人教版九年級數(shù)學上冊《實際問題與一元二次方程（第2課時）》示范教學課件

實際問題與一元二次方程（第2課時）上節(jié)課，我們學習了如何用一元二次方程解決傳播問題，這節(jié)課我們繼續(xù)探究實際問題與一元二次方程——平均變化率問題．平均變化率包括平均增長率和平均下降率，解決該類問題的關(guān)鍵是分清基本量和變化后的量及變化的次數(shù)．兩年前生產(chǎn)1

t甲種藥品的成本是5

000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6

000元．隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1

t甲種藥品的成本是3

000元，生產(chǎn)1

t乙種藥品的成本是3

600元．哪種藥品成本的年平均下降率較大？探究成本的年下降額＝前一年成本－本年成本．思考：怎么求成本的年下降額？兩年前生產(chǎn)1

t甲種藥品的成本是5

000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6

000元．隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1

t甲種藥品的成本是3

000元，生產(chǎn)1

t乙種藥品的成本是3

600元．哪種藥品成本的年平均下降率較大？探究思考：怎么求成本的年下降率？分析：甲種藥品成本的年平均下降額為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，乙種藥品成本的年平均下降額為____________________________．顯然，________藥品成本的年平均下降額較大．(5

000－3

000)÷2＝1

000（元）(6

000－3

600)÷2＝1

200（元）乙種思考乙種藥品成本的年平均下降額較大，能說明乙種藥品成本的年平均下降率較大嗎？可以看出，成本的年平均下降額（元）不等同于年平均下降率（百分數(shù)）．我們需要分別求出這兩種藥品成本的年平均下降率，進行比較．

解：①設甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為5

000(1－x)元，兩年后甲種藥品成本為5

000(1－x)2元，于是有5

000(1－x)2＝3

000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根據(jù)問題的實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%．思考解出甲種藥品成本的年平均下降率后，為什么選擇22.5%作為答案？根據(jù)問題的實際意義，藥品成本的年平均下降率應是小于1

的正數(shù)，所以應選取22.5%作為答案．②設乙種藥品成本的年平均下降率為y，于是有6

000(1－y)2＝3

600．解方程，得y1≈1.775，y2≈0.225．根據(jù)問題的實際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5%．所以，兩種藥品成本的年平均下降率相等．思考經(jīng)過計算，你能得出什么結(jié)論？成本下降額大的藥品，它的成本下降率也一定大嗎？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀況？成本下降額較大的藥品，其成本下降率不一定較大．成本下降額表示絕對變化量，成本下降率表示相對變化量，兩者兼顧才能全面地比較幾個對象的變化狀況．思考通過前面對平均下降率問題的探究，你能總結(jié)出解決平均下降率問題的公式嗎？設基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為a(1－x)，第二次下降后的數(shù)量為a(1－x)(1－x)，即a(1－x)2．以此類推，第n次下降后的數(shù)量為a(1－x)n．如果下降n次后的數(shù)量為b，那么可列方程a(1－x)n＝b．平均下降率公式：a(1－x)n＝b．某村種的水稻2019年平均每公頃產(chǎn)8

000kg，2021年平均每公頃產(chǎn)9

680kg，求該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．分析：設該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x．用含

x的代數(shù)式表示：（1）2020年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為_______________；（2）2021年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為_______________．8000(1＋x)kg8000(1＋x)2kg探究某村種的水稻2019年平均每公頃產(chǎn)8

000kg，2021年平均每公頃產(chǎn)9

680kg，求該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．解：設該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x．于是有8

000(1＋x)2＝9680．解方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1．根據(jù)問題的實際意義，該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為10%．探究類似地，你能總結(jié)出解決平均增長率問題的公式嗎？思考

設基數(shù)為a，平均增長率為x，則第一次增長后的數(shù)量為a(1＋x)，第二次增長后的數(shù)量為a(1＋x)(1＋x)，即a(1＋x)2．以此類推，第n次增長后的數(shù)量為a(1＋x)n．如果增長n次后的數(shù)量為b，那么可列方程a(1＋x)n＝b．平均增長率公式：a(1＋x)n＝b．總結(jié)求平均增長率（下降率）問題：一般列方程a(1±x)n＝b．其中a為原始數(shù)據(jù)，b為增長（下降）后的數(shù)據(jù)，n為變化次數(shù)，x為平均增長率（下降率）．解出所列的方程后，既要檢驗是否為方程的解，又要檢驗是否符合實際意義．

例1為進一步發(fā)展基礎教育，自2019年以來，某縣加大了教育經(jīng)費的投入，2019年該縣投入教育經(jīng)費6

000萬元，2021年投入教育經(jīng)費8

640萬元．假設該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同．（1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率；

解：（1）設這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x．根據(jù)題意，得6000(1＋x)2＝8

640．解得x1＝0.2，x2＝－2.2（不合題意，舍去）．答：這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為20%．（2）若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預算2022年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元．

解：（2）因為2021年該縣投入教育經(jīng)費8

640萬元，且年平均增長率為20%，所以2022年該縣投入的教育經(jīng)費為8

640×(1＋20%)＝10368（萬元）．答：2022年該縣投入教育經(jīng)費10

368萬元．

例2

某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元．假設該公司2，3，4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個月生產(chǎn)成本的下降率；解：（1）設每個月生產(chǎn)成本的下降率為x．根據(jù)題意，得400(1－x)2＝361．解得x1＝0.05，x2＝1.95（不合題意，舍去）．答：每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%．

例2某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元．假設該公司2，3，4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（2）請你預測4月份該公司的生產(chǎn)成本．解：（2）361×(1－5%)＝342.95（萬元）．答：4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元．在平均增長率（下降率）問題中，要注意下面三個關(guān)系：①增長還是下降；②變化前和變化后的量；③增長（下降）的次數(shù)或增長（下降）的周期．

解答