江西省宜春市上高二中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025屆高三第一次月考數(shù)學(xué)卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求集合A，根據(jù)一元二次不等式解法求集合B，利用并集概念運(yùn)算即可.【詳解】由，得，即，由，得或，即，所以.故選：B.2.“”的一個(gè)充分條件可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合分?jǐn)?shù)不等式的解，不等式的性質(zhì)，及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用充分條件逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：由，即，所以對選項(xiàng)A，當(dāng)，時(shí)，，但不滿足，故A不正確，選項(xiàng)B，由，則，則或，故B項(xiàng)不正確，選項(xiàng)C，，則或，故C不正確，選項(xiàng)D，由知，所以，成立，故D正確，故選：D.3.已知函數(shù)，且，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：或考點(diǎn)：函數(shù)求值4.某小學(xué)對小學(xué)生的課外活動進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動的有15人.問接受調(diào)查的小學(xué)生共有多少人？（）A.120 B.144 C.177 D.192【答案】A【解析】【分析】用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，結(jié)合三個(gè)集合的容斥原理，即得解【詳解】如圖所示，用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動的小學(xué)生分別用集合表示，則不妨設(shè)總?cè)藬?shù)為，韋恩圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為即由容斥原理：解得：故選：A5.在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（）A.10000 B.10480 C.10816 D.10818【答案】C【解析】【分析】設(shè)矩形場地的長為米，則，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)矩形場地的長為米，則寬為米，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以平整這塊場地所需的最少費(fèi)用為元.故選：C6.已知點(diǎn)在直線上，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將點(diǎn)代入直線方程，再利用基本不等式求得的最小值，從而將問題轉(zhuǎn)化，解之即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號成立，因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，所以，解得，所以.故選：A7.已知函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用換元法求出，再用代入法即可解出答案．【詳解】設(shè)，則，∴，．由，有，即，∴．故選：D8.已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示．由題意知，當(dāng)x=-1時(shí)，；當(dāng)x=1時(shí)，．設(shè)，則原方程化為，∵方程有8個(gè)相異實(shí)根，∴關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根．令，．則，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．選D．點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解．本題中在結(jié)合函數(shù)圖象分析得基礎(chǔ)上還用到了方程根的分布的有關(guān)知識．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)有意義可得不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，再分類討論即可判斷作答.【詳解】因函數(shù)的定義域?yàn)?，于是得，不等式成立，?dāng)時(shí)，恒成立，則，當(dāng)時(shí)，必有，解得，綜上得：，顯然，選項(xiàng)A，B，C都滿足，選項(xiàng)D不滿足.故選：ABC10.已知，則下列式子正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得A、B的正誤；根據(jù)基本不等式可得C的正誤；利用作差法可得D的正誤.【分析】由，得，所以，A正確．因?yàn)?，所以，所?，所以，B正確．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，C正確．因，所以，D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.定義數(shù)列為數(shù)列的“3倍差數(shù)列”，若的“3倍差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為，且，則下列正確的有（）A.B.數(shù)列的前項(xiàng)和為C.數(shù)列的前項(xiàng)和與數(shù)列的前項(xiàng)和相等D.數(shù)列的前項(xiàng)和為，則【答案】ACD【解析】【分析】由遞推關(guān)系可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，從而可得，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可判斷ABC，再由裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可判斷D【詳解】由可得，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，即，則，所以，故A正確；因?yàn)椋傻缺葦?shù)列的求和公式可得該數(shù)列的前項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式相同，則其前項(xiàng)和相等，故C正確；因?yàn)椋瑒t，則其前項(xiàng)和，且當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以，故D正確；故選：ACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小值為___________.【答案】1【解析】【分析】先求定義域,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求解最小值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.而.所以,函數(shù)的最小值為1.故答案為:1.13.已知命題，，且為真命題時(shí)的取值集合為．設(shè)為非空集合，且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】化簡命題，結(jié)合條件列不等式可求的范圍.【詳解】依題意，關(guān)于的不等式恒成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值的集合．因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以為的真子集．又為非空集合，所以，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.14.已知l，P分別是拋物線的準(zhǔn)線與拋物線上一動點(diǎn)，定點(diǎn)，于，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義得，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，把轉(zhuǎn)化為，解出實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知PM=PF，∴，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以最小值為，所以等價(jià)于.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸．15.在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、.已知，.（1）求的大??；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡可得；（2）利用余弦定理可得，再利用面積公式可求得面積.【小問1詳解】由，可得，又，即，所以，又，所以；【小問2詳解】在中，由余弦定理可知，則，即，解得或，所以，或.16.如圖，在四棱錐中，平面為等邊三角形，，點(diǎn)為棱上的動點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求線段的長度．【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）先求得，再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法列方程來求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長度.【小問1詳解】依題意，所以，所以，所以，則，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）可知兩兩相互垂直，由此以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，依題意，二面角的大小為，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以.17.健身運(yùn)動可以提高心肺功能，增強(qiáng)肌肉力量，改善體態(tài)和姿勢，降低患病風(fēng)險(xiǎn).這些好處吸引著人們利用空閑的時(shí)間投入到健身運(yùn)動中，以改善自己的身體狀況，增強(qiáng)一下體質(zhì).某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長情況，隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：年齡周平均鍛煉時(shí)長合計(jì)周平均鍛煉時(shí)間少于4小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)50歲以下406010050歲以上（含50）2575100合計(jì)65135200（1）試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析周平均鍛煉時(shí)長是否與年齡有關(guān)？精確到0.001；（2）現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于4小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取10人做進(jìn)一步訪談，再從這10人中隨機(jī)抽取5人填寫調(diào)查問卷.記抽取5人中周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.635787910.828【答案】（1）周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）計(jì)算出卡方，即可判斷；（2）首先求出周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)、不少于4小時(shí)人數(shù)，依題意所有可能的取值為，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】零假設(shè)：周平均鍛煉時(shí)長與年齡無關(guān)聯(lián).由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，50歲以下周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)和不少于4小時(shí)的頻率分別為和，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，50歲以上（含50）周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)和不少于4小時(shí)的頻率分別為和，因?yàn)椋?0歲以上（含50）周平均鍛煉時(shí)長不少于4小時(shí)的比率比50歲以下高出15個(gè)百分點(diǎn)，所以50歲以下和50歲以上（含50）周平均鍛煉時(shí)長有差異.小問2詳解】抽取的10人中，周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)的有人，不少于4小時(shí)的有人，所以所有可能的取值為，所以，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：12345隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）解法一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知有零點(diǎn)，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.【小問2詳解】解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，若，則對任意x∈R恒成立，可知在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為1,+∞解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，可知在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為1,+∞19.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，四邊形的面積為4．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)．試判斷是否存在，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分