陜西省西安市碑林區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市碑林區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共8小題，總計(jì)32分.）1.設(shè)集合為小于10的素?cái)?shù)，集合，則（）A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，因?yàn)?，所?故選：A.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)；當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)；，，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.3.命題“，一元二次方程有實(shí)根”的否定是（）A.，一元二次方程無(wú)實(shí)根B.，一元二次方程無(wú)實(shí)根C.，D.，〖答案〗B〖解析〗命題“，一元二次方程有實(shí)根”為全稱量詞命題，其否定為：，一元二次方程無(wú)實(shí)根.故選：B.4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗A：若時(shí)，不成立，假命題；B：由不等式性質(zhì)知，則，真命題；C：若，則，假命題；D：若，則，假命題.故選：B.5.下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，定義域?yàn)?，選項(xiàng)A中，定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，定義域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；選項(xiàng)中，定義域?yàn)?，故正確；選項(xiàng)D中，定義域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，其解集不是R，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由該不等式恒成立可得，解之得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.7.一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金，一顧客到店購(gòu)買黃金，售貨員先將砝碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將砝碼放在天平右盤中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金（）A.小于 B.等于C.大于 D.與左右臂的長(zhǎng)度有關(guān)〖答案〗C〖解析〗設(shè)天平左、右兩邊的臂長(zhǎng)分別為x，y，設(shè)售貨員第一次稱得黃金的質(zhì)量為a克，第二次稱得黃金的質(zhì)量為b克，則，解之得，則顧客購(gòu)得的黃金為（克），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），由題意知，，則克.故選：C.8.定義，設(shè)函數(shù)，；記函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?，則區(qū)間長(zhǎng)度的最大值（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗令，即，解得，所以，則的圖象如下所示：又，，要使函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度的取得最大值，且最大值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（每小題4分，共4小題，總計(jì)16分，全部答對(duì)得4分，部分答對(duì)得2分，錯(cuò)選得0分.）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.B.集合C.函數(shù)的值域?yàn)镈.在定義域內(nèi)單調(diào)遞增〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A：或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，又，令，所以，，即，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且為連續(xù)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD.10.使“”成立的一個(gè)必要不充分條件可以是（）A. B.或C. D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，，所以由推得出，由推不出，即是的充分不必要條件，則是的必要不充分條件；同理可得是的必要不充分條件；所以使“”成立的一個(gè)必要不充分條件可以是，.故選：AC.11.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則以下選項(xiàng)正確的有（）A.B.不等式的解集為C.D.不等式的解集為或〖答案〗ABD〖解析〗關(guān)于的不等式的解集為或，則和是方程的二根，且，則，解之得，由，可得選項(xiàng)A判斷正確；選項(xiàng)B：不等式可化為，解之得，則不等式解集，判斷正確；選項(xiàng)C：，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：不等式可化為，即，解之得或，則不等式的解集為或，判斷正確.故選：ABD.12.若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間M是增函數(shù)，且在M上是減函數(shù)，則稱在M上是“弱增函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”B.若，則存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”C.若，則為R上的“弱增函數(shù)”D.若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：在上為增函數(shù)，在定義域內(nèi)的任何區(qū)間上都是增函數(shù)，故不存在區(qū)間M使為“弱增函數(shù)”，A正確；對(duì)于B：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上為增函數(shù)，，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上為減函數(shù)，故存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”，B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知為R上的增函數(shù)，為偶函數(shù)，其在時(shí)為增函數(shù)，在時(shí)為減函數(shù)，故不是R上的“弱增函數(shù)”，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則在上為增函數(shù)，所以，解得，又在上為減函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，，則，綜上.故D正確．故選：ABD．三、填空題（每小題4分，共4小題，總計(jì)16分.）13.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)：____．①是偶函數(shù)；②在上單調(diào)遞增．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由是偶函數(shù)可得的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，又在上單調(diào)遞增，則，或，或（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.14.已知函數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，則.故〖答案〗為：.15.若，且，則的最小值為______．〖答案〗6〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所以，則有，解得（舍），或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為6.故〖答案〗為：6.16.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以且，即且，所以且，則.故〖答案〗為：.四、解答題（共6大題，共56分.）17.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）是冪函數(shù)，，解得或，則或，又的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，所以.（2）由（1）可知，，對(duì)稱軸為，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，令或，解得或，即．18.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)不等式，即，即，解得，所以，由，即，解得，所以，.（2）集合，，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，由，則，解得，②當(dāng)時(shí)，，滿足，③當(dāng)時(shí)，，由，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.設(shè)，均為正實(shí)數(shù)．（1）求證：（2）若，證明：．解：（1），，，，要證，即證，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（2）因?yàn)?，，且，所以，且，則，，由（1）得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）用定義證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．解：（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，，而，解得，，則的定義域?yàn)榍遥礊槠婧瘮?shù)，符合題意.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任意且，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，即，所以函?shù)在上為增函數(shù).21.某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元，年用電量為，本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到0.55元至0.75元之間，而用戶期望的電價(jià)為0.4元．經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k）．該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元．（1）寫出本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門的收益y（單位：元）關(guān)于實(shí)際電價(jià)x（單位：元）的函數(shù)〖解析〗式．（收益=實(shí)際電量×（實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)））（2）設(shè)，當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%？解：（1）設(shè)下調(diào)后的電價(jià)為x元，依題意知用電量增至，電力部門的收益為.（2）依題意有，整理得，解此不等式組得．答：當(dāng)電價(jià)最低定為0.6元仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%．22.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù).（i）證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ii）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求的取值范圍.解：（1）∵為奇函數(shù)，∴，得，則令，得.（2）（i），∵為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（ii）在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上的值域?yàn)椋浽趨^(qū)間上的值域?yàn)?，由?duì)，總