江蘇省南京鹽城市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題含解析

PAGEPAGE16江蘇省南京、鹽城市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題（含解析）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．若為實數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值為A．2B．C．D．﹣22．已知函數(shù)的定義域為集合M，函數(shù)y＝sinx的值域為N，則MN＝A．B．(﹣2，1]C．[﹣1，1)D．[﹣1，1]3．函數(shù)在其定義域上的圖象大致為4．一次競賽考試，老師讓學(xué)生甲、乙、丙、丁預(yù)料他們的名次．學(xué)生甲說：丁第一；學(xué)生乙說：我不是第一；學(xué)生丙說：甲第一；學(xué)生丁說：甲其次．若有且僅有一名學(xué)生預(yù)料錯誤，則該學(xué)生是A．甲B．乙C．丙D．丁5．化簡sin2(﹣)﹣sin2(＋)可得A．cos(2＋)B．﹣sin(2＋)C．cos(2﹣)D．sin(2﹣)6．某詞匯探討機構(gòu)為對某城市人們運用流行語的狀況進(jìn)行調(diào)查，隨機抽取了200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計得下方的2×2列聯(lián)表．則依據(jù)列聯(lián)表可知A．有95%的把握認(rèn)為“常常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系B．沒有95%的把握認(rèn)為“常常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系C．有97.5%的把握認(rèn)為“常常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系D．有97.5%的把握認(rèn)為“常常用流行用語”與“年輕人”沒有關(guān)系參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中．下面的臨界值表供參考：P()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8287．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(a＞0，b＞0)的左、右焦點，圓F1與雙曲線的漸近線相切，過F2與圓F1相切的直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線的兩條漸近線所成的銳角的正切值為A．B．C．D．18．已知點A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝4，AC與平面ABD所成角的正弦值為，則球O表面上的動點P到平面ACD距離的最大值為A．2B．3C．4D．5二、

多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，

共計20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）9．下列關(guān)于向量，，的運算，肯定成立的有A．B．C．D．10．下列選項中，關(guān)于x的不等式ax2＋(a﹣1)x﹣2＞0有實數(shù)解的充分不必要條件的有A．a(chǎn)＝0B．a(chǎn)≥﹣3＋2C．a(chǎn)＞0D．a(chǎn)≤﹣3﹣211．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)在(，0]上為增函數(shù)D．函數(shù)的值域為[1，)12．回文數(shù)是一類特別的正整數(shù)，這類數(shù)從左到右的數(shù)字排列與從右到左的數(shù)字排列完全相同，如1221，15351等都是回文數(shù)．若正整數(shù)i與n滿意2≤i≤n且n≥4，在[，]上任取一個正整數(shù)取得回文數(shù)的概率記為Pi，在[10，]上任取一個正整數(shù)取得回文數(shù)的概率記為Qn，則A．＜(2≤i≤n﹣1)B．＜C．＞D．＜1三、填空題（本大題共4小題，

每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13．若函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個值為．（寫出一個即可）14．的綻開式中有理項的個數(shù)為．15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線與在第一象限的交點為A，若OA的斜率為2，則＝．16．羅默、伯努利家族、萊布尼茲等大數(shù)學(xué)家都先后探討過星形線C：的性質(zhì)，其形美觀，常用于超輕材料的設(shè)計．曲線C圍成的圖形的面積S2（選填“＞”、“＜”或“＝”），曲線C上的動點到原點的距離的取值范圍是．（第一空2分，其次空3分）四、解答題（本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．18．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝B＋3C．（1）求sinC的取值范圍；（2）若c＝6b，求sinC的值．19．（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABEF為正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2．（1）若DF＝2，求二面角A－CE－F的正弦值；（2）若平面ACF⊥平面BCE，求DF的長．20．（本小題滿分12分）某市為創(chuàng)建全國文明城市，市文明辦舉辦了一次文明學(xué)問網(wǎng)絡(luò)競賽，全市市民均有且只有一次參賽機會，滿分為100分，得分大于等于80分的為優(yōu)秀．競賽結(jié)束后，隨機抽取了參賽中100人的得分為樣本，統(tǒng)計得到樣本平均數(shù)為71，方差為81．假設(shè)該市有10萬人參與了該競賽活動，得分Z聽從正態(tài)分布N(71，81)．（1）估計該市這次競賽活動得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬人？（2）該市文明辦為調(diào)動市民參與競賽的主動性，制定了如下嘉獎方案：全部參與競賽活動者，均可參與“抽獎贏電話費”活動，競賽得分優(yōu)秀者可抽獎兩次，其余參與者抽獎一次．抽獎?wù)唿c擊抽獎按鈕，即隨機產(chǎn)生一個兩位數(shù)(10，11，…，99)，若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可嘉獎40元電話費，否則嘉獎10元電話費．假設(shè)參與競賽活動的全部人均參與了抽獎活動，估計這次活動嘉獎的電話費總額為多少萬元？參考數(shù)據(jù)：若Z~N(，)，則P(﹣＜Z＜＋)≈0.68．21．（本小題滿分12分）設(shè)F為橢圓C：的右焦點，過點(2，0)的直線與橢圓C交于A，B兩點．（1）若點B為橢圓C的上頂點，求直線AF的方程；（2）設(shè)直線AF，BF的斜率分別為，(≠0)，求證：為定值．22．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)(a＞1)．（1）求證：有極值點；（2）設(shè)的極值點為，若對隨意正整數(shù)a都有(m，n)，其中m，nZ，求n﹣m的最小值．江蘇省鹽城市、南京市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題2024．2一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．若為實數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值為A．2B．C．D．﹣2答案：B解析：，要使原式是實數(shù)，則，，選B．2．已知函數(shù)的定義域為集合M，函數(shù)y＝sinx的值域為N，則MN＝A．B．(﹣2，1]C．[﹣1，1)D．[﹣1，1]答案：C解析：因為，所以M＝(﹣2，1)，又N＝[﹣1，1]，故MN＝[﹣1，1)，故選C．3．函數(shù)在其定義域上的圖象大致為答案：D解析：首先推斷出該函數(shù)是奇函數(shù)，解除AB選項，當(dāng)x＞1時，，選D．4．一次競賽考試，老師讓學(xué)生甲、乙、丙、丁預(yù)料他們的名次．學(xué)生甲說：丁第一；學(xué)生乙說：我不是第一；學(xué)生丙說：甲第一；學(xué)生丁說：甲其次．若有且僅有一名學(xué)生預(yù)料錯誤，則該學(xué)生是A．甲B．乙C．丙D．丁答案：C解析：明顯丙丁有一個錯誤，倘如丙正確，則與甲沖突，故丁錯誤．故選C．5．化簡sin2(﹣)﹣sin2(＋)可得A．cos(2＋)B．﹣sin(2＋)C．cos(2﹣)D．sin(2﹣)答案：B解析：因為，所以原式＝，故選B．6．某詞匯探討機構(gòu)為對某城市人們運用流行語的狀況進(jìn)行調(diào)查，隨機抽取了200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計得下方的2×2列聯(lián)表．則依據(jù)列聯(lián)表可知A．有95%的把握認(rèn)為“常常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系B．沒有95%的把握認(rèn)為“常常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系C．有97.5%的把握認(rèn)為“常常用流行用語”與“年輕人”有關(guān)系D．有97.5%的把握認(rèn)為“常常用流行用語”與“年輕人”沒有關(guān)系參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中．下面的臨界值表供參考：P()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828答案：A解析：，依據(jù)臨界值知有95%的把握認(rèn)為常常用流行語與年輕人有關(guān)系，故選A．7．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(a＞0，b＞0)的左、右焦點，圓F1與雙曲線的漸近線相切，過F2與圓F1相切的直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線的兩條漸近線所成的銳角的正切值為A．B．C．D．1答案：C解析：依據(jù)題意作圖，由算兩次可知，，所以，故選C．8．已知點A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝4，AC與平面ABD所成角的正弦值為，則球O表面上的動點P到平面ACD距離的最大值為A．2B．3C．4D．5答案：B解析：因為AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以球心O為AD中點，其在面BCD投影為E，則OE＝1，作CF⊥BD，所以sin∠CAF＝，所以，所以P到平面ACD距離的最大值為3．二、

多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，

共計20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）9．下列關(guān)于向量，，的運算，肯定成立的有A．B．C．D．答案：ACD解析：選項B中左邊為的共線向量，右邊為的共線向量不正確，其余均正確．10．下列選項中，關(guān)于x的不等式ax2＋(a﹣1)x﹣2＞0有實數(shù)解的充分不必要條件的有A．a(chǎn)＝0B．a(chǎn)≥﹣3＋2C．a(chǎn)＞0D．a(chǎn)≤﹣3﹣2答案：AC解析：a≥0時必有解，當(dāng)a＜0時，或，故AC符合題意．11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)在(，0]上為增函數(shù)D．函數(shù)的值域為[1，)答案：AD解析：，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B錯誤；，故C錯．綜上選AD．12．回文數(shù)是一類特別的正整數(shù)，這類數(shù)從左到右的數(shù)字排列與從右到左的數(shù)字排列完全相同，如1221，15351等都是回文數(shù)．若正整數(shù)i與n滿意2≤i≤n且n≥4，在[，]上任取一個正整數(shù)取得回文數(shù)的概率記為Pi，在[10，]上任取一個正整數(shù)取得回文數(shù)的概率記為Qn，則A．＜(2≤i≤n﹣1)B．＜C．＞D．＜1答案：BD解析：i為奇數(shù)，i為偶數(shù)，所以，A錯；當(dāng)n＝4時，，所以C錯，故選BD．三、填空題（本大題共4小題，

每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13．若函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個值為．（寫出一個即可）答案：答案不唯一解析：的奇數(shù)倍都可以．14．的綻開式中有理項的個數(shù)為．答案：34解析：，所以r＝0，3，6，…，99時為有志向，共34個．15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線與在第一象限的交點為A，若OA的斜率為2，則＝．答案：解析：設(shè)A(x，y)，則代入拋物線得．16．羅默、伯努利家族、萊布尼茲等大數(shù)學(xué)家都先后探討過星形線C：的性質(zhì)，其形美觀，常用于超輕材料的設(shè)計．曲線C圍成的圖形的面積S2（選填“＞”、“＜”或“＝”），曲線C上的動點到原點的距離的取值范圍是．（第一空2分，其次空3分）答案：[，1]解析：由題意知且既關(guān)于原點對稱又關(guān)于y軸對稱，當(dāng)時，同理可得曲線在y＝x＋1，y＝x﹣1，y＝﹣x＋1，y＝﹣x﹣1四條直線內(nèi)部，所以，，所以．四、解答題（本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：．解：（1）當(dāng)n＝1時，由2Sn＝an2＋an，得a1(a1－1)＝0．因為正項數(shù)列，所以a1＞0，所以a1＝1．因為當(dāng)n≥1時，2Sn＝an2＋an，…………①所以當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝an－12＋an－1，……②①－②，得2Sn－2Sn－1＝an2－an－12＋an－an－1，即2an＝an2－an－12＋an－an－1，所以an＋an－1＝(an＋an－1)(an－an－1)．因為數(shù)列{an}的各項均正，所以an＋an－1＞0．所以當(dāng)n≥2時，an－an－1＝1．故數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列．故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n．（2）因為eq\f(1,ai2＋aeq\a(2,i＋1)－1)＝eq\f(1,i2＋(i＋1)2－1)＝eq\f(1,2i(i＋1))＝eq\f(1,2)(eq\f(1,i)－eq\f(1,i＋1))，故eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do5(i=1))eq\f(1,ai2＋aeq\a(2,i＋1)－1)＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))]＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,n＋1))＜eq\f(1,2)．18．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝B＋3C．（1）求sinC的取值范圍；（2）若c＝6b，求sinC的值．解：（1）由A＝B＋3C及A＋B＋C＝π，得2B＋4C＝π，所以B＝eq\f(π,2)－2C，所以A＝eq\f(π,2)＋C．由eq\b\lc\{(\a\ac(0＜A＜π，,0＜B＜π，,0＜C＜π，))得eq\b\lc\{(\a\ac(0＜\f(π,2)＋C＜π，,0＜\f(π,2)－2C＜π，,0＜C＜π，))得0＜C＜eq\f(π,4)，故sinC的取值范圍為(0，eq\f(\r(,2),2))．（2）若c＝6b，由正弦定理有sinC＝6sinB，①由（1）知B＝eq\f(π,2)－2C，則sinB＝sin(eq\f(π,2)－2C)＝cos2C．②由①②得eq\f(1,6)sinC＝cos2C＝1－2sin2C，所以12sin2C＋sinC－6＝0，解得sinC＝eq\f(2,3)或sinC＝－eq\f(3,4)，又sinC∈(0，eq\f(\r(,2),2))，所以sinC＝eq\f(2,3)．19．（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABEF為正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2．（1）若DF＝2，求二面角A－CE－F的正弦值；（2）若平面ACF⊥平面BCE，求DF的長．解：方法一（1）因為平面ABEF平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，DFEF，DF平面CDFE，所以DF平面ABEF．所以DFAF，DFFE．又AFEF．所以，以{eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FE))，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FD))}為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系F－xyz．則F(0，0，0)，A(2，0，0)，E(0，2，0)，C(0，1，2)，則eq\o(\s\up8(→),\s\do1(EA))＝(2，－2，0)，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(EC))＝(0，－1，2)．設(shè)平面ACE的一個法向量為m＝(x，y，z)，則meq\o(\s\up8(→),\s\do1(EA))，meq\o(\s\up8(→),\s\do1(EC))．ABCDFExyz所以eq\b\lc\{(\a\al(meq\o(\s\up8(→),\s\do1(EA))＝0，,meq\o(\s\up8(→),\s\do1(EC))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\al(2x－2y＝0，,－y＋2z＝0，))ABCDFExyz不妨取z＝1，則x＝y(tǒng)＝2，所以m＝(2，2，1)．又eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))＝(2，0，0)，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FE))＝(0，2，0)，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FC))＝(0，1，2)，所以eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FE))＝0，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FC))＝0．所以eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FE))，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FC))，又FE∩FC＝F，所以eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))＝(2，0，0)為平面CEF的一個法向量．所以cos＜m，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))＞＝eq\f(meq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA)),∣m∣∣eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))∣)＝eq\f(2,3)．所以二面角A－CE－F的正弦值為eq\r(1－eq\b\bc\((eq\f(2,3))eq\s\up10(2))＝eq\f(eq\r(5),3)．（2）設(shè)DF＝t(t＞0)，則C(0，1，t)．eq\o(\s\up8(→),\s\do1(EB))＝(2，0，0)，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(EC))＝(0，－1，t)，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))＝(2，0，0)，eq\o(\s\up8(→),\s\do1(FC))＝(0，1，t)，設(shè)平面BCE的一個法向量為n＝(a，b，c)，則neq\o(\s\up8(→),\s\do1(EB))，neq\o(\s\up8(→),\s\do1(EC))．所以eq\b\lc\{(\a\al(neq\o(\s\up8(→),\s\do1(EB))＝0，,neq\o(\s\up8(→),\s\do1(EC))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\al(2a＝0，,－b＋ct＝0．))不妨令c＝1，則b＝t，所以n＝(0，t，1)．設(shè)平面ACF的一個法向量為s＝(p，q，r)，則由seq\o(\s\up8(→),\s\do1(FA))，seq\o(\s\up8(→),\s\do1(FC))，得eq\b\lc\{(\a\al(2p＝0，,q＋rt＝0．))不妨取r＝1，則q＝－t，得s＝(0，－t，1)．因為平面ACF平面BCE，所以ns＝0，即－t2＋1＝0，得t＝1，即DF＝1．方法二（1）因為平面ABEF平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，DFEF，DF平面CDFE，所以DF平面ABEF，所以DFAF．又因為AFEF，DF平面CDFE，EF平面CDFE，DF∩EF＝F．所以AF平面CDFE．在平面CEF內(nèi)過點F作FGCE于G，連結(jié)AG，則AGCE．所以AGF為二面角A－CE－F的平面角．ABCDFEGl在△CEF中，CE＝CF＝ABCDFEGl由S△CEF＝eq\f(1,2)×EF×DF＝eq\f(1,2)×CE×FG，得FG＝eq\f(4eq\r(5),5)．在△AFG中，AG＝eq\r(AF2＋FG2)＝eq\f(6eq\r(5),5)，所以sinAGF＝eq\f(AF,AG)＝eq\f(eq\r(5),3)，所以二面角A－CE－F的正弦值為eq\f(eq\r(5),3).（2）設(shè)平面ACF∩平面BCF＝l．因為四邊形ABEF為正方形，所以AF∥BE．又AF平面BCE，BE平面BCE，所以AF∥平面BCE．又AF平面ACF，平面ACF∩平面BCE＝l，所以AF∥l．因為AF平面CDFE，CF平面CDFE，所以AFCF，所以CFl．又平面ACF平面BCE，平面ACF∩平面BCE＝l，CF平面ACF，所以CF平面BCE．又CE平面BCE，所以CFCE，所以CF2＋CE2＝EF2．設(shè)DF＝t(t＞0)，則CF＝eq\r(t2＋1)，CE＝eq\r(t2＋1)，所以(t2＋1)＋(t2＋1)＝22，解得t＝1，即DF＝1.20．（本小題滿分12分）某市為創(chuàng)建全國文明城市，市文明辦舉辦了一次文明學(xué)問網(wǎng)絡(luò)競賽，全市市民均有且只有一次參賽機會，滿分為100分，得分大于等于80分的為優(yōu)秀．競賽結(jié)束后，隨機抽取了參賽中100人的得分為樣本，統(tǒng)計得到樣本平均數(shù)為71，方差為81．假設(shè)該市有10萬人參與了該競賽活動，得分Z聽從正態(tài)分布N(71，81)．（1）估計該市這次競賽活動得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬人？（2）該市文明辦為調(diào)動市民參與競賽的主動性，制定了如下嘉獎方案：全部參與競賽活動者，均可參與“抽獎贏電話費”活動，競賽得分優(yōu)秀者可抽獎兩次，其余參與者抽獎一次．抽獎?wù)唿c擊抽獎按鈕，即隨機產(chǎn)生一個兩位數(shù)(10，11，…，99)，若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可嘉獎40元電話費，否則嘉獎10元電話費．假設(shè)參與競賽活動的全部人均參與了抽獎活動，估計這次活動嘉獎的電話費總額為多少萬元？參考數(shù)據(jù)：若Z~N(，)，則P(﹣＜Z＜＋)≈0.68．解：（1）因得分Z~N(71，81)，所以標(biāo)準(zhǔn)差＝9，所以優(yōu)秀者得分Z≥＋，由P(－＜Z＜＋)≈0.68得，P(Z≥＋)≈0.16．因此，估計這次參與競賽活動得分優(yōu)秀者的人數(shù)為10×0.16＝1.6(萬人)．（2）方法一設(shè)抽獎一次獲得的話費為X元，則P(X＝40)＝eq\f(9,90)＝eq\f(1,10)，P(X＝10)＝eq\f(9,10)，所以抽獎一次獲得電話費的期望值為E(X)＝eq\f(1,10)×40＋eq\f(9,10)×10＝13．又由于10萬人均參與抽獎，且優(yōu)秀者參與兩次，所以抽獎總次數(shù)為10＋10×0.16＝11.6萬次，因此，估計這次活動所需電話費為11.6×13＝150.8萬元．方法二設(shè)每位參與活動者獲得的電話費為X元，則X的值為10，20，40，50，80．且P(X＝10)＝(1－0.16)×eq\f(81,90)＝eq\f(756,1000)，P(X＝20)＝0.16×(eq\f(81,90))2＝eq\f(1296,10000)，P(X＝40)＝(1－0.16)×eq\f(9,90)＝eq\f(84,1000)，P(X＝50)＝0.16×(eq\f(81,90))×(eq\f(9,90))×2＝eq\f(288,10000)，P(X＝80)＝0.16×(eq\f(9,90))2＝eq\f(16,10000)．所以E(X)＝10×eq\f(756,1000)＋20×eq\f(1296,10000)＋40×eq\f(84,1000)＋50×eq\f(288,10000)＋80×eq\f(16,10000)＝15.08．因此，估計這次活動所需電話費為10×15.08＝150.8(萬元)．21．（本小題滿分12分）設(shè)F為橢圓C：的右焦點，過點(2，0)的直線與橢圓C交于A，B兩點．（1）若點B為橢圓C的上頂點，求直線AF的方程；（2）設(shè)直線AF，BF的斜率分別為，(≠0)，求證：為定值．解：（1）若B為橢圓的上頂點，則B(0，1)．又AB過點(2，0)，故直線AB：x＋2y－2＝0．代入橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1，可得3y2－4y＋1＝0，解得y1＝1，y2＝eq\f(1,3)，即點A(eq\f(4,3)，eq\f(1,3))，從而直線AF：y＝x－1．（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法一設(shè)直線AB：x＝ty＋2，代入橢圓方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0．所以y1＋y2＝eq\f(－4t,t2＋2)，y1y2＝eq\f(2,t2＋2)．故k1＋k2＝eq\f(y1,x1－1)＋eq\f(y2,x2－1)＝eq\f(y1,ty1＋1)＋eq\f(y2,ty2＋1)＝eq\f(2ty1y2＋(y1＋y2),(ty1＋1)(ty2＋1))＝eq\f(2teq\f(2,t2＋2)＋eq\f(－4t,t2＋2),(ty1＋1)(ty2＋1))＝0．又k1，k2均不為，故eq\f(k1,k2)＝－1，即eq\f(k1,k2)為定值－1．方法二設(shè)直線AB：x＝ty＋2，代入橢圓方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0．所以y1＋y2＝eq\f(－4t,t2＋2)，y1y2＝eq\f(2,t2＋2)．所以eq\f(y1y2,y1＋y2)＝－eq\f(1,2t)，即ty1y2＝－eq\f(y1＋y2,2)，所以eq\f(k1,k2)＝eq\f(eq\f(y1,x1－1),eq\f(y2,x2－1))＝eq\f(y1(x2－1),y2(x1－1))＝eq\f(y1(ty2＋1),y2(ty1＋1))＝eq\f(ty1y2＋y1,ty1y2＋y2)＝eq\f(－eq\f(y1＋y2,2)＋y1,－eq\f(y1＋y2,2)＋y2)＝－1，即eq\f(k1,k2)為定值－1．方法三設(shè)直線AB：x＝ty＋2，代入橢圓方程可得：(2＋t2)y2＋4ty＋2＝0．所以y1＋y2＝eq\f(－4t,t2＋2)，y1y2＝eq\f(2,t2＋2)，所以eq\f(y1＋y2,y1y2)＝eq\f(1,y1)＋eq\f(1,y2)＝－2t．所以eq\f(k1,k2)＝eq\f(eq\f(y1,x1－1),eq\f(y2,x2－1))＝eq\f(y1(x2－1),y2(x1－1))＝eq\f(y1(ty2＋1),y2(ty1＋1))＝eq\f(ty1y2＋y1,ty1y2＋y2)＝eq\f(t＋eq\f(1,y2),t＋eq\f(1,y1))，把eq\f(1,y2)＝－2t－eq\f(1,y1)代入得eq\f(k1,k2)＝－1．方法四設(shè)直線AB：y＝k(x－2)，代入橢圓的方程可得(1＋2k2)x2－8k2x＋(8k2－2)＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(8k2－2,1＋2k2)．所以eq\f(k1,k2)＝eq\f(eq\f(y1,x1－1),eq\f(y2,x2－1))＝eq\f(y1(x2－1),y2(x1－1))＝eq\f((x1－2)(x2－1),(x2_x001F_－2)(x1－1))＝eq\f(x1x2－2x2－x1＋2,x1x2－x2－2x1＋2)．因為x1x2－x1－x2＋2＝eq\f(－2,1＋2k2)＋2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x2＝eq\f(8k2,1＋2k2)－x1，代入得eq\f(k1,k2)＝eq\f(eq\f(4k2,1＋2k2