第一章集合與常用邏輯用語全章總結提升課件高一上學期數(shù)學人教A版

第1章集合與常用邏輯用語人教A版

數(shù)學必修第一冊知識網(wǎng)絡·整合構建專題突破·素養(yǎng)提升專題一集合的基本概念與集合的關系1.理解集合的有關概念,元素與集合的表示方法、元素與集合之間的關系,能在自然語言和圖形語言的基礎上,用符號語言刻畫集合,能在集合不同的表示方法之間進行轉化.2.集合間的基本關系包括包含、真包含、相等.能從實例中抽象并識別出子集、真子集、空集的概念,能根據(jù)集合間的關系,會利用數(shù)形結合和分類討論的思想求參數(shù)的值或范圍.3.掌握集合的基本概念與集合間的基本關系,提升數(shù)學抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【例1】

(1)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求實數(shù)a的取值集合.解

因為1∈A,所以①若a+2=1,解得a=-1,此時集合為{1,0,1},元素重復,所以不成立,即a≠-1.②若(a+1)2=1,解得a=0或a=-2,當a=0時,集合為{2,1,3},滿足條件,即a=0成立.當a=-2時,集合為{0,1,1},元素重復,所以不成立,即a≠-2.③若a2+3a+3=1,解得a=-1或a=-2,由①②知都不成立.所以滿足條件的實數(shù)a的取值集合為{0}.(2)集合A={x|(a-1)x2-2x+3=0}.①若A是?,求實數(shù)a的取值范圍.②是否存在實數(shù)a,使得集合A有且僅有兩個子集?若存在,求出實數(shù)a的值及對應的子集;若不存在,說明理由.解

①若A=?,即方程(a-1)x2-2x+3=0沒有實數(shù)根,當a=1時,方程有實數(shù)根不合題意,則a≠1,當二次方程沒有實數(shù)根時,判別式Δ=4-12(a-1)<0,規(guī)律方法

1.解決集合的概念問題應關注兩點研究一個集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制條件;對于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性.2.處理集合間關系問題的關鍵點已知兩集合間的關系求參數(shù)時,關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素間的關系,進而轉化為參數(shù)滿足的關系.常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析,更要注意“空集”這一“陷阱”,尤其是集合中含有字母參數(shù)時,要分類討論,討論時要不重不漏.變式訓練1(1)[2024重慶萬州高一期中]已知a∈R,b∈R,若集合

={a2,a-b,0},則a2023+b2024的值為(

)

A.-2 B.-1 C.1

D.2B∴b=0,a2=1,且a2≠a-b=a,解得a=-1,∴a2

023+b2

024=-1.故選B.(2)已知M={x|x2-2x-3=0},N={x|x2+ax+1=0,a∈R},且N?M,則a的取值范圍為

.

{a|-2<a≤2}解析

由題意,集合M={x|x2-2x-3=0}={-1,3},當N=?,即Δ=a2-4<0時,解得-2<a<2,此時滿足N?M.當N≠?時,要使得N?M,則-1∈N或3∈N,當-1∈N時,可得(-1)2-a+1=0,即a=2,此時N={-1},滿足N?M;專題二集合的綜合運算集合的運算有交、并、補這三種常見的運算,它是集合中的核心內容.在進行集合的運算時,往往由于運算能力差或考慮不全面而出錯,此時,數(shù)軸分析(或Venn圖)是個好幫手,能將復雜問題直觀化.在具體應用時要注意檢驗端點值是否符合題意,以免增解或漏解.【例2】

已知集合A={x|x>3a+1},集合B={x|x<2或x>3}.(1)當a=3時,求A∩B;(2)若A∪B=B,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)當a=3時,集合A={x|x>10},集合B={x|x<2或x>3},所以A∩B={x|x>10}.規(guī)律方法1.求解集合運算問題應該明確集合的類型以及集合的表示方法,按照運算法則進行運算.2.注意運算的步驟:如果含有補集,先求補集.3.如果是三個集合之間的交并運算,按照從左到右的順序逐次求解.4.對于連續(xù)的數(shù)集運算可以借助數(shù)軸表達集合間的關系,但操作時要規(guī)范,如區(qū)間端點的順序、虛實不能標反.變式訓練2(1)[2024黑龍江齊齊哈爾高三校聯(lián)考]已知集合A,B滿足A={x|x>1},B={x|x≤a-1},若A∪B=R,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.{a|a≤1} B.{a|a≤2}C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}D解析

因為A∪B=R,所以a-1≥1,解得a≥2.故選D.(2)設集合A={x|x<2或x≥4},B={x|x<a},若(?RA)∩B≠?,則a的取值范圍是(

)A.{a|a<2} B.{a|a>2}C.{a|a≤4} D.{a|a≥4}B解析

由集合A={x|x<2或x≥4},則?RA={x|2≤x<4}.又集合B={x|x<a},且(?RA)∩B≠?,則a>2.故選B.(3)[2024廣東揭陽高一?？计谥衇設集合U={x|x≤5},A={x|1≤x≤2},B={x|-1≤x≤4}.求:①A∩B;②?U(A∪B);③(?UA)∩(?UB).解

①由集合交集的定義,A∩B={x|1≤x≤2}.②由集合并集和補集的定義,A∪B={x|-1≤x≤4},?U(A∪B)={x|x<-1或4<x≤5}.③由集合補集和交集的定義,?UA={x|x<1或2<x≤5},?UB={x|x<-1或4<x≤5},(?UA)∩(?UB)={x|x<-1或4<x≤5}.專題三充分條件、必要條件與充要條件1.若p?q,且q不能推出p,則p是q的充分不必要條件,同時q是p的必要不充分條件;若p?q,則p是q的充要條件,同時q是p的充要條件.2.掌握充要條件的判斷和證明,有利于提升邏輯推理數(shù)學素養(yǎng).【例3】

已知集合A={x|-1<x<3},集合B={x|-1<x<m+1}.(1)若x∈A是x∈B成立的一個充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若x∈A是x∈B成立的充要條件,求實數(shù)m的值.解

(1)由題A?B,所以m+1>3,即m>2.所以實數(shù)m的取值范圍為{m|m>2}.(2)因為x∈A是x∈B成立的充要條件,所以A=B.所以m+1=3,即m=2.所以實數(shù)m的值為2.規(guī)律方法根據(jù)一個條件是另一個條件的充分條件、必要條件、充要條件確定某個參數(shù)的取值范圍時,首先弄清楚條件和結論,再利用集合間的包含關系進行討論.若A={x|x滿足條件甲},B={x|x滿足條件乙}.當A?B時,甲為乙的充分條件;當B?A時,甲為乙的必要條件;當且僅當A=B時,甲為乙的充要條件.變式訓練3

是否存在實數(shù)m,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分條件?

解

存在.理由如下,欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分條件,故存在實數(shù)m≥2,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分條件.

專題四全稱量詞命題與存在量詞命題1.全稱量詞命題的否定一定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定一定是全稱量詞命題.含有量詞的命題否定時,首先改變量詞,把全稱量詞改為存在量詞,把存在量詞改為全稱量詞,然后把判斷詞加以否定.2.通過含有量詞的命題的否定及利用命題的真假求參數(shù)范圍等,主要培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).【例4】

(1)命題“?x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是(

)A.?x∈R,x2-2x+1≤0 B.?x∈R,x2-2x+1≥0C.?x∈R,x2-2x+1<0 D.?x∈R,x2-2x+1<0C解析

∵命題“?x∈R,x2-2x+1≥0”為全稱量詞命題,∴命題的否定為“?x∈R,x2-2x+1<0”.故選C.

(2)已知命題p:?x∈R,x2+2x+2-a=0為真命題,則實數(shù)a的值不能是(

)A.1 B.2

C.3

D.-3D解析

因為命題p:?x∈R,x2+2x+2-a=0為真命題,所以方程x2+2x+2-a=0有實根,所以Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1,結合選項可得實數(shù)a的值不能是-3,故選D.規(guī)律方法全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷(1)要判定一個全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”為真,必須對限定集合M中每一個x驗證p(x)成立,一般用推理的方法加以證明;要判定一個全稱量詞命題為假,只需舉出一個反例即可.(2)要判定一個存在量詞命題“?x∈M,p(x)”為真,只要在限定集合M中,找到一個x,使p(x)成立即可;否則,這一存在量詞命題為假.C(2)已知命題p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命題q:?x∈R,x2+2ax+2-a≠0,若命題q的否定和命題p都是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是

.

{a|a≤-2或a=1}

解析

當命題p:?x∈[1,2],x2-a≥0為真時,a≤1;當命題q:?x∈R,x2+2ax+2-a≠0為真時,Δ=4a2-4(2-a)<0,即-2<a<1.因為命題p和?q都是真命題,所以a≤1且a≥1或a≤-2.專題五化歸與轉化思想在解題中的應用【例5】

設全集為R,集合A={x|a≤x≤a+3},?RB={x|-1≤x≤5}.(1)若A∩B≠?,求a的取值范圍;(2)若A∩B≠A,求a的取值范圍.解

因為全集為R,?RB={x|-1≤x≤5},所以B={x|x<-1,或x>5}.所以當A∩B≠?時,a的取值范圍是{a|a<-1,或a>2}.(2)假設A∩B=A,則A?B,結合數(shù)軸得a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5.所以當A∩B≠A時,a的取值范圍是{a|-4≤a≤5}.規(guī)律方法若所求問題的已知條件含有“不相等”或“不包含”等不易直接求解或者較難分析的問題,可利用“正難則反”的思想轉化.“正難則反”策略運用的是補集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困難,可先求?UA,再由?U(?UA)=A求A.變式訓練5

已知集合A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4},若A∩B≠?,求實數(shù)a的取值范圍.解

A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4},我們不妨先考慮當A∩B=?時a的范圍.如圖.故A∩B=?時a的范圍為{a|1≤a≤2}.而A∩B≠?時a的范圍顯然是其補集,從而,易知所求范圍為{a|a<1或a>2}.易錯易混·銜接高考1.已知集合M={x∈N*|-1≤x≤2},則下列關系中,正確的是(

)A.0∈M

B.?∈MC.{0,1}?M D.{1,2}?MD解析

因為集合M={x∈N*|-1≤x≤2}={1,2},對于A,因為0?M={1,2},故選項A錯誤;對于B,?是一個集合,且??M,故選項B錯誤;對于C,因為集合M={1,2},所以集合{0,1}與集合M不存在包含關系,故選項C錯誤;對于D,因為集合M={1,2},任何集合都是它本身的子集,所以{1,2}?M,故選項D正確,故選D.2.若命題p:?x<0,2023x-x3+2<0,則命題p的否定為(

)A.?x≥0,2023x-x3+2<0B.?x≥0,2023x-x3+2≥0C.?x≥0,2023x-x3+2<0D.?x<0,2023x-x3+2≥0D解析

全稱量詞命題的否定,先改寫量詞,再否定結論,可得命題p的否定為“?x<0,2

023x-x3+2≥0”.故選D.3.(多選題)已知集合