廣東省廣州市海珠區(qū)2023-2024學年高一下學期期末教學質量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市海珠區(qū)2023-2024學年高一下學期期末教學質量檢測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.2.下列的表述中，正確的是（）A.過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面垂直B.過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面平行C.過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線垂直D.過直線外一點，有且只有一個平面與這條直線平行〖答案〗B〖解析〗對于A，因為過平面外一點有且只有1條直線與平面垂直，而過該垂線面有無數(shù)個，根據(jù)面面垂直的判定定理可知這無數(shù)個面與該平面垂直，故A錯誤；對于B，由平面定義可知過平面外一點，有且只有一個平面與這個平面平行，故B正確；對于C，由線面垂直定義可知，過直線外一點，有且只有一個平面與該直線垂直，而過垂面內(nèi)一點在垂面內(nèi)有無數(shù)條直線與該直線垂直，所以過直線外一點，有無數(shù)條直線與這條直線垂直，故C錯誤；對于D，過直線外一點，只能作出一條直線與該直線平行，而過所作直線的平面有無數(shù)個，所以過直線外一點，有無數(shù)個平面與該直線平行，故D錯誤.故選：B.3.若兩個非零向量的夾角為，且滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，所以，所以.故選：A.4.有一組從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，，則（）A.數(shù)據(jù)的標準差不小于數(shù)據(jù)的標準差B.數(shù)據(jù)的中位數(shù)與數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等C.若數(shù)據(jù)的方差為m，則數(shù)據(jù)的方差為D.若數(shù)據(jù)的極差為d，則數(shù)據(jù)的極差為〖答案〗B〖解析〗對于A，因為，所以根據(jù)標準差的意義可知數(shù)據(jù)的標準差小于等于數(shù)據(jù)的標準差，故A錯誤；對于B，根據(jù)中位數(shù)定義可知，數(shù)據(jù)的中位數(shù)與數(shù)據(jù)的中位數(shù)是相同數(shù)據(jù)所得，所以兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，故B正確；對于C，若數(shù)據(jù)的方差為m，則由方差性質得數(shù)據(jù)的方差為，故C錯誤；對于D，由題意數(shù)據(jù)極差為，所以數(shù)據(jù)的極差為，故D錯誤.故選：B.5.為了得到的圖象，只需把圖象上所有的點（）A.先向右平移個單位長度，橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變B.先向右平移個單位長度，橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變C.先向左平移個單位長度，橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變D.先向左平移個單位長度，橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變〖答案〗C〖解析〗根據(jù)平移變換知識先向左平移個單位長度可得，再將所得曲線橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變得.故選：C.6.已知的外接圓圓心為O，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以O為BC邊中點，所以為外接圓的直徑，且（為外接圓半徑），又，故，所以，則在上的投影向量為.故選：B.7.設，，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，即，又，，所以，即，或，即（舍去）．故選：8.通常以24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度（單位：mm）來判斷降雨程度，其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）．小明用一個近似圓臺的水桶（如圖，計量單位）連續(xù)接了24小時的雨水，桶中水的高度約為桶高的，則當天的降雨等級是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨〖答案〗B〖解析〗由題桶的下底面面積為，上底面面積，又桶中水水面與底面距離為，設水面半徑為，如圖為桶的軸截面圖形，則，則，故由得，故水面半徑為，所以桶中水水面面積為所以連續(xù)24小時的桶中水的體積為，所以24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度為，所以當天的降雨等級是中雨.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若向量的夾角為鈍角，則m的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗A選項，，故，解得，A錯誤；B選項，，即，解得，B正確；C選項，由題意得，解得，C正確；D選項，若向量的夾角為鈍角，則且不反向共線，故且，解得且，D錯誤.故選：BC.10.已知復數(shù)，，則下列說法中正確的是（）．A. B.若，則C.若，則 D.〖答案〗AD〖解析〗對于A，設復數(shù)、對應的點分別為、，則由復數(shù)幾何意義以及向量加法三角形法則結合向量的模的定義得：，故A正確；對于B，當，則，可為任意復數(shù)，即與不一定相等，故B錯誤；對于C，設復數(shù)、，則，故，但不滿足，故C錯誤；對于D，設，，故，則，又，故，故D正確.故選：AD.11.在正三棱柱中，已知動點P滿足，，且，則下列說法中正確的是（）A.若，則三棱錐的體積是定值B.若，則三棱錐的體積是定值C.若，則三棱錐的體積是三棱柱的體積的D.若，則直線AP與平面所成角的正弦值的最大值是〖答案〗ACD〖解析〗對于A，若，則，所以，所以，所以點在上，因為，所以點到平面的距離即為點到平面的距離，為定值，而為定值，所以為定值，故A正確；對于B，若，則，所以，所以，所以點在上，所以點到平面的距離不是定值，因為為定值，所以不是定值，故B錯誤；對于C，若，則點為的中點，故，故C正確；對于D，若，則三點共線，即點在上，取的中點，連接，則，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即為直線AP與平面所成角的平面角，設正三棱柱的棱長為，則，而，要使最大，則要最大，則最小，當時，最小，此時，此時，所以，即直線AP與平面所成角的正弦值的最大值是，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復數(shù)z滿足，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意，故.故〖答案〗為：.13.某班有男學生20人、女學生30人，為調(diào)查學生的課后閱讀情況，現(xiàn)將學生分成男生、女生兩個小組對兩組學生某個月的課后閱讀時長進行統(tǒng)計，情況如下表：課后閱讀時長平均數(shù)（小時）方差男生組251女生組261.1則該班學生這個月的課后閱讀時長平均數(shù)為___________小時，方差為___________．〖答案〗25.61.3〖解析〗該班學生這個月的課后閱讀時長平均數(shù)為，方差為.故〖答案〗為：25.61.3.14.已知點在所在平面內(nèi)，滿足，且，，則邊BC的長為___________．〖答案〗〖解析〗取的中點，則，因為，所以，所以，又為公共端點，所以三點共線，所以點在邊的中線上，且，同理點在邊的中線上，即點為的重心，故，因為，所以點為的外心，即為為中垂線的交點，故，則，所以，而，所以，即，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在棱長為2的正方體中，點E，P分別為，的中點．（1）求證：直線平面；（2）求點A到平面的距離．解：（1）由正方體性質可知，且，故，又因為點E，P分別為，的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線平面.（2）設點A到平面的距離為，由題，故，又由正方體性質平面，平面，所以，所以，所以，又，故，即點A到平面的距離為.16.一家品牌連鎖公司旗下共有100所加盟店．公司在年底對所有加盟店本年度營銷總額（單位：百萬元）進行統(tǒng)計，制作頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率100.1x0.15200230y150.1550.0550.05合計1001.00（1）請求出頻率分布表中x，y的值，并畫出頻率分布直方圖；（2）請估計這100所加盟店去年銷售總額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)，用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）為了評選本年度優(yōu)秀加盟店，公司將依據(jù)營銷總額制定評選標準，按照“不超過的加盟店獲評優(yōu)秀加盟店稱號”的要求，請根據(jù)頻率分布直方圖，為該公司提出本年度“評選標準”建議．解：（1），頻率分布直方圖如圖所示.（2），故這100所加盟店去年銷售總額的平均數(shù)為18.2.（3）第40百分位數(shù)為，故應選取本年度營銷總額大于百萬元的加盟店獲評優(yōu)秀加盟店稱號.17.已知甲船在A海島正北方向海里的B處，以7海里/小時的速度沿東偏南的方向航行．（1）甲船航行3小時到達C處，求AC；（2）在A海島西偏南方向6海里的E處，乙船因故障等待救援．當甲船到達A海島正東方向的D處時，接收到乙船的求援信號．已知距離A海島3海里以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？請說明理由．解：（1）由題意得，海里，海里，，在中，由余弦定理得，所以，(海里).（2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下：如圖所示，延長，過點A向正東方向作交的延長線于點D，連接，過點A作交于點F，在中，(海里)，在中，(海里)，，由余弦定理得，所以(海里)，所以，因此甲船能沿方向航行前往救援.18.在四棱錐中，側面底面，側面為正三角形，底面為矩形，M是PD的中點，且與平面所成角的正弦值為．（1）求證：平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求平面與平面所成二面角的正弦值．解：（1）證明：因為為矩形，所以，因為側面底面，側面底面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為側面為正三角形，M是PD的中點，所以，因為，平面，所以平面.（2）取的中點，的中點，連接，因為為正三角形，所以，因為側面底面，側面底面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形為矩形，中點，的中點，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，設，因為平面，所以為與平面所成角，所以，化簡得，令，則，所以，所以，所以直線與直線所成角的余弦值為.（3）因為，所以，，設平面的法向量為，則，令，則，設平面的法向量為，則，令，則，所以，設平面與平面所成二面角為，所以所以平面與平面所成二