高三數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 訓(xùn)練18 二項式定理及數(shù)學(xué)歸納法 理

?？紗栴}18二項式定理及數(shù)學(xué)歸納法(建議用時：80分鐘)1．求證：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．證明1＋2＋…＋25n－1＝eq\f(25n－1,2－1)＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋Ceq\o\al(1,n)·31n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·31＋Ceq\o\al(n,n)－1＝31n＋Ceq\o\al(1,n)·31n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·31＝31·(31n－1＋Ceq\o\al(1,n)·31n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n))，∵31n－1，Ceq\o\al(1,n)·31n－2，…，Ceq\o\al(n－1,n)都是整數(shù)，∴原式可被31整除．2．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式的二項式系數(shù)之和比(a＋b)2n的展開式的系數(shù)之和小240，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中系數(shù)最大的項．解由題意，得2n＝22n－240，∴22n－2n－240＝0，即(2n－16)(2n＋15)＝0.又∵2n＋15＞0，∴2n－16＝0.∴n＝4.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))4.又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))4的展開式中二項式系數(shù)最大的項為第3項，所以，所求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))4展開式中系數(shù)最大的項為第3項，即T3＝Ceq\o\al(2,4)(eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2＝6eq\r(3,x).3．已知(1＋x)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n(n∈N*)．(1)求a0及Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an；(2)試比較Sn與(n－2)2n＋2n2的大小，并說明理由．解(1)取x＝1，則a0＝2n；取x＝2，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－2n.(2)要比較Sn與(n－2)2n＋2n2的大小，即比較：3n與(n－1)2n＋2n2的大?。?dāng)n＝1時，3n＞(n－1)2n＋2n2；當(dāng)n＝2,3時，3n＜(n－1)2n＋2n2；當(dāng)n＝4,5時，3n＞(n－1)2n＋2n2.猜想：當(dāng)n≥4時，3n＞(n－1)2n＋2n2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：由上述過程可知，n＝4時結(jié)論成立．假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4)時結(jié)論成立，即3k＞(k－1)2k＋2k2，兩邊同乘以3，得3k＋1＞3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]．而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6＞0.所以3k＋1＞[(k＋1)－1]2k＋1＋2(k＋1)2.即n＝k＋1時結(jié)論也成立．所以當(dāng)n≥4時，3n＞(n－1)2n＋2n2成立．綜上得，當(dāng)n＝1時，Sn＞(n－2)2n＋2n2；當(dāng)n＝2,3時，Sn＜(n－2)2n＋2n2；當(dāng)n≥4，n∈N*時，Sn＞(n－2)2n＋2n2.4．(·泰州模擬)已知多項式f(n)＝eq\f(1,5)n5＋eq\f(1,2)n4＋eq\f(1,3)n3－eq\f(1,30)n.(1)求f(－1)及f(2)的值；(2)試探求對一切整數(shù)n，f(n)是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．解(1)f(－1)＝0，f(2)＝17(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明，對一切正整數(shù)n，f(n)是整數(shù)．①當(dāng)n＝1時，f(1)＝1，結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N)時，結(jié)論成立，即f(k)＝eq\f(1,5)k5＋eq\f(1,2)k4＋eq\f(1,3)k3－eq\f(1,30)k是整數(shù)，則當(dāng)n＝k＋1時，f(k＋1)＝eq\f(1,5)(k＋1)5＋eq\f(1,2)(k＋1)4＋eq\f(1,3)(k＋1)3－eq\f(1,30)(k＋1)＝eq\f(C\o\al(0,5)k5＋C\o\al(1,5)k4＋C\o\al(2,5)k3＋C\o\al(3,5)k2＋C\o\al(4,5)k＋C\o\al(5,5),5)＋eq\f(C\o\al(0,4)k4＋C\o\al(1,4)k3＋C\o\al(2,4)k2＋C\o\al(1,4)k＋C\o\al(4,4),2)＋eq\f(C\o\al(0,3)k3＋C\o\al(1,3)k2＋C\o\al(2,3)k＋C\o\al(3,3),3)－eq\f(1,30)(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.根據(jù)假設(shè)f(k)是整數(shù)，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1顯然是整數(shù)．∴f(k＋1)是整數(shù)，從而當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論也成立．由①、②可知對一切正整數(shù)n，f(n)是整數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)n＝0時，f(0)＝0是整數(shù)(Ⅱ)當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時，令n＝－m，則m是正整數(shù)，由(Ⅰ)知f(m)是整數(shù)，所以f(n)＝f(－m)＝eq\f(1,5)(－m)5＋eq\f(1,2)(－m)4＋eq\f(1,3)(－m)3－eq\f(1,30)(－m)＝－eq\f(1,5)m5＋eq\f(1,2)m4－eq\f(1,3)m3＋eq\f(1,30)m＝－f(m)＋m4是整數(shù)．綜上，對一切整數(shù)n，f(n)一定是整數(shù)．5．如圖，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn)是曲線C：y2＝3x(y≥0)上的n個點(diǎn)，點(diǎn)Ai(ai,0)(i＝1,2,3，…，n)在x軸的正半軸上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn))．(1)寫出a1，a2，a3；(2)求出點(diǎn)An(an,0)(n∈N*)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式．解(1)a1＝2，a2＝6，a3＝12；(2)依題意，得xn＝eq\f(an－1＋an,2)，yn＝eq\r(3)·eq\f(an－an－1,2)，由此及yeq\o\al(2,n)＝3xn得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)·\f(an－an－1,2)))2＝eq\f(3,2)(an－1＋an)，即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：(1)當(dāng)n＝1時，命題顯然成立；(2)假定當(dāng)n＝k時命題成立，即有ak＝k(k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時，由歸納假設(shè)及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即(ak＋1)2－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，解之得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)(ak＋1＝k(k－1)＜ak不合題意，舍去)，即當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．所以an＝n(n＋1)(n∈N*)．6．(·蘇州調(diào)研)對于定義域為A的函數(shù)f(x)，如果任意的x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，則稱函數(shù)f(x)是A上的嚴(yán)格增函數(shù)；函數(shù)f(k)是定義在N*上，函數(shù)值也在N*中的嚴(yán)格增函數(shù)，并且滿足條件f(f(k))＝3k.(1)證明：f(3k)＝3f(k(2)求f(3k－1)(k∈N*)的值；(3)是否存在p個連續(xù)的自然數(shù)，使得它們的函數(shù)值依次也是連續(xù)的自然數(shù)；若存在，找出所有的p值，若不存在，請說明理由．解(1)證明：對k∈N*，f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝f(3k) ①由已知f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝3f(k)， 由①、②∴f(3k)＝3f(k(2)若f(1)＝1，由已知f(f(k))＝3k得f(1)＝3，矛盾；設(shè)f(1)＝a＞1，∴f(f(1))＝f(a)＝3， ③由f(k)嚴(yán)格遞增，即1＜a?f(1)＜f(a)＝3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≠1，,f1＜3，,f1∈N*，))∴f(1)＝2，由③f(f(1))＝f(a)＝3，故f(f(1))＝f(2)＝3.∴f(1)＝2，f(2)＝3.f(3)＝3f(1)＝6，f(6)＝f(3·2)＝3f(9)＝3f(3)＝18，f(18)＝3f(27)＝3f(9)＝54，f(54)＝3依此類推歸納猜出：f(3k－1)＝2×3k－1(k∈N*)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)