貴州省貴陽市2024年中考數(shù)學(xué)二模試題按知識(shí)點(diǎn)分層匯編-04圖形的性質(zhì)

第1頁（共1頁）貴州省貴陽市2024年中考數(shù)學(xué)二模試題按知識(shí)點(diǎn)分層匯編-04圖形的性質(zhì)一．選擇題（共15小題）1．（2024?云巖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，與AB交于點(diǎn)D，再分別以A、D為圓心，大于12AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F，則AEA．52 B．3 C．22 2．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬BC，小明在池塘一側(cè)的平地上選一點(diǎn)A，再分別找出線段AB、AC的中點(diǎn)D，E，若小明測(cè)得DE的長是20米，則池塘寬BC的長度為（）米．A．25 B．30 C．35 D．403．（2024?南明區(qū)二模）風(fēng)鈴，又稱鐵馬，古稱“鐸”，常見于中國傳統(tǒng)建筑屋檐下（如圖①），如圖②是六角形風(fēng)鈴的平面示意圖，其底部可抽象為正六邊形ABCDEF，連接CF，則∠AFC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°4．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E；②以點(diǎn)B為圓心，AD長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F；③以F為圓心，DE長為半徑作弧，在∠ABC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)G；④過點(diǎn)G作射線BG交AC于點(diǎn)H．若BC＝6，∠A＝36°，則AH的長為（）A．4 B．5 C．6 D．75．（2024?南明區(qū)二模）如圖，三角板的直角頂點(diǎn)落在矩形紙片的一邊上．若∠1＝42°，則∠2的度數(shù)是（）A．42° B．48° C．58° D．84°6．（2024?云巖區(qū)二模）若等腰三角形的頂角是大于60°的銳角，則底角度數(shù)可以是（）A．30° B．45° C．55° D．65°7．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），連接CE，若∠C＝20°，∠CED＝120°，則∠A的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°8．（2024?花溪區(qū)二模）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對(duì)角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長為（）A．2 B．3 C．4 D．59．（2024?花溪區(qū)二模）已知AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F，G在直線CD上，EG⊥EF于點(diǎn)E，∠AEF＝40°，則∠EGF的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．50° D．60°10．（2024?云巖區(qū)二模）如圖，分別過△ABC的頂點(diǎn)A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°11．（2024?南明區(qū)二模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE，若OB＝4，S菱形ABCD＝16，則OE的長為（）A．25 B．4 C．2 D．512．（2024?花溪區(qū)二模）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN交AC于點(diǎn)D，連接BD．若AC＝6，AD＝2，則BDA．2 B．3 C．4 D．613．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足為E，DE與AC交于點(diǎn)F，則sin∠DFC的值為（）A．34 B．43 C．3514．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°15．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCG的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°二．填空題（共5小題）16．（2024?花溪區(qū)二模）在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有A，B兩個(gè)格點(diǎn)，試取格點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格點(diǎn)C有個(gè)．17．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與邊AD交于點(diǎn)E，∠AEC的角平分線與邊CB的延長線交于點(diǎn)G，與邊AB交于點(diǎn)F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝18．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，以邊長為2的等邊△ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，分別交AB、AC于D、E，則圖中⊙A的半徑長是．19．（2024?云巖區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′、D′，當(dāng)A′落在邊CD的延長線上時(shí)，邊A′D′與邊AD的延長線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，那么線段CF的長度為．20．（2024?白云區(qū)二模）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時(shí)，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，設(shè)勾a＝6，弦c＝10，則小正方形ABCD的面積是．三．解答題（共10小題）21．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（與點(diǎn)A，D不重合），射線PE與BC的延長線交于點(diǎn)Q．（1）求證：△PDE≌△QCE；（2）過點(diǎn)E作EF∥BC交PB于點(diǎn)F，連接AF，當(dāng)PB＝PQ時(shí)．求證：四邊形AFEP是平行四邊形．22．（2024?南明區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的一條弦，⊙O的直徑CD⊥AB于點(diǎn)E，連接AC，BO，延長BO交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，連接AG．（1）求證：△AGF∽△COF；（2）若劣弧AB對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為120°，求∠ACD的度數(shù)；（3）若tan∠CAE＝2，探究線段AE，OE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．23．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，以CB，CD為邊作?DCBE，DE交AB于點(diǎn)F．（1）若∠A＝50°，求∠E的度數(shù)．（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．24．（2024?云巖區(qū)二模）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是AB上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連接AP、BP，過點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長線于點(diǎn)M．（1）求∠APC和∠BPC的度數(shù)；（2）求證：△ACM≌△BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積．25．（2024?南明區(qū)二模）綜合與實(shí)踐：綜合與實(shí)踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作判斷：如圖1，先用對(duì)折的方式確定矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn)E，再沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，把紙片展平，延長DF，與BC交點(diǎn)為G．請(qǐng)寫出線段FG與線段BG的數(shù)量關(guān)系；（2）遷移思考：如圖2，把?ABCD按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，請(qǐng)判斷FG，BG這兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并僅就圖2證明你的判斷．（3）拓展探索：如圖1，若AB＝2，按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，請(qǐng)直接寫出當(dāng)CG＝1時(shí)AD的值．26．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，且AE∥CD，CE∥AB．（1）證明：四邊形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的面積．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）27．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，在△ABC的邊BC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑畫⊙O，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，AC＝AD，連接OA交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，并延長交線段AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BC＝6，cosB=35，求⊙（3）在（2）的條件下，若F是AB的中點(diǎn)，求CE?CF的值．28．（2024?觀山湖區(qū)二模）小瑞同學(xué)在進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)：將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜180°）得到矩形EFGC．[探究1]如圖①，當(dāng)α＝30°時(shí)，點(diǎn)E在AD上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)；[探究2]如圖②，連結(jié)BD，F(xiàn)C，過點(diǎn)E作EM∥FC交BD于點(diǎn)M．證明：BM＝EM；[探究3]在探究2的條件下，射線BD分別交EC，F(xiàn)C于點(diǎn)P，N，如圖③，探究線段BN，MN，PN之間的數(shù)量關(guān)系．29．（2024?云巖區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線l分別與AD、BC所在的直線相交于點(diǎn)E、F．（點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合）（1）求證：△DOE≌△BOF；（2）當(dāng)直線l⊥BD時(shí)，連結(jié)BE、DF，試判斷四邊形EBFD的形狀，并說明理由．30．（2024?南明區(qū)二模）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點(diǎn)C，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．連接BD并延長交AC于點(diǎn)M．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）求證：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的長．

貴州省貴陽市2024年中考數(shù)學(xué)二模試題按知識(shí)點(diǎn)分層匯編-04圖形的性質(zhì)參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．（2024?云巖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，與AB交于點(diǎn)D，再分別以A、D為圓心，大于12AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F，則AEA．52 B．3 C．22 【解答】解：由題意得，BC＝BD＝6，直線MN為線段AD的垂直平分線，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴AB=6∴AD＝AB﹣BD＝4，∴AF=12∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴AEAB即AE10解得AE=5故選：A．2．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬BC，小明在池塘一側(cè)的平地上選一點(diǎn)A，再分別找出線段AB、AC的中點(diǎn)D，E，若小明測(cè)得DE的長是20米，則池塘寬BC的長度為（）米．A．25 B．30 C．35 D．40【解答】解：∵線段AB，AC的中點(diǎn)為D，E，∴DE=12∵DE＝20米，∴BC＝40米，故選：D．3．（2024?南明區(qū)二模）風(fēng)鈴，又稱鐵馬，古稱“鐸”，常見于中國傳統(tǒng)建筑屋檐下（如圖①），如圖②是六角形風(fēng)鈴的平面示意圖，其底部可抽象為正六邊形ABCDEF，連接CF，則∠AFC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AFE=(6-2)×180°∴由對(duì)稱性可知∠AFC＝∠EFC=12∠故選：C．4．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E；②以點(diǎn)B為圓心，AD長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F；③以F為圓心，DE長為半徑作弧，在∠ABC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)G；④過點(diǎn)G作射線BG交AC于點(diǎn)H．若BC＝6，∠A＝36°，則AH的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由作圖痕跡知∠ABH＝∠A，∴AH＝BH，∠BHC＝∠ABH+∠A＝72°，在△ABC中，AB＝AC，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠ABH＝36°，∴∠BHC＝∠A+∠ABH＝72°，∴∠BHC＝∠C，∴BH＝BC，∴AH＝BH＝BC＝6．故選：C．5．（2024?南明區(qū)二模）如圖，三角板的直角頂點(diǎn)落在矩形紙片的一邊上．若∠1＝42°，則∠2的度數(shù)是（）A．42° B．48° C．58° D．84°【解答】解：如圖，∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝42°，∴∠3＝90°﹣∠1＝48°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝48°．故選：B．6．（2024?云巖區(qū)二模）若等腰三角形的頂角是大于60°的銳角，則底角度數(shù)可以是（）A．30° B．45° C．55° D．65°【解答】解：設(shè)等腰三角形的底角為x，則頂角為（180°﹣2x），由題意可得：60°＜180°﹣2x＜90°，∴45°＜x＜60°，∴底角度數(shù)的取值范圍是45°＜x＜60°，故選：C．7．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），連接CE，若∠C＝20°，∠CED＝120°，則∠A的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【解答】解：∵∠C＝20°，∠CED＝120°，∴∠D＝180°﹣20°﹣120°＝40°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝40°．故選：D．8．（2024?花溪區(qū)二模）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對(duì)角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵△ABC為等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，當(dāng)AC＝BC＝4時(shí)，AD+CD＝AC＝4，此時(shí)不滿足三角形三邊關(guān)系定理，當(dāng)AC＝AB＝3時(shí)．滿足三角形三邊關(guān)系定理，∴AC＝3．故選：B．9．（2024?花溪區(qū)二模）已知AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F，G在直線CD上，EG⊥EF于點(diǎn)E，∠AEF＝40°，則∠EGF的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：∵EG⊥EF，∴∠FEG＝90°，∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，∠AEF＝40°，∴∠BEG＝180°﹣∠AEF﹣∠FEG＝50°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠BEG＝50°．故選：C．10．（2024?云巖區(qū)二模）如圖，分別過△ABC的頂點(diǎn)A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°【解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故選：B．11．（2024?南明區(qū)二模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接OE，若OB＝4，S菱形ABCD＝16，則OE的長為（）A．25 B．4 C．2 D．5【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥∴BD＝2OB＝8，∵S菱形ABCD=12AC?∴AC＝4，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE=12故選：C．12．（2024?花溪區(qū)二模）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN交AC于點(diǎn)D，連接BD．若AC＝6，AD＝2，則BDA．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由作圖知，MN是線段BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∵AC＝6，AD＝2，∴BD＝CD＝4，故選：C．13．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足為E，DE與AC交于點(diǎn)F，則sin∠DFC的值為（）A．34 B．43 C．35【解答】解：設(shè)AC與BD相交于O，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，AD＝AB，∴AC⊥OD，AO=12AC＝4，DO＝BO=由勾股定理得到：AD＝AB=A在Rt△ABO中，sin∠ABO=AO∵∠EAF+∠AFE＝90°，∠FAE+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠AFE＝∠DFC，∴sin∠DFC=4故選：D．14．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°【解答】解：由題意可得：MN垂直平分BC，則DC＝BD，故∠DCB＝∠DBC＝25°，則∠CDA＝25°+25°＝50°，∵CD＝AC，∴∠A＝∠CDA＝50°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．故選：D．15．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCG的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：由作法得CG⊥AB，∵AC＝BC，∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BCG=12∠故選：C．二．填空題（共5小題）16．（2024?花溪區(qū)二模）在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有A，B兩個(gè)格點(diǎn)，試取格點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格點(diǎn)C有8個(gè)．【解答】解：如圖所示：AB上方4個(gè)格點(diǎn)，下方4個(gè)格點(diǎn)構(gòu)成8個(gè)等腰三角形，故答案為：8．17．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與邊AD交于點(diǎn)E，∠AEC的角平分線與邊CB的延長線交于點(diǎn)G，與邊AB交于點(diǎn)F，如果AB=32，AF＝2BF，那么GB＝2-【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AFE∽△BFG，∴AFBF∵AF＝2BF，∴AE＝2BG，設(shè)BG＝a，則AE＝2a，∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，∵AD∥CG，∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，∴CD＝DE＝AB＝32，CE＝CG=2CD=∴a+2a+32=∴a＝2-2∴GB＝2-2故答案為：2-218．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，以邊長為2的等邊△ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，分別交AB、AC于D、E，則圖中⊙A的半徑長是3．【解答】解：由題意，以A為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，設(shè)切點(diǎn)為F，連接AF，則AF⊥BC，等邊△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF=A∴⊙A的半徑長是3．故答案為：3．19．（2024?云巖區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′、D′，當(dāng)A′落在邊CD的延長線上時(shí)，邊A′D′與邊AD的延長線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，那么線段CF的長度為352【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，∴∠A'DF＝∠CDF＝90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD＝CD'＝3，A'D'＝AD＝4，∠ADC＝∠A'D'C＝90°，∴A'C=3∴A'D＝A'C﹣CD＝5﹣3＝2，在Rt△CDF和Rt△CD'F中，CF=CFCD=CD'∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），∴DF＝D'F，設(shè)DF＝D'F＝x，則A'F＝4﹣x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x=3∴DF=3∴CF=C故答案為：3520．（2024?白云區(qū)二模）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時(shí)，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，設(shè)勾a＝6，弦c＝10，則小正方形ABCD的面積是4．【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，∴股=1∴小正方形的邊長＝8﹣6＝2，∴小正方形的面積＝22＝4故答案為：4三．解答題（共10小題）21．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（與點(diǎn)A，D不重合），射線PE與BC的延長線交于點(diǎn)Q．（1）求證：△PDE≌△QCE；（2）過點(diǎn)E作EF∥BC交PB于點(diǎn)F，連接AF，當(dāng)PB＝PQ時(shí)．求證：四邊形AFEP是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠ECQ＝90°＝∠D．∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE．在△PDE和△QCE中，∠D=∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵EF∥BC，∴EF是△PBQ的中位線，∴PF＝BF，即F為PB中點(diǎn)，∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴EF∥AP，∴四邊形AFEP是平行四邊形．22．（2024?南明區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的一條弦，⊙O的直徑CD⊥AB于點(diǎn)E，連接AC，BO，延長BO交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，連接AG．（1）求證：△AGF∽△COF；（2）若劣弧AB對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為120°，求∠ACD的度數(shù)；（3）若tan∠CAE＝2，探究線段AE，OE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∵BG為⊙O的直徑，∴∠GAB＝90°，∴∠AEC＝∠GAB＝90°，∴GA∥CD，∴∠GAF＝∠OCF，又∵∠GFA＝∠OFC，∴△AGF∽△COF；（2）解：連接OA，如圖，∵劣弧AB對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為120°，∴∠AOB＝120°，∵OD⊥AB，∴AD=∴∠AOD＝∠BOD=12∴∠ACD=12∠（3）解：OE=34∵tan∠CAE＝2，tan∠CAE=CE∴CEAE設(shè)AE＝x，則CE＝2x，設(shè)圓的半徑為r，∵OC為⊙O半徑，∴OC＝OA＝r，∴OE＝2x﹣r，在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（2x﹣r）2+x2，∴r=54∴OA=54∴OE=O∴OE=3423．（2024?南明區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，以CB，CD為邊作?DCBE，DE交AB于點(diǎn)F．（1）若∠A＝50°，求∠E的度數(shù)．（2）若AD＝3CD，BC＝6，求EF．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴∠E＝∠C＝65°；（2）∵AD＝3CD，∴ADAC∵四邊形DCBE是平行四邊形，∴DE∥BC，DE＝BC＝6．∴DFBC∴DF=34∵BC＝6，∴DF=9∴EF＝ED﹣DF＝6-924．（2024?云巖區(qū)二模）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是AB上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連接AP、BP，過點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長線于點(diǎn)M．（1）求∠APC和∠BPC的度數(shù)；（2）求證：△ACM≌△BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積．【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BC=BC，∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；（2）證明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC，∵∠BPC＝∠BAC＝60°，∴∠PCM＝∠BPC＝60°，∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，∴∠M＝∠BPC＝60°，又∵A、P、B、C四點(diǎn)共圓，∴∠PAC+∠PCB＝180°，∵∠MAC+∠PAC＝180°∴∠MAC＝∠PBC∵AC＝BC，在△ACM和△BCP中，∠M=∴△ACM≌△BCP（AAS）；（3）解：∵CM∥BP，∴四邊形PBCM為梯形，作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM＝CP，AM＝BP，又∠M＝60°，∴△PCM為等邊三角形，∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+AMB＝1+2＝3，在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，∴PH=3∴S四邊形PBCM=12（PB+CM）×PH=125．（2024?南明區(qū)二模）綜合與實(shí)踐：綜合與實(shí)踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作判斷：如圖1，先用對(duì)折的方式確定矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn)E，再沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，把紙片展平，延長DF，與BC交點(diǎn)為G．請(qǐng)寫出線段FG與線段BG的數(shù)量關(guān)系FG＝BG；（2）遷移思考：如圖2，把?ABCD按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，請(qǐng)判斷FG，BG這兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并僅就圖2證明你的判斷．（3）拓展探索：如圖1，若AB＝2，按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，請(qǐng)直接寫出當(dāng)CG＝1時(shí)AD的值．【解答】解：（1）連接EG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，由折疊知，AE＝EF，∴EF＝EB，在Rt△EFG和Rt△EBG中，EF=EBEG=EG∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），∴FG＝BG，故答案為：FG＝BG；（2）FG＝BG，證明如下：連接FB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠B＝180°，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，由折疊知，AE＝EF，∠A＝∠DFE，∠DFE+∠EFG＝180°，∴EF＝EB，∠EBG＝∠EFG，∴∠EFB＝∠EBF，∵∠EFB+∠BFG＝∠EBF+∠FBG，∴∠BFG＝∠FBG，∴FG＝BG；（3）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2，∴CD＝AB＝2，∴DG=C令A(yù)D＝x，則DF＝AD＝x，由（1）知FG＝BG＝x﹣1，∴x+x﹣1=5解得x=5即AD的長為5+126．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，且AE∥CD，CE∥AB．（1）證明：四邊形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的面積．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【解答】（1）證明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB＝BD＝∴平行四邊形ADCE是菱形；（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，如圖所示：DF即為菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BC＝6，在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝6×32=∴菱形ADCE的面積為6×33=18327．（2024?觀山湖區(qū)二模）如圖，在△ABC的邊BC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑畫⊙O，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，AC＝AD，連接OA交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，并延長交線段AB于點(diǎn)F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BC＝6，cosB=35，求⊙（3）在（2）的條件下，若F是AB的中點(diǎn)，求CE?CF的值．【解答】（1）證明：連OD，在△AOC和△AOD中，AC=ADAO=AO∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠ACO＝∠ADO，∵AB與⊙O相切，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∴∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∵OC為半徑，∴AC是⊙O切線；（2）解：連接OD，∵cosB=BCAB=∴AB＝10，∴AC=A∴AD＝AC＝8，∴BD＝2，∵cosB=BD∴OB=10∴OC＝BC﹣OB=8∴⊙O半徑為83（3）解：∵F為AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴AF＝CF＝BF，∴∠FCB＝∠FBC，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OEC＝∠FBC，∴△OCE∽△FCB，∴CEBC∴CEBC∴CE?CF＝OE?BC=828．（2024?觀山湖區(qū)二模）小瑞同學(xué)在進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)：將矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜180°）得到矩形EFGC．[探究1]如圖①，當(dāng)α＝30°時(shí)，點(diǎn)E在AD上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)；[探究2]如圖②，連結(jié)BD，F(xiàn)C，過點(diǎn)E作EM∥FC交BD于點(diǎn)M．證明：BM＝EM；[探究3]在探究2的條件下，射線BD分別交EC，F(xiàn)C于點(diǎn)P，N，如圖③，探究線段BN，MN，PN之間的數(shù)量關(guān)系