2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式人教A版

數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)1.了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.2.能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.課程標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我們把只含有

未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

的不等式,稱為一元二次不等式.

(2)一般形式:一元二次不等式的一般形式中“a≠0”不可省略①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解,一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.一個(gè)

2名師點(diǎn)睛1.一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)a有a>0或a<0兩種,注意a≠0.當(dāng)a<0時(shí),我們通常將不等式兩邊同乘-1,化為二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式,但要注意不等號(hào)要改變方向,這樣我們只需要研究二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定為整式不等式,例如,x2+<0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定義時(shí),還需了解下列概念.(1)如果兩個(gè)不等式的解集相同,那么這兩個(gè)不等式稱為同解不等式;(2)將一個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它解集相同的不等式稱為不等式的同解變形.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.(

)(2)若m是不為0的常數(shù),則mx2+5<0是關(guān)于x的一元二次不等式.(

)(3)不等式x2-5y<0是一元二次不等式.(

)2.從未知數(shù)的個(gè)數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特點(diǎn)?3.a2b+2ab2+9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式嗎?×√×解

它們只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.解

可以,把b看作常數(shù),a看作未知數(shù),則是關(guān)于a的一元二次不等式;把a(bǔ)看作常數(shù),b看作未知數(shù),則是關(guān)于b的一元二次不等式.知識(shí)點(diǎn)2

一元二次不等式的解法1.二次函數(shù)的零點(diǎn):一般地,對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的

.

零點(diǎn)

二次函數(shù)與一元二次方程的解、不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

2.二次函數(shù)與一元二次方程的解、不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系ax2+bx+c=0(a>0)的根處理a<0的情形,先將二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù),再套用此結(jié)論有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

Rax2+bx+c<0(a>0)的解集

{x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2}??名師點(diǎn)睛分式不等式的解法(1)分式不等式的概念分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式.各種分式不等式經(jīng)過同解變形,都可化為標(biāo)準(zhǔn)形式

>0(或≥0)或

<0(或≤0)(其中f(x),g(x)為整式,且g(x)不為0).(2)分式不等式的解法解分式不等式的思路——轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型的方法:移項(xiàng),通分,右邊化為0,左邊化為

的形式.將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的同解變形如下表:思考辨析如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無(wú)解,此時(shí)的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是否為空集?提示

不一定.當(dāng)a>0時(shí),一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是R;當(dāng)a<0時(shí),一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是空集.自主診斷1.不等式(x+1)2≥0的解集是

.

2.[人教B版教材例題]求不等式x2-x-2>0的解集.

R解

因?yàn)閤2-x-2=(x+1)(x-2),所以原不等式等價(jià)于(x+1)(x-2)>0,因此所求解集為{x|x<-1或x>2}.解

不等式等價(jià)于(x+1)(x-1)>0,且x-1≠0.因?yàn)榉匠?x+1)(x-1)=0的兩根為-1和1,畫出函數(shù)y=(x+1)(x-1)的圖象,所以原不等式的解集為{x|x<-1或x>1}.4.[蘇教版教材習(xí)題]畫出二次函數(shù)y=x2-x-2的圖象,并指出該函數(shù)的零點(diǎn).解

函數(shù)的零點(diǎn)為-1,2.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一一元二次不等式的求解角度1.解一元二次不等式【例1—1】

解下列不等式.(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;

解

不等式可化為3x2-6x+2<0.因?yàn)榉匠?x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,(3)4x2-4x+1≤0;

規(guī)律方法解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

變式訓(xùn)練1解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;解

不等式可化為4x2-20x+25<0,對(duì)于方程4x2-20x+25=0,因?yàn)棣?0,且二次函數(shù)y=4x2-20x+25的圖象是開口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.解

因?yàn)榉匠?x-3)(x-7)=0的兩個(gè)根是3和7,且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)x(1-x)≥x(2x-3)+1.

角度2.解簡(jiǎn)單的分式不等式【例1—2】

解下列不等式.規(guī)律方法

解簡(jiǎn)單的分式不等式的一般步驟

變式訓(xùn)練2[2024上海徐匯高一期中]不等式

≤1的解集為

.{x|x≤-2或x≥1}探究點(diǎn)二三個(gè)“二次”之間的關(guān)系【例2】

若關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為

,求關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.

規(guī)律方法1.一元二次不等式的解集的端點(diǎn)值就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,要充分利用這個(gè)關(guān)系解題.2.不等式解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)有直接的關(guān)系,對(duì)于關(guān)于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2);當(dāng)a>0時(shí),其解集是{x|x<x1,或x>x2};當(dāng)a<0時(shí),其解集是{x|x1<x<x2}.變式訓(xùn)練3(1)[2024河南鄭州高一期末](多選題)已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-3,或x>4},則下列結(jié)論正確的有(

)A.a>0B.不等式bx+c>0的解集為{x|x<-6}C.a+b+c>0AD解析

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-3或x>4},結(jié)合二次函數(shù)y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0以及不等式的關(guān)系,可得a>0,且-3,4是ax2+bx+c=0的兩根,A正確;所以bx+c>0即-ax-12a>0,所以x<-12,即bx+c>0的解集為{x|x<-12},B錯(cuò)誤;由于關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-3或x>4},故x=1時(shí),ax2+bx+c<0,即a+b+c<0,C錯(cuò)誤;由以上分析可知不等式cx2-bx+a<0即-12ax2+ax+a<0,(2)已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為{x|1<x<2},求關(guān)于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為{x|1<x<2},所以1,2是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩根.探究點(diǎn)三一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】

行駛中的汽車,在剎車時(shí)由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫做剎車距離.在某種路面上,某種型號(hào)汽車的剎車距(1)求n的值.(2)要使剎車距離不超過12.6m,則行駛的最大速度是多少?因?yàn)閚∈N,所以n=6.(2)由于剎車距離不超過12.6

m,即s≤12.6,解得-84≤v≤60.因?yàn)関≥0,所以0≤v≤60,即行駛的最大速度為60

km/h.變式探究

例3中,條件不變,若該型號(hào)的汽車在某一限速為80km/h的路段發(fā)生了交通事故,交警進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)勘查,測(cè)得該車的剎車距離大于25.65m,試問該車是否超速行駛?解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以速度v>90>80,因此該車超速行駛.規(guī)律方法用一元二次不等式解決實(shí)際問題的操作步驟(1)理解題意,搞清量與量之間的關(guān)系.(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題.(3)解這個(gè)一元二次不等式,得到實(shí)際問題的解.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1.不等式-x2+3x-2>0的解集是(

)A.{x|x<1} B.{x|x>2}C.{x|1<x<2} D.{x|x<1,或x>2}C解析

原不等式可化為x2-3x+2<0,即(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,所以原不等式的解集為{x|1<x<2}.2.[2024湖北高一期中]設(shè)關(guān)于x的不等式x2-ax+b<0的解集為A={x|-2<x<1},則a2+b2=(

)A.3 B.4

C.5

D.6C解析

因?yàn)椴坏仁絰2-ax+b<0的解集為A={x|-2<x<1},所以-2,1是方程x2-ax+b=0的兩根,所以a=-2+1=-1,b=-2×1=-2,所以a2+b2=5.故選C.A.{x|0≤x≤1} B.{x|0<x≤1}C.{x|x≤0或x≥1} D.{x|x<0或x=1}B解析

由原式得x(1-x)≥0且x≠0,解得0<x≤1,即不等式的解集為{x|0<x≤1}.故選B.4.[2024上海,3]設(shè)x∈R,則不等式x2-2x-3<0的解集為

.

(-1,3)解析

對(duì)于方程x2-2x-3=0,可解得其根為x1=-1,x2=3.∵x2-2x-3<0,∴可作圖如下:由圖象可知原不等式的解集為(-1,3).5.某地年銷售木材約20萬(wàn)m3,每立方米的價(jià)格為2400元.為了減少木材消耗,決定按銷售收入的t%征收木材稅,這樣木材的年銷售量減少

t萬(wàn)m3.為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬(wàn)元,則t的取值范圍是

.

{t|3≤t≤