2.3 等腰三角形的性質定理（1）浙教版數學八年級上冊學案

2.3等腰三角形的性質定理（1）課題等腰三角形的性質定理（1）單元第二章學科數學年級八年級學習目標1.了解等腰三角形的有關概念；

2.掌握等腰三角形的性質定理；

3.能運用等腰三角形的性質定理進行簡單的計算和證明重點掌握和應用等腰三角形的性質。難點1.等腰三角形性質的符號表示；2.能靈活運用等腰三角形的性質學法探究法教法講授法教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖回憶舊知等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形的對稱軸是：頂角平分線所在的直線是它的對稱軸等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形?；貞浡犝n回憶上節(jié)課所學，進入學習狀態(tài)做一做任意畫一個等腰三角形，通過折疊、測量等方式，探索它的內角之間有什么關系。你發(fā)現了什么？∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.動手操作讓學生通過自己動手得出結論講授新知等腰三角形性質定理1等腰三角形的兩個底角相等可以說成“在同一個三角形中,等邊對等角”你能證明上面的結論嗎？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C證明：如圖，作△ABC的角平分線AD。在△ABD和△ACD，∵AB=AC（已知）∠BAD=∠CAD（角平分線的定義）AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）你能根據等腰三角形的軸對稱性證明上述定理嗎？證明：等腰三角形的對稱軸為頂角的角平分線，根據軸對稱圖形的定義，對稱軸兩邊的圖形可以完全重合，所以∠B=∠C聽課講解等腰三角形的性質定理1即時演練⒈等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為__________（75°,30°）⒉等腰三角形一個角為70°,它的另外兩個角為______________（70°,40°或55°,55°）⒊等腰三角形一個角為110°,它的另外兩個角為___（35°,35°）結論:在等腰三角形中,①頂角+2×底角=180°②頂角=180°－2×底角③底角=（180°－頂角）÷2④0°＜頂角＜180°⑤0°＜底角＜90°做練習及時鞏固所學例題講解例1.求等邊三角形ABC三個內角的度數.解：如圖，在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等腰三角形的兩個底角相等）同理，∠A=∠B∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=×180°=60°由“等腰三角形的兩個底角相等”，可以得到以下推論：等邊三角形的各個內角都等于60°聽課思考講解例題，明白題型即時演練如圖，等邊△ABC中，D為AC的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，求證：DB=DE。證明：∵△ABC是等邊三角形，D為AC的中點

∴∠ACB=60°

∠CBD=∠ABC=30°∵CE=CD

∴∠E=∠CDE

又∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°

∴∠E=30°∴∠CBD=∠E

∴DB=DE做練習及時鞏固所學例題講解例2：求證：等腰三角形兩底角的平分線相等.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的兩條角平分線。求證：BD=CE.證明：如圖∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的兩個底角相等）∵BD,CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線∴∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB（角平分線的定義）∴∠CBD=∠BCE又∵BC=CB（公共邊）∴△BCE≌△CBD（ASA）∴BD=CE（全等三角形的對應邊相等）聽課思考講解例題，明白題型即時演練已知：如圖，在△ABC中，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，DE過點P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求證：DE﹣DB=EC．證明：∵BP平分∠ABC，∴∠DBP=∠CBP．∴DE∥BC，∴∠CBP=∠DPB．∴∠DPB=∠DBP．即DP=DB．同理可得PE=CE．∴DE=BD+CE，即DE﹣DB=EC．做練習及時鞏固所學達標測評1.如圖，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結論：①AC-BE=AE；②∠BAD-∠C=∠DAE；③∠DAE=∠C；④AC=2BD，其中正確的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵∠ABC=2∠C，∴∠2=∠C，∴BE=CE，∵AC-CE=AE，∴AC-BE=AE，故①正確；延長AD交BC與F，∵AD⊥BE，∴∠ADB=∠FDB=90°，∵在△ABD和△FBD中，∠ADB=∠FDB=90°BD=BD∠1=∠2∴△ABD≌△FBD（ASA），∴∠BAD=∠AFB，在△ACF中，∠DAE=∠AFB-∠C，∴∠BAD-∠C=∠DAE，故②正確；在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠1=90°-∠C，∴90°-∠C-∠C=∠DAE，∴∠DAE=90°-2∠C，故③錯誤；取CF的中點G，連接DG，則DG是△ACF的中位線，∴DG∥AC，AC=2DG，∴∠C=∠3，∴∠2=∠3，∴BD=DG，∴AC=2BD，故④正確；綜上所述，正確的結論有①②④．故選C．2.已知：如圖，AB=AC，DB=DC，問：AD與BC有什么關系？猜想：AD垂直平分BC證明:∵AB=AC,BD=CD,AD=DA∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD∴AD垂直平分BC3.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，則∠DCE的大小為（）A．30°B．45°C．60°D．無法確定【解析】設∠ACE=x度，∠ECD=y度，∠DCB=z度，∵BC=BE，∴∠CED=∠ECB=（y+z）度，又AC=AD，∠ADC=∠ACD=（x+y）度，在△CDB中，∠B=x+y-z；在△ACE中，∠A=y+z-x；在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，即x+y-z+y+z-x=90°，∴2y=90°，解得y=45度．于是∠DCE=45°．4.如圖，等邊△ABC的三條角平分線相交于點O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于點E，那么這個圖形中的等腰三角形共有（）A．5個B．6個C．7個D．8個①∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∴△ABC為等腰三角形；②∵BO，CO，AO分別是三個角的角平分線，∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，∴△AOB為等腰三角形；③△AOC為等腰三角形；④△BOC為等腰三角形；⑤∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，∵∠B=∠C，∴∠ODE=∠OED，∴△DOE為等腰三角形；⑥∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，∴△BOD為等腰三角形；⑦△COE為等腰三角形．故選C5.在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一點，BE=CD，EF∥AD交AB于F點，交CA的延長線于P，CH∥AB交AD的延長線于點H，①求證：△APF是等腰三角形；

②猜想AB與PC的大小有什么關系？證明你的猜想．①證明：∵EF∥AD，∴∠1=∠4，∠2=∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠4=∠P，∴AF=AP，即△APF是等腰三角形；②AB=PC．理由如下：證明：∵CH∥AB，∴∠5=∠B，∠H=∠1，∵EF∥AD，∴∠1=∠3，∴∠H=∠3，在△BEF和△CDH中，∵∠5=∠B∠H=∠3BE=CD，∴△BEF≌△CDH（AAS），∴BF=CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠H，∴AC=CH，∴AC=BF，∵AB=AF+BF，PC=AP+AC，∴AB=PC．做題通過做對應的題目，來讓學生更深刻理解本節(jié)知識應用拓展在等邊△ABC所在的平面內求一點P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質的點P有（）個A．1B．4C．7D．10【解析】（1）點P在三角形內部時，點P是邊AB.BC.CA的垂直平分線的交點，是三