上，CA∥y軸，交反比例函數(shù)y=3x的圖象于點A，CB∥x軸，交反比例函數(shù)y=3x的圖象于點B，連結AB、OA和OB，已知【變式6-12】（2021·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A(a,2)在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，AB//x軸，且交y軸于點C，交反比例函數(shù)y=k（1）求直線OA的解析式；（2）求反比例函數(shù)y=k（3）點D為反比例函數(shù)y=kx上一動點，連接AD交y軸于點E，當E為AD中點時，求考點四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合1.涉及自變量取值范圍當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標．針對y1>y2時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍．例如，如下圖，當y1>y2時，x的取值范圍為x>xA或xB<x<0；同理，當y1<y2時，x的取值范圍為0<x<xA或x<xB．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定．①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可無交點，可有一個交點，可有兩個交點；1.1.解題時，一定要靈活運用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，并結合圖象分析、解答問題．題型01一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象綜合【例1】（2023·湖北恩施·?？寄M預測）若k1<0<k2，則在同一直角坐標系內，函數(shù)y=kA．

B．

C．

D．

【變式1-1】（2023·湖北恩施·?？寄M預測）已知反比例函數(shù)y=bx（b為常數(shù)），當x>0時，y隨x的增大而增大，則一次函數(shù)y=x+b的圖象不經(jīng)過（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式1-2】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax?bA． B． C． D．【變式1-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知反比例函數(shù)y=k?bxk?b≠0的函數(shù)值在每一象限內y隨x的增大而減小，且k=b，則一次函數(shù)A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四題型02一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題【例2】（2023·浙江·模擬預測）若函數(shù)y=kxk>0與函數(shù)y=1x的圖象相交于A,C兩點，AB垂直x軸于B，則△ABCA．1 B．2 C．k D．k【變式2-1】（2023·河北滄州·?？寄M預測）在平面直角坐標系中，函數(shù)y=3x與y=x+1的圖象交于點(m,n)，則代數(shù)式m?n2A．3 B．?3 C．13 D．【變式2-2】（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，函數(shù)y=?6xx<0和y=kx?1k≠0的圖象相交于點Am

A．x<?2 B．x>3 C．?2<x<0 D．x>?2【變式2-3】（2023·青海海西·?？家荒＃┤鐖D，已知A?4,12,B?1,2是一次函數(shù)y1=kx+bk≠0與反比例函數(shù)y2=mxm≠0,x<0圖象的兩個交點，

A．x<?4 B．?4<x<?1C．x<?4或x>?1 D．x<?1【變式2-4】（2022上·山東日照·九年級日照市新營中學?？茧A段練習）如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象交于點A(1,2),B(m,?1)．則關于x的不等式ax+b>kx

A．x<?2或0<x<1 B．x<1C．?2<x<0或x>1 D．?1<x<0或x>2【變式2-5】（2023·廣東廣州·校考一模）如圖，反比例函數(shù)y=mx的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于A、B兩點，點A的坐標為2，3，點

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)表達式；(2)結合圖象，直接寫出不等式mx【變式2-6】（2023·廣東廣州·廣州市番禺區(qū)市橋星海中學?？家荒＃┮阎阂淮魏瘮?shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=8x的圖象交于點A(4,n)和

(1)求一次函數(shù)的表達式；(2)將直線AB沿y軸負方向平移a個單位，平移后的直線與反比例函數(shù)圖象y=8x恰好只有一個交點，求【變式2-7】（2023·廣東陽江·統(tǒng)考三模）如圖，點A是反比例函數(shù)y=kx的圖象上一點，延長AO交該圖象于點B，AC⊥x軸，BC⊥y軸，若

(1)求Rt△ACB(2)求經(jīng)過AB兩點的直線y=k'x，并直接寫出k題型03一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應用【例3】（2023·廣東潮州·二模）如圖，反比例函數(shù)y=2x的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點A、B，點A、B的橫坐標分別為1，?2，一次函數(shù)圖象與y軸的交于點C，與x軸交于點(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)對于反比例函數(shù)y=2x，當y<?1時，寫出(3)點P是第三象限內反比例圖象上的一點，若點P滿足S△BDP＝12S△ODA，請求出點P【變式3-1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標軸上，且OA=2，OC=4，連接OB．反比例函數(shù)y=k1x(x>0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，并與AB、BC分別交于點B、F．一次函數(shù)y=k(1)分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式．(2)點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，求點P的坐標．【變式3-2】（2021·廣東江門·?？既＃┤鐖D，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點A的坐標為1,0，點D4,4在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，直線y=23x+b經(jīng)過點C，與y軸交于點E，與x(1)求k、b的值；(2)求△ACE的面積；(3)在x軸上取點P，求出使PC?PE取得最大值時點P的坐標．【變式3-3】（2023·四川成都·成都七中?？既＃┲本€l1：y=?x＋4與y軸交于點C，反比例函數(shù)y=ax

(1)求a的值及B的坐標；(2)在x軸上存在點D，使S△ACD=3(3)如圖2，將反比例函數(shù)y=ax的圖象沿直線l1：y=?x+4翻折得到一個封閉圖形（圖中陰影部分），若直線l考點五反比例函數(shù)的實際應用用反比例函數(shù)解決實際問題的步驟：1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系；2）設：根據(jù)常量與變量之間的關系，設出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；5）解：用函數(shù)解析式去解決實際問題．利用反比例函數(shù)解決實際問題，要做到：1）能把實際的問題轉化為數(shù)學問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學模型；2）注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義；3）問題中出現(xiàn)的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．【易錯點】1.利用反比例函數(shù)的性質時，誤認為所給出的點在同一曲線上；2.利用函數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義．題型01行程問題【例1】（2020·浙江杭州·統(tǒng)考一模）某小型客車油箱的容積為60L，老王把油箱加滿油后駕駛汽車從杭州家中到200km外的上海浦東機場接客人，接到客人后立即按原路返回．請回答下列問題：（1）油箱加滿油后，求汽車行駛的總路程S（單位：km）與平均耗油量b（單位：L/km）的函數(shù)關系式；（2）老王以平均每千米耗油0.1L的速度駕駛汽車到達浦東機場，返程時由于下雨，老王降低了車速，已知降低車速會造成平均耗油量的增加，且油量低于6L時該汽車將無法行駛．如果老王始終以此速度行駛，要保證不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范圍．【變式1-1】（2020·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預測）五一黃金周，小張一家自駕去某景點旅行．已知汽車油箱的容積為50L，小張爸爸把油箱加滿油后到了離加油站200km的某景點，第二天沿原路返回．（1）油箱加滿油后，求汽車行駛的總路程s（單位：km）與平均耗油量b（單位L/km）的函數(shù)關系式；（2）小張爸爸以平均每千米耗油0.1L的速度駕駛到達目的地，返程時由于下雨，降低了車速，此時平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小張爸爸始終以此速度行駛，不需要加油能否返回原加油站？如果不能，至少還需加多少油？題型02工程問題【例2】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）某市政府計劃建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為106(1)設該公司平均每天運送土石方總量為y立方米，完成運送任務所需時間為t天．①求y關于t的函數(shù)表達式．②若0<t≤80時，求y的取值范圍．(2)若1輛卡車每天可運送土石方102【變式2-1】（2020·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學?？既＃氨Ｗo生態(tài)環(huán)境，建設綠色社會”已經(jīng)從理念變?yōu)槿藗兊男袆?，某化工廠2018年1月的利潤為200萬元．設2018年1月為第1個月，第x個月的利潤為y萬元．由于排污超標，該廠決定從2018年1月底起適當限產(chǎn)，并投入資金進行治污改造，導致月利潤明顯下降，從1月到5月，y與x成反比例．到5月底，治污改造工程順利完工，從這時起，該廠每月的利潤比前一個月增加20萬元（如圖）．

（1）分別求該化工廠治污期間及治污改造工程完工后，y與x之間對應的函數(shù)關系式．（2）治污改造工程完工后經(jīng)過幾個月，該廠月利潤才能達到2018年1月的水平？題型03物理問題【例3】（2023·江蘇鹽城·?？既＃╅喿x與思考下面是小宇同學的一篇數(shù)學日記，請仔細閱讀并完成相應的任務，今天是2023年6月8日

（星期四），在下午數(shù)學活動課上，我們“騰飛”小組的同學參加了一次“探索電壓一定時，輸出功率P與電阻R函數(shù)關系的數(shù)學活動”．

第一步，我們設計了如圖所示的電路，電壓為定值6V不變．第二步，通過換用不同定值電阻，使電路中的總電阻成整數(shù)倍的變化．第三步，我們根據(jù)物理知識P＝UI，通過測量電路中的電流計算電功率．第四步，計算收集數(shù)據(jù)如下：R/Ω…246810…P/W…18964.53…第五步，數(shù)據(jù)分析，以R的數(shù)值為橫坐標，P的數(shù)值為縱坐標建立平面直角坐標系，在該坐標系中描出以表中數(shù)對為坐標的各點，并用光滑的曲線順次連接這些點．數(shù)據(jù)分析中，我發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)可能有明顯錯誤，重新實驗，證明了我的猜想正確，并對數(shù)據(jù)進行了修改，實驗結束后，大家有很多收獲，每人都撰寫了數(shù)學日記．任務：(1)上面日記中，數(shù)據(jù)分析過程，主要運用的數(shù)學思想是；（單選）A．數(shù)形結合B．類比思想C．分類討論D．方程思想(2)你認為表中哪組數(shù)據(jù)是明顯錯誤的；并直接寫出P關于R的函數(shù)表達式；(3)在下面平面直角坐標系中，畫出此函數(shù)的圖象；

(4)請直接寫出：若P大于10W，R的取值范圍為．【變式3-1】（2023·山西太原·統(tǒng)考二模）閱讀與思考下面是小宇同學的一篇日記，請仔細閱讀并完成相應的任務．在物理活動課上，我們“博學”小組的同學，參加了一次“探究電功率P與電阻R之間的函數(shù)關系”的活動．

第一步，實驗測量．根據(jù)物理知識，改變電阻R的大小，通過測量電路中的電流，計算電功率P．第二步，整理數(shù)據(jù)．R…3691215…P…31.510.750.7…第三步，描點連線．以R的數(shù)值為橫坐標，對應P的數(shù)值為縱坐標在平面直角坐標系中描出以表中數(shù)值為坐標的各點，并用光滑的曲線順次連接這些點．在數(shù)據(jù)分析時，我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)有錯誤，重新測量計算后，證明了我的猜想正確，并修改了表中這個數(shù)據(jù)．實驗結束后，大家都有很多收獲，每人都撰寫了日記．任務：

(1)表格中錯誤的數(shù)據(jù)是______，P與R的函數(shù)表達式為______；(2)在平面直角坐標系中，畫出P與R的函數(shù)圖象；(3)結合圖象，直接寫出P大于6W時R的取值范圍．【變式3-2】（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，根據(jù)小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當x=6時，y=2．(1)求y關于x的函數(shù)解析式；(2)若火焰的像高為3cm【變式3-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）某綜合實踐活動小組設計了一個簡易電子體重秤，已知裝有踏板（踏板質量忽略不計）的可變電阻R1與踏板上人的質量m之間滿足一次函數(shù)關系，共圖象如圖1所示；圖2的電路中，電源電壓恒為3伏，定值電阻R0的阻值為40歐，接通開關，人站上踏板，電壓表顯示的讀數(shù)為U0，然后把U知識小鏈接：①導體兩端的電壓U，導體的電阻R，通過導體的電流I，滿足關系式I=U(1)求可變電阻R1與人的質量m