點圓模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

定義型到定點的距離等于定長的點的集合

直角型以動點為直角頂點，所對邊長為

圓的直徑的動點模型

動點軌跡為圓的幾種模型

等弦對等角線段長度不變，線段所對角

的頂點為動點，點在移動過程中，角度始

終保持不變

動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要和難點題型，綜合考查學(xué)生解析幾何知識和思維能力.該題型

一般在填空題或解答題的其中一問出現(xiàn)，具有一定的難度，致使該考點成為學(xué)生在中考中失分的集中點.掌握該

壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑.本專題就動點軌跡為圓弧型

進行梳理及對應(yīng)試題分析,方便掌握.

模型01定義型

點4為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓.

模型02直徑所對的角為直角（直角模型）

一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?/p>

如圖，若P為動點，4B為定值，/4PB=90°,則動點P是以為直徑的圓或圓弧.

模型03等弦對等角模型

一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧.

如圖，若P為動點，AB為定值，/APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧.

更第?牌型腌建

模型01定義型

考|向田|瀏

點國模型的定義型該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，目前與綜合性大題結(jié)合考試，作為其中一問,難度系

數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的定義判定動點變化的特點，結(jié)合圓和

其它幾何的相關(guān)知識點進行解題.

答I題I技I巧

第一步：根據(jù)題意判定動點的變化特性

第二步：找準(zhǔn)定點和定長（圓心和半徑）

第三步：結(jié)合圓、三角形、四邊形的相關(guān)知識點進行解題,一般情況下會涉及最值問題

［題型三＜5,1

，題目口（2022廣西）如圖，在△ABC中，/ACB=90°,人。=3,3。=4,點。在47邊上,且人。=2,動點「

在邊上，將人尸。。沿直線PD翻折，點。的對應(yīng)點為E,則△AEB面積的最小值是（）

AR5

A-2C.2D4

【答案】A

【詳解】解:如下圖所示，連接BD,作點。關(guān)于BD的對稱點N,以點。為圓心，以為半徑作函，過點D

作DM±AB于M,交函于Q.

?；ZACB=90°,AC=3,BC=4,DM_LAB于“，,ZAMD=/ACB,AB=VAC2+BC2=5.

4MAD=ACAB,AD^2,：.4AMD?/\ACB,DC=AC-AD^l.

：.^^=4^=^，DQ=DC=1.：.DM=^BC=^T.：.QM=DM-DQ=^T.

BCAB5555

???動點、P在BC邊上,/XPDC沿直線RD翻折，點。的對應(yīng)點為E,

:.DE=DC=DN..?.點E在的上移動.

當(dāng)點E與點Q重合時，點E到AB的距離最短為QM.

：.AAEB面積的最小值為^-AB-QM=-|-.

故選：A.

:題目叵1（2022.北京）如圖，在中，乙4cB=90°,ZABC=30°,AC=6,點E是邊AC的中點，將

△ABC繞點、。逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到AAB'C,點、P是邊上的一動點,則PE長度的最大值與最小值的差

為.

[^<1373+6/6+373

【詳解】解：90°,ZABC=30°,AC=6,：.BC=6V3,

?.?將△ABC繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△45。,點E是邊AC的中點，

AAC=AC=6,FC'=BC=6，WCE=AE=3,.?.點E在以。為圓心，CE為半徑的圓上,

如圖，當(dāng)點。，點E',點戶共線，且尸。工AS時，PE'長度最小，

?：PC±AB,/,。=30°-畀。=3依最小值為3g—3.

MS

當(dāng)點P與點笈重合，且點E在PC的延長線上時，PE長度最大，則最大值為6V3+3

PE長度的最大值與最小值的差為6V3+3-3V3+3=3V3+6

故答案為：3四+6.

模型02直角模型

考|向|殖|惻

點圓問題中的直角模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn),一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查對

圓性質(zhì)的的理解.實際題型中會結(jié)合直角三角形的相關(guān)知識點，對數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵.許多實際問題

的討論中需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成求固定圖形問題.

答I題I技I巧

第一步：觀察圖形特點，找準(zhǔn)直角頂點和定長（圓的直徑）；

第二步：利用圓與直角三角形的相關(guān)知識點進行解題；

第三步：涉及最值問題的圖形要考慮線段的轉(zhuǎn)化，熟練掌握共線問題、將軍飲馬問題、垂線段問題等相

關(guān)知識點；

第四步：數(shù)形結(jié)合進行分析、解答

題筌手停I

,穎目口（2021?山東）如圖,在正方形ABCD中，AB=2,E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點.連接DE和

AF交于點G,連接BG.若AE=BF,則BG的最小值為.

【答案】西-1.

【詳解】解：：四邊形ABCD是正方形，,AABC-NDAE,AD^AB,

?：AE=BF：.^DEA2^AFB，二4ADE=ABAF,

：.ADAF+/BAF=/D4B=90°,Z.ZADE+/D4F=90°

ZDGA=90°

.?.點G在以4D為直徑的圓上移動，連接OB,OG,

如圖：

OA=OD=OG=^-AD=^-AB=1在RtAAOB中，ZOAB=90°

OB==y/O^+AB2=Vl2+22=V5

?/BG>OB-OG=OB-OA=V^-1

：.當(dāng)且公當(dāng)O,G,B三點共線時BG取得最小值.

BG的最小值為：、后一1.

MS

趣目②如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（4,0）,點B是第一象限內(nèi)的一個動點并且使AOBA=

90°,點。（0,3）,則BC的最小值為.

【答案】，叵—2

【詳解】解:如圖，以04為直徑作。。,連接CD,交?。于B,此時BC長最小,

?.?4(4,0),。(0,3),

:.OC=3,OA=4,

：.OD=DB=2,

CD=Voc2+on2=V32+22=V13,

:.BC=CD—BD=A—2,

故答案為：，*一2.

模型03等弦對等角

考I向I不I惻

點01問題中的等圓對等角模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸

題的形式考查，學(xué)生不易把握.該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后,有一定難度.該題型主要

考查動點的軌跡為定圓時，可利用:“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和,最小值

為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解.解題時會考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線

段最短等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造對應(yīng)圖形解決問題,屬于中考中的壓軸題.

答I題I技I巧

第一步：觀察圖形特點，確定定弦和定角；

第二步：根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動點的運動軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)圖形（三角形居多）；

第三步：利用四邊形、隱圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識點解題；

題型不例

］題目［〔（2022?江蘇）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,若動點E滿足NBEC=45°,則線段CE長的最大

值為.

MS

【答案】22

【詳解】解：；NBEC=45°,

.?.點E在以AC為直徑的圓上，如圖所示，

r.CE的最大值為AC,

?.?正方形ABCD的邊長為2,

AC=y/AB2+BC2=V22+22=22,

；.CE的最大值為22，

當(dāng)點E在BC的下方時，EC的最大值也是22,

故答案為：2方.

［題目區(qū)（2023?重慶）如圖，在邊長為6的等邊AABC中，點E,F分別是邊上的動點，且AE=CF,連

接BE,AF交于點P,連接CP,則CP的最小值為

【答案】2代

【詳解】解：A4BC是等邊三角形，

AB=AC=BC,NCAB=ZACB=60°,

(AB=AC

在AABE和ACAF中，(AACB,

[AE=CF

：.^ABE=ACAF(SAS),

NABE=ACAF,

：.ABPF=APAB+AABP=ACAP+NBAP=60°,

/APB=120°,

如圖，過點A,點P,點B作OO,連接CO,PO,

.?.點P在窈上運動，

AO=OP=OB,

：.AOAP=AOPA,NOPB=NOBP,NOAB=AOBA,

AAOB=360°-AOAP-AOPA-AOPB-ZOBP=120°,

.?./OAB=30°,

.'.ZCAO^90°,

VAC^BC,OA^OB,

MS

.?.co垂直平分AB,

"8=30°,

cos/ACO=需=§CO=2AO,

OCz/

.'.(70=473,

AO=2y/3,

在LCPO中，CP>CO—OP,

：.當(dāng)點P在。O上時，CP有最小值，

.?.。尸的最小值=4同-23=24，

故答案為WL

臬楚?強化圳線

：＞1Q（2023?廣東）如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=3,BC=4.點P是線段5。上一動點，點用■為線段

4P上一點./4DM=/BAP,則BA/的最小值為（）

A.B.C.V13-4D.V13-2

Zi01

【答案】。

【詳解出殳AD的中點為O,以。點為圓心，AO為半徑畫圓

?.?四邊形ABCD為矩形

ABAP+^MAD^90

?：ZADM=ZBAP

：.AMAD+ZADM=90°

/AMD=90°

.?.點M■在。點為圓心，以40為半徑的圓上

連接OB交圓。與點N

?.?點B為圓。外一點

當(dāng)直線過圓心。時，最短

?/BO2=AB2+AO2,AO=^-AD=2

BO2=9+4=13

BO=V13

?：BN^BO-AO^V13-2

故選：D.

【題目②（2023?湖南）如圖，菱形ABCD邊長為4,/4=60°,河是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將

△AMN沿MN所在的直線翻折得到△4MN,連接4。,則4。的最小值是（）

C.2V7-2D.3

【答案】C

【詳解】解:如圖所示，是定值，4。長度取最小值時，即4在上.

過點“作MH_L于點H,

在邊長為4的菱形ABCD中，NMAN=60°,M為AD的中點，D

2MD=AD=CD=4：,AHDM=NMAN=60°,

：.MD=2,AHMD=30°,

：.HD=^-MD=1,

：.HM=y/DM2-DH2=V3,CH=CD+DH=5,

：.MC=^CH2+MH2=2V7,

A'C=MC-MA'=2V7-2;

故選:C.

［題目叵〕（2023?山西）如圖，A4BC中，/C=90°,ZBAC=30°,4B=2,點P從。點出發(fā)，沿CB運動到點B

停止，過點B作射線AP的垂線，垂足為Q,點Q運動的路徑長為（）

A"c瓜n

B.V3.丁D

30-f

【答案】。

【詳解】解：?.?AQA.BQ,

???點。在以AB為直徑的。O上運動，運動路徑為百。，連接OC,

VAACB=9Q°,OA=OB,

：.CO=OA=1,

：./.COB=2Z.CAB=60°,

二.后心的長為7T

loUJ

8

故選：D.

：>目@（2023?廣州）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點N,點M■分別為BC,DE的中點，AB=

6,人。=4,ZVIDE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，上W的最大值為5g.

【答案】

【詳解】解:連接AN,AM,以AM為半徑，點A為圓心作圓，反向延長AN與圓交于點M7,如圖，

ZYADE繞點人旋轉(zhuǎn)，

點”是在以4W為半徑，點A為圓心的圓上運動，

?/AM+AN>MN,

：.當(dāng)點“旋轉(zhuǎn)到"，即M、4、N三點共線時，兒GV的值最大，最大為M'N,

?：△ABC和/\ADE都是等邊三角形，M，

點N,點加分另U為BC,_DE的中點，AB=6,AD=4,

AN±BC,AMI.DE,BN=3,DM=2,

在RtAABN中，由勾股定理得AN=^AB2-BN2=373,

在RtAADM中，由勾股定理得AM=y/AD2-DM2=273,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AM'=AM=2V3,

：.M'N=AN+AM'=5V3,即MN的最大值為573.

故答案為：5遍.

題目回（2023?云南）如圖，在RtZXABO中，乙4cB=90°,/BAC=30°,5。=2,

線段繞點B旋轉(zhuǎn)到BD,連AD,E為AD的中點，連接CE,則。七的最大值

是.

【答案】3

【詳解】解：?.?BC=2,線段繞點B旋轉(zhuǎn)到BD,

:.BD=2,*BD=1.

由題意可知，。在以B為圓心，BD長為半徑的圓上運動,

E為人。的中點，

.?.E在以氏4中點為圓心，長為半徑的圓上運動，

CE的最大值即C到BA中點的距離加上長.

MS

?:NACB=90°,ABAC=30°,BC=2,/.C到BA中點的距離即^-AB=2,

又.?.CE的最大值即（48+。8。=2+1=3.故答案為3.

穎目0（2023?貴州）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點、E為邊AD上一個動點,點F在邊CD上,且線段EF

=4,點G為線段EF的中點，連接BG、CG,則BG+三CG的最小值為.

【答案】5

【詳解】解:如圖，

在RtADEF中，G是EF的中點,

：.DG=^EF=2,

.?.點G在以。為圓心，2為半徑的圓上運動，

在CD上截取。/=1,連接GI,

.DI_DG=\

,,京一而一5,

ZGDI=ZCDG,

△GD/?△CDG,

.IG=DI=\

：.IG=[CG,

：.BG+^-CG^BG+IG>BI,

：.當(dāng)B、G、/共線時，BG+^CG最小=BT,

在辦ABCT中，CZ=3,BC=4,

:.BI=5,

故答案是：5.

[題目⑦（2022?天津）如圖,在矩形ABCD中，4B=6,BC=5,點七在BC上，且CE=4BE,點河為矩形內(nèi)

一動點,使得ACME=45°,連接AM,則線段AM的最小值為.

【詳解】解:如圖，作△EMC的外接圓。O,連接AO,CO,EO,作。尸J_AB,ON±BC,

MS

?:BC=5,點、E在BC上，且CE=4BE,

:.BE=1,EC=4,

：/CME=45°,

A/EO。=90°,

OE=OC=2V2,ON=EN=CN=2,

:.BN=OF=3,AF=6—2=4,

在RtAAFO中，AO=V32+42=5,

當(dāng)點”是。4與。。的交點時，4W最小,

AM的最小值=OA—OE=5—2V2.

故答案為：5—22.

:題目回（2023?貴陽）如圖，矩形ABCD中，AB=20,人。=30,點E,F分別是AB,BC邊上的兩個動點，且

EF=10,點G為EF的中點，點H為AD邊上一動點,連接CH、GH,則GH+CH的最小值為.

【詳解】解：由已知，點G在以B圓心，5為半徑的圓在與長方形重合的弧上運動.

作。關(guān)于AD的對稱點。，連接CB,交4□于交以B為圓心，以5為半徑的圓于G

由兩點之間線段最短，此時CB的值最小

最小值為y/BC2+CC'2=V302+402=50,

則GH+S的最小值=50—5=45,

畫日回（2023?安徽）等腰直角△ABC中，BAC=90°,AB=5,點。是平面內(nèi)一點，4D=2,連接BD,將BD

繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DE,連接AE,當(dāng)DAB=（填度數(shù)）度時，AE可以取最大值,最大值等

于.

MS

【答案】1355+2V2

【詳解】解:如圖一，連接CE、BE.

45°,

?.?將BD繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至IDE,AED=BD,AGED=45°，,NABD=4cBE,

,:怨二三=W，：AADB?4CEB，：.CE=?AD=&X2=20

BCV2BE

ADAB=NECB=180°-AACB=135°,

如圖二，.?.點E在以點。為圓心，CE長為半徑的圓周上運動，

當(dāng)A、。、石在同一直線上46最長，人后=4。+?！?5+22,

故答案為：135;5+2皿

;題目回（2023?廣西）如圖①，在△ABC中，/ACB=90°,點。，E分別是邊上的點，且AC=CD=

3,連接AE,DE,ACAE+NAEB=180°.

⑴當(dāng)乙8=22.5°時,求證：CD平分乙4cB；

⑵當(dāng)=時，求需的值；

⑶如圖②，若點尸是線段力。上一點，且AF=1,連接DF1,石尸，石尸交CD于點G,求△OEF面積的最大

值.

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）通+1;（3）呼2—3.

【詳解】（1）證明：:/CAE+180°,ACEA+ZABB=180°,

??.ACAE=ACEA,

：.AC=CE,

???AC=CD,

??.AC=CD=CE,

???ZB=22.5°,ZACB=90°,

??.ACAD=ACDA=90°-22.5°=67.5°,

??.AACD=180°-2x67.5°=45°,

???/BCD=90°—45°=45°,

???4ACD=4BCD,???

???CD平分乙4c8;

（2）解：由⑴得：4O=CD=CE,

如圖①，以點C為圓心，CA長為半徑作圓，過點E作EP_LAB于P,

?：CD=BD,

：.4DCB=4B,

???AACD+/.BCD=90°,ACAD+NB=90°,

??.ZACD=ACAD,

：.CD=AD,

???AC=CDf

:.AC—CD—AD,

：.A4CD是等邊三角形，圖①

???ZCAD=60°,CD=AD=BD=3,

：.ZB=30°,

???乙4cB=90°,

NADE=180°—j-ZACB=180°-yx90°=135°,

ZEDP=180°-135°=45°,

4DPE是等腰直角三角形，

：.DP=EP,

設(shè)。P=EP=a;,則BP=3-a;,

在AtABEF中，tanB=4=暮=可―

3BJr6—x

解得：/=3,

???ZACE=90°,AC=CE,

???NCAE；=45°,

???/CAE=/PDE,

???/ACE=/DPE=90°,

：.4ACE?LDPE,

.AEAC3

…DE~DP~33

〃2一

（3）解：由⑴得：ZC=CD=CE,

如圖②，以點。為圓心，CA長為半徑作圓，

\,CE=CD=3,CF=AC-AF=3-l=2fZACB=90°,

EF=y/CF2+CE'2=V22+32=俯，為定值，

???CD為定值，

當(dāng)CDLEF時，CG取得最小值，

此時，點D到EF的距離取得最大值,

即△DEF的面積取得最大值，

VSMEF=卷CF?CE=曰EF?CGi

即日x2x3=}xV13xCG最小，

解得：CG最小=筆工,??

...DG最大=CD-CG最小=3-喑，

SADEF最大=最大=yXV13X（3-6^^）=-3.

交支?題型通夫

［題目叵］如圖，在矩形ABCD中，已知=3,BC=4,點P是BC邊上一動點（點P不與B,C重合）,連接

AP,作點B關(guān)于直線4P的對稱點則線段用。的最小值為（）

A.2B.C.3D.V10

【答案】A

【詳解】解：連接AM,

??.點B和河關(guān)于4P對稱，

AB=AM=3,

???〃■在以4圓心，3為半徑的圓上，

???當(dāng)4M,。三點共線時，W最短,

???AC=V32+42=5,AM=AB=3,

?.?CM=5—3=2,

故選：A.

［題目］12］如圖,正方形ABCD的邊長是4,點E是AD邊上一動點,連接跳;，過點A作AF，BE于點F,點

P是AO邊上另一動點，則PC+PF的最小值為（）

B.2V13-2C.6D.2V5+2

【答案】B

【詳解】解:如圖:

MS

取點C關(guān)于直線ZZ4的對稱點（7.以AB中點O為圓心，04為半徑畫半圓.

連接OC交D4于點P,交半圓O于點F,連AF.連BF并延長交D4于點E.

由以上作圖可知，AF_LEB于F.

PC+PF=PC"+EF=C'F

由兩點之間線段最短可知，此時PC+PF最小.

；。3=4,OB'=6

：.C'O=V42+62=2V13,

：.C'F^2V13-2,

.?.PC+PF的最小值為2J叵一2,

故選：B.

題目如圖，在和RtZXADE中，ABAC=ADAE=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.連接

BD,CE,將△ADE繞點人旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)/DBA最大時，A4CE的面積為（）.

A.6B.6V2C.9D.9V2

【答案】A

【詳解】解：由題意知，。點軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，

當(dāng)BD與D點的軌跡圓相切時，NDBA取最大值，此時ABDA=90°,如圖所示,

過。作CF_LAE于F,

,；ZDAE=90°,ABAC=90°,

ACAF=/BAD,

在Rt4ABD中，由勾股定理得：BD=V52-32=4,

由sin/CAF=sin/SAZ^^:

-C---F-------B--D--即口--0-C---F-=--4-

ACAB935'

解得：CF=孕，

5

此時三角形ACE的面積=^x率X5=6,故選：A.

，題目叵）如圖，在RSABC中，/ACB=90°,BC=3,4B=5,點。是邊BC上一動點，連接4D,在人。上取

一點E,使/D4C=/OCE,連接BE,則BE的最小值為（）

DB

A.2^/5--3B.C.V13-2D.卷

【答案】。

【解答】解：?.?RtZXABC中，乙4cB=90°,BC=3,AB=5,

.?.47=4,/

如圖，取47的中點O,連接OE,OB,

vADAC=ADCE,ADCE+ZACE=90°,/\\

o

AZL>AC+ZACE=90,Q1；

AZAEC=90°,\

：.CELAD,

可得E點在以O(shè)為圓心，半徑為。4的圓上運動，當(dāng)O,E,B三點在同一直線上時，'c^DS

BE最短,

可得此時OE=OC=OA=2,

在Rt^OCB中，08=V32+22=V13,

故BE的最小值為：OB-OE=63-2,

故選：C.

.題目如圖，點P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點，AB=4,當(dāng)4APB=90°時,連接PD，則線段PD的最小

B.2V13-2C.6D.4V3

【答案】B

【詳解】解：。45=4,乙4PB=90°,

.?.點P在以AB為直徑的圓弧上，

如圖，取AB的中點O,連接OD,當(dāng)O、P、D三點共線時，PD有最小值,

連接,過點C作CHLBD于點H,

?.?點O為AB的中點，

.?.OA=OB=OP=4+2=2,

?.?正六邊形的每個內(nèi)角為180°x(6—2)+6=120°,

■：CD=CB,

：.2CBD=(180°-120°)4-2=30°,BL>=2BH,

：.AOBD=120°-30°=90°,

在RtACBH中，CH=^-CB=2,BH=273,??

BD=4V13,

在Rt/\OBD中，OD=4+(4通>=2V13,

.?.P。的最小值為OD-OP=2，*—2.

故選：B.

16

【題目P1如圖，矩形ABCD的邊AB=8,AD=6,M為BC的中點，P是矩形內(nèi)部一動點,且滿足NADP=

/-PAB,N為邊CD上的一個動點,連接PN,MN,則PN+的最小值為.

【詳解】解：；四邊形ABCD是矩形，

/BAD=90°,

?/AADP=Z.PAB,

NADP+ZPAD=APAB+/PAD=ABAD=90°,

.?.點P的運動路線為以AD為直徑的圓，

作以為直徑的OO,作點河關(guān)于直線OC的對稱點M,連接OM'交。。于點P,連接M'N,OP,

則OP=OP=3,M'N=MN,

：.PN+MN=PN+M'N=PN+M'N+OP-OP'>OM'-OP'=OM'-3,

.?.PN+昭V的最小值為OAT-3;

連接OM,

?.?四邊形ABCD是矩形，點。是AD的中點，點河為BC的中點,

OD=~AD=~BC=CM=3,OD//CM,Z079(7=90°,

四邊形(WCD是矩形，

OM=DC=AB=8,

??,點“關(guān)于直線。。的對稱點Mf,

??.M，M=2MC=6,

在電河中，

由勾股定理，得OAT=y/OM2+M'M2=A/82+62=10,

.?.PN+AW的最小值為OAT—3=10—3=7,

故答案為：7.

蜃自］兀如圖，在等邊△ABC中，AB=6,點分別在邊BC,AC上，且BD=CE,連接交于點

F,連接CF,則NAFB=,CF的最小值是

MS

A

【答案】120°,2A/3.

【詳解】解:如圖，△48。是等邊三角形，

AB^BC^AC,AABC=ABAC=4BCE=60°,

?：BD=CE,

：.△ABD名△BCE(SAS),

AZBAD=ZCBE,

又AAFE=ABAD+NABE,

：.ZAFE=ACBE+AABE=AABC,

：.ZAFE=60°,

：.ZAFB=120°,

.?.點F的運動軌跡是O為圓心，OA為半徑的弧上運動(/AOB=120°,OA=273),

連接。。交OO于N,當(dāng)點F與N重合時，CF的值最小，最小值=OC-ON=473-273=273.

故答案為：120°,2V3.

題目E如圖，在出△ABC中，乙4cB=90°,/A=30°,BC=2,點E是47的中點，點F是斜邊AB上任意

一點，連接EF,將△4EF沿EF對折得到ADEF,連接DB,則周長的最小值是.

【答案】4+

【詳解】解:在Rt^ABC中，Z.ACB=90°,/A=30°,BC=2,

AB=4,

AC=y/AB2-BC2=V42-22=273,

如圖，以點E為圓心，AE為半徑作圓，連接BE,交。E于點、D,

此時AD的長度最小，

?/將AAEF沿EF對折得到ADEF，且點E是AC的中點，

：.AF^D'F,AE^A'E^V3,

?：C謝F=D'F+FB+BD'=AF+FB+BD'=AB+BD',

此時△BDF的周長最小，

過E作硒__L4B于點V,

：.EM=^-AE=^~,

22

由勾股定理可得AM^^JAE2-EM2=不3—三=得,??

由勾股定理可得BE=y/EM2+BM2=春+學(xué)=

BU=BE-ED=/-羽,

二△BDF周長的最小值是4+—血.

故答案為：4+，7—四.

題目?如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，/A=60°,Af是AD邊上的一點，且-AD,N是AB邊上

o

的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到44皿N,連接4G.則4。長度的最小值是

【答案】V19-1

【詳解】解:過點M■作MH_LCD交CD延長線于點H,連接CM,

AM=^-AD,AD=CD=3

o

AA1=1,MD=2

?：CD//AB,

：.4HDM=ZA=60°

:.HD=^-MD=1,HM=V3HD=瓜

:.CH=4

MC=y/MH2+CH2=V19

?.?將/\AMN'沿MN所在直線翻折得到4AMN,

.?.點4在以Af為圓心，AM為半徑的圓上，

當(dāng)點4在線段上時，4。長度有最小值

4C長度的最小值=必7一旦4=，每一1

故答案為：力勺一1

'W1①如圖，線段4B為。。的直徑，點。在AB的延長線上，AB=4,BC=2,點P是。。上一動點，連

接C尸，以CP為斜邊在PC的上方作Rt/\PCD,且使ADCP=60°,連接OD,則OD長的最大值為

[^<1273+1/1+273

【詳解】解:如圖，作△COE,使得ZCEO=90°,AECO=60°,

則CO=2CE,OE=2聰,40cp=4ECD,

?：ACDP=90°,匕DCP=60°,CP=2CD,

MS

,COCPCP

=2,：./\COP-

，9~CE~~CD△CED，：.哥~CD

即ED=/OP=1（定長）,

?.。點E是定點，DE是定長,

.?.點。在半徑為1的OE上，

：ODWOE+。七=2四+1,

.?.OD的最大值為2四+1,故答案為：2遍+1.

【巔目叵如圖，4ABC為等邊三角形，=2,若P為△ABC內(nèi)一動點,且滿足APAB=ZACP，則點P運

動的路徑長為.

【詳解】解：???△ABC是等邊三角形，

ZABC=ABAC=60°,AC=AB=2,

■：APAB=/LACP,

ZPAC+ZACP=60°,

：.ZAPC=12Q°,

?,?點p的運動軌跡是萬口，如圖所示：

連接OA、OC,作OD_LAC于。，

則AD=CD=f4C=l,

?.?反比所對的圓心角=2/4PC=240°,

劣弧AC所對的圓心角乙4。。=360°—240°=120°,

■：OA^OC,

：.AOAD^30°,

?：OD±AC,

.??OD=亨AD=W，OA=2OD=

故答案為：R招兀.

面目卬如圖，RtAABC中，AB，BC,AB=12,BC=8,P是^ABC內(nèi)部的一個動點,且滿足Z.PAB=

/PBC,連接PC,則線段CP長的最小值為.

MS

【答案】4

【詳解】解：；ZABC=90°,

/ABP+/PBC=90°,

?/NPAB=2PBC,

/BAP+/ABP=90°,

/APB=90°,

.?.點P在以AB為直徑的OO上，連接OC交。。于點P,此時PC最小,

在R1