2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：規(guī)律探索(解析版)(全國版)

規(guī)律探索

題型1:數(shù)式的規(guī)律探索

題型2:坐標(biāo)的規(guī)律探索

規(guī)律探索

題型3:圖形的規(guī)律探索

規(guī)律探索問題在中考中常以選擇題、填空題的形式

出現(xiàn)，難度中等，規(guī)律性較強(qiáng)，重點(diǎn)考查數(shù)式、坐標(biāo)和規(guī)律探索

圖形的規(guī)律探索問題，涉及整式的計(jì)算、一次函數(shù)、反

比例函數(shù)、二次函數(shù)、圓、特殊三角形、勾股定理、圖

形變換等相關(guān)知識(shí)，以及類比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸

等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①探究數(shù)式規(guī)律

問題；②證明數(shù)式成立問題；③探究圖形周長、面積問

題；④利用函數(shù)求坐標(biāo)問題等.右圖為規(guī)律探索問題中各

題型的考查熱度.

_______________________________________________________________________________1,

題型1:數(shù)式的規(guī)律探索

橫縱向分析各數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)系，適當(dāng)續(xù)寫幾個(gè)數(shù)式

解題模板：尋找蛔規(guī)律，列出第n個(gè)球

驗(yàn)證已知數(shù)式是否符合規(guī)律，化簡后得出結(jié)論

美航一扃麗

咽1.觀察下列算式:2:2,22=4,23=8,24=16,2s=32,26=64,27=128,28=256……觀察后,

用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出22022的末位數(shù)字是,

【答案】4

【分析】通過觀察給出算式的末尾數(shù)可發(fā)現(xiàn)，每四個(gè)數(shù)就會(huì)循環(huán)一次，根據(jù)此規(guī)律算出第2022個(gè)算式的個(gè)

位數(shù)字即可.

【詳解】解：通過觀察給出算式的末尾數(shù)可發(fā)現(xiàn)，每四個(gè)數(shù)就會(huì)循環(huán)一次，

2022+4=505……2,

.?.第2022個(gè)算式末尾數(shù)字和第2個(gè)算式的末尾數(shù)字一樣為4,

22022的末位數(shù)字是4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)歸納數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1】如圖是一個(gè)電子青蛙游戲盤，已知48=7,BC=6,AC=5,BP0=3,電子青蛙在邊上的兄

處，第一步跳到月處，使84=即，第二步跳到鳥處，使C￡=C4,第三步跳到月處，使4居=4月......

按上述的規(guī)則跳下去，第2023步落點(diǎn)為P2023,則々與P2023之間的距離為.

【答案】0

【分析】根據(jù)上述規(guī)則，顯然6次完成一個(gè)循環(huán).因?yàn)?023+6=372..」，則鳥⑼與4重合，于是得到結(jié)論.

【詳解】解：第一步跳到片處，使地=陽=3,

第二步跳到E處，使c‘=cq=3,

第三步跳到A處，使/乙="6=2,

第四步跳到《處，Bg=BP&=5,

第五步跳到月處，（累=瑪=1,

第六步跳到P6處，AP5=AP6=4,與＜重合，

二6次一循環(huán),則2023+6=37231,則芻必與耳重合.

二6與今23之間的距離為0,

L

!故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中各點(diǎn)的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)

!合的思想解答.

【變式1-2】將從1開始的自然數(shù)，按如圖的規(guī)律排列，在2,3,5,7,10,13,17,…處分別拐第1,

：2,3,4,5,6,7,…次彎，則第101次拐彎處的那個(gè)數(shù)是.

21f22>23f24->25,26

I木W(wǎng)

207f839—10

小木W(wǎng)

1961—2H

小小。丈

185―4—312

!tI|

17v16v]5-14e13

【答案】2602

【分析】拐彎處的數(shù)相鄰兩數(shù)的差是1、1、2、2、3、3、4、4、…，據(jù)此規(guī)律作答即可得.

【詳解】解：拐彎處的數(shù)與其序數(shù)的關(guān)系如下表：

拐彎的序數(shù)01234567

拐彎處的數(shù)12357101317

由此可知，拐彎處的數(shù)相鄰兩數(shù)的差是1、1、2、2、3、3、4、4、…，

因?yàn)?01=2x50+1,

所以第101次拐彎處的那個(gè)數(shù)是1+2x0+2+3+…+50）+51=2602,

故答案為：2602.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，正確找出數(shù)字之間的排列規(guī)律是解題關(guān)鍵.

親前三廠逋貓iT

曬2.按一定規(guī)律排列的式子：-亞當(dāng)，-學(xué),2學(xué)，……第〃個(gè)式子是,

aaaa

【答案】（-1）”?嗎料

I【分析】根據(jù)所給式子找出各部分的規(guī)律解答即可.

J___________________________________________

1--------------------------------------------------------------------------------------------------1

【詳解】解：36,86,15瓦246,…,分子可表示為:n(n+2)b.

ja,a3,a5,a7....分母可表示為：/“t,

I則第n個(gè)式子為：(-1)"產(chǎn)叱？九

a

I故答案是：(-1)"I

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字類規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)

I用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.此題注意分別觀察各部分的符號(hào)規(guī)律.

【變式2-1】觀察下列等式：

第1個(gè)等式：?i=i+1A=34；

1x22

一17

第2個(gè)等式：a=\-\----=—；

22x36

113

第3個(gè)等式：a3=l+-^—=—；

33x412

第4個(gè)等式：%=1+白1=今?!；

根據(jù)以上規(guī)律解答以下問題：

⑴寫出第5個(gè)等式：；寫出第〃個(gè)等式：；

111

(2)由分式性質(zhì)可知：/7(/7+1-y,試求%+%+%+…+出022-2023的值.

1311+1)+1

【答案】⑴氏=1+4才氏=1+而旬=+；

(2)———.

''2023

【分析】(1)類比給出的4個(gè)等式，寫出第5個(gè)等式即可，進(jìn)而得出第〃個(gè)等式;

(2)利用得到的規(guī)律將原式變形，再計(jì)算即可.

131

【詳解】⑴解：^=1+--=—；

55x630

1〃+1)+1

a=1+------=—^-----』—.

(2)解:原式=1+---+1+----+1+----+--?+1+

2022x2023

20222023

【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，從簡單情形入手，找出一般規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

【變式2-2】觀察下列等式：

第1個(gè)等式：22-l2-2xl=l;

22

第2個(gè)等式：3-2-2X2=1；

第3個(gè)等式：42-32-2x3=1;

第4個(gè)等式:52-42-2x4=l；

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第5個(gè)等式：;

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式：(用含力的等式表示)，并證明.

【答案】⑴6-52-2x5=1

⑵(“+1)2-2"=1,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出第5個(gè)等式；

(2)根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出猜想，然后將等式左邊和右邊展開，看是否相等即可證明猜想.

【詳解】⑴解：第5個(gè)等式是62-5?-2x5=1；

故答案為：62-52-2x5=l.

(2)解：猜想：第〃個(gè)等式：+=

證明：:左邊=("+1)2-“2-2”

=n2+2〃+1-n2-2n

=1=右邊-

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化、列代數(shù)式，整式的運(yùn)算，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的等

式和猜想和證明是解答本題的關(guān)鍵.

類型三：固定累加型

曬3.觀察下列由連續(xù)的正整數(shù)組成的等式:

第1層1+2=3

第2層4+5+6=7+8

第3層9+10+11+12=13+14+15

第4層16+17+18+19+20=21+22+23+24

則第7層等號(hào)右側(cè)的第一個(gè)數(shù)是.

則第?層等號(hào)右側(cè)的第一個(gè)數(shù)是.

【答案】57n2+n+l

【分析】不難看出每一層等式左邊第1個(gè)數(shù)為等式右邊的第1個(gè)數(shù)為等式左邊第1個(gè)數(shù)加上層數(shù)再加

1,據(jù)此可求解.

【詳解】解：1?第1層1+2=3

第2層4+5+6=7+8

第3層9+10+11+12=13+14+15

第4層16+17+18+19+20=21+22+23+24

...第7層等號(hào)右側(cè)的第一個(gè)數(shù)是：7?+7+1=57,

第〃層等號(hào)右側(cè)的第一個(gè)數(shù)是：n2+n+l.

故答案為：57,n2+n+l.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的式子總結(jié)出存在的規(guī)律.

【變式3-1】觀查下列等式，探究其中的規(guī)律并回答問題：

1+8=32,

1+8+16=52,

1+8+16+24=72,

1+8+16+24+32=/,

(1)第4個(gè)等式中正整數(shù)后的值是；

(2)根據(jù)已知等式可歸納出第"個(gè)等式為(〃是正整數(shù)).

【答案］91+8+16+24+32+■?-+8?=(2n+1)2

【分析】⑴第1個(gè)等式中正整數(shù)為3,其中3=lx2+l；第2個(gè)等式中正整數(shù)為5,其中5=2x2+l；第3

個(gè)等式中正整數(shù)為7,其中7=3x2+L故得出第4個(gè)等式中正整數(shù)k=4x2+l=9；

(2)觀查等式左側(cè)，等式個(gè)數(shù)每增加1,等式中就會(huì)增加這個(gè)等式個(gè)數(shù)的8倍；故可歸納出第〃個(gè)等式.

【詳解】解⑴：第1個(gè)等式中正整數(shù)為3,其中3=lx2+l；

第2個(gè)等式中正整數(shù)為5,其中5=2x2+l；

第3個(gè)等式中正整數(shù)為7,其中7=3x2+l；

,第4個(gè)等式中正整數(shù)4=4x2+1=9；

故答案為：9.

(2)：第1個(gè)等式左側(cè)為l+8=l+8xl；

第2個(gè)等式左側(cè)為1+8+16=1+8+8x2；

第3個(gè)等式左側(cè)為1+8+16+24=1+8+16+8x3；

第4個(gè)等式左側(cè)為1+8+16+24+32=1+8+16+24+8x4；

第〃個(gè)等式左側(cè)可歸納為1+8+16+24+32+…+8”；

由(1)中知第〃個(gè)等式右側(cè)為(2仁+1產(chǎn)

第〃個(gè)等式可歸納為1+8+16+24+32+-+8〃=(2"+1)?的形式

故答案為：1+8+16+24+32+…+8"=(2〃+1)2.

【點(diǎn)睛】本題考查用歸納法推導(dǎo)規(guī)律.解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)在于將等式的個(gè)數(shù)與數(shù)值建立聯(lián)系.

【變式3-2】若干個(gè)有規(guī)律的數(shù)，排列如下:

第

行

一1

第

行

二-1-3

第

行

三

第

行139

四

第

行

五-1-3-9-27

1392781

試探究：

⑴第2012個(gè)數(shù)在第幾行？這個(gè)數(shù)是多少？(每行的數(shù)都是從左往右數(shù))

(2)寫出第"行第左個(gè)數(shù)的代數(shù)式；(用含"，左的式子表示)

⑶求第2012個(gè)數(shù)所在行的所有數(shù)之和S

【答案】⑴第63行，這個(gè)數(shù)為3嗎

r

(2)(-1)“+/3A；

【分析】每一行的數(shù)的個(gè)數(shù)和行數(shù)都是相同的，奇數(shù)行的數(shù)字都是3/,偶數(shù)行的數(shù)字都是(-3)n1,統(tǒng)|

一為(-1)川十，3/；

(1)設(shè)第2012個(gè)數(shù)在第"行，貝卜+2+3+...+〃=誓。，估算得出答案即可；

(2)有以上分析直接寫出即可；

(3)寫出第2012個(gè)數(shù)所在行的所有數(shù)，進(jìn)一步求和即可.

(D?

解：?.,每一行的數(shù)的個(gè)數(shù)和行數(shù)都是相同的，奇數(shù)行的數(shù)字都是3/,偶數(shù)行的數(shù)字都是(-3)n1,設(shè)行|

I

數(shù)為"，數(shù)字個(gè)數(shù)為七

左=1+2+3+...+〃=---------,

2

油”A9F14-62x(62+1)

2

西口才63x(63+1)

^3w—63—2016;

2

62x(62+1)63x(63+1)

——---------=1953<2012<——----------=2016,

22

所以第2012個(gè)數(shù)在第63行，從左往右數(shù)第2012-1953=59個(gè)，這個(gè)數(shù)為3§8；

⑵I

I

解：由以上分析可直接寫出為(-1)n+I3k,；

(3)

,262

解：???lS=1+3+3+...+3(D

..35=3+32+...+362+363②

由②-①得25=363-1

363-1

.-.S=1+3+32+...+362=-——.

2

【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出規(guī)律，解決問題.

類型四：漸變累加型

曬4.如圖，有一個(gè)起點(diǎn)為0的數(shù)軸，現(xiàn)有同學(xué)將它彎折，虛線上從下往上第一個(gè)數(shù)為0,第二個(gè)數(shù)為6,第

三個(gè)數(shù)為21,……，則第十個(gè)數(shù)是（）

012345

A.378B.351C.702D.756

【答案】A

【分析】觀察圖形中數(shù)字變化（增加）情況，發(fā)現(xiàn)后一個(gè)數(shù)總是在前一個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上加上一個(gè)數(shù)，探索加

數(shù)規(guī)律即可.

【詳解】解：第一個(gè)數(shù)是0,

第二個(gè)數(shù)是6,

第三個(gè)數(shù)是0+6+15=21,

第四個(gè)數(shù)是0+6+15+24=45,

第五個(gè)數(shù)是0+6+15+24+33=78,

方法一：規(guī)律探索,

第〃個(gè)數(shù)是0+9x0+6+9x1+6+9x2+6+…+9（〃-2）+6

=6（〃-1）+9（0+1+2+…+〃-2）

,、9（〃一1）伍一2）

=6（?-1）+-^——------L

—2

當(dāng)〃=10時(shí)，代入上式得：

（?7-l）（9n-6）

2

r-

9x84

2

=378

方法二：第10個(gè)數(shù)是0+6+15+24+33+42+51+60+69+78=378,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查探索數(shù)字規(guī)律技能技巧，耐心統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，認(rèn)真分析數(shù)據(jù)變化從中找出規(guī)律最為關(guān)鍵.

【變式4-1］按一定規(guī)律排列的等式：1=12,1+3=22,1+3+5=3?,1+3+5+7=42,........按此規(guī)律

1+3+5+7+9+…+2023=()

A.10102B.10112C.10122D.202I2

【答案】C

【分析】通過觀察可以看出：規(guī)律為一個(gè)等式，等號(hào)左邊為連續(xù)奇數(shù)的和，且奇數(shù)的個(gè)數(shù)、最后一個(gè)奇數(shù)

都與等式的序數(shù)有關(guān)，即：第〃個(gè)等式左邊有，個(gè)奇數(shù)，最后一個(gè)奇數(shù)為2〃-1等號(hào)的右邊為序數(shù)的平方,

即：

【詳解】解：規(guī)律為：1+3+5+7+...+(2〃-1)="

貝打+3+5+7+9+…+2023中,

2?-1=2023

解得：77=1012

則等號(hào)右邊為：10122

故選C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了觀察、歸納概括總結(jié)的能力，歸納出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2】請(qǐng)觀察下列等式，找出規(guī)律并回答以下問題.

1^1111111111

U2--2'2^3~2~3'3^4"I-?'4^5-4-5...........

(1)按照這個(gè)規(guī)律寫下去，第5個(gè)等式是：；第〃個(gè)等式是：.

(2)①計(jì)算：-p—+'''1JO1

1x22x33x449x50

②若。為最小的正整數(shù)，^3=0,求:

1?1?1?1?L+]_______

茄+僅+1乂6+1)+(Q+2)@+2『@+3)G+3J+《+97肌97),

]_]2__i_14651

(2)①二；②

【答案】⑴￡46n〃+119800

【分析】(1)根據(jù)規(guī)律可得第5個(gè)算式；根據(jù)規(guī)律可得第n個(gè)算式；

(2)①根據(jù)運(yùn)算規(guī)律可得結(jié)果.

②利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出“與6的值，代入原式后拆項(xiàng)變形，抵消即可得到結(jié)果.

111111

【詳解】⑴根據(jù)規(guī)律得：第5個(gè)等式是第〃個(gè)等式是菽西甲丁??；

(2)ffi—+—+—+--^———

''-1x22x33x449x50,

_49

~50；

②。為最小的正整數(shù)，V^3=0,

:a=1,6=3,

1111,1

原式=——+---+----+----FL+

1x32x43x54x698x100

=lx(i-l)lx(L-l-)LxA1、1/1、11

++(----)++(----)+??+f

232242352462

1111111111、

=—x(1-----1-----------1----------1----------F?—I--------------)

2324354698100

2299100

_14651

-19800,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

題型2坐標(biāo)的規(guī)律探索

根據(jù)條件表示前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

根據(jù)前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征尋找規(guī)律

解題模板:

依據(jù)坐標(biāo)規(guī)律得出結(jié)論

—

類型一：周期型

曬5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正六邊形0/3CDE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃個(gè)45。，得到正六

邊形OA“BnC"DnE",當(dāng)”=2030時(shí)，正六邊形。4203082030G030D2030E2030的頂點(diǎn)AMO的坐標(biāo)是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知正六邊形循環(huán)了8次，由2030+8=253……6可知。6和乃河的坐標(biāo)相同，即可求出

結(jié)果.

【詳解】解：由題意可知：正六邊形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，旋轉(zhuǎn)了8個(gè)45。，

?.?當(dāng)”=2030時(shí)，2030+8=253……6,

AO3O的坐標(biāo)與。6的坐標(biāo)相同，

如圖所示：過點(diǎn)AALOE于點(diǎn)”過點(diǎn)。作DFLx軸于點(diǎn)尸，

'.'ZDEO=120°,DE=EO=L

:.ZEDO=ZDOE=30°.

'.'ZDFO=90°

NFDE=30°

DF

???在RtZ\Z)FF中，cos30°=-----

DE

:.DF=DEcos300=—

2

DF

??.在Rt△0DF中，sin60°=-----

OD

3福

0D6=OD=VJ,Z￡OD6=60°,

又丁皿"0=90。,在中

HR

cos60°=°”sin60。=一^

OD'OD6

/73

.-.OH=OD6COS60°=—,HD6=OD6Xsin60°=-

22

又?.?點(diǎn)2在第三象限,

，點(diǎn)。6的坐標(biāo)為

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，坐標(biāo)與圖形的變化,解直角三角形,學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法,確定2和4。3。

是解決問題的關(guān)鍵.

【變式5-1】如圖所示，已知點(diǎn)4-1,2),將長方形/2。。沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2022次，點(diǎn)/依次落在

點(diǎn)4,4,4,……，4()22的位置，則/2022的坐標(biāo)是.

【答案】(3033,0)

【分析】先求出4(2,1),4(3,0),4(3,0),4(5,2),4(8,1),找到規(guī)律求解.

【詳解】解：由題意得：從/開始翻轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到4,時(shí)，/回到矩形的起始位置，所以為一個(gè)循環(huán)，故

坐標(biāo)變換規(guī)律為4次一循環(huán).

4(2,1),4(3,0),4(3,0),4(5,2),

4(8,1),4(9,0),4(9,0),4(11,2),

4(14,1),4。(15,0),41(15,0),(17,2),

4"+1(6"+2,1),4“+2(6〃+3,0),4"+3(6”+3,0),A4n+4(6n+5,2),

當(dāng)《022時(shí)，即4〃+2=2022,解得“=505,

.?.橫坐標(biāo)為6〃+3=6X505+3=3033,縱坐標(biāo)為0,

則422的坐標(biāo)(3033,0),

故答案為：(3033,0).

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換，解題關(guān)鍵是找到圖形在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)而求解.

【變式5-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)。進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來點(diǎn)N的坐標(biāo)是。,2),

則經(jīng)過第2022次變換后點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

關(guān)力軸對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)力柏對(duì)稱關(guān)于謝對(duì)稱?…”

【答案】(-1,-2)

1分析】觀察圖形可知每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組，依次循環(huán)，用2022除以4,然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確

定出變換后的點(diǎn)/所在的象限，解答即可.

【詳解】解：點(diǎn)/第一次關(guān)于y軸對(duì)稱后在第二象限，

點(diǎn)A第二次關(guān)于x軸對(duì)稱后在第三象限，

!點(diǎn)/第三次關(guān)于y軸對(duì)稱后在第四象限，

I點(diǎn)A第四次關(guān)于x軸對(duì)稱后在第一象限，即點(diǎn)A回到原始位置，

I所以，每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

廠.?2022+4=505余2,

經(jīng)過第2022次變換后所得的/點(diǎn)與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標(biāo)為

|故答案為：（T-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律，讀懂題目信息，觀察出每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組

|依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

!親izmir

|咽6.正方形4月G。，&B￡2Ci,44GG，按如圖所示的方式放置，點(diǎn)4,4,4,…和點(diǎn)G,J,c3,

I…分別在直線y=b+6（左＞0）和X軸上，已知點(diǎn)4（1,1）,B]（3,2）,則砥21的坐標(biāo)是（）

C.（22021-1,22020）D,（22021+1,22020）

【答案】C

【分析】根據(jù)耳（1,1）,B2（3,2）,B3（7,4）........寓的橫坐標(biāo)為2"-1,用的縱坐標(biāo)為2"一,

再求解即可.

【詳解】解：...瓦（覃），即用（2—,2i）

???4（01），

,「鳥（3,2）,即易（22-1,2~）

G4=2,

|片=1,

i.??44=44，

I

IAA2AXBX=45°,

I：.y=x+1f

I.C2B2=A2B2=A3B2,

I4c2=4,

I

j.?.員（7,4）,即2僅3-1,237）

I，紇的橫坐標(biāo)為2"-1,紇的縱坐標(biāo)為2"一，

⑼的坐標(biāo)是啰⑼-1，22期），I

|故選:C.

i

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，通過觀察所給的圖形，探索出正方形邊長與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)

i鍵.

【變式6-1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中方向排列，如（1,0）J

i

I（2,0）,（2,1）,（1,1）,（1,2）,（2,2）...根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第2021個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

i

【答案】（45,4）

【分析】以正方形最外邊上的點(diǎn)為準(zhǔn)考慮，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)等于最右邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，且橫坐標(biāo)為奇數(shù)

1時(shí)最后一個(gè)點(diǎn)在x軸上，為偶數(shù)時(shí)，從x軸上的點(diǎn)開始排列，求出與2021最接近的平方數(shù)為2025,然后

i寫出2021的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：根據(jù)圖形，以最外圍的正方形邊長上的點(diǎn)為準(zhǔn)，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)等于x軸上右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

|的平方，例如：右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,共有1個(gè)，1=F；

:右下角點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，共有4個(gè)，4=2?;

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，共有9個(gè)，9=32;

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4時(shí)，共有16個(gè)，16=42；

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為〃時(shí)，共有M個(gè),

452=2025,45是奇數(shù),

.??第2025個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(45,0),

二第2021個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(45,4),

故答案為：(45,4)

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律變化，從正方形的觀點(diǎn)考慮更簡便，注意正方形的右邊的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

是奇數(shù)還是偶數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］已知:如圖，4(1,0),4(1,1),4(-14),4(TT),4(2,-D

⑴繼續(xù)填與：4,4,4,4,4o，4

(2)試與出點(diǎn)4oi7，"2018

【答案】⑴(2,2)；(-2,2)；(-2,-2)；(3,-2)；(3,3)；(-3,3)

(2)(505,-504)；(505,505)

【分析】(1)根據(jù)圖示坐標(biāo)系各象限橫縱坐標(biāo)符號(hào)特點(diǎn)即可求解；

(2)找到點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)符號(hào)的規(guī)律即可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)圖示坐標(biāo)系各象限橫縱坐標(biāo)符號(hào)特點(diǎn)知4(2,2),4(-2,2),4(-2,-2),

4(3,-2).4。(3,3),41(-3.3).

故答案為：(2,2)；(-2,2)；(-2,-2)；(3,-2)；(3,3)；(-3,3)；

(2)解：根據(jù)(1)可得：在第一象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次加1,縱坐標(biāo)依次加1,

i在第二象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次加-1,縱坐標(biāo)依次加1;

!在第三象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次加-1,縱坐標(biāo)依次加-1,

，在第四象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次加1,縱坐標(biāo)依次加T,

［第一，二，三象限的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值都相等，并且第四象限的橫坐標(biāo)等于相鄰4的整數(shù)倍的各點(diǎn)除

I以4再加上1.

!...點(diǎn)出”（505,-504）,（505,505）,

|故答案為：（505,-504）；（505,505）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過圖示及坐標(biāo)系內(nèi)各象限橫縱坐標(biāo)的特點(diǎn)判斷坐標(biāo)，還考查了尋找規(guī)律，難度

|適中.

i_______________________________________________________

I類型三：固定累加型

|屈隨7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)4,4,4,…和耳，與，與，…分別在直線y=和x軸上.A。/4,

:^44與，△鳥4鳥，…都是等腰直角三角形.如果點(diǎn)4（U）,那么點(diǎn)外吠的縱坐標(biāo)是（）

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)4,4,4,....應(yīng)臉坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)解析式，尋找縱坐標(biāo)規(guī)律，進(jìn)而解題.

【詳解】解：過4作1軸于耳，過4作4心1%軸于與，過4作《41%軸于…

如圖，

L

_3

=3

?V2022-5y202i，

又丁乂二1,

_仆丫必

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形以及規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)

縱坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］在平面直角坐標(biāo)系中，正方形43。的位置如圖所示,點(diǎn)/的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,

延長CS交x軸于點(diǎn)4,作正方形4片CC；延長。耳交x軸于點(diǎn)4,作正方形482c2G,…按這樣的規(guī)律

⑶

C.5x(/-q)\40404042

。5七）

22

示

r【分析】先利用勾股定理求出38C=/「，再用三角形相似得出42=苧，4芻=I守百，找出規(guī)律1

I402152021=(|)2021V5,即可求出第2021個(gè)正方形的面積.

【詳解】解：,點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,2),

!:.OA=1,OD=2,BC=AB=AD=G

i?正方形45cZ),正方形4B/C7C,

i：.AOAD+￡AiAB=QGQ,AADO+AOAD=90°,

i：.AAiAB=^ADO,

\'：AAOD=AAiBA=90o,

\：./\AOD^/\AiBA,

AOOD

I'

1_2

「?懣一百

\.…也

\?-4B=2，

I:.AlBi=AlC=AlB+BC=-s/5,

9L32L

1同理可得，4S2=-V5=(-)A/5,

|同理可得，4尾=(|)3指，

|同理可得，^020^2020=(j)2020V5,

?.第2021個(gè)正方形的面積=：x斯=5x|.

I故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找到規(guī)律.

1【變式7-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將A/BO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△/BiG的位置，點(diǎn)3、O分別落|

i在點(diǎn)片、G處，點(diǎn)用在X軸上,再將△N8C繞點(diǎn)用順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到V44c2的位置，點(diǎn)在X軸上，將V/￡C2|

，繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)4在x軸上，依次進(jìn)行下去……若點(diǎn)/6,。)，8(0,2),則點(diǎn)打。221

I的坐標(biāo)為.

L

【分析】由勾股定理可計(jì)算出的長，其周長為°=6,△408經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)燈的橫坐標(biāo)為

OA+AB+OB=p=6,即為三角形的周長，縱坐標(biāo)為2,即以(6,2)；再經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)風(fēng)的橫坐標(biāo)為

2{OA+AB+OB)=2p=A2,即為三角形的周長2倍，縱坐標(biāo)為2,即以(12,2)；再經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)屏的橫

坐標(biāo)為3(OA+AB+OB)=3°=18,即為三角形的周長的3倍，縱坐標(biāo)為2,即從(18,2)；...；一般地，

△/。8經(jīng)過3"次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)8?"的橫坐標(biāo)為"(OA+AB+OB)=np=6n,即為三角形的周長的"倍，縱坐標(biāo)為

2,B2n(6n,2).從而根據(jù)規(guī)律可求得星022的坐標(biāo).

【詳解】:/(|，°)，/0,2)

3

/.OA=-,OB=2

2

在用中，由勾股定理得：AB=y]OA2+OB2=^22+^=|

35

/\A0B的周長為p=—+—+2=6

22

△405經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)片的橫坐標(biāo)為04+48+08=0=6,即為三角形的周長，縱坐標(biāo)為2,即&(6,2)；

△/。8再經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)出的橫坐標(biāo)為2(CM+/8+O8)=2p=12,即為三角形的周長2倍，縱坐標(biāo)為2,

即氏(12,2)；

再經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)瓦的橫坐標(biāo)為3(0/+/2+02)=3/2=18,即為三角形的周長的3倍，縱坐標(biāo)為2,即

瓦(18,2)；

一般地，經(jīng)過3〃次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)燈〃的橫坐標(biāo)為〃(OA+AB+OB)=np=6n,即為三角形的周長的"倍，縱坐標(biāo)

為2,即心"(6〃，2).

■??2022是偶數(shù)

.'.52022(6066,2)

故答案為：(6066,2)

【點(diǎn)睛】本題是平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)規(guī)律探索問題，先由特殊情況出發(fā)，得出一般性規(guī)律，再回到特殊

情況，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的歸納思想，這是問題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合.

美麗廠葡菱京加畫一

畫8.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“一”方向排列，如(1,0),(2,0)

(2.1)(3.2)(3,1),(3,0)(4,0).根據(jù)這個(gè)規(guī)律探索可得，第2022個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

()

(5,3)

⑶2-2)*2)

/1(3l)t(41J

(2,1)：產(chǎn)斗4,1"(5,1)

,J|J|

O(1,0)(2,0)(3,0)0,0)(5J))x

A.(2022,8)B.(63,5)C.(64,5)D.(64,4)

【答案】C

【分析】把第一個(gè)點(diǎn)(1,0)作為第一列,(2,1)和(2,0)作為第二列，以此類推，第一列有1個(gè)點(diǎn),

第二列有2個(gè)點(diǎn)…第"列有"個(gè)點(diǎn)，可得前力列共有硬個(gè)點(diǎn)，第〃列最下面的點(diǎn)的坐標(biāo)為60)

最后按照規(guī)律可得第2022個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】解：把第一個(gè)點(diǎn)(1,0)作為第一列，(2,1)和(2,0)作為第二列，以此類推，第一列有1

個(gè)點(diǎn)，第二列有2個(gè)點(diǎn)…第〃列有“個(gè)

,前〃列共有1+2+3+…+〃="("+1)個(gè)點(diǎn),第"列最下面的點(diǎn)的坐標(biāo)為5,0),

2

?1+2+3+…+63=63(63+1)=2016,且列數(shù)是偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)的順序是由下而上，列數(shù)是奇數(shù)時(shí)，點(diǎn)的順序

2

是由上而下，

.?.第2016個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(63,0),

第2017個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(64,0)

第2018個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(64,1)

第2019個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(64,2)

第2020個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(64,3),

第2021個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(64,4),

r

i令x=0,則產(chǎn)令尸0,則x=-1.

3

V3

i.,.OC=1,OD=—.

3

I/tanZDCO=—=—,

OC3

I?/.ZDCO=30°.

△043/是正三角形，

i：.AAiOBi=QQ°.

i/.ZG47O=Z^7CO=30°,

I.OAi=OC='\.

L?.第一個(gè)正三角形的高=1xsin6(T=心；

2

|同理可得：第二個(gè)正三角形的邊長=1+1=2,高=2xsin6(r=VL

I

i第三個(gè)正三角形的邊長=1+1+2=4,高=4xsin6(T=2VL

|第四個(gè)正三角形的邊長=1+1+2+4=8,高=8xsin60o=46；

I,,,

［第〃個(gè)正三角形的邊長=2廬，高=2〃4百.

1.,.第〃個(gè)正三角形頂點(diǎn)N"的縱坐標(biāo)是2獷入省.

|故選：D.

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題型，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

I

【變式8-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)P(l,0).點(diǎn)尸第1次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)耳(1,1),緊接

I著第2次向左跳動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)心(-1,1),第3次向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)心，第4次向右跳動(dòng)3個(gè)單位至點(diǎn)

|乙，第5次又向上跳動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)與，第6次向左跳動(dòng)4個(gè)單位至點(diǎn)片，…照此規(guī)律，點(diǎn)尸第2022次

i跳動(dòng)至點(diǎn)鳥022的坐標(biāo)是.

I

【答案】(-506,1011)

【分析】設(shè)第"次跳動(dòng)至點(diǎn)根據(jù)部分點(diǎn)的坐標(biāo)找出變化規(guī)律"&(〃+L2”)，&向5+1,2〃+1),

&+2(fT2"+l),&+3(fT，2〃+2)”，照此規(guī)律由2022=4x505+2代入求解即可.

【詳解】解：設(shè)第〃次跳動(dòng)至點(diǎn)

由圖知，4。，1)、巴(-1,1)、A(T2)、6(2,2)、由2,3)、6(-2,3)、,(-2,4)、由3,4)、…,

二可得：點(diǎn)的變化規(guī)律為七("+1,2"),&+|(〃+1,2"+1),&+《〃_1,2〃+1),辦+3(-〃-1，2〃+2),

?.-2022=4x505+2,

5022(-505-1,2X505+1),即鳥022(-506,1011),

故答案為：(-506,1011).

【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的規(guī)律，根據(jù)部分點(diǎn)的坐標(biāo)找到規(guī)律是解題關(guān)鍵，屬于中考?？?/p>

題型.

1題型3:圖形的規(guī)律探索

1

1

題目腌圖形的變化規(guī)律

\

解題模板：.利傭規(guī)陋出相酬儲(chǔ)a

i

//仿照數(shù)式規(guī)律的遁蛙法得出■迨

1類型一：周期型

麗9.桌面上有一個(gè)正方體.每個(gè)面均有一個(gè)不同的編號(hào)(1,2,3,....6),且每組相對(duì)面上的編號(hào)和為

7.將其按順時(shí)針方向滾動(dòng)(如圖)，每滾動(dòng)90。算一次，則滾動(dòng)第2022次后,正方體朝下一面的數(shù)字是

IggWB-

第1次第2次第3次

A.5B.4C.3D,2

【答案】B

【分析】先找出正方體相對(duì)的面，然后從數(shù)字找規(guī)律即可解答.

【詳解】解：由圖可知：

3和4相對(duì)，2和5相對(duì)，1和6相對(duì)，

將骰子沿如圖所示的順時(shí)針方向滾動(dòng)，每滾動(dòng)90。算一次，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)依次為5,4,2,3,且依

次循環(huán)，

.2022+4=505……2,

二.滾動(dòng)第2022次后，骰子朝下一面的點(diǎn)數(shù)是：4,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，先找出正方體相對(duì)的面，然后從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)

鍵.

【變式9-1】如圖是按一定規(guī)律擺放的圖案，按此規(guī)律，第2021個(gè)圖案與第1~4個(gè)圖案中相同的是第一

個(gè).（只填數(shù)字）

【分析】根據(jù)題目中的圖案，可以發(fā)現(xiàn)圖案的變化特點(diǎn)，從而可以得到2021個(gè)圖案與第1~4個(gè)圖案中相

同的是第幾個(gè).

【詳解】解：由圖可得，每四個(gè)圖案為一個(gè)循環(huán)，

.2021+4=505……1,

,第2021個(gè)圖案與第1~4個(gè)圖案中相同的是第1個(gè)，

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)圖案的變化特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答.

【變式9-2】如圖，周長為6個(gè)單位長度的圓上的六等分點(diǎn)分別為N,B,C,D,E,E點(diǎn)/落在2的位

置，將圓在數(shù)軸上沿負(fù)方向滾動(dòng)，那么落在數(shù)軸上-2025的點(diǎn)是.

【答案】F

【分析】由于圓的周長為6個(gè)單位長度，所以只需先求出此圓在數(shù)軸上環(huán)繞的距離，再用這個(gè)距離除以6,

看余數(shù)是幾，再確定和誰重合.

【詳解】解：由圖形可知，旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)3對(duì)應(yīng)的數(shù)是1,點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為0,點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1,點(diǎn)E對(duì)

應(yīng)的數(shù)據(jù)為-2,點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的數(shù)為-3,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-4,

在數(shù)軸上-2025到2的距離為2027,

2027+6=337?5,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)該為圓上的第6個(gè)點(diǎn)，即點(diǎn)尸

故答案為：F

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，找出圓運(yùn)動(dòng)的周期與數(shù)軸上的數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵.

卜

麗10.如圖是一組有規(guī)律的圖案.它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成.第（1）個(gè)圖案有4個(gè)

三角形，第（2）個(gè)圖案有7個(gè)三角形，第（3）個(gè)圖形有10個(gè)正三角形，…依此規(guī)律，若第〃個(gè)圖案有

2023個(gè)三角形，貝什=（）

A.670B.672C.673D.674

【答案】D

【分析】由題意可知：第（1）個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，第（2）個(gè)圖案有3x2+l=7個(gè)三角形，第（3）

個(gè)圖案有3x3+1=10個(gè)三角形，…依此規(guī)律，第〃個(gè)圖案有（3〃+1）個(gè)三角形，進(jìn)而得出方程