《工程力學(xué)》課件-第五章

第五章第一節(jié)梁的內(nèi)力計算1、彎曲內(nèi)力一、彎曲內(nèi)力梁會因為承受荷載而發(fā)生彎曲豎直向下的荷載下凹向下彎曲一、彎曲內(nèi)力在梁體發(fā)生彎曲時，平行于縱向?qū)ΨQ面的每一個面的變形都是等效的。上部為壓區(qū)，下部為拉區(qū)，而軸線既不受拉，也不受壓。簡化的原則在不影響梁體的受力效應(yīng)和變形規(guī)律的同時盡可能簡化研究對象的結(jié)構(gòu)形式，以便計算和分析。一、彎曲內(nèi)力a點發(fā)生了縱向位移a點所在橫截面和左端截面發(fā)生了相對錯動梁體內(nèi)部存在剪力a點移動到了a’的位置a點的法線與a’的法線存在夾角a點在彎曲時發(fā)生了轉(zhuǎn)動梁體內(nèi)部存在彎矩一、彎曲內(nèi)力平面彎曲的主要內(nèi)力

剪力（Q）和彎矩（M）內(nèi)力的正負(fù)號規(guī)定當(dāng)截面上的剪力Q繞研究對象順時針方向轉(zhuǎn)動時為正，反之為負(fù)。剪力彎矩當(dāng)截面上的彎矩M使研究對象產(chǎn)生向下凹的變形為正，反之為負(fù)。2、剪力和彎矩的計算二、剪力和彎矩的計算例：如圖外伸梁，試求指定截面n-n處的內(nèi)力。解：在n-n截面切開，取切面左邊為對象，畫受力圖，列平衡方程：因此，指定截面的剪力為-2.5kN，彎矩為0.5kN/m。（1）計算支座反力（2）計算n-n截面內(nèi)力（截面法）注剪力繞對象順時針轉(zhuǎn)動，彎曲趨勢對象產(chǎn)生下凹的變形?；仡?彎曲梁體的簡化過程2彎曲內(nèi)力的由來3彎曲內(nèi)力的計算工程力學(xué)第二節(jié)1.用方程法作梁的內(nèi)力圖目錄1剪力方程和彎矩方程的表達(dá)2剪力圖和彎矩的繪制的要求3用方程法做梁的內(nèi)力圖1、剪力方程和彎矩方程的表達(dá)一、剪力方程和彎矩方程的表達(dá)對于平置的梁：XY梁的橫截面位置截面上的內(nèi)力大小則各個截面上的剪力和彎矩可表示為關(guān)于坐標(biāo)x的函數(shù)。

通常以左端點為原點二、剪力圖和彎矩圖的繪制要求剪力圖：正剪力畫在x軸的上方，XY正剪力負(fù)剪力描繪陰影線，標(biāo)注正負(fù)號負(fù)剪力畫在下方。二、剪力圖和彎矩圖的繪制要求彎矩圖：正彎矩畫在x軸的下方，XY正彎矩負(fù)彎矩畫陰影線，無需標(biāo)正負(fù)號負(fù)彎矩畫在x軸的上方。下凹時下側(cè)受拉，彎矩下凹為正。所以正彎矩畫在受拉側(cè)。同樣，上凸時上側(cè)受拉，正彎矩畫在上側(cè)。彎矩一定要畫在受拉側(cè)

哪側(cè)有彎矩就說明那側(cè)受拉2、用方程法做梁的內(nèi)力圖三、用方程法做梁的內(nèi)力圖例題：在右端集中力作用下繪制懸臂梁的內(nèi)力圖。解：由題意可知（1）建立內(nèi)力方程

以A點為原點，水平向左為x軸代表截面位置，豎直向上為y軸代表截面內(nèi)力大小。ΣY=0，Q-F=0，得剪力方程：Q=F（0＜x＜L）ΣMx=0，-M-Fx=0，得彎矩方程：M=-Fx（0≤x≤L）（2）繪制梁的內(nèi)力圖

根據(jù)方程和原坐標(biāo)系繪制剪力和彎矩圖。

剪力圖：無論x等于什么，剪力恒等于F。

彎矩圖：當(dāng)x=0時，M=0；當(dāng)x=L時，M=-FL。內(nèi)力圖的內(nèi)力分部特征：在無荷載作用梁段，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。三、用方程法做梁的內(nèi)力圖例題：在滿跨均布荷載作用下繪制簡支梁的內(nèi)力圖。（1）計算支座反力：RYA=RYB=qL/2（2）建立內(nèi)力方程

以A點為原點，水平向左為x軸代表截面位置，豎直向上為y軸代表截面內(nèi)力大小。ΣY=0，-Q-qx+RYA=0，

ΣMx=0，M-RYAx+qLx2/2=0，得剪力方程：Q=qL/2-qx（0＜x＜L）得彎矩方程：M=qLx/2-qx2/2（0≤x≤L）內(nèi)力圖分部特征：在均布荷載作用梁段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。剪力為零的截面，彎矩有極值。解：由題意可知三、用方程法做梁的內(nèi)力圖例題：在單一集中荷載作用下繪制簡支梁的內(nèi)力圖。解：由題意可知（1）計算支座反力：RYA=Fb/L，RYB=Fa/L（2）建立內(nèi)力方程

以A點為原點，水平向右為x軸代表截面位置，豎直向上為y軸代表截面內(nèi)力大小分段建立內(nèi)力方程。AC段

Q1=Fb/L（0＜x1＜a）M1=x1Fb/L（0≤x1≤a）CB段Q2=-Fa/L（a＜x2＜L）M2=Fa/L（L-x2）（0≤x2≤L）內(nèi)力圖分部特征：在集中荷載作用截面，剪力圖有突變，突變值等于此處集中力，彎矩圖有尖角，尖角的指向與集中力相同。三、用方程法做梁的內(nèi)力圖例題：在單一力偶作用下繪制簡支梁的內(nèi)力圖。解：由題意可知（1）計算支座反力：RYA=m/L，RYB=m/L（2）建立內(nèi)力方程

以A點為原點，水平向右為x軸代表截面位置，豎直向上為y軸代表截面內(nèi)力大小。分段建立內(nèi)力方程。AC段

Q1=m/L（0＜x1＜a）M1=x1m/L（0≤x1≤a）CB段Q2=m/L（a＜x2＜L）M2=x2m/L-m（0≤x2≤L）（3）繪制梁的內(nèi)力圖

內(nèi)力圖分部特征：在單一力偶作用截面，剪力圖沒有影響，彎矩圖有突變，突變值等于此處力偶矩。工程力學(xué)2.用微分法作梁的內(nèi)力圖目錄1微分關(guān)系2內(nèi)力圖特征3示例1、微分關(guān)系簡支梁微段：一、微分關(guān)系

剪力方程對x的一階導(dǎo)數(shù)等于該截面處的荷載集度，彎矩方程對x的一階導(dǎo)數(shù)等于該截面處的剪力，彎矩方程對x的二階導(dǎo)數(shù)等于該截面處的荷載集度。

2、內(nèi)力圖特征二、內(nèi)力圖特征在簡單荷載作用下梁段的內(nèi)力圖特征：二、解析法計算平面匯交力系內(nèi)力圖特征口訣：剪力圖

沒有荷載水平線，均布荷載斜直線；力偶荷載無影響，集中荷載有突變。彎矩圖沒有荷載斜直線，均布荷載拋物線；集中荷載有尖點，力偶荷載有突變。3、示例三、示例例1如圖簡支梁，試作梁的內(nèi)力圖。解：由題意可知1.計算支座反力

特征面通常取集中力作用點兩邊、集中力偶作用點兩邊、均布荷載始末點等。

RXA=0,RYA=3kN,RYB=3kN2.計算特征面內(nèi)力

只需計算特征面的內(nèi)力值和我們掌握的內(nèi)力圖特征即可繪制梁體全段內(nèi)力圖。三、示例例1如圖簡支梁，試作梁的內(nèi)力圖。（1）A右切面內(nèi)力值：

Σm指的是所有的力對切面求矩和為零。A右=3kN，MA右=0列平衡方程：在A右方無限靠近A點之處切開，取切面左側(cè)梁段為對象，畫受力圖。

由于切面與A點距離約等于零，所以不用考慮均布荷載的大小和RYA對切面的矩。三、示例例1如圖簡支梁，試作梁的內(nèi)力圖。（2）C左切面內(nèi)力值：QC左=-1kN，MC左=2kN·m列平衡方程：在C左方無限靠近C點之處切開，取切面左側(cè)梁段為對象，畫受力圖。（3）C右切面內(nèi)力值：QC右=-1kN，MC右=-1kN·m列平衡方程：在C右方無限靠近C點之處切開，取切面左側(cè)梁段為對象，畫受力圖。三、示例例1如圖簡支梁，試作梁的內(nèi)力圖。（4）B左切面內(nèi)力值：QB左=-1kN，MB左=-2kN·m列平衡方程：在B左方無限靠近B點之處切開，取切面左側(cè)梁段為對象，畫受力圖。（5）B右切面內(nèi)力值：QB右=2kN，MB右=-2kN·m列平衡方程：在B右方無限靠近B點之處切開，取切面左側(cè)梁段為對象，畫受力圖。三、示例例1如圖簡支梁，試作梁的內(nèi)力圖。（6）D左切面內(nèi)力值：QD左=2kN，MD左=0kN·m列平衡方程：在D左方無限靠近D點之處切開，取切面左側(cè)梁段為對象，畫受力圖。三、示例例1如圖簡支梁，試作梁的內(nèi)力圖。3.繪制內(nèi)力圖

AC梁段是均布荷載，彎矩圖應(yīng)該是二次拋物線，而我們只計算了A右和C左的彎矩，還不足以畫出拋物線，這時候需要找出第三個點來補(bǔ)充彎矩圖。

第三點還不能任意尋找，只能確定剪力為零的截面對應(yīng)的彎矩極值作為第三點。三、示例例1如圖簡支梁，試作梁的內(nèi)力圖。4.補(bǔ)充彎矩圖(1)首先，在AB梁段，剪力為零處，對應(yīng)的彎矩有極值。利用相似三角形原理找出剪力為零處的位置。

(2)然后，畫出距A點1.5m長梁段的受力圖，列平衡方程計算M極的大小。

(3)最后，將M補(bǔ)充到彎矩圖。

因此，在距A點1.5m處有最大彎矩，其值為2.25kNm，在A點有最大剪力，其值為3kN。工程力學(xué)3.用疊加法作梁的內(nèi)力圖目錄1疊加原理2疊加法3用疊加法作梁的內(nèi)力圖1、疊加原理1、概念：一、疊加原理梁在多個荷載共同作用下產(chǎn)生的某一截面處的內(nèi)力，等于各個荷載單獨(dú)作用該截面上產(chǎn)生內(nèi)力的代數(shù)和。2、疊加法1、疊加法的概念：二、疊加法首先繪制各個荷載單獨(dú)作用下引起的剪力圖和彎矩圖，然后將其相應(yīng)截面位置的縱坐標(biāo)疊加，即得到梁在所有荷載共同作用下的剪力圖和彎矩圖。2、疊加法使用范圍：二、疊加法彎矩圖3、疊加法類型：全段疊加法簡單的剪力圖區(qū)段疊加法例：如圖簡支梁，試作梁的內(nèi)力圖。

解：（1）繪制各個荷載單獨(dú)作用時的剪力圖和彎矩圖。三、用疊加法作梁的內(nèi)力圖（2）利用疊加原理將各個對應(yīng)位置的剪力值和彎矩值疊加。剪力疊加：QA=QAq+QAF=qL+FQB=QBq+QBF=F

彎矩疊加：MA=MAq+MAF=qL2/2+FLMB=MBq+MBF=0三、用疊加法作梁的內(nèi)力圖3、總結(jié)1、疊加原理2、疊加法的應(yīng)用

三、總結(jié)3、用疊加法作梁的內(nèi)力圖工程力學(xué)第三節(jié)梁的應(yīng)力計算主講人：武鹢目錄1幾何法求解平面匯交力系2解析法計算平面匯交力系3例題講解1、彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力一、彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力梁的彎曲形式：CD段只有彎矩沒有剪力，說明CD段是梁的純彎曲梁段AC段和DB段既有彎矩又有剪力，則說明AC段和DB段是梁的橫力彎曲梁段。一種是純彎曲，是指變形時梁段內(nèi)只有彎曲沒有剪力。一種是橫力彎曲，是指變形時梁段內(nèi)既有彎矩又有剪力。一、彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力為了使正應(yīng)力的研究不受剪應(yīng)力的影響，我們?nèi)〖儚澢鹤鳛檠芯繉ο?。假設(shè)平面梁是由相互平行等距的橫向線和縱向線組合而成。一、彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力①橫向線仍為直線，但存在小角度偏轉(zhuǎn)。②縱向線變?yōu)榍€，但仍與橫向線保持垂直。③位于拉區(qū)的縱向線伸長，位于壓區(qū)的縱向線縮短。④橫截面上部（壓區(qū)）變寬，橫截面下部（拉區(qū)）變窄。純彎曲梁的變形特點：一、彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力計算公式：首先，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式：然后，梁體縱向線的線應(yīng)變：因此，正應(yīng)力表達(dá)式：然而，梁的曲率：所以，梁的正應(yīng)力計算公式：一、彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力正應(yīng)力計算公式的適用條件：第一，適用于純彎曲梁，而且梁的最大正應(yīng)力不超過材料的比例。第二，適用于跨度與橫截面高度之比大于5的橫力彎曲梁。第三，適用于橫截面對稱的梁，比如說圓形梁、矩形梁、工字梁、T形梁。一、彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力計算：例：如圖簡支梁，試求a、b兩點的正應(yīng)力。解：（1）計算n-n截面彎矩（2）計算矩形截面慣性矩（3）計算兩點正應(yīng)力2、彎曲梁橫截面上的剪應(yīng)力二、彎曲梁橫截面上的剪應(yīng)力1.矩形截面梁的剪應(yīng)力：2.工字截面梁的剪應(yīng)力這里的面積矩為中性軸以上或以下部分截面對自身中性軸z軸的面積矩，慣性矩為工字形截面對自身中性軸z軸的慣性矩。注：矩形截面梁橫截面上的最大剪應(yīng)力為截面平均剪應(yīng)力的1.5倍。工程力學(xué)第五節(jié)用疊加法作梁的內(nèi)力圖主講人：程小龍目錄1疊加原理2疊加法3用疊加法作梁的內(nèi)力圖1、疊加原理1、概念：一、疊加原理梁在多個荷載共同作用下產(chǎn)生的某一截面處的內(nèi)力，等于各個荷載單獨(dú)作用該截面上產(chǎn)生內(nèi)力的代數(shù)和。2、疊加法1、疊加法的概念：二、疊加法首先繪制各個荷載單獨(dú)作用下引起的剪力圖和彎矩圖，然后將其相應(yīng)截面位置的縱坐標(biāo)疊加，即得到梁在所有荷載共同作用下的剪力圖和彎矩圖。2、疊加法使用范圍：二、疊加法彎矩圖3、疊加法類型：全段疊加法簡單的剪力圖區(qū)段疊加法例：如圖簡支梁，試作梁的內(nèi)力圖。

解：（1）繪制各個荷載單獨(dú)作用時的剪力圖和彎矩圖。三、用疊加法作梁的內(nèi)力圖（2）利用疊加原理將各個對應(yīng)位置的剪力值和彎矩值疊加。剪力疊加：QA=QAq+QAF=qL+FQB=QBq+QBF=F

彎矩疊加：MA=MAq+MAF=qL2/2+FLMB=MBq+MBF=0三、用疊加法作梁的內(nèi)力圖3、總結(jié)1、疊加原理2、疊加法的應(yīng)用

三、總結(jié)3、用疊加法作梁的內(nèi)力圖1、當(dāng)梁上只有單一荷載作用時，直接建立梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程進(jìn)行計算。二、梁的變形計算工程力學(xué)第四節(jié)梁的強(qiáng)度計算目錄1幾何法求解平面匯交力系2解析法計算平面匯交力系3例題講解1、幾何法計算平面匯交力系對于承受滿跨均布荷載的簡支梁來說跨中彎矩最大，該跨中截面為最危險截面；一、正應(yīng)力表達(dá)式最危險截面上距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣點處的正應(yīng)力最大，該最遠(yuǎn)點為最危險點。一、正應(yīng)力表達(dá)式因此，最危險點的正應(yīng)力表達(dá)式為：由于，抗彎截面系數(shù)：所以，最危險點的正應(yīng)力另一種表達(dá)式為：二、強(qiáng)度條件為了能夠保證構(gòu)件能夠安全可靠地正常工作，要求梁的最危險截面上的最危險點的工作應(yīng)力σmax不超過材料的許用應(yīng)力[σ]。對于平面彎曲梁，因為在變形時存在拉區(qū)和壓區(qū)，強(qiáng)度條件分為兩種情況：1.當(dāng)材料的抗拉和抗壓性能相同時，強(qiáng)度條件為：二、強(qiáng)度條件2.當(dāng)材料的抗拉和抗壓性能不相同時，強(qiáng)度條件為：式中：——最大拉應(yīng)力，——最大拉應(yīng)力；——許用拉應(yīng)力，——許用拉應(yīng)力；其中：式中：——受拉區(qū)邊緣道中性軸距離；

——受壓區(qū)邊緣道中性軸距離；為了能夠保證構(gòu)件能夠安全可靠地正常工作，要求梁的最危險截面上的最危險點的工作應(yīng)力σmax不超過材料的許用應(yīng)力[σ]。對于平面彎曲梁，因為在變形時存在拉區(qū)和壓區(qū)，強(qiáng)度條件分為兩種情況：1.強(qiáng)度校核三、強(qiáng)度問題2.截面設(shè)計3.確定許用荷載四、強(qiáng)度計算例：梁采用的是20a的工字形鋼，許用正應(yīng)力為[σ]=170MPa，試校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。1.強(qiáng)度校核（1）計算梁的最大彎矩值（2）查找型鋼表，確定工字形鋼的抗彎截面系數(shù)（3）校核正應(yīng)力強(qiáng)度因此，梁的強(qiáng)度滿足要求。四、強(qiáng)度計算2.截面設(shè)計例：如圖簡支梁，已知采用工字形鋼，許用正應(yīng)力為[σ]=170MPa，試選擇梁的型號。

（1）計算支座反力（2）計算梁的最大彎矩值（3）計算抗彎截面系數(shù)的界限（4）確定梁的型號查找型鋼表得，選28b號工字形鋼，其抗彎截面系數(shù)Wz=534.4cm3，略大于界限值，滿足設(shè)計要求。四、強(qiáng)度計算3.確定許用荷載例：如圖簡支梁，已知采用矩形截面梁，許用正應(yīng)力為[σ]=170MPa，試確定許用荷載。

（1）計算抗彎截面系數(shù)（2）計算梁的最大彎矩值（3）計算許用荷載因此，簡支梁最大能夠承受3.9kN/m的滿跨均布荷載。1.減小最大彎矩五、提高梁彎曲強(qiáng)度的措施（1）合理安排支座（2）合理布置荷載2.選擇合理截面五、提高梁彎曲強(qiáng)度的措施在截面面積相等的情況下，抗彎能力越大，截面就越合理。比如：（1）直徑為h的圓形截面：（2）高為h、寬為b的矩形截面：（3）高為h的T形、工字形、槽形截面：五、提高梁彎曲強(qiáng)度的措施3.采用變截面梁從A點到B點由零到達(dá)最大彎矩值采用變截面形式，由A到B逐漸增大截面尺寸來有效抵抗梁內(nèi)的彎矩變化1.梁的強(qiáng)度條件：強(qiáng)度校核、截面設(shè)計和確定許用荷載。3.提高梁彎曲強(qiáng)度的措施：

總結(jié)2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用。（1）減小最大彎矩：合理安排支座、合理布置荷載。（2