高考必練小題數(shù)學提分秘籍

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯徽富會街小題就要又快又準小考教輔站初高教輔站德與《高考必練小題》配套使用提分秘籍２大模塊THE燁萬向思維教誨考試研究院維技法極速提分學霸解題快解優(yōu)解。目錄模塊一學霸解題學霸解題1利用集合思想和逆向思維推理出答案1學霸解題2利用特值法解決函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問題1學霸解題3通過拆分復雜函數(shù)解決函數(shù)最值問題2學霸解題4結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),利用排除法解決函數(shù)圖像辨識問題2學霸解題5利用數(shù)值的異常性,化同底比較數(shù)值的大小3學霸解題6利用異常值排除選項3學霸解題7按照題意直接決定x取最大值時的購買情況4學霸解題8化抽象為詳細,利用異常直線求解學霸解題9利用整體思想解決三角函數(shù)中給值求值問題學霸解題10利用三角函數(shù)相乘的性質(zhì)直接求出函數(shù)的周期學霸解題11按照峰值的移動判斷平移量5學霸解題12利用周期的比例直接求出零點的位置學霸解題13通過換元法將復合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)學霸解題14利用初等函數(shù)的性質(zhì)判斷最值和零點學霸解題15利用三角函數(shù)圖像解決單調(diào)性問題學霸解題16利用盡全平方公式簡化運算學霸解題17利用點的異常性決定平面向量的數(shù)量積學霸解題18利用飛馳定理處理形如a?OA+b教輔資料站小考教輔站初高教輔站法求解向量的模10學霸解題22巧用虛數(shù)單位i迅速舉行復數(shù)的除法運算11學霸解題23在基本不等式中“1”的靈便運用11學霸解題24利用等差數(shù)列的性質(zhì)求公差11學霸解題25利用異常點和對稱性直接求出圓的方程,利用角平分線定理證實角平分線...12學霸解題26利用中線垂直于底邊得出三角形為等腰三角形,利用幾何關系找條件12學霸解題27利用等面積法求三角形的高(點的縱坐標)13學霸解題28利用多邊形的性質(zhì)簡化運算13學霸解題29通過幾何關系求漸近線的斜率...14學霸解題30利用等軸雙曲線的性質(zhì)得出結(jié)果...154學霸解題31在內(nèi)角為30°,60°6學霸解題36利用拋物線的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為求角度的問題187學霸解題37利用圓的半徑r與拋物線的參數(shù)p的比值關系求線段比例197學霸解題38利用幾何法解決拋物線中焦點8弦問題20模塊二快解優(yōu)解法8主意1排除法21主意2特例法219主意3代入驗證法239主意4極限法24主意5等價轉(zhuǎn)化法2410主意6構(gòu)造法24主意7逆向思維法24模塊一學霸解題學霸解題1利用集合思想和逆向思維推理出答案1.(2023年年新高考I卷,5題)某中學的學生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學生喜歡足球或游泳,60%的學生喜歡足球,82A.62%B.56%C.46%【解析】記學生喜歡足球為事件A,學生喜歡游泳為事件B,則由題意得PA+B=0.96,PA=0.60,P【答案】C.【易錯警示】當事件A與事件B互斥時,PA+B=PA+PB成立,當事件A與事件B學霸靈感題目給出的信息可以看成兩個集合之間的關系,可以由求集合的補集入手解題,也可以利用維恩圖得出結(jié)果解題思維導圖主意一:96%的學4%的學生生喜歡足兩者都不36%的球或游泳喜歡學生喜喜歡足球60%的學生生不喜歡40%的學足球次游泳，歡足球但不喜→球和游學生足46%的泳都喜82%的歡學生喜歡游泳主意二:82%的學生喜歡游x+y青甫資料站智能宇航高教輔站心得在處理集合相交的問題時,可以利用維恩圖求解,也可以利用逆向思維,通過求集合的補集得到結(jié)果2.(2023年年全國卷II,9題)設函數(shù)fx=ln2x+A.是偶函數(shù),且在12,B.是奇函數(shù),且在?12C.是偶函數(shù),且在?∞,D.是奇函數(shù),且在?∞,【解析】函數(shù)fx=ln2x+1?ln2x?1的定義域為x?x≠±12.因為f?x=ln2x?1?ln2x+1=?fx,所以函數(shù)fx為奇函數(shù).當x>12時,fx=ln2x+12x?1=ln1+22x【答案】D.學霸靈感對于挑選題,判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性時可（不需要殘破的證實,代入異常值舉行判斷即可解題思維導圖f1=ln3?ln1=ln3=?續(xù)表解此類題目可以首選代值的主意,偶爾即使不學霸能選出準確答案,但也可以排除部分答案,簡心得化解題過程,注重代值時結(jié)合給定的區(qū)間,選取容易計算的數(shù)值學霸解題3通過拆分復雜函數(shù)解決函數(shù)最值問題3.(2023年年新高考I卷,15題)函數(shù)fx=【解析】當x>12時,fx=2x?1?2lnx,f′x=2?2x=2x?2x.令f′x>0,得x>1,令f′x<0,得12<x<1,所以f【答案】1.學霸靈感按照函數(shù)的解析式形式考慮將其拆分成兩個容易的函數(shù)解題思維導圖y1=2x?1在?∞,12上單調(diào)遞減，在x∈0,12時,12學霸心得當x>12時,兩遞增函數(shù)相減,通過比較兩函數(shù)圖像的增幅大小來決定最小值是異常好用的一種主意,但就這個題目來說,不要忘懷當0<x≤1教輔資料站結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),利用排除法解決函數(shù)圖尊霸解題4像辨識問題4.(2023年年浙江卷,7題)已知函數(shù)fx=x2+14則圖像為右圖的函數(shù)可能是().A.yB.yC.yD.y【解析】易知fx=x2+14為偶函數(shù),gx=sinx為奇函數(shù),而題圖所表示的為奇函數(shù)的圖像.對于A,B,易知y=fx+gx?14與y=fx?gx?14均不是奇函數(shù),所以排除A,B.對于C,易知y=fxgx=x2+14sinx是奇函數(shù),但當x∈0,π4時,y′=2xsinx+x2+14cosx>0,則函數(shù)y=fxgx在0,π4上單調(diào)遞增,與圖像不符,所以C不符合題意.對于D,易知y=gxfx=sinxx2+14是奇函數(shù),且y′=x2+14cosx?2xsin【答案】D.學霸靈感由函數(shù)圖像容易得到函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解題思維導圖-函數(shù)為奇函數(shù)→排除A,B?x∈0,π2學霸心得熟練應用函數(shù)的性質(zhì)解決函數(shù)圖像問題學霸解題5利用數(shù)值的異常性,化同底比較數(shù)值的大小5.(2023年年新高考II卷,7題)設a=logA.c<b<aC.a<c<b【解析】因為a=log52=log54【答案】C.學霸靈感c為分數(shù),且為12解題思維導圖為分數(shù)abc=log3學霸解題自捕資料站勞教輔站高教輔站(主意一)因為c=12log55=log55>a=log52,又因為c=12log88=log88<log續(xù)表學霸心得兩個數(shù)比較大小,常用的主意:(1)作差法,即兩個數(shù)作差后與0比較;(2)作商法,即兩個數(shù)相除后與1比較(如本題的主意二);(3)中介法,即找一個中間值(如0,±1等)并學霸解題6利用異常值排除選項6.(2023年年全國卷I,12題)若2a+A.a>2bB.a<2bC.【解析】原式可化為2a+log2a=22b+log4b2.令fx=2x+log2x,則fx在0,+∞上為增函數(shù).假設【答案】B.學霸靈感本題為挑選題,直接分析比較艱難,可以試著選取方便計算的值對選項舉行排除解題思維導圖2log4b=14b學霸解題令fa=2a+log2a,gb=4b+2log4b.可以看出fa與gb都是單調(diào)遞增的.∵當a=1時,f1=2=gb,且g12=1<2,g1=4>2,∴當a=1時,續(xù)表異常值法在數(shù)學考試中有著較大的用處,它常常能協(xié)助我們解決比較抽象、復雜的問題,從學霸而減少解題時光.在這道題中,挑選1和4作心得異常值的緣故是在舉行對數(shù)運算時結(jié)果是整數(shù),方便計算.這也是運用異常值法時需要考慮的,即選取能使計算簡化的異常值學霸解題7按照題意直接決定x取最大值時的購買情況7.(2023年年北京卷,14題)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增強銷量,李明對這四種水果舉行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后,李明會得到支付款的80%①當x=10②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為___.【解析】①按照題意知,1盒草莓的價格為60元,1盒西瓜的價格為80元,購買草莓和西瓜各1盒共需支付60+80=140(元).∵140元>120元,∴少付x=10元,故顧客需要支付140?10=130(元).②設李明每筆訂單的原價為t元,則促銷后每筆訂單得到的金額為t?x×80%元.由題意,得t?x×80%≥0.7t,∴t【答案】①130②15.教輔小考物育學霸靈感優(yōu)惠額度不變奇料站文輔站2輔站學霸解題①原價為60+80=140(元),140?10=130(元).②欲使優(yōu)惠額度x元占總價比例最大,就要使總價最小,即為120元,此時有擔心“初高教輔站”獲取更多初高中教輔資料學霸心得此題的關鍵在于審題,且找到x取最大值時的購買情況.在優(yōu)惠額度不變的情況下,欲使折扣數(shù)盡量大,則應讓總價盡量小,所以挑選120元作為異常的情況來考慮,將李明的收入與銷售前總價的七折作比較得出結(jié)果學霸解題8化抽象為詳細,利用異常直線求解8.已知直線y=ax+bb>0與曲線y=x3有且惟獨兩個公共點A.-1B.0C.1D.a【解析】設函數(shù)fx=x3?ax?bb>0,則函數(shù)fx有且只有兩個零點x1,x2,f′x=3x2?a.當a≤0時,對隨意x∈R,都有f′x≥0,則函數(shù)fx在R上是增函數(shù),所以函數(shù)fx不可能有兩個零點,不滿意題意.當a>0時,令f′x=0,得x=±a3.當x∈?∞,?a3∪a3,+∞時,f′x>0;當x∈?a3,a3時,f′x<0.所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】B.學霸把抽象的直線方程轉(zhuǎn)化為符合題意的詳細方靈感程(如曲線y=x3在續(xù)表解題思維導圖取異常直線:曲線y=x3在x=?1處的切線→驗證切線滿意學霸解題不妨取曲線y=x3在x=?1處的切線方程為該直線的方程.令fx=x3,則f?1=?1,f′?1=3,此時直線方程為y學霸心得在挑選題中,將普通問題異?；?往往可以快速找到準確答案,提高解題效率學霸解題9利用整體思想解決三角函數(shù)中給值求值問題9.(2023年年江蘇卷,8題)已知sin2π4+α=【解析】由sin2π4+α=23,得sinπ4cosα+cosπ4【答案】13學霸靈感三角函數(shù)化簡時,降冪升倍,角升倍后浮上π2解題思維導圖自酸料站凈教輔站品教輔站學霸心得nπ4+α=2解三角函數(shù)化簡或求值的題目時,要熟練控制各個公式的形式,要注重已知角和所求角之間的關系.本題將π4+α學霸解題10利用三角函數(shù)相乘的性質(zhì)直接求出函數(shù)的周期10.函數(shù)fx=A.πB.2πC.4πD.【解析】由題意得fk∈Z.如圖,作出函數(shù)f由圖像可知,函數(shù)fx的最小正周期為2π,最大值為12.所以最小正周期與最大值之比為【答案】C.學霸靈感函數(shù)y=sinx與函數(shù)解題思維導圖函數(shù)y=sinx的最fx的周期小正周期為2π，fx的最函數(shù)y=cosx的小正周期最小正周期為π-與最大值之比為4π.sinx?cos學霸心得兩個三角函數(shù)相乘仍為周期函數(shù),且函數(shù)的最小正周期是兩個函數(shù)周期的最小公倍數(shù)，由此可以直接得出函數(shù)的最小正周期學霸解題11按照峰值的移動判斷平移量11.已知函數(shù)fx=?π<φ<π)的部分圖像如圖,為了得到函數(shù)fx的圖像,需要將函數(shù)gx=2cos2ωA.π12B.π6C.π4【解析】由題圖可知,T4=π3?π12=π,所以ω=2,故fx=2sin2x+φ.因為fπ12=2sin2×π12+φ=2,所以π6+φ=π2+2kπk∈【答案】A.【技巧點撥】將函數(shù)y=fx的圖像向右平移mm>0個單位長度后得到函數(shù)y=fx?學霸靈感gx在x=解題思維導圖在x=0處，gx=2，恰好是gx的峰值將gx的圖像向右在x=π12處,f學霸解題∵gx=2cos2學霸解題由已知圖像得fπ12=2,是峰值.∵將gx的圖像向右平移得到fx的圖像,∴gx的圖像最少向右平移學霸心得在處理圖像平移問題時,可以通過異常點的移動來判斷平移距離學霸解題12利用周期的比例直接求出零點的位置12.已知函數(shù)fx=公眾圖像如圖,若f小=fa?x=0A.π12B.C.π3D.【解析】由題圖易知A=2,f0=1,即2sinφ=1,∴sinφ=12.∵φ<π2,∴φ=π6.由題圖可知11π12?ω+π6=2kπ(k∈Z),【答案】A.學霸靈感看見x=0的值,是一個異常點,可以直接按照解題思維導圖x=0處的函數(shù)值x=0處的點對應于ωx+x該點與左側(cè)零點相差112個周期,與右側(cè)兩→為x=π27個零點分離相差512個周期和1112個周期f學霸心得函數(shù)y=sinx的異常點常常用于迅速解題,從x=0處的點出發(fā),y=sinx取峰值一半的點為x=學霸解題13通過換元法將復合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)13.若函數(shù)fx=cos2x+asinxA.2,4B.C.(?∞,4【解析】函數(shù)fx=cos2x+函數(shù),則f′x=?2sin2x+acosx≤0在區(qū)間π6,π2上恒成立.?2sin2x+acosx=?4sinxcosx+acosx【答案】B.學霸靈感按照函數(shù)的解析式,考慮先化簡,再利用換元法,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)并用其性質(zhì)舉行求解解題思維導圖將fx轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)(sinx)復合函→數(shù)性質(zhì)?t∈1學霸解題函數(shù)fx=cos2x+asinx=1?2sin2x+asinx.令t=sinx,則gt=?2t2+at+1.∵x∈π6,π2學霸心得利用換元法將函數(shù)fx轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)時,注重學霸解題14利用初等函數(shù)的性質(zhì)判斷最值和零點14.(2023年年全國卷I,11題)關于函數(shù)fx=①fx是偶函數(shù);②fx在區(qū)間π2,π單調(diào)遞增;③fx在?π,A.①②④B.②④C.①④D.①③【解析】∵sin?x=sinx+sinx=fx,∴fx為偶函數(shù),故①準確;當x∈π2,π時,fx=sinx+sinx=2sinx,其在區(qū)間π2,π單調(diào)遞減,故②錯誤;當【答案】C.學霸靈感組合型挑選題,可先決定容易判斷的結(jié)論;函數(shù)的奇偶性與函數(shù)零點個數(shù)的關系;全體實數(shù)內(nèi),正弦函數(shù)的最大值為1解題思維導圖___函數(shù)?___函數(shù)零點個___②使得即可確定選C因為sinx≤1,sinx≤1學霸心得對于判斷多個結(jié)論的題目,要善于使用異常值舉行判斷,同時輔以排除法,用最短的時光得出準確的答案學霸解題15利用三角函數(shù)圖像解決單調(diào)性問題15.(2023年年全國卷II,10題)若函數(shù)fx=cosx?sinx在?a,aA.π4B.π2C.3π4【解析】fx=cosx?sinx=2cosx+π4.由2kπ≤x+π4≤2kπ+π由fx在?a,a上是減函數(shù),有?π4.所以amax【答案】A.學霸靈感利用輔助角公式化簡后,容易畫出三角函數(shù)的圖像解題思維導圖fx=cosx?sinx→型函數(shù)過平面像學霸解題函數(shù)fx=cosx?sinx=2cosx+π4學霸解題調(diào)遞減區(qū)間的子集,在數(shù)軸上表示為圖(2),得?a≥?π4,即a的最大值為π4學霸心得依題意知?a,a是函數(shù)fx學霸解題16利用盡全平方公式簡化運算16.設向量a=m,1,b=得(解析)∵12mm=2【答案】2.學霸靈感題中的條件可用盡全平方公式化簡解題思維導圖a學霸解題∵a?b=12a2學霸心得在浮上平方時,注重看見是否可以用盡全平方公式、平方差公式舉行化簡學霸解題17利用點的異常性決定平面向量的數(shù)量積17.(多選)(2023年年新高考I卷,10題)已知O為坐標原點,點P1cosα,sinα,PA.OP1=OC.OA?OP【解析】因為OP1=cos2α+sin2α=1,OP2=cos2β+?sinβ2=1,所以A項準確.因為AP1=cosα?12+sin2【答案】AC.學霸靈感題目中所給的點組成的向量可以輕易地在坐標系中畫出解題思維導圖C準確，D錯誤續(xù)表學霸解題點A,P1,P2,P3的分布如圖,且OA=OP1=±β時,學霸心得理解單位圓上的點的表示主意、向量的坐標表示、向量的模、向量數(shù)量積的表示主意利用飛馳定理處理形如a?OA+b?18.已知點O是△ABC內(nèi)一點,且滿意OA+2OB+mA.-4B.-2C.2D.4【解析】如圖,延伸OB到D,使OB.以OAAODF,銜接AD,OF交于點G,且OF交AB于點E,則OC,OF共線,點E是△OAD的重心.∵S△AOBS△ABC=47,∴不妨設【答案】D.學霸靈感點O滿意OA+2OB+mO學霸解題按照飛馳定理,S△BOC:S△AOC:S△A學霸心得有關向量和三角形相結(jié)合的題目,簡約而不容易,不易找到思路,因此在平時的練習中需多堆積一些重要結(jié)論(如本題中用到的飛馳定理),這樣可提高解題效率續(xù)表知識飛馳定理:若O為△ABC內(nèi)一點,則拓展O學霸解題19利用數(shù)量積的幾何意義求數(shù)量積19.(2023年年新高考I卷,7題)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEFA.?2,6C.?2,4【解析】設Px,y.建立如圖的平面直角坐標系,則A0,0,B2,0,∴AP=x,【答案】A.【技巧點撥】向量的數(shù)量積運算有兩種:一種是利用向量的加減法;另一種是利用向量的坐標運算.當圖形較為異常時,普通建立坐標系用坐標運算.學霸靈感正六邊形為異常的多邊形,有顯然的幾何特征解題思維導圖學霸解題∵六邊形ABCDEF續(xù)表+學霸解題∴AN=3,AB?AN=6,AB?AM=?2.當點P在點C或點F處時,點P在直線AB上的投影為點N學霸心得在利用投影法求向量數(shù)量積時要注重判斷數(shù)量積的正負利用數(shù)形結(jié)合的主意解決向量的坐標表學霸解題20示、向量的夾角與模長問題20.(2023年年浙江卷,9題)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3,向量b滿意b2?4e?bA.3?1B.C.2D.2【解析】如圖,在平面直角坐標系中,設a=x1,y1,b=x2,y2,e=12.收拾,得y12=3x12,即y1=±3x1,則a=OA的盡頭A在直線y=±3x上(不包含原點).由b2?4e?b+3=0,得【答案】A.【主意總結(jié)】解決向量問題的常用主意(1)在現(xiàn)有的向量中尋找一組基向量,其他所求的向量都用這組基向量來表示,從而解決問題;(2)先按照現(xiàn)有的向量的特點建立平面直角坐標系,并將所研究的向量都用坐標表示,再利用向量的坐標運算解決問題.學霸靈感異常的單位向量與異常的夾角π3,關于向量b的式子可以利用因式分解舉行解題思維導圖a=0,1,a=OA?a,e?=π3→學霸解題設e=0,1.由?a,e?=π3,a≠0知,a=OA的盡頭A在直線y=33x或y=?33x上(不包含原點).又由b2?4e?b+3=0,得b?3e?(b?e)=0.設學霸心得“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”,平面向量的解題關鍵往往在于兩種語言的交換,建系是為了得到更多的條件,畫圖是為了更直觀地找出要算的結(jié)果學霸解題21設出復數(shù)、利用解方程組的主意求解向量的模21.(2023年年全國卷II,15題)設復數(shù)z1,z2滿意z1=【解析】因為z1=z2=2,所以z1,z2在復平面內(nèi)對應的點在以原點O為圓心,半徑為2的圓上.由z120°,所以z1【答案】23學霸靈感沒有給出復數(shù)的代數(shù)形式,按照已知條件和所求問題,結(jié)合復數(shù)的加減運算、模長以及完全平方公式,可以考慮設出復數(shù)z1,續(xù)表解題思維導圖設z1=a+bi,a2+b2學霸心得解決有關復數(shù)模的問題時,倘若有未知復數(shù),要大膽地設未知數(shù),不要怕未知數(shù)多,再找未知數(shù)之間的關系.此外,需要對復數(shù)的模的計算公式十分清晰學霸解題22巧用虛數(shù)單位i迅速舉行復數(shù)的除法運算22.復數(shù)z=1?2i2+i+2A.1?iB.1+iC.1【解析】因為復數(shù)z=1?2i2+i+2【答案】C.學霸靈感兩個分式中分子與分母具有一定的關系解題思維導圖i學霸心得逆用1+i學霸解題23在基本不等式中“1”的靈便運用23.已知正數(shù)a,b滿意a+b=1,則ba+1b的最小值為___.【解析】因為a>0,b>0,且a+b=1,所以【答案】3.學霸靈感按照所求分式的形式,先將其化為齊次分式再利用基本不等式舉行求解解題思維導圖主意一:a+b=1學霸解題主意一:由a+b=1,得ba=1a?1,代入原式,得ba+1b=1a+1b?1=1a+1ba+b?1=ba+ab+1≥2ba?ab+1=3,當且僅當ba=學霸心得靈便運用條件a+b=1將該分式化為齊次分式是解決本題的關鍵.在主意一中,還應用到“1學霸解題24利用等差數(shù)列的性質(zhì)求公差24.(2023年年全國卷I,4題)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若a4+a5=24A.1B.2C.4D.8【解析】設數(shù)列an的首項為a1,公差為d∵【答案】C.【名師指導】(1)等差數(shù)列的基本運算主要是通項公式與前n項和公式的應用.(2)五個量a1,an,d,n,Sn中,已知其中三個就能求另外兩個(簡稱“知三求二”。提分秘籍。學霸靈感日已知a4+a5的值聯(lián)想解題思維導圖S學霸心得解等差數(shù)列的題目時,要善于看見已知條件的形式,合理利用性質(zhì)舉行解題利用異常點和對稱性直接求出圓的方程,學霸解題25利用角平分線定理證實角平分線25.(多選)古希臘聞名數(shù)學家阿波羅尼奧斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比為定值λλ≠1的點的軌跡是圓.”后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼奧斯圓,簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中,A?2,0,B4,0,點A.C的方程為xB.在x軸上存在異于A,B的兩定點D,E,使得PDPE=12C.當A,B,P三點不共線時,射線PO【解析】設點Px,y,則PAPB=x+22+y2x?42+y2=12.化簡并收拾,得x2+y2+8x=0,即x+42+y2=16,?A錯誤.當D?6,0,E?12,0時,PDPE=12,B準確.cos∠APO=AP2+PO2?AO2得x0=【答案】BC.利用中線垂直于底邊得出三角形為等腰三學霸解題26角形,利用幾何關系找條件學霸靈感所給兩點都在x軸上,利用對稱性可以直接寫出圓的方程.題中給出了線段長度的比例,可以用角平分線定理證實角平分線解題思維導圖以點(0,0)和(-8,0)P(4,0),??為端點的線段是→?8x=0學霸解題題中所給的兩個點都在x軸上,按照對稱性,所求的圓一定關于x軸對稱,求出x軸上的兩點就可以直接寫出圓的方程,從而排除A項.題目中給出了三角形PAB的兩條邊的比值,并且OA和OB的長度已知,可直接驗證滿意角平分線定理,從而C項準確.再通過找學霸心得在所給條件中線段長度或比例已知時,可以嘗試用角平分線定理判斷角平分線,而不必去求角的大小26.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為Fc,0,上頂點為A0,bA.12,1B.22,1C.【解析】設Pa2c,mm∈R,則FP=b2c,m,AP=a2c,∴5?12≤e【答案】C.學霸靈感向量FP+FA一定過線段PA的中點,而數(shù)量積為零說明該向量所在直線與線段PA解題思維導圖FP+FA所在直線與PA邊中線重合△FAPFP+FA三角形↓線與PA邊垂直點P學霸心得利用中線加垂直得到垂直平分線,從而利用等腰三角形舉行求解,可以減少求解時光學霸解題27利用等面積法求三角形的高(點的縱坐標)27.(2023年年全國卷III,15題)設F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點,M【解析】由橢圓的方程可知a=6因為點M在第一象限,所以MF1設Mx0,y0.因為F1將Mx0,y0的坐標代入x2由①②可得x0=3(負值已舍去),從而y0=15(負值已舍去),即點M【答案】3,15學霸靈感等腰三角形三邊長可求,進而能求三角形的面積,聯(lián)想到利用等面積法求解解題思維導圖MF1F2M在第一象限—續(xù)表在讀題的同時作圖,了解題目的目的,并熟知學霸圓錐曲線的性質(zhì).在求三角形的高時,可以考心得慮使用等面積法,簡化運算學霸解題28利用多邊形的性質(zhì)簡化運算28.圖中的多邊形均為正多邊形,點M,N是所在邊的中點,雙曲線均以圖中的點F圖(1)圖(2)【解析】設等邊三角形的邊長為2,以底邊所在的直線為x軸,以底邊的垂直平分線為y軸,建立如圖(3)的平面直角坐標系xOy.設此時雙曲線的方程為x2a12?y2b12=1a1>0,b1>0.由圖可得,F1?1圖(3)圖(4)設正方形的邊長為2,分離以正方形的兩條對角線所在的直線為x軸、y軸,建立如圖(4)的平面直角坐標系xOy.設此時雙曲線的方程為x圖可得,F1?1,0,F21,0,N12,12.銜接NF1.由N【答案】3+1學霸靈感因為題目中的多邊形都是正多邊形,所以可以用正多邊形的性質(zhì)求解解題思維導圖圖(1)中的多邊形為正三角形F1N?F2N=3?1學霸解題∵圖(1)中所給多邊形為正三角形,且N為中點,F1F2=2c1,∴F1N=F1F學霸心得正多邊形中的角度都比較異常,利用這些特殊角可以簡化運算學霸解題29通過幾何關系求漸近線的斜率29.如圖,點F1,F2分離是雙曲線C:x2右焦點,過點F2的直線與雙曲線C的兩條漸近線分離交于A,B兩點.若F2A=AB,F【解析】易得F1?c,0,F2c,0.設Am,mam>0.因為F2A=AB,所以點A為F2B的中點.由中點坐標公式可得B2m?c,2ma.將點B的坐標代入漸近線的方程y=?xa中,得2m學霸靈感從所給條件可以看出,AO是F2B的垂直平分線,從而得∠AOF2=∠A解題思維導圖A是F2B的中點O是F1F2→學霸心得在同時給出中點和垂直條件時,注重看見是否存在垂直平分線,利用垂直平分線的性質(zhì)可以迅速解題學霸解題30利用等軸雙曲線的性質(zhì)得出結(jié)果30.(2023年年天津卷,7題)設雙曲線C的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),過拋物線y2=4x的焦點和點0A.x【解析】因為直線l過拋物線y2=4x的焦點1,0和點0,b,所以kl=?b.因為雙曲線C的漸近線方程為y=±bax,所以由題意,知【答案】D.學霸靈感從條件可知該雙曲線為等軸雙曲線,可以利用其性質(zhì)得出結(jié)果解題思維導圖一條與I平C的漸近線，C的漸排除行，另一條與l垂直互垂直為±1l是拋物線y2=b)的連線學霸心得等軸雙曲線的一個重要性質(zhì)是兩漸近線互相垂直,且斜率為±1,在碰到學霸解題31在內(nèi)角為30°,60°,31.(2023年年全國卷I,11題)已知雙曲線C:x23?y2=1,O為坐標原點,F為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分離為A.32B.3C.23【解析】如圖,由題意知,直線ON的方程為y=線OM的方程為y=∵△OMN為直角三角形,直線OM與直線ON不垂直,∴直線MN與直線OM或直線ON時,易得直線MN的方程為y=3x?2③.由①③和②③分離得N3,3,M32,?32,∴MN=3?322【答案】B.學霸靈感雙曲線的漸近線的傾斜角為異常角解題思維導圖1學霸解題60°.不妨設如圖,易知∠MON=Rt△OFM學霸心得浮上在挑選題和填空題中的圓錐曲線題,往往以考查求離心率、定值為主.無論哪種情況,確切作圖并尋找?guī)缀侮P系是提高解題速度的關鍵學霸解題32按照幾何關系求離心率的取值范圍32.在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD=4,∠B【解析】按照題意畫出圖形.由對稱性,不妨設點C,D在x軸上方.過點C作x軸的垂線,與x軸、雙曲線在x軸上方的部分點F,E,如圖.設雙曲線的方程為x2a2?y24?a2=10<a<2.由題意,知只需yE≥yC即可.因為AB=4,CD=2,所以BF=1【答案】[3+學霸靈感頤中所給角度和長度關系都比較異常,可以構(gòu)建異常三角形求解解題思維導圖四邊形ABCD為等腰梯形,→BC=AD=2→AC=2?3?學霸心得當碰到30°或60°這樣的學霸解題33數(shù)形結(jié)合求雙曲線的離心率33.已知O為坐標原點,雙曲線C:x右焦點為F,過點F且與x軸垂直的直線與雙曲線C的一條漸近線交于點A(點A在第一象限),點B在雙曲線C的漸近線上,且BF//OA.若AB?OB=A.233B.2C.3【解析】雙曲線C的漸近線方程為y=±bax,右焦點Fc,0.由y=bax,x=c,得Ac,bca.因為BF//OA,所以直線BF的方程為y=bax?c.由y=?ba【答案】A.【主意總結(jié)】(1)求雙曲線的離心率的關鍵是找出雙曲線中a,c的關系,在求解時要善于利用幾何圖形中的性質(zhì)建立關系式;(2)解決與雙曲線幾何性質(zhì)相關的問題時,要學霸靈感畫出大致圖像,記直線AF與雙曲線C的另一條漸近線的交點為D,按照幾何關系,預測△A解題思維導圖BF//AO,F為→的中點,AD續(xù)表學霸解題B為OD的中點.又因為得AF=DF,AO學霸心得運用數(shù)形結(jié)合思想挖掘幾何關系可簡化運算.在求雙曲線的離心率e時,若不能直接找到a,c的關系,可考慮先找出a學霸解題34利用雙曲線中焦點三角形的面積公式解三角形34.(多選)已知點P在雙曲線C:x216?y29=1上,點F1,A.點P到x軸的距離為20B.PC.△PFD.∠【解析】設點P的坐標為xp,yp.由雙曲線C:x216?y29=1,知c=16+9=5.因為S△PF1F2=12?2對稱性,不妨設點P在第一象限,則P203,4,可知PF2=203?52+4?02=133.由雙曲線的定義可知PF1=PF2+2a=133+8=373,所以PF1+學霸靈感涉及焦點三角形的面積,考慮兩種不同的面積計算公式解題思維導圖S=12×知識拓展在圓錐曲線中,焦點三角形作為一種異常三角形,其面積可通過頂角∠F1PF2,點學霸解題35利用雙曲線中的重要推論求曲線方程35.(多選)已知P是雙曲線C:x23?y2m=1m>0上隨意一點,A,B是雙曲線C上關于坐標原點對稱的兩點.設直線PA,PB的斜率分離準確的是().A.雙曲線C的方程為xB.雙曲線C的離心率為2C.函數(shù)y=logax?1D.直線2x?3y=0【解析】設Ax1,y1,Px2,y2.由A,B是雙曲線C上關于坐標原點對稱的兩點,得B?x1,?y1,則x123?y12m=1,x223?y22m=1.兩式相減,得x12?x223=y12?y22m,所以y12?y22x12?x22=m3.又直線PA,PB的斜率分離為k1,k2,所以k1k2=y1?y2x1?x2×?y1?y2?x1?x2=y1準確.由2x?3y=0,x23?y2=1消去y,得【答案】AC.學霸利用k1k2=b2a2解題思維導圖k1+k2≥t恒成立,tmax=學霸解題按照題意,利用雙曲線中的重要結(jié)論,則有k1k2=b2a2=m3.按照基本不等式,k1+k2≥2kk2=2m3,當且僅當k1=k2時等號成立.因為tmax=233,所以2m3=233,解得m=1,所以b=1,c=2,e知識拓展在雙曲線中有如下重要結(jié)論:點A,B是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0上關于原點對稱的兩點,點P是雙曲線C上隨意學霸解題36利用拋物線的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為求角度的問題36.已知曲線Γ:x2=8y的焦點為F,點P在曲線Γ上運動定點A【解析】設Px,y.當y=0時,PFP1?8y+4y+12≥22,當且僅當【答案】22學霸靈感點A恰好在拋物線的準線上,可以利用拋物線的性質(zhì)將兩條邊放到同一個三角形中解題思維導圖點F是物線的一準線上按照拋物線的對稱性，不妨只考慮點P落在?」的值最小y軸的右側(cè)學霸解題PN垂直準線于點N,如圖.按照拋物線的性質(zhì),線的準線上,過點P作由題意知,點A在拋物學霸心得在涉及拋物線上的點到焦點的距離時,常常轉(zhuǎn)化為點到準線的距離舉行求解利用圓的半徑r與拋物線的參數(shù)p的比值學霸解題37關系求線段比例37.如圖,已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F,點Px0,23x0>p2是拋物線C上一點.以P為圓心的圓與線段PF交于點Q交點為M.若PF=PQFA.1B.3C.2D.5【解析】如圖,銜接PA,PB.因為AB=PQ,所以△PABPF=x0+p2=3PQ,所以x0=3p2.所以點P3p2,23,所以232=2p?3p2.因為p>0,所以p=2.所以拋物線C【答案】B.學霸靈感按照題目所求比值,預測本題需按照幾何關系求出圓P的半徑r與參數(shù)p的關系解題思維導圖1PF+1MF=2學霸解題銜接PA,PB.設圓P的半徑為r,則PF=3.PQ=3r=x0+p2.因為AP=BP=AB=r,所以△ABP?提分秘籍?續(xù)表學霸心得解本題的關鍵在于挖掘幾何關系,借助PF建立關于p與r的等式,找到p與r的比例關系.關于焦點弦的問題,利用拋物線中的重要結(jié)論如本題中使用的1P學霸解題88利用幾何法解決拋物線中焦點弦問題38.已知拋物線y2=4x的焦點為F,直線l過點F且與拋物線交于A,B兩點.過點A作拋物線的準線的垂線,垂足為點M,∠MAF的平分線與拋物線的準線交于點P,線段AB的中點為A.2B.4C.6D.8【解析】由題意,得拋物線y2=4x的焦點F1,0,準線方程為x=?1.若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=1.由x=1,y2=4x,得x=1,y=±2,則不妨設A1,2,B(1,?2),此時AB=4,不滿意題意.因此直線l的斜率存在.設直線l的方程為y=kx?1k≠0,Ax1,y1,Bx2,y2.聯(lián)立得方程組y=kx?1,y2=4x.線AP的方程為y?2+22=2?1x?3?22.令學霸靈感畫出大致圖像,過點B作準線的垂線,垂足為N,預測P解題思維導圖△學霸解題銜接BP,FP.垂線,垂足為N,∵∠PAM=∠PAF,過點B學霸心得在拋物線中關于焦點弦的問題,應先考慮挖掘其內(nèi)在的幾何關系,同時靈便運用拋物線中的相關結(jié)論,這樣可提高解題效率.另外,通過本題,可引申出拋物線中的普通結(jié)論:以MN為直徑的圓與過焦點的直線相切,切點為焦點F;以焦點弦AB為直徑的圓與拋物線的準線相切,切點為點P(即線段M模塊二快解優(yōu)解法主意1排除法當要解決的問題不易從正面入手直接選出準確的答案時,可以從選項入手,排除其中不準確的答案,剩下的就是準確的答案,這種主意叫作排除法,也叫作篩選法或淘汰法.使用排除法的前提是答案唯一.排除法適用于定性型或不易直接求解的挑選題.例1已知集合A={1,2,3},B={A.{1}B.C.{0,1,【解析】因為A?A∪B,所以排除A,B選項.看見C,D選項的區(qū)別,發(fā)現(xiàn)只需驗證元素-1是否屬于集合A∪B即可.因為?1?B【答案】C.通法指導1.若x0∈A∩B,則x02.若x0∈A∩B,則x03.若元素x0屬于集合A,則它不屬于集合A的補集(一個元素x0不在集合A內(nèi)就在集合A4.A∩B例2函數(shù)y=2x2?eABCD【解析】設fx=2x2?ex.易得函數(shù)2]上是偶函數(shù),其圖像關于y軸對稱.因為f2=8?e2,0<8?e2<1,所以排除A,B選項.當x∈0,2時,f′x=4x?e【答案】D.主意2特例法特例法就是運用滿意題設條件的某些異常值、異常位置、異常關系、異常圖形、異常數(shù)列、異常函數(shù)等對選項舉行檢驗或推理,利用問題在某一異常情況下不真,則它在普通情況下也不真的原理,判斷選項真?zhèn)蔚闹饕?用特例法解選擇題時,特例取得越容易、越異常越好.特例法主要包括:特殊值法、異常函數(shù)法、異常方程法、異常位置法、異常點法、異常圖形法、異常復數(shù)法等.異常值法例3若a>bA.ac<bcC.alogbc<【解析】令a=4,b=2,c=12,可得A,B,D選項均不準確;C【答案】C.例4設函數(shù)fx=2?x?1,x≤0,x1A.?1,1C.?∞,?2【解析】∵f12=22<1,∴12不符合題意,【答案】D.-提分秘籍美通法指導1.用異常值法解題時,所取的異常值應盡量使計算簡便.2.看見選項之間的區(qū)別,決定所選異常值.異常函數(shù)法例例5倘若奇函數(shù)fx在3,7上是增函數(shù)且最小值為5,那么fx在區(qū)間A.增函數(shù)且最小值為-5B.減函數(shù)且最小值為-5C.增函數(shù)且最大值為-5D.減函數(shù)且最大值為-5【解析】構(gòu)造異常函數(shù)fx=53x,顯然滿意題設條件.易得fx在區(qū)間?7,【答案】C.例6定義在0,π2上的可導函數(shù)fx的導函數(shù)為f′x,且A.fπ6>2C.fln2>0【解析】令fx=?x,則f0=0.設gx=f′xcosx+fxsinx=?cosx?x0.故選A.【答案】A.法指導常用異常函數(shù):奇函數(shù)y=±x;偶函數(shù)異常方程法例7已知雙曲線b2x2?a2y2=a2b2a>0,b>0的漸近線的夾角為A.eB.e2C.1eD.【解析】考查雙曲線的漸近線的夾角與離心率的一個關系式，故可用異常方程法求解.取雙曲線的方程為x24?y2=1,則易得離心率異常位置法例9過拋物線y=ax2a>0的焦點F作直線交拋物線于P,Q兩點.若PF與FQA.2aB.12aC.4a【解析】此拋物線開口向上,過焦點且斜率為k的直線與拋物線交于兩點,故可用異常位置法來求解.取直線PQ⊥y軸,易得p=q=1異常點法例9函數(shù)fx=A.a>0,bC.a<0,b【解析】由fx=ax+bx+c2及題圖可知,x≠?c,?c>0,所以c<0.當x=0時,f0=bc對函數(shù)圖像的分析和判斷主要根據(jù)兩點:一是按照函數(shù)的性質(zhì),如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域、定義域等;二是按照異常點的坐標,采用排除的主意得出準確的選項.本題主要是通過函數(shù)的解析式判斷其定義域,并根據(jù)