2023年高考數(shù)學(xué)二模試卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023年高考數(shù)學(xué)二模試卷1.已知集合A={x|ax2?3x+2=0}的元素只有一個，則實數(shù)a的值為A.98 B.0 C.98或0 2.已知復(fù)數(shù)z滿足(i?1)z=2，給出下列四個命題其中正確的是(

)A.z的虛部為?1 B.|z|=2 C.z?=1+i 3.已知向量a=(?1,1),b=(3,1)，則a在b上的投影向量為A.(1,0) B.(?31010,?4.某市在文明城市建設(shè)中，鼓勵市民“讀書好，好讀書，讀好書”.在各閱覽室設(shè)立茶座，讓人們在休閑中閱讀有用有益圖書.某閱覽室為了提高閱讀率，對于周末前來閱讀的前三名閱讀者各贈送一本圖書，閱讀者從四種不同的書籍中隨意挑選一本，則他們有且僅有2名閱讀者挑選同一種書的概率為(

)A.38 B.59 C.345.放射性核素鍶89的質(zhì)量M會按某個衰減率衰減，設(shè)其初始質(zhì)量為M0，質(zhì)量M與時間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系為M=M0?(12)t50，若鍶89的質(zhì)量從M0衰減至12M0，A.t3=2t1+t2 B.6.經(jīng)過P(2,3)向圓x2+y2A.5x?12y+26=0 B.13x?12y+10=0

C.5x?12y+26=0或x=2 D.13x?12y+10=0或x=27.正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長是4，側(cè)棱長是6，M，N分別為CC1，AB的中點，若P是側(cè)面BCC1A.392 B.3265 8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x)，y=f(x+3)為偶函數(shù)，若f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增．記a=f(2021)，b=f(e?1)，c=f(ln2)，則a，b，c的大小關(guān)系為A.b<c<a B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c9.下列化簡正確的是(

)A.cos82°sin52°?sin82°cos52°=?12 B.sin15°sin30°sin75°=18

C.10.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f′(x)>1，f(3)=4，則下列結(jié)論中正確的有(

)A.f(x)為增函數(shù) B.g(x)=f(x)?x為增函數(shù)

C.f(2x?1)>4的解集為(?∞,2) D.f(2x?1)>2x的解集為(2,+∞)11.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A、B兩點，以線段AB為直徑的圓交y軸于M、N兩點，設(shè)線段AB的中點為P，則(

)A.OA?OB=?3p24

B.若|AF|?|BF|=4p2，則直線AB的斜率為3

C.若拋物線上存在一點E(2,t)到焦點F的距離等于312.如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，AD=DE=4，G為線段AE上的動點，則(

)A.若G為線段AE的中點，則GB//平面CEF

B.AE⊥CF

C.BG2+CG2的最小值為48

D.點B13.在(x?2x)7的展開式中，含1x14.設(shè)a>0，b>1，若a+b=2，則9a+1b?1取最小值時a的值為15.若函數(shù)f(x)=x(x?c)2在x=3處有極小值，則c的值為______．16.已知坐標(biāo)平面xOy中，點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2?y2=1(a>0)的左、右焦點，點M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為MF2的中點，點I為17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=2bcosB，C=2π3．

(1)求B；

(2)在下面兩個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求BC邊上的中線的長度．

①△ABC的周長為4+23；②面積為18.已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，S11=77，且a2，a6?1，a11成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若Tn19.如圖1，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，O為DE的中點，AB=AC=25，BC=4.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如圖2．

(Ⅰ)求證：A1O⊥BD．

(Ⅱ)求直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值．

(Ⅲ)線段A20.我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.該企業(yè)為了了解研發(fā)資金的投入額x(單位：百萬元)對年收入的附加額y(單位：百萬元)的影響，對往年研發(fā)資金投入額xi和年收入的附加額yi進行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：投入額x234568911年收入的附加額y3.64.14.85.46.27.57.99.1(1)求年收入的附加額y與投入額x的經(jīng)驗回歸方程；

(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于1，則稱對應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額”，現(xiàn)從上面8個投入額中任意取3個，用X表示這3個投入額為“優(yōu)秀投資額”的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

【參考數(shù)據(jù)】i=18xiyi=334.1，i=18yi=48.6，i=121.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左.右焦點分別為F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1且斜率為24的直線與橢圓的一個交點在x軸上的射影恰好為F2．

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖，下頂點為A，過點B(0,2)作一條與y軸不重合的直線.該直線交橢圓E于C，D兩點.22.已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=ax，其中a>0．

(1)若F(x)=1g(sin(x?1))?f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

(2)證明：k=1n答案和解析1.【答案】C

【解析】解：集合A有一個元素，即方程ax2?3x+2=0有一解，

當(dāng)a=0時，A={x|ax2?3x+2=0}={x|?3x+2=0}={23}，符合題意，

當(dāng)a≠0時，ax2?3x+2=0有一解，

則Δ=9?8a=0，解得：a=98，

綜上可得：a=0或a=98，

2.【答案】AD

【解析】解：∵(i?1)z=2，

∴z=2?1+i=2(?1?i)(?1+i)(?1?i)=?1?i，

對于A，z的虛部為?1，故A正確，

對于B，|z|=(?1)2+(?1)2=2，故B錯誤，

對于C，z?=?1+i，故C錯誤，

3.【答案】D

【解析】解：向量a=(?1,1),b=(3,1)，設(shè)θ=<a,b>，

cosθ=a?b|a||b|=?24.【答案】D

【解析】解：三人挑四種書，每人有4種選法，共有43=64種方法，

恰有2人選同一種書的方法有C32C41C31種，即36種方法，

故恰有2人選同一種的概率P=36645.【答案】A

【解析】解：由題可得12M0=M0?(12)t15013M0=M0?(12)6.【答案】C

【解析】解：(1)當(dāng)切線的斜率不存在時，直線x=2是圓的切線；

(2)當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為l：y?3=k(x?2)，

由(0,0)到切線距離為d=|2k?3|k2+1=2，得k=512，

此時切線方程為y?3=512(x?2)，即7.【答案】C

【解析】解：如圖，

取BB1的中點為D，連接CD，ND，

∵ND//AB1，ND不包含于平面AB1M，AB1包含于平面AB1M，∴ND//平面AB1M，

同理CD//平面AB1M，∵CD∩ND=D，

∴平面CND//平面AB1M，

∵PN//平面AB1M，

∴點P在線段CD上，

當(dāng)PN⊥CD時，線段PN最短，

∵|ND|=22+32=13，|CD|=48.【答案】A

【解析】解：f(x)滿足f(x+6)=f(x)，y=f(x+3)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)的周期T=6，且關(guān)于x=3對稱，

因為f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增，a=f(2021)=f(5)=f(1)，b=f(e?1)，c=f(ln2)，

又1>ln2>lne>e?1，

則a>c>b．9.【答案】ABD

【解析】解：A：cos82°sin52°?sin82°cos52°=sin(52°?82°)=sin(?30°)=?12，正確；

B：sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°cos15°=12sin230°=18，正確；

C：tan48°+tan72°1?tan48°tan72°=tan(48°+72°)=10.【答案】ABD

【解析】解：對于A，因為f′(x)>1，所以f(x)為增函數(shù)，故A正確；

對于B，由g(x)=f(x)?x，g′(x)=f′(x)?1>0，所以g(x)為增函數(shù)，故B正確；

對于C，f(3)=4，則f(2x?1)>4等價于f(2x?1)>f(3)，又f(x)為增函數(shù)，所以2x?1>3，解得x>2，所以f(2x?1)>4的解集為(2,+∞)，故C錯誤；

對于D，f(2x?1)>2x等價于f(2x?1)?(2x?1)>1=f(3)?3．

即g(2x?1)>g(3)，又g(x)為增函數(shù)，所以2x?1>3，解得x>2，所以f(2x?1)>2x的解集為(2,+∞)，故D正確；

故選：ABD．

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可判斷AB，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式判斷CD．

本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題，構(gòu)造新函數(shù)是解題關(guān)鍵．

11.【答案】AD

【解析】【分析】本題考查拋物線的焦點弦的幾何性質(zhì)以及焦點弦長、焦半徑的計算，考查方程思想和運算能力，是直線與拋物線的綜合問題，屬于難題．

設(shè)直線l的方程為x=my+p2，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判斷A；由拋物線的定義，結(jié)合韋達定理，解方程可得m，可得直線AB的斜率，可判斷B；由拋物線的定義求得p，可得拋物線的方程，可判斷C；設(shè)直線【解答】解：拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F(p2,0)，

準(zhǔn)線方程為x=?p2，對于A，可設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB的方程為x=my+p2，與拋物線y2=2px聯(lián)立，消去x，可得y2?2pmy?p2=0，

可得y1+y2=2pm，y1y2=?p2，

則OA?OB=x1x2+y1y2=(y1y2)24p2+y1y2=p44p2?p2=?3p24，故A正確；

對于B

12.【答案】ABD

【解析】解：因為BDEF是矩形，所以DE⊥DB，

又矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD相交于BD，

且DE?平面BDEF，所以DE⊥平面ABCD，

而AD，DC?平面ABCD，所以DE⊥AD，DC⊥DE，

而ABCD是正方形，所以AD⊥DC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，E(0,0,4)，F(xiàn)(4,4,4)，

對于A，CE=(0,?4,4)，CF=(4,0,4)，

當(dāng)G為線段AE的中點時，G(2,0,2)，得GB=(2,4,?2)，

設(shè)平面CEF的一個法向量為m=(x,y,z)，

有m?CE=?4y+4z=0m?CF=4x+4z=0，則可取m=(1,?1,?1)，

因為GB?m=2×1+4×(?1)+(?2)×(?1)=0，GB?平面CEF，則GB//平面CEF，故A正確；

對于B，AE=(?4,0,4)，CF=(4,0,4)，

所以AE?CF=?16+16=0?AE⊥CF，故B正確；

對于C，設(shè)G=(x1,y1,z1)，則(x1?4,y1,z1)=λ(?4,0,4)(λ∈[0,1])?G(4?4λ，0，4λ)，

得BG2+CG13.【答案】560

【解析】解：二項式(x?2x)7展開式的通項公式為C7r?x7?r?(?2x)r=(?2)r?C7r?x7?2r，

令7?2r=?1?r=414.【答案】34【解析】解：a>0，b>1，得b?1>0，

由a+b=2，得a+(b?1)=1，

∴9a+1b?1=(9a+1b?1)[a+(b?1)]=10+9(b?1)a+ab?1≥10+29(b?1)a×ab?1=16，

當(dāng)且僅當(dāng)9(b?1)a=ab?1，即a=315.【答案】3

【解析】解：因為f(x)=x(x?c)2，所以f′(x)=(x?c)(3x?c)，

又因為函數(shù)f(x)=x(x?c)2在x=3處有極小值，

所以f′(3)=(3?c)(9?c)=0，解得c=3或c=9，

當(dāng)c=3時，f′(x)=(x?3)(3x?3)，

所以x>3時，f′(x)>0，1<x<3時，f′(x)<0，

所以函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值；

當(dāng)c=9時，f′(x)=(x?9)(3x?9)，

所以3<x<9時，f′(x)<0，x<3時，f′(x)>0，

所以函數(shù)f(x)在x=3處取得極大值，不合題意，舍去．

故答案為：3．

利用導(dǎo)數(shù)在x=x0處取到極值的必要不充分條件f′(x016.【答案】5【解析】解：由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=±1ax，F(xiàn)2(c,0)，

不妨設(shè)點M(m,n)在第二象限，則kMF2=nm?c，

由D為MF2的中點，O、I、D三點共線知直線OD垂直平分MF2，

則OD：y=1ax，有nm?c=?a，且12?n=1a?m+c2，

解得m=a2?1c，n=2ac，所以M(a2?1c,2ac)，

將M(a2?1c,2ac17.【答案】解：(1)∵c=2bcosB，C=2π3，

在△ABC中，由正弦定理得sinC=2sinBcosB，sin2B=32，

又0<B<π3，則0<2B<2π3，∴2B=π3，解得B=π6；

(2)如圖所示，設(shè)D為BC的中點，則AD為BC邊上的中線．

若選①：由(1)得B=π6，A=π6，設(shè)BC=AC=2x，

由余弦定理得cos2π3=4x2+4x2?AB22?2x?2x，則AB=23x，

故周長為(4+23)x=4+23，解得x=1，則BC=AC=2【解析】(1)利用正弦定理將條件中的邊轉(zhuǎn)化成角，將C=2π3代入，即可求出sin2B，即可得出答案；

(2)若選①，首先根據(jù)△ABC的周長求出三角形三邊長度，然后在△ABD中使用余弦定理即可求出中線AD的長度；若選②，首先根據(jù)△ABC的面積求出AC與BC的長度，可得CD的長度，然后在△ACD中使用余弦定理即可求出中線AD的長度．

18.【答案】解：(1)由題意可得11a1+11×102d=77(a1+5d?1)2=(a1+d)(a1+10d)即a1+5d=7,(7?4d)?(7+5d)=36

又因為d>0，所以a1=2,d=1.所以an=n+1.

………(5分)

(2)∵1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1?1【解析】(1)利用等差數(shù)列的和以及等比數(shù)列的通項公式，求解數(shù)列的首項與公差，然后求解數(shù)列的通項公式．

(2)數(shù)列{1anan+1}的通項公式，利用裂項消項法求解數(shù)列的和，通過Tn?λan?119.【答案】(Ⅰ)證明：因為在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，

所以DE//BC，AD=AE．

所以A1D=A1E，又O為DE的中點，所以A1O⊥DE．

因為平面A1DE⊥平面BCED，

平面A1DE∩平面BCED=DE，且A1O?平面A1DE，

所以A1O⊥平面BCED，

因為BD?平面BCED，

所以A1O⊥BD．

(Ⅱ)解：取BC的中點G，連接OG，所以O(shè)E⊥OG．

由(Ⅰ)得A1O⊥OE，A1O⊥OG．

如圖建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz．

由題意得，A1(0,0,2)，B(2,?2,0)，C(2,2,0)，D(0,?1,0)．

所以A1B=(2,?2,?2)，A1D=(0,?1,?2)，A1C=(2,2,?2)．

設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z)．

則n?A1B=0,n?A1D=0,

即2x?2y?2z=0,?y?2z=0.

令x=1，則y=2，z=?1，所以n=(1,2,?1)．

設(shè)直線A1C和平面A1BD所成的角為θ，

則sinθ=|cos?n,A1C?|=|n?【解析】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．

(Ⅰ)證明A1O⊥DE.結(jié)合平面A1DE⊥平面BCED，推出A1O⊥平面BCED，即可證明A1O⊥BD；

(Ⅱ)取BC的中點G，連接OG，推出OE⊥OG.A1O⊥OE，A1O⊥OG.建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz.求出平面A1BD的法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線A1C20.【答案】解：(1)x?=2+3+4+5+6+8+9+118=6，y?=18i=18yi=48.68=6.075，

所以b=i=1nxiyi?nx?y?i=1nxi2?nx?2=334.1?8×6×6.075356?8×36X0123P115155EX=0×156【解析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)和參考公式，即可求出y與投入額x的經(jīng)驗回歸方程；

(2)求出X的所有可能取值和對應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出答案．

本題主要考查了線性回歸方程的求解，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．

21.【答案】解：(1)過F1且斜率為24的直線的方程為y=24(x+1)，

令x=1，得y=22，

由題意可得a2?b2=11a2+12b2=1，解得a2=2，b2=1．

∴求橢圓E的方程為x22+y2=1；

證明：(2)由題意知，直線BC的斜率存在，設(shè)直線BC：y=kx+2，

D(x1,y1)，C(