2024年高中數(shù)學(xué)不等式選修題型

6.不等式選講

6.1均值不等式在證明中的應(yīng)用

1.(1)已知7?+,羽y￡R,求證：—+—>+；

aba+b

(2)已知實(shí)數(shù)羽y滿足：2爐+丁2=1,試運(yùn)用J)求之+3日勺最小值。

(22、122

(1)證：(a+Z?)—+—=X2+y2+x2+y1+2xy=(x+y)2=>

yab)ab

^+￡>fc±2￡(當(dāng)且僅當(dāng)2=1時(shí)，取等號)；

aba+bab

(2)解：2+3=二+=》與1=9,當(dāng)且僅當(dāng)x2=/=J_時(shí)，之+二日勺最小值

%2y22x2y22x~+y23x"y2

是9o

考點(diǎn)：均值不等式在證明中日勺應(yīng)用、綜合法證明不等式

6.2絕對值不等式

6.2.1單絕對值不等式

lx2+5x+九<0

2.已知函數(shù)/(x)=J卜-若函數(shù)y=/(x)-恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。日勺

2|%-2|,%>0'

取值范圍為.

答案：(1,2)

解析：分別作出函數(shù)丫=/00與丁="m日勺圖像，

由圖知，a<0時(shí)，函數(shù)丁=/(幻與y=a|x|無交點(diǎn)，

a=0時(shí)，函數(shù)丁=/(%)與y=a|x|有三個(gè)交點(diǎn)，

故a>0.

當(dāng)尤>0,aN2時(shí)，函數(shù)y=/(x)與y=a|x|有一種交點(diǎn)，

當(dāng)x>0,0<a<2時(shí)，函數(shù)'=/(為與y="0有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)光<0時(shí)，若y=-ac與y=—好一5x-4,(-4<x<-l)相切，

則由A=0得：a=l或a=9(舍),

因此當(dāng)x<0,a>l時(shí)，函數(shù)產(chǎn)/00與丁=”|.丫|有兩個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)x<0,a=l時(shí)，函數(shù)y=/(x)與y=a|x|有三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)x<0,0<a<l時(shí)，函數(shù)y=/(x)與y=a|x|有四個(gè)交點(diǎn)，

因此當(dāng)且僅當(dāng)l<a<2時(shí)，函數(shù)丁=/0)與丁=0%|恰有4個(gè)交點(diǎn).

考點(diǎn)：單絕對值不等式

3.存在x<0，使得不等式/<2_,一|成立，則實(shí)數(shù)/日勺取值范圍為

答案：［-汨

解析:不等式不,^\x-t\<2-x2,

令x=WT，x日勺圖象是有關(guān)％=/對稱日勺一種V字形圖形，其象位于第一、二象

限；

%=2-必，是一種開口向下，有關(guān)y軸對稱，最大值為2日勺拋物線；

要存在x<0,使不等式|XT|<2-Y成立，

則弘日勺圖象應(yīng)當(dāng)在第二象限和當(dāng)日勺圖象有交點(diǎn),

兩種臨界狀況，①當(dāng)*0時(shí)，％日勺右半部分和%在第二象限相切:

%日勺右半部分即％=%一,

聯(lián)歹！J方程y=%-什=2-%2,只有一種解；

BPx—t—2—x2，BRx2+x—t—2—0，A=l+4?+8=0，得：t=——;

4

此時(shí)當(dāng)恒不小于等于為，因此取不到；

因止匕一2<t<o；

4

②當(dāng)/>0時(shí)，要使％和內(nèi)在第二象限有交點(diǎn)，

即弘日勺左半部分和為日勺交點(diǎn)日勺位于第二象限；

無需聯(lián)列方程，只要為與y軸日勺交點(diǎn)不不小于2即可；

與y軸日勺交點(diǎn)為(0/)，因此/<2,

又由于/>0，因止匕0</<2；

綜上，實(shí)數(shù)/日勺取值范圍是：;

4

故答案為：

考點(diǎn)：單絕對值不等式

6.2.2同系數(shù)絕對值相加型不等式

4.已知函數(shù)/(%)=|2%-11+12x+a|,g(x)=x+3.

(1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式/(x)<g(x)日勺解集；

(2)設(shè)。>-1,且當(dāng)時(shí)，/(x)<g(x),求。日勺取值范圍。

U1

—5x,%<一

2

(1)當(dāng)〃二一2時(shí)，令y=|2%—1|+|2%—2|—%—3=<—x—2,gV%<1,

3x-6,x>1

作出函數(shù)圖像可知，當(dāng)％￡(0,2)時(shí)，y<0,

故原不等式日勺解集為k|0<x<2};

(2)依題意，原不等式化為1+Q<X+3,

故行a-2對都成立，

L22)

故-%a-2,

2

故ad,

3

故/勺取值范圍是卜L1.

考點(diǎn)：同系數(shù)絕對值相加型不等式

6.2.3同系數(shù)絕對值相減型不等式

5.已知函數(shù)/(%)=,-2|-k-5|

(1)證明：-3</(%)<3;

(2)求不等式/(x)2x2-8x+15日勺解集。

—3,%V2

(1)/(x)=|x-2|-|x-5|=bx-7,2<x<5

3,x>5

當(dāng)2<x<5時(shí)，一3<2x—7<3,因止匕，一3?衣43

(2)由(1)可知

當(dāng)xW2時(shí)，/⑺2/一版+15日勺解集為空集；

當(dāng)2<%<5時(shí)，/⑴上爐―8x+15日勺解集為k|5—

當(dāng)x?5時(shí)，/(x)Nx2_8x+15日勺解集為{x|5KxW6}

綜上：不等式/(x)2x?-8x+15日勺解集：^x|5-73<x<6^

考點(diǎn)：同系數(shù)絕對值相減型不等式

6.2.4不一樣系數(shù)絕對值相加減型不等式

6.設(shè)函數(shù)〃x)=|2x+l|-卜-2|

(1)求不等式〃X)>2日勺解集;

(2)若VxeR,/(x)2/-恒成立，求實(shí)數(shù)用勺取值范圍.

C1

-x—3,%<—

2

(1)由題意得/■(%)=,3x—1,—Wx<2

2

x+3,x>2

當(dāng)％〈一工時(shí)，不等式化為一兀一3>2,解得％<-5「.X<一5,

2

當(dāng)」"<2時(shí)，不等式化為3x-1>2,解得%

2

當(dāng)了N2時(shí),不等式化為％+3>2,解得了>-1.”N2,

綜上，不等式日勺解集為{小>1?6%〈-5}.

(2)由(1)得了⑴由「-"I"若WXER,/(九恒成立,

則只需y(xL=-"|N,解得,

綜上，用勺取值范圍為

_2_

考點(diǎn)：不一樣系數(shù)絕對值相加減型不等式

6.3已知絕對值不等式解求參數(shù)

7.設(shè)函數(shù)/(x)=|x—a\+3x,a>Q

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求不等式/(x)23x+2日勺解集；

⑵假如不等式/(%)<0的解集為｛小<-1｝,求。的值。

(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)N3x+2可化為|x-122。

由止匕可得xN3或無V—1。

故不等式/(x)23x+2的］解集為｛x|xN3或x<-l｝o

(2)由/(x)<0得|%-?|+3x<0

x>ax<a

此不等式化為不等式組或<

x-dJ+3x<0?-x+3x<0

x>ax<a

即?；?lt;/a

x<—a<—

42

a

由于a>0,因此不等式組日勺解集為｛x|x<——

2

由題設(shè)可得一分,故會

考點(diǎn)：已知絕對值不等式解求參數(shù)

6.4已知絕對值不等式解的范圍求參數(shù)范圍

8.已知函數(shù)/(尤)=|x+a|+|尤-2|.

(1)當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式/(x)?3的I解集;

(2)若/(x)gx-41的解集包括[1,2],求a的取值范圍.

答案：

5-2x(%<2)

(1)當(dāng)a=—3時(shí)，fM=\x-3\+\x-2\=<l(2<x<3)

2x-5(x>3)

因此不等式/(x)N3可化為，*<2,或[2?,3,或<x>3

5-2%>31>32x-5>3

角犁得％?1或x24

因此不等式日勺解集為{x|x?l或x24}

(2)由已知/⑴寺-4|

即為|%+。|+|%-2區(qū)

也即|X+Q區(qū)|%-4|-|X-2|

若4|的解集包括工21,

則\/%￡口,2],\x+a\^x-4\~\x-2\9

也就是VX￡[1,2]9\x+a\<2,

因止匕Vxe[l,2],(x+aN—2,

x+a<2

11—r-1+aA—2

從而4,

、2+a<2

解得-3<a<0

因此a的取值范圍為ae[-3,0].

考點(diǎn)：已知絕對值不等式解日勺范圍求參數(shù)范圍、同系數(shù)絕對值不等式相加減

6.5含絕對值不等式的恒成立問題

9.已知函數(shù)/(%)=|2%+1|+|2*-1|,

(1)若對任意日勺x有/⑴加成立，求。日勺取值范圍；

(2)若不等式向+q+問-5+4/⑴之。，對于任意日勺a力都成立，求x日勺取值范

圍。

(1)根據(jù)題意,a不不小于等于/(x)日勺最小值

,1

-4x,x<——

2

由F(x)=<2,—g<x<g

4x,x>—

2

可得/(X)min=2

因止匕a<2

(2)當(dāng)a+>=0即a=-〃時(shí)，2\b\-0-f(x)>0恒成立，.“eR

當(dāng)a+bwO時(shí)，由絕對值不等式得性質(zhì)可得

12iz+Z?|+1tz|>|(2tz+Z?)—tz|=|tz+Z?|,

當(dāng)且僅當(dāng)(2a+b)aW0時(shí)取,叫+可：問2］恒成立，

??||11,|八|2〃+?+|。|1

\2a+b\+\a\--\a+b\f(x)>0,心十目之5.。)

，f(x)<2

11

——<x<—

22

考點(diǎn)：含絕對值不等式日勺恒成立問題、同系數(shù)絕對值相加型不等式

6.6含絕對值不等式的能成立問題

10.已知函數(shù)〃x)=|x—l|+|x+3].

⑴求x日勺取值范圍，使為常數(shù)函數(shù).

⑵若有關(guān)x日勺不等式/(%)-aWO有解，求實(shí)數(shù)。日勺取值范圍.

—Lx—2,x<—3

(1)/(x)=|x-l|+|x+3|=<4,-3<x<1

2x+2,x>1

則當(dāng)3』時(shí)"(%)為常數(shù)函數(shù).

(2)措施一:如圖，結(jié)合⑴知函數(shù)/⑴日勺最小值為4,

實(shí)數(shù)。日勺取值范圍為a?4.

措施二：|九一1|+,+3|>|x-l-(x+3)|；

|x-1|+|x+3|4,

等號當(dāng)且僅當(dāng)3』時(shí)成立.

得函數(shù)4工)日勺最小值為4，則實(shí)數(shù)。日勺取值范圍為“24?

考點(diǎn)：含絕對值不等式日勺能成立問題

6.7運(yùn)用絕對值的三角不等式放縮求最值

11.已知實(shí)數(shù)無,y滿足：|x+y|<L|2x-求證：

3618

證明：3|y|=|3y|=|2(x+y)+(2x-y)|<2|x+y|+|2x-y|,

由題設(shè)|x+y|<L,|2x-y|<L,

36

,115

3O1y<—+—=—.

366

,5

??y<—■

18

考點(diǎn)：絕對值日勺三角不等式

6.8數(shù)形結(jié)合在含參絕對值不等式中的應(yīng)用

12.已知函數(shù)/(%)=J/-6尤+9+J2+8元+16.

(1)求/(x)2/(4)日勺解集；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=—(x-3),kwR,若/(x)>g(x)對任意日勺尤eH都成立，求實(shí)數(shù)人日勺

取值范圍.

(1)/(%)=42-6%+9+正2+8尤+16=J(X-3)2+J(X+4)2=|X-3|+|X+4|，

/(x)>/(4),即|x—3|+|x+4|N9,

x<-4,—P'—4<x<3,zcrx_p.x之3,

①或②或③

3-x-x-4>9[3-x+x+4>9[x-3+x+4>9,

解得不等式①：%<-5;②：無解；③：x>4,

因此f(x)>/(4)日勺解集為{x|x<-5或x24}.

(2)/(%)>8(%)即/(%)=|%—3|+|%+4|日勺圖象怛在8(%)=左(%—3)圖象日勺上方,

_2x—1,x一4,

可以作出/(x)=|x-3|+|x+4|=7,-4<x<3,日勺圖象，

2x+l,x>3

而g(x)=-x-3)圖象為恒過定點(diǎn)P(3,0),且斜率左變化日勺一條直線，

作出函數(shù)y=/(x),y=g(x)圖

象，

其中左所=2,4(-4,7),kPA=-1,

由圖可知，要使得/(X)日勺圖象恒在g(x)圖象日勺上方，

實(shí)數(shù)%日勺取值范圍應(yīng)當(dāng)為-1〈kW2.

考點(diǎn)：同系數(shù)絕對值不等式相加型、數(shù)形結(jié)合在含參絕對值不等式中的應(yīng)用

7.證明不等式的基本措施

7.1比較法證明不等式

13.設(shè)不等式|2%-1|<1日勺解集是/,a,b^M.

(1)試比較+l與a+b日勺大小;

(2)設(shè)max表達(dá)數(shù)集A日勺最大數(shù).//=max{卓，巴3求證：h>2.

7ay/ab

答案：(1)ab+l>a+b;(2)見解析

解析：(1)先解出M={x[O<x<l卜

(ab+1)—(a+b)=(a—l)S—l)>0.

問題得證.

2

可知〃

yja7abyfb，

因此根據(jù)不等式日勺性質(zhì)，同向正向不等式具有可乘性，從而可證出川之8.

故〃”

考點(diǎn)：比較法證明不等式

7.2綜合法證明不等式

7.3分析法證明不等式

14.已知/(%)=,+1]+卜-1],不等式/(%)<4日勺解集為".

(1)求

(2)當(dāng)時(shí)，證明：2卜+4<|4+回

(1)解不等式：|x+l|+|x-l|<4;

x>lX<—1

或<或<

'2x<42<4-2x<4

nlWx<2或一U<1或一2<%<-1,

n-2<%<2nM=(-2,2).

(2)需證明：4(?2+2ab+b2)<a2b2+8aZ?+16,

只需證明a2b2-4?2-4b2+16>0,

即需證明(〃—4)(從-4)>0

a,bw(-2,2)=>?2<4,Z?2<4=>(a2-4)<0,(^2-4)<0

=>(a2-4)(Z?2-4)>0,

因此原不等式成立.

考點(diǎn)：分析法證明不等式

7.4反證法證明不等式

15.設(shè)a>0/>0.且。+/?」+上證明：

ab

(1)a+b>2；

(2)?2+?<2與/+b<2不也許同步成立.

Efe?+/?=—+—=a+^>a>0,b>0.得ab=l

abab

(1)由基本不等式及"=1,有a+b2=2,即a+/??2;

(2)假設(shè)4+Q<2與片+b<2同步成立，

則由42+口<2及a>0得0<a<l,

同理0<b<l,

從而必<1，這與ab=1矛盾，

故(?+"2與/+b<2不也許同步成立.

考點(diǎn)：反證法證明不等式、均值不等式在證明中日勺應(yīng)用

8.5放縮法證明不等式(多為數(shù)列的題)

16.已知數(shù)列｛"/日勺前”項(xiàng)和§“滿足5卬=2%一”.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)2=2-,記數(shù)列也｝時(shí)前〃和為〈，證明：_L<T”.

4+132

【答案】（1）4=2"-1；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）考慮到a“+i=S"+i-S”，因此可以運(yùn)用條件中的式子得到數(shù)列｛%｝的一種遞推公式，從而

〃2九]]]

即可求解；（2）由（1）可知求=；，b一一=——-一,從而可證<―4<0,深入放

/I2n+1-l22n+2-2n2

縮可得一一11

〃<-----,求和即可得證.

2+2_22"-2+3-2"32

試題解析：(1),**Sn=2c1rl—TI,當(dāng)M=1時(shí)，S]=a[=2〃[—1=>q=1,又,:Sn+i=2〃〃+i—〃一1,

與=2Q及一〃兩邊分別相減得為+i=24+i-2?！?1,得q+i+l=2(%+1),又???弓+1=2,

?,?數(shù)列｛氏+1｝是認(rèn)為2首項(xiàng)，2為公比時(shí)等比數(shù)列，???%+1=2-得4=2〃—1；

_2"-11n111

-Jb=2-a--1A----F<0,得

n,,+234+2

an+l-2"M_]2-222-22-22