七年級數(shù)學(xué)下冊 平行線的四大模型（解析版）（人教版）

專題01平行線的四大模型

專題分析

平行線的性質(zhì)和判定是證明角相等、研究角的關(guān)系的重要依據(jù)，是研究幾

何圖形位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，是平面幾何的一個重要內(nèi)容和學(xué)習(xí)簡單的

邏輯推理的素材。它不但為三角形的內(nèi)角和定理的證明提供了轉(zhuǎn)化的方法，而

且也是今后學(xué)習(xí)三角形、四邊形知識的基礎(chǔ).本節(jié)課重點學(xué)習(xí)平行線的基礎(chǔ)模型

的應(yīng)用遷移.

模型分類

模型一“鉛筆”模型

/

E/E

A>

一C------------/

?rF

/

點P在斯右側(cè)，在48、CD內(nèi)部“鉛筆”模型

結(jié)論1：若48口。),貝！JNP+N4EP+NP產(chǎn)C=360°；

結(jié)論2：^ZP+ZAEP+ZPFC=360°,貝！J4BUCD.

典例分析

【典例1】(2023秋?南崗區(qū)校級期中)已知，射線尸G分別交射線/8、。。于點RG,點

E為射線尸G上一點.

(1)如圖1,若NA+/D=/AED,求證：AB//CD.

(2)如圖2,若AB〃CD,求證：/A-/D=/AED.

(3)如圖3,在(2)的條件下，ZV交4于點I,交AE于點K,/EDI=3/CDE,Z

4

圖1圖2圖3

【答案】(1)(2)證明見解析；

(3)95°.

【解答】(1)證明：如圖所示：過點、E作

ZA+ZD=ZAED,ZAED=NAEF+NDEF,

：./D=/DEF,

：.EF//CD,

:.AB〃CD；

(2)證明：9JAB//CD,

：.NA=NEHG,

*：ZEHG=/D+NAED,

：.NA=/D+/AED,

：.ZA-ND=NAED；

(3)解：設(shè)4E與CD交于點H,ZEAI=x,則/切/=為，ZEAB=x-^x=jx^

,:ABHCD,

：.ZEHC=ZEAB=L,

4V

VZI=ZAED=25°,ZEKI=ZEAI+ZI=ZEDI+ZAED,

：.x+25°=/EDI+25。,

：.ZEDI=x,

'：ZEDI=±ZCDE,

4

NCDI=J/EDI=Jx'

OO

,/ZCHE=ZCDE+ZAED,

.71cu。

.."pc=x+Qx+25，

解得：x=60°,

ZEKD=ZAKI=1SO°-ZEAI-ZI

=180°-60°-25°

=95°.

【變式1-1]（2023?渝中區(qū)校級模擬）如圖，已知直線a〃b,NB4c=90：Zl=40°,

則N2的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.130°D.140°

【答案】B

【解答】解：如圖，

VZ1+Z3+900=180°，Zl=40°,

???N3=50°,

a//b,

：.N2=N3,

???N2=50°，

故選：B.

【變式1-2］（2023?金安區(qū)一模）如圖，已知Q〃兒Zl=45°,N2=125°,則N/5C的

C.115D.125°

【答案】4

【解答】解：解法一：如圖，過點8作。E〃處

\9a//b,DE//a,

:?DE〃b,

：.Z2+ZZ)5C=180°,

AZD5C=180°-Z2=180°-125°=55°,

；?NABC=/DBA+NDBC=450+55°=100°.

解法二：如圖，延長45交b于點尸,

A

'：a//b,

???N1=N3=45°,

VZ2=125°,

*.?/2=N3+NCBF,

：.ZCBF=Z2-Z3=125°-45°=80°,

AZABC=\S0°-ZCBF=1S0°-80°=100°.

故選：A.

【變式1-3](2022春?肇州縣期末)如圖，AB//CD,ZC=110°,Z5=120°,則N3EC

=()

.4B

DC

A.110°B.120°C.130°D.150°

【答案】C

【解答】解：?.?過點E作斯〃45,

?：AB〃CD,

C.EF//AB//CD,

???Nl+N8=180°,Z2+ZC=180°，

VZC=110°,ZB=120o,

：.Z1=6O°,N2=70°,

AZ5￡C=Z1+Z2=13O°.

故選：C.

DC

【變式1-4](2023春?巴南區(qū)月考)已知直線點C、8分別在直線MN、P0上,

點A在直線MN和PO之間.

(1)如圖1,求證：NCAB-/MCA=/PBA；

(2)如圖2,CD//AB,點E在直線尸0上，且NMC4=NDCE,求證：/ECN=/CAB；

(3)如圖3,BF平分/PBA,CG平分/ACN,且/斤〃CG.若NC48=50°,直接寫

出//E8的度數(shù).

(2)見解答.

(3)115°.

【解答】(1)證明：過點N作///〃如圖:

圖1

：.AH//MN//PQ,

ZMCA=ZCAH,NPBA=/BAH,

：.ZCAB=ZCAH+ZBAH=ZMCA+ZPBA,

：.：ZCAB-ZMCA=APBA.

(2)證明：:NMCA=/DCE.

ZACD=ZMCE,

'JCD//AB,

：.ZCAB+ZACD=iSO°,

：.ZCAB^180Q-N/C0=18O°-ZMCE,=ZECN,

：.ZECN=ZCAB.

(3)解:-：AF//CG.

：.ZGCA+ZE4C=1S0o,

VZCAB=50°,

AZGCA+ZCAB+ZE4C^180°,

AZE4B^13O°-ZGCA,

?:BF平分NPBA,CG平分NACN,

：.ZACN=2ZGCA,ZABP=2ZABF,

又ZMCA=180°-ZACN,

：.ZCAB=1S0°-2ZGCA+2ZABF=50°,

：.ZGCA-ZABF=65°,

VZABF+ZAFB+ZE4B=lS0°,

Z^F5=180°-ZABF-ZE4B

=180°-(130°-ZGCA)-ZABF

=50°+ZGCA-ZABF

=50°+65°=115°.

AZAFB=\\50.

【變式1-5](2023春?遂寧期末)如圖，直線PQ〃MN,兩個三角形如圖①放置，其中N/5C

=/CDE=90°,ZACB=3Q°,ZBAC^60°,NDCE=NDEC=45°,點E在直線

P。上，點2,C均在直線上，且CE平分N/CN.

（1）求/DEQ的度數(shù);

（2）如圖②，若將△48C繞8點以每秒3°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（/,C的對應(yīng)點

分別為RG）.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為/秒，當(dāng)f=10時，邊2G與CD有何位置關(guān)系？請說明理

由.

圖①圖②圖③

【答案】（1）60°；

（2）BG//CD,理由見解析.

【解答】解：（1）?:/ACB=30°,

：.ZACN^180°-N/CB=150°,

,:CE平分NACN,

：.ZECN=75°,

,JPQ//MN,

：.ZECN+ZCEQ=1?,0o,

：.ZCEQ=\05°,

VZDEC=45°,

:.NDEQ=NCEQ-NDEC=60°；

（2）BG//CD,理由如下：

當(dāng)f=10時，8c轉(zhuǎn)動了3X10°=30°,即/CBG=30°,

由（1）可知/ECN=75°,ZDCE=45°,

：.ZDCN=ZECN-ZDCE=30°,

：.ZCBG=ZDCN,

J.BG//CD.

模型分析

結(jié)論2：ZP=ZAEP+ZCFP,貝（JNBCICD.

典例分析

【典例2】（2023春?邵陽縣期末）如圖，直線N8〃CD,連接￡尸，直線A8,CD及線段EF

把平面分成①②③④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分.當(dāng)動點G落在某個部

分時，連接G￡,GF,構(gòu)成/EGR4GEB,/GFD三個角.

①①

④④

圖一圖二

(1)當(dāng)動點G落在第③部分時，如圖一，試說明：ZEGF,ZGEB,NGFD三者的關(guān)

系;

(2)當(dāng)動點G落在第②部分時，如圖二，思考(1)中三者關(guān)系是否仍然成立若不成立,

說明理由.

【答案】(1)ZEGF=ZGEB+ZGFD,理由見解答;

(2)(1)中三者關(guān)系不成立，理由見解答.

【解答】解：(1)NEGF=/GEB+NGFD,

理由：過點G作GMr〃/3,

NGEB=Z.EGM,

?:AB"CD,

J.CD//GM,

：.ZGFD=ZFGM,

'：ZEGF=ZEGM+ZFGM,

：.ZEGF=ZGEB+ZGFD；

(2)(1)中三者關(guān)系不成立,

理由：過點G作GN〃/8,

①

④

圖二

ZGEB+ZEGN=180°,

,JAB//CD,

：.CD//GN,

：.ZGFD+ZFGN=^0°,

:.NGEB+NEGN+NFGN+NGFD=360°,

即ZGEB+ZEGF+ZGFD=360°.

【變式2-1](2023?盤錦)如圖，直線48〃CD,將一個含60°角的直角三角尺EG尸按圖

中方式放置，點￡在N8上，邊GF,￡尸分別交CD于點〃,K,若NBEF=64°,則/

GHC等于()

D.14°

【答案】B

【解答】解：因為AB〃CD,且/BE尸=64°,

所以NDKF=/8￡F=64°.

又三角形￡7田為直角三角形，且NG=90°,ZGEF=60°,

所以//=30°.

所以/^^7^=64°-30°=34°.

又/GHC=ZKHF,

所以NG77C=34°.

故選：B.

【變式2-2］（2023?盤錦）如圖，直線48〃CD,將一個含60角的直角三角尺EG廠按圖

中方式放置，點￡在上，邊GF,分別交CD于點，，K,若NBEF=64°,則/

GHC等于()

A.44°B.34°C.24°D.14°

【答案】B

【解答】解：因為/8〃C￡>,且N8EF=64°,

所以NDKF=/BEF=64°.

又三角形EFG為直角三角形，且NG=90°,/GE尸=60°,

所以/尸=30°.

所以/KHF=64°-30°=34°.

又NGHC=/KHF,

所以NG〃C=34°.

故選:B.

【變式2-3］（2023?海南模擬）如圖，已知NB=20°,ZZ>=130°,那么

等于（）

【答案】B

【解答】解：過點。作CF〃48,

,:AB〃DE,

：.AB//DE//CF；

：.ZB=ZBCF,ZFCD+Z￡>=180°,

：.ZBCD=180°-ZZ）+Z5=180°-130°+20°=70°.

故選：B.

B

【變式2-4］（2023春?覃塘區(qū)期末）如圖，AB//CD,將一副直角三角板作如下擺放，ZGEF

=60°,/MNP=45°.下列結(jié)論：?GE//MP-,②/￡7W=150°；③/BEF=65°；

④/AEG=35°,其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

：.ZHFN=ZMNP=45°,

ZEFH=ZEFN-ZHFN=105°,

.'/BE尸=180°-/EFH=15°,故③錯誤；

@'：ZGEF=60°,ZBEF=【解答】解：①由題意得：ZG=ZMPN=90°,

：.GE//MP,故①正確；

②由題意得NEFG=30°,

：.NEFN=180°-N￡FG=150°,故②正確；

③過點/作尸”〃/8,如圖，

'JAB//CD,

:.NBEF+NEFH=180°,FH//CD,

75°,

：.ZAEG=1SO°-ZGEF-ZBEF=45°,故④錯誤.

綜上所述，正確的有2個.

故選：B.

AEB

/ox--

CMND

【變式2-5］（2023春?贛縣區(qū)期末）【問題背景】：同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)一個

熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)

量關(guān)系.

'<0A

cD

（圖1）

F

CD

（圖2）（圖3）

【問題探究［（1）如圖1,AB//CD,E為AB、CD之間一點，連接BE、DE,得到/BED

與NB、ND之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【類比遷移工（2）請你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：

如圖2,直線N8〃CO,若NB=23。,ZG=35°,ND=25°,求/BE—NGFD的度

數(shù)；

【靈活應(yīng)用】：（3）如圖3,直線N5〃CD,若/￡=/2=60°,ZF=85°,則ND=25

度.

【答案】（1）ZBED=ZB+ZD,理由見解答；

（2）NBEG+NGFO的度數(shù)為83°；

（3）25.

【解答】解：（1）ZBED=ZB+ZD,

理由：過點、E作EP〃AB,

（圖1）

???/B=/BEP,

?:ABaCD,

：.CD//EP,

：./D=/DEP,

ZBED=/BEP+/DEP,

：.ZBED=ZB+ZD；

（2）過點G作GM//AB,

（圖2）

由（1）可得：/BEG=/B+/EGM,

■:AB〃CD,

:,GM〃CD,

由（1）可得：ZGFD=ZD+ZFGM,

VZB=23°,NEG/=35°,ZD=25°,

???ZBEG+ZGFD=ZB+EGM+ZD+ZFGM

=ZB+ZD+ZEGF

=230+25°+35°

=83°,

???N5EG+NGFD的度數(shù)為83°；

(3)如圖：

E

CD

（圖3）

VZ5=60°,ZF=85°,

:.NBNF=18Q°-ZB-ZF=35°,

：.ZANE=ZBNF=35°,

:AB〃CD,

...由（1）可得：ZDEN=ZANE+ZD,

：.ZD=ZDEN-ZANE=60°-35°=25°,

故答案為：25.

【變式2-6］（2023春?邵陽期末）如圖1,直線4B〃CD,尸是截線MN上的一點.

（1）若NMNB=45°,ZMDP=20°,求/MPD；

（2）如圖1,當(dāng)點尸在線段MV上運動時，/CO尸與/48P的平分線交于。，問4

ZDPB

是否為定值，若是定值，請求出；若不是定值，請說明理由；

（3）如圖2,若T是直線上且位于M點的上方的一點，如圖所示，當(dāng)點尸在射線

上運動時，/CD尸與N/8P的平分線交于。，問/Q的值是否和（2）問中的情況

ZDPB

一樣呢？請你寫出探究過程，說明理由.

圖1圖2

【答案】（1）的度數(shù)25°；

（2）NQ是定值,NQ=1；

ZDPBZDPB2

（3）NQ是定值,NQ=工

ZDPBZDPB2

【解答】解：(1),：AB//CD,ZMNB=45

AZZ)A/P=180°-ZMNB=135°,

VZMDP=20°,

：.ZMPD=ISO°-ZDMP-ZMDP=25

.?./MV)的度數(shù)為25°；

(2)是定值，

ZDPB

理由：過點P作尸G〃CD,

圖1

：./CDP=4DPG,

'：CD//AB,

：.PG//AB,

：.ZABP=ZBPG,

"：ZDPB=ZDPG+ZBPG,

：.ZDPB=ZCDP+ZABP,

同理可得：ZQ=ZCDQ+ZABQ,

。平分NCDP,BQ平分4ABP,

：.ZCDQ=1.ZCDP,/ABQ=L/ABP,

22

；.NQ=NCDQ+NABQ

=1ZCDP+1ZABP

22

=A(ZCDP+ZABP)

2

=L/DPB,

2

?NQ=1.

ZDPB2

(3)NQ是定值,

ZDPB

理由：過點尸作尸G〃CD,

Q

T

評;…。

A/NB

圖2

：./CDP=4DPG,

,:CD〃AB,

：.PG//AB,

ZABP=ZBPG,

'：ZDPB^ZBPG-ZDPG,

：.NDPB=NABP-ZCDP,

同理可得：ZQ=ZABQ-ZCDQ,

。平分/CAP,BQ平分/4BP,

.\ZCDQ=^ZCDP,/ABQ=1~/ABP,

22

：.ZQ=ZABQ-ZCDQ

=1ZABP-1ZCDP

22

=A(ZABP-NCDP)

2

=1ZDPB,

2

?NQ=1

ZDPB~2

【變式2-7](2023春?防城港期末)閱讀下面材料:

（1）小亮同學(xué)遇到這樣一個問題：已知：如圖甲，AB//CD,￡為直線CD之間一

點，連接BE、DE得到/BED.求證：/BED=/B+/D.下面是小亮寫出了該問題的

證明,請你幫他把證明過程補充完

（圖甲）（圖乙）

CD//EF,

：.NFED=ND,

ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD.

(2)請你參考小亮思考問題的方法，解決問題：如圖乙，直線?！?,BE平分NABC,

DE平分/ADC,若N48C=50°,ZADC=60°,求N2ED的度數(shù)，(溫馨提示：過點

E作EF〃AB)

【答案】(1)ZB,CD,ZD；

(2)4BED=55°.

【解答】(1)證明：過點E作EF〃4B,

則有

,:AB〃CD,

C.CD//EF,

：.NFED=ND,

：.ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD,

故答案為：ZB,CD,ZD；

(2)解：如圖乙，過點E作石戶〃48,

ZBEF=ZABE,

'：a//b,BPAB//CD,

J.CD//EF,

：.NDEF=NCDE,

：.NBED=NBEF+NDEF=ZABE+ZCDE,

:BE平分/ABC,DE平分NADC,

:.NABE=LNABC,NCDE=LNADC,

22

又?；//8C=50°,ZADC^60°,

；./ABE=25°,/CDE=3Q°,

:.NBED=NABE+NCDE=25°+30°=55°.

BAa

b

（圖乙）

模型分析

模型三“臭腳”模型

點、P在EF右側(cè)，在48、8外部

4______________

CF

“臭腳”模型

結(jié)論1：^ABDCD,則NP=N4EP-NCFP或NANCJP-N/EP；

結(jié)論2：若NP=N4EP-NCFP或NP=NCF}N4EP,貝()45口。.

典例分析

【典例3】（2023春?中山區(qū)期末）如圖，AABE+Z.BED=ZCDE.

（1）如圖1,求證4B〃CD；

（2）如圖2,點尸在上，ZCDP=ZEDP,BF平分~/ABE,交PD于點、F,探究/

BFP,N8ED的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

（3）在（2）的條件下，如圖3,P0交延長線于點Q,/DPQ=2/APQ,ZPQD

【答案】（1）答案見解答過程;

(2)NBED=2NBFP,理由見解答過程；

(3)120°.

【解答】(1)證明：延長CQ交BE于點

JZCDE=/DHE+/BED,

/ABE+/BED=NCDE,

：.ZDHE=ZABE,

：.AB//CD,

(2)解：/BFP,NB即的數(shù)量關(guān)系是：/BED=2/BFP,理由如下：

設(shè)/EBF=CL,NCZ)P=0,

?:BF平分/ABE,NCDP=NEDP,

：.ZEBF=ZABF=a,/CDP=/EDP=B，

：.ZPBE=2ZEBF=2af

由(1)可知：AB//CD,

：.NDPB=NCDP=B，

：.ZAPD=1SO°-NNQP8=180°-p,

/APD=/ABF+/BFP,

.*.180°-^=a+ZBFPf

:?NBFP=180°-(a+p),

由四邊形的內(nèi)角和等于360°得：NBED+NEDP+/DPB+/PBE=360：

即：N5￡Z)+0+0+2a=36O°,

:?/BED=360°-2(a+p),

NBED=2/BFP.

(3)解：設(shè)n/尸。=e,

???NDPQ=2/APQ=26,

：./APD=/APQ+/DPQ=3S,

由（1）可知：AB//CD,

：.ZCDP+ZAPD=\S0o,

：.ZCDP=\SO°-ZAPD=180°-30,

VZPQD=SO°,

ZEDP=ZPQD+ZDPQ=SO°+26,

■:NCDP=NEDP,

.*.180°-30=80°+26,

解得：8=20°,

AZCZ>P=180°-36=120°,NEZ用=800+29=120°,

根據(jù)周角的定義得：ZCDE+ZCDP+ZEDP=360°,

???NCD￡=360°-(NCDP+NEDP)=360°-(120°+120°)=120°.

【變式3-1】已知Z8〃CD

(1)如圖1,求證：ZABE+ZDCE-ZBEC=1SO°；

(2)如圖2,NDCE的平分線CG的反向延長線交的平分線BF于F.若BF〃CE,

ZBEC=26°,求/BFC.

【答案】(1)詳見解析；

(2)103°.

【解答】(1)證明：如圖，過E作EF//4B,

■:AB〃CD,

：.DC//EF,

:?/B=/BEF,ZC+ZC^F=180°,

???NC+NB=NBEC=180°,

即：/ABE+NDCE-/BEC=180°；

AB

E—----------------------

F

U

(2)解：：FB//CE9

：.ZFBE=ZBEC=26°,

???BF平分/48E,

：.ZABE=2ZFBE=52°,

由(1)得：ZDCE=1SO°-ZABE+ZBEC=1SO°-52°+26°=154°,

TCG平分NEC。，

:./DCG=T1。,

過點尸作廠N〃/8,如圖：

,:ABHCD,

：.FN//CD,

：.ZBFN=ZABF=26°,ZNFC=ZDCG=77°,

???ZBFC=ZBFN+ZNFC=103

模型分析

模型四“骨折”模型

*

點、P在EF左側(cè)，在AB、CD外部“骨折”模型

結(jié)論1：若4BUC。，則NANCFP-N/EP或NQNNEP-NCJP；

結(jié)論2：^ZP=ZCFP-ZAEPZP=ZAEP-ZCFP,貝?。?3口。.

典例分析

【典例4】(2022秋?朝陽區(qū)校級期末)已知4B〃CD,點E在48上，點P在DC上，點G

為射線EF上一點.

(1)【基礎(chǔ)問題】如圖1,試說明：/4GD=N4+/D.(完成圖中的填空部分)證明：

過點G作直線MN//AB,

又,：AB〃CD,

：.MN//CD

\'MN//AB,

：.ZA=ZMGA.

,JMN//CD,

???/D=DGM(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

ZAGD=ZAGM+ZDGM^ZA+ZD.

(2)【類比探究】如圖2,當(dāng)點G在線段所延長線上時，請寫出N/G。、//、/D三

者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)【應(yīng)用拓展】如圖3,AH平分/GAE,DH交AH于點、H,旦/GDH=2/HDF,Z

HDF=22°,NH=32°,直接寫出/DG/的度數(shù)為。.

圖1圖2圖3

【答案】（1）MN;NN;ZDGM；兩直線平行，內(nèi)錯角相等;

（2）ZAGD^ZA-ZD.理由見解析；

（3）42°.

【解答】解：（1）過點G作直線跖V〃48,

又,：AB〃CD,

J.MN//CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），

"JMN//AB,

=（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

'JMN//CD,

.?.ND=4DGM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

/AGD=/AGM+/DGM=ZA+ZD.

故答案為：MN；ZA；ZDGM；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

（2）如圖所示，過點G作直線九W〃48,

J.MN//CD,

'JMN//AB,

AA=AAGM,

■:MN//CD,

：.ND=/DGM,

：.NAGD=NAGM-NDGM=/A-ZD.

（3）如圖所示，過點G作直線兒加〃NB,過點”作直線尸

M…@…N

C

A~~EB

又,：AB"CD,

：.MN//CDfPQ//CD

?:MN〃AB,PQ//AB,

；?/BAG=NAGM,/BAH=/AHP,

,:MN〃CD,PQ//CD,

：.ZCDG=ZDGM9ZCDH=ZDHPf

?:/GDH=2/HDC,ZHDC=22°,ZAHD=32°,

???NGZ），=44°,ZDHP=22°,

???NCZ）G=66°,NAHP=54°,

：.ZDGM^66°,/BAH=54°,

平分NG4￡,

AZBAG=2ZBAH=108°,

/.ZAGM=10S°,

/.ZAGD=ZAGM-ZDGM=42°.

【變式4-l】（2022秋?肅州區(qū)校級期末）如圖（1）,/3〃CZ）,N4*=40°,NPED=130°,

求N以/的度數(shù).小明想到了以下方法：

解：如圖（1）,過點尸作尸M〃力―

：.Z1=ZAEP=4O°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

9：AB//CD（已知）

J.PM//CD（平行于同一條直線的兩直線平行）

.??Z2+ZPFD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

VZPFD=130°（已知）

AZ2=180°-130°=50°

AZEPF=Z1+Z2=4O°+50°=90°

即NE尸尸=90°

【探究】如圖（2）,AB//CD,N4EP=50°,/PFC=12Q°,求/￡尸尸的度數(shù).

【應(yīng)用】如圖（3）,在【探究】的條件下，ZPEA的平分線和/尸川C的平分線交于點G,

求/G的度數(shù).

AEB

CFD

圖⑴

【答案】［探究］70°；

［應(yīng)用］35°.

【解答】［探究］如圖②，過點尸作尸加^48,

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

,JAB//CD（已知）,

：.PM//CD（平行于同一條直線的兩直線平行）,

:./PFC=/MPF=120°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

AZEPF=ZMPF-ZMPE=120°-50°=70°（等式的性質(zhì)）.

［應(yīng)用］如圖③所示,

\'EG是NPE4的平分線，F(xiàn)G是/PFC的平分線,

AAAEG=L^AEP=25°,ZGFC=-L^/PFC=600,

圖③

過點G作GM//AB,

：.ZMGE=ZAEG=25°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

?：AB〃CD（已知），

J.GM//CD（平行于同一條直線的兩直線平行），

:.NGFC=/MGF=60°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

AZEGF=ZMGF-ZMGE=60Q-25°=35°.

【變式4-2］（2022春?朝陽縣期末）學(xué)習(xí)完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平

行線的方法可以幫我們解決許多問題.

（1）小明遇到了下面的問題：如圖1,11〃12,點、P在h,/2內(nèi)部，探究NAPB,

乙8的關(guān)系，小明過點尸作人的平行線，可得/4PB,NA,N8之間的數(shù)量關(guān)系是：Z

APB=N/+N8.

（2）如圖2,若點P在NC,8。外部，ZB,//P8的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)

生變化？請寫出證明過程.

【答案】（1）ZAPB=ZA+ZB；

（2）發(fā)生變化，ZAPB=ZB-ZA,證明見解答過程.

【解答】解：（1）：記過點尸作人的平行線為尸C,

,：PC//h,

：.AA=ZAPC,

'：h//h,

：.PC//l2,

：./B=NBPC,

ZAPB=/APC+NBPC=ZA+ZB,

故答案為：ZAPB=ZA+ZB；

(2)發(fā)生變化,

如圖，過點〃/C,則N4P尸=NZ,

C.PF//BD,

：.NB=NBPF,

NAPB=ZBPF-ZAPF=/B-NA.

【變式4-3](2020春?乳山市期中)【信息閱讀】

材料信息：

如圖①，AB//DE,點C是直線48,DE外任意一點，連接2C,DC.

方法信息：

如圖②，在“材料信息”的條件下，NB=55°,ZZ)=35°,求/BCD的度數(shù).

解：過點C作C/〃N8.

；./BCF=NB=55°.

:AB〃DE,

：.CF//DE.

：.ZDCF=ZD=35°.

:./BCD=55°-35°=20°.

【問題解決】

(1)通過【信息閱讀】，猜想：NB,ND,之間有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出

結(jié)論：/BCD=/B-/D；

（2）如圖③，在“材料信息”的條件下，改變點。的位置，/B,ND,N5CQ之間的

等量關(guān)系是否改變？若不改變，請寫出理由；若改變，請寫出新的等量關(guān)系及理由.

圖①圖③

【答案】ZBCD=ZB-ZDfZBCD=ZD-ZB

【解答】解（1）過。作CF〃切，

■:AB〃ED,

C.AB//CF,

：.ZB=ZBCF,

/D=/DCF,

*.*/BCD=ZBCF-/DCF,

：.ZBCD=ZB-ND,

故答案為：ZBCD=ZB-ZD.

(2)過點。作

???ZBCF=ZB,

?:AB"DE,

：.CF//DE.

：.ZDCF=N。，

ZBCD=ZDCF-BCF,

：.ZBCD=ZD-ZB.

1.（2023春?建昌縣期末）如圖，將一個含30。角的直角三角板的直角頂點C放在直尺的兩

邊.MN,尸0之間，則下列結(jié)論中：①/1=/3；②/2=/3；③/1+/3=90°；④若

Z3=60°,貝11/8，尸。，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

【答案】C

【解答】解：設(shè)2c與尸0交于點RN2與尸0交于點G,AB與MN交于點、H,延長/C

交PQ于點E,

：.N3=NAEG,

；N1WN4EG,

.?.Z3^Z1,

故①不正確;

根據(jù)對頂角相等可得：Z2=Z3,

故②正確;

是△（?￡尸的一個外角，ZACB=90°,

CB=ZAEB+Z1=90°,

ZAEB=Z3,

.,.Z3+Zl=90°,

故③正確；

VZA=30°,Z3=60°,

：.ZAHM^ISO°-ZA-Z3=90°,

'JMN//PQ,

:.NAHM=NAGP=90°,

：.AB±PQ,

故④正確；

所以，上列結(jié)論中，其中正確結(jié)論的個數(shù)是3個，

故選：C.

2.(2023春?蕪湖期末)如圖所示是汽車燈的剖面圖，從位于O點燈發(fā)出光照射到凹面鏡上

反射出的光線A4,都是水平線，若乙4BO=a,ZDCO^6Q°,則4BOC的度數(shù)為

()

A.180°-aB.120°-aC.60°+aD.60°-a

【答案】C

【解答】解：連接3C,

VAB//CD,

：.ZABO+ZCBO+ZBCO+ZOCD=180

而NC20+N5c。+/。=180°,

。=ZABO+ZDCO=60°+a.

故選：C.

3.（2022?恩施州）已知直線h//12,將含30°角的直角三角板按如圖所示擺放.若/1=120°,

則N2=（

1

1\

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D

【解答】解：過含30°角的直角三角板的直角頂點5作研〃/i,交4C于點尸,

AZA=90°-ZC=60°.

'：Z1=ZA+ZADE9

：.ZADE=60°.

,:BF〃卜,

：.ZABF=ZADE=60°,

：?/FBG=90°-ZABF=30°.

,:BF〃h,I1//I2,

：.BF//h,

：,/BGH+/FBG=180。,

?"BGH=1800-ZFBG=150°,

：.Z2=ZBGH=15O°.

故選：D.

4.（2022?博山區(qū)一模）如圖，直線a〃4點M、N分別在直線〃、6上，P為兩平行線間

一點，那么N1+N2+N3等于（）

M

---------R---------a

X\

2

3

b

A.360°B.300°C.270°D.180°

【答案】4

【解答】解：如圖，過點尸作24〃〃，則?！Α?

.,.Z3+Z7VB4=180°,Zl+ZAffi4=180°,

???N1+N2+N3=18O°+180°=360°.

故選：A.

5.（2021春?椒江區(qū)校級月考）如圖，已知48〃CZ）,和N5CD的平分線交于點￡,

ZFBC=n°,ZBAD=m°，則N4EC等于（）度.

A.90-2+加B.90-2-㈣C.90-2D.90-工+四

222222

【答案】D

【解答】解：如圖，過點E作近/〃45,

,:AB〃CD,EM//AB,

C.AB//EM//CD,

:?/BAE=/AEM,ZMEC=ZECD,NFBC+NBCD=180°,

AZBCD=180°-ZF5C=180°-n°,

???ABAD和NBC。的平分線交于點E,

:.NB4E=L/B4D=Ln。,ZECD=1ZBCD=1.（180°-n°）,

2222

；.NAEC=NAEM+/MEC=NBAE+NECD=Ln°+A（180°-n°）=90°+L?°-

222

-1n=，

2

故選：D.

6.（2023春?赫山區(qū)期末）【問題情景】（1）如圖1,/5〃CD,NF45=135°,NPCD=115°,

求//PC的度數(shù)；

【問題遷移】（2）如圖2,已知/MON,AD//BC,點尸在射線（W上運動，當(dāng)點P在N,

8兩點之間運動時，連接PD,PC,ZADP=Za,ZBCP=Z^,求NCPD與Na,Zp

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點尸在4,8兩點之間運動”改為“點P在

A,3兩點外側(cè)運動（點尸與點/,B,。三點不重合）”其他條件不變，請直接寫出NCPD

與/a,N0之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）N4PC的度數(shù)為110°；

（2）ZCP￡>=Za+Zp,理由見解答；

（3）當(dāng)尸在8/延長線時，ZCPD=Z^-Za；當(dāng)尸在延長線時，ZCPD=Za-

【解答】解：（1）過點尸作PE〃/2,

圖1

/.ZAPE=1SO°-NN=45°,

U：AB//CD,

:.PE〃CD,

：.ZCPE=1SO°-ZC=65°,

/.ZAPC=ZAPE+ZCPE=450+65°=110°,

???N4PC的度數(shù)為110°；

(2)ZCPD=Za+Zp,

理由：過尸作尸交CD于E,

\9AD//BC,

：.PE//BC,

：./BCP=/CPE=/B，

：.ZCPD=NDPE+ZCPE=Za+Zp；

(3)分兩種情況：

當(dāng)尸在A4延長線時，ZCPD=Z^-Za,

理由：如圖3,過P作尸￡〃/。交CD于E,

圖3

???NADP=ZDPE=Na,

?:AD〃BC,

：.PE//BC,

Z.NBCP=NCPE=NB，

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z^-Na；

當(dāng)尸在延長線時，ZCPD=Za-Zp,

理由：如圖4,過尸作PE〃4D交OD于E,

ZADP=NDPE=Za,

,JAD//BC,

J.PE//BC,

NBCP=NCPE=NB，

：.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Za-Zp,

綜上所述，NCPZ>=NB-Na或NCPD=Na-N0.

7.(2022春?良慶區(qū)校級期中)已知/M〃CN,點8為平面內(nèi)一點，于"

(1)如圖1,直接寫出NN和NC之間的數(shù)量關(guān)系N/+NC=90°；

(2)如圖2,過點3作于點。，求證：ZABD=ZC；

(3)如圖3,在(2)間的條件下，點￡、尸在?！ㄉ希B接8￡、BF、CF,AF平分/

DBC,BE平分NABD,若/FCB=/CFD,/BFC=3/DBE,求/￡8C的度數(shù).

【解答】解：(1)如圖1,4M與的交點記作點O,

B,

M

A

N圖1C

■:AM〃CN,

:?/C=NAOB,

*：ABLBC,

：.ZA+ZAOB=90°,

AZA+ZC=90°,

故答案為：ZA+ZC=90°；

過點8作BG〃。跖

■:BD工AM,

:.DB1BG,即N/&)+N/BG=90°,

又??Z5_LBC,

：.ZCBG+ZABG=90°,

:.NABD=NCBG,

■:AM〃CN,BG〃AM,

:?CN〃BG,

：.ZC=ZCBG,

：.NABD=/C；

(3)如圖3,

DEAFM

…G

NN圖3C

過點B作BG//DM,

■:BF平分NDBC,BE平分N4BD,

：.ZDBF=ZCBF,ZDBE=ZABE,

由(2)可得/4BD=NCBG,

：.ZABF=ZGBF,

設(shè)NDBE=n,N4BF=S，則

ZABE=a