教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2017年下半年

教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2017年下半年一、單項(xiàng)選擇題1.

矩陣的秩為______A.0B.1C.2D.3正確答案：D[解析]對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，則該矩陣的秩為3。

2.

當(dāng)x→x0時(shí)，與x→x0是等價(jià)無(wú)窮小的是______A.sin(x-x0)B.ex-x0C.(x-x0)2D.ln|x-x0|正確答案：A[解析]若則稱α(x)與β(x)是當(dāng)x→x0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小。當(dāng)x→x0時(shí)，sin(x-x0)與x-x0是等價(jià)無(wú)窮小。x→x0時(shí)，ex-x0-1與x-x0是等價(jià)無(wú)窮小，(x-x0)2是x-x0的高階無(wú)窮小，ln|1+x-x0|與x-x0是等價(jià)無(wú)窮小，故B、C、D三項(xiàng)都不正確。故選A。

3.

下列四個(gè)級(jí)數(shù)中條件收斂的是______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]對(duì)于p-級(jí)數(shù)當(dāng)p≤1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，p＞1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，故A項(xiàng)發(fā)散，B項(xiàng)絕對(duì)收斂；既條件收斂也絕對(duì)收斂；屬于交錯(cuò)級(jí)數(shù)，收斂，但發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收斂。選D。

4.

下列關(guān)于橢圓的敘述：

①平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓；

②平面內(nèi)到定直線和直線外的定點(diǎn)距離之比為大于1的常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓；

③從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的射線，經(jīng)橢圓反射后通過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；

④平面與圓柱面的截面是橢圓。

正確的個(gè)數(shù)是______A.0B.1C.2D.3正確答案：C[解析]平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(常數(shù)大于兩定點(diǎn)之間的距離)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓，①錯(cuò)；平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線(定點(diǎn)不在定直線上)距離之比為小于1的常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓，②對(duì)；③正確；平面與圓柱面的截面可能是長(zhǎng)方形、圓、橢圓，④錯(cuò)誤。故選C。

5.

下列多項(xiàng)式為正定二次型的是______

A．

B．

C．

D．3x1x2+2x2x3-4x1x3正確答案：B[解析]正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣的順序主子式都大于對(duì)應(yīng)的二次型矩陣為故選B。

6.

已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ)2，假設(shè)隨機(jī)變量Y-2X-3，Y服從的分布是______A.N(2μ-3，2σ2-3)B.N(2μ-3，4σ2)C.N(2μ-3，4σ2+9)D.N(2μ-3，4σ2-9)正確答案：B[解析]X～N(μ，σ2)，Y=2X-3，則E(Y)=2E(X)-3=2μ-3，D(Y)=D(2X-3)=4D(X)=4σ2，故Y～N(2μ-3，4σ2)。

7.

“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”的概念關(guān)系是______A.交叉關(guān)系B.同一關(guān)系C.屬種關(guān)系D.矛盾關(guān)系正確答案：A[解析]“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”的外延中都包含常數(shù)數(shù)列，因此屬于交叉關(guān)系。

8.

在集合、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、平面向量和空間向量五個(gè)內(nèi)容中，屬于高中數(shù)學(xué)必修課程內(nèi)容的有______A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)正確答案：C[解析]導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用和空間向量均屬于選修課程內(nèi)容。

二、簡(jiǎn)答題(每小題7分，共35分)線性空間R3中，已知向量α1=(1，2，1)，α2=(2，1，4)，α3=(0，-3，2)，記V1={λα1+μα2|λ，μ∈R}，V2={Kα3|k∈R}。令V3={t1η1+t2η2|t1，t2∈R，η1∈V1，η2∈V2}。1.

求子空間V3的維數(shù)；正確答案：因?yàn)閂3={t1η1+t2η2|t1，t2∈R，η1∈V1，η2∈V2}，由題意可得則α1，α2線性無(wú)關(guān)，所以dim(V3)=2。

2.

求子空間V3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。正確答案：由題(1)可知α1，α2為V3的一組基，所以將α1，α2正交化，

令

將β1，β2單位化，可得V3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基

3.

據(jù)統(tǒng)計(jì)，在參加某類職業(yè)資格考試的考生中，有60%是本專業(yè)考生，有40%是非本專業(yè)考生，其中，本專業(yè)考生的通過(guò)率為85%，非本專業(yè)的考生的通過(guò)率是50%。某位考生通過(guò)了考試，求該考生是本專業(yè)考生的概率。正確答案：該考生通過(guò)考試的概率P1=60%×85%+40%×50%=0.71.

該考生是本專業(yè)考生的概率

4.

在平面有界區(qū)域，由連續(xù)曲線C圍成一個(gè)封閉圖形，證明：存在實(shí)數(shù)ξ，使直線y=x+ξ平分該圖形的面積。正確答案：證明：y=x+ξ與該圖形相交，將其面積分別分為S1和S2，則S1-S2是關(guān)于ξ的連續(xù)函數(shù)，記F(ξ)=S1(ξ)-S2(ξ)，所以Fmax=S(S為封閉曲線的面積)，F(xiàn)min=-S。

根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，所以一定存在ξ，使F(ξ)=0，即S1(ξ)=S2(ξ)，

此時(shí)y=x+ξ平分S。

5.

給出“平行四邊形”和“實(shí)數(shù)”的定義，并說(shuō)明定義方式。正確答案：平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。定義方式為屬加種差定義法。實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。定義方式為外延定義法。

6.

簡(jiǎn)述向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算的區(qū)別。正確答案：(1)運(yùn)算對(duì)象不同：向量的數(shù)量積運(yùn)算不僅涉及向量的長(zhǎng)度，還涉及向量的方向；實(shí)數(shù)運(yùn)算的對(duì)象是實(shí)數(shù)，只涉及大小。

(2)運(yùn)算律不同：向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算雖然在運(yùn)算過(guò)程中均滿足運(yùn)算律：交換律、分配律，且運(yùn)算結(jié)果均為實(shí)數(shù)，但實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足消去律，向量的數(shù)量積運(yùn)算則不滿足；實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算中若α不等于0，且ab=0，則b=0，但在向量數(shù)量積運(yùn)算中若a≠0，且a·b=0，則有兩種情況b=0或a⊥b。

(3)運(yùn)算的意義不同：向量ab的數(shù)量積表示的幾何意義為|a||b|cosθ，實(shí)數(shù)運(yùn)算并不具備幾何意義。

三、解答題(10分)過(guò)點(diǎn)P(1，3)作橢圓的切線，分別交x軸和y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，將線段AB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)面記作S。1.

在空間直角坐標(biāo)系中，分別寫出曲面S的方程；正確答案：由題意知，點(diǎn)P(1，3)在橢圓上，橢圓方程左右兩邊求導(dǎo)得，將x=1，y=3代入，得y'=-1，所以切線方程為y-3=-1×(x-1)，即x+y-4=0，又該切線交x軸與y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以A(4，0)，B(0，4)，線段AB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周x不變，將y變成可得曲面S的方程為y2+z2=(4-x)2(0≤x≤4)。

2.

求曲面S與平面x=0所圍成立體圖形的體積。正確答案：旋轉(zhuǎn)后得到的立體圖形是一個(gè)底面半徑為4，高為4的圓錐，

四、論述題(15分)數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化。1.

以“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)為例，說(shuō)明在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)文化；正確答案：①數(shù)學(xué)史知識(shí)的滲透。學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的時(shí)候，由于導(dǎo)數(shù)是一個(gè)全新的概念，不同于在小學(xué)就有所接觸的方程等知識(shí)。因此，學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的歷史比較感興趣，教師可以利用這一點(diǎn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史知識(shí)的滲透，告訴學(xué)生導(dǎo)數(shù)的由來(lái)、發(fā)展和在實(shí)際生活、工作中的應(yīng)用。這樣就可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，撇去導(dǎo)數(shù)知識(shí)的枯燥乏味，使之變得有趣。

②數(shù)學(xué)思想方法的滲透：a.極限思想。在導(dǎo)數(shù)部分主要體現(xiàn)在函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、以及定積分內(nèi)容上。b.數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合在導(dǎo)數(shù)以及應(yīng)用部分的主要表現(xiàn)是對(duì)函數(shù)圖象的分析與求解。函數(shù)圖象是導(dǎo)數(shù)的主要研究對(duì)象之一。要求證函數(shù)的解析式就必須進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。

③數(shù)學(xué)思維方式的滲透。在導(dǎo)數(shù)部分主要的數(shù)學(xué)思維方式有兩種：觀察法和歸納法。比如觀察法在人教版中，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用部分主要培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力。教材利用三個(gè)不同維度的觀察使得學(xué)生思考導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及它們之間的關(guān)系。歸納法是從特殊到一般再到特殊的過(guò)程，在人教版教材中主要體現(xiàn)在Δx趨于0的計(jì)算。

2.

闡述數(shù)學(xué)文化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用。正確答案：①有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)文化給學(xué)生帶來(lái)的不僅僅是數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)語(yǔ)言等，還包括數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)精神等。在教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)膶?duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的教育，如利用數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)等內(nèi)容，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

②有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。新一輪數(shù)學(xué)改革的理念中強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也是當(dāng)代數(shù)學(xué)教育改革的核心問(wèn)題之一。在數(shù)學(xué)文化中數(shù)學(xué)歷史事件、歷史過(guò)程、歷史故事都能夠激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。

③有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。數(shù)學(xué)文化的意義不儀在于知識(shí)本身，它的內(nèi)涵還在于它的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)學(xué)源于生活，其理論的核心部分都是在人類社會(huì)的生產(chǎn)、生活實(shí)踐之中發(fā)展起來(lái)的。因此，教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，將數(shù)學(xué)知識(shí)生活化，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)文化的價(jià)值就在于生活的各個(gè)領(lǐng)域中都要用到數(shù)學(xué)。

五、案例分析題(20分)下列是兩位教師在“復(fù)數(shù)概念”中引入的教學(xué)片段。

【教師甲】為了解決x2-2=0在有理數(shù)集中無(wú)解，以及單位正方形對(duì)角線的度量等問(wèn)題，在初中，已經(jīng)把有理數(shù)集擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)集。x2+1=0在實(shí)數(shù)集中有解嗎?類比初中的做法，我們?nèi)绾巫瞿?看來(lái)又需要擴(kuò)充數(shù)集。

數(shù)學(xué)家引入了i，使i是方程式x2+1=0的一個(gè)根，即使得i2=-1。把這個(gè)新數(shù)i加到實(shí)數(shù)集中去，就會(huì)得到一個(gè)新數(shù)集，記作A，那么方程x2+1=0在A中就有解x=i了。

【教師乙】

16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在解決“求兩個(gè)數(shù)，使其和為10，積為40”時(shí)，認(rèn)為這兩個(gè)數(shù)是這是因?yàn)椋?/p>

看來(lái)也是一個(gè)存在的數(shù)，從而是一個(gè)存在的數(shù)，數(shù)學(xué)家將-1記為i2，從而

這樣我們就引入了一個(gè)新數(shù)。

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的表達(dá)式a+bi(a，b∈R)，當(dāng)然，復(fù)數(shù)還有其他表達(dá)法，后續(xù)的學(xué)習(xí)中我們會(huì)學(xué)習(xí)到。

問(wèn)題：1.

請(qǐng)分析這兩位老師教學(xué)引入片段的特點(diǎn)；正確答案：甲教師引入的設(shè)計(jì)思路是溫故知新，帶著學(xué)生回憶初中時(shí)在已知數(shù)系中遇到解決不了的問(wèn)題時(shí)，處理方法是引入新數(shù)來(lái)擴(kuò)充數(shù)集。類比得出高中遇到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解決不了的問(wèn)題時(shí)，也應(yīng)該想到引入新數(shù)的方法來(lái)擴(kuò)充數(shù)集，并解決問(wèn)題，進(jìn)而引入新課。這樣做能夠讓學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)舊知來(lái)獲得解決問(wèn)題的方法，對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的能力有一定的提高，但該教師的沒(méi)計(jì)方案有些缺乏趣味性。

教師乙采用數(shù)學(xué)史導(dǎo)入新課。這種導(dǎo)入既豐富了教材中的素材又豐富了教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的積極性，引發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。能使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，最終學(xué)好數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活并應(yīng)用于生活。有利于激活學(xué)生的思維，使學(xué)習(xí)變成一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。

2.

復(fù)數(shù)還有三角表達(dá)法，請(qǐng)簡(jiǎn)述三角表達(dá)法的意義。正確答案：復(fù)數(shù)的三角表示法為z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)。這樣表示的意義如下：①?gòu)?fù)數(shù)的三角表示法是徹底解決復(fù)數(shù)乘、除、乘方和開方問(wèn)題的橋梁，相比之下代數(shù)形式在這些方面顯得有點(diǎn)力不從心，因此做好代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)化是非常有必要的。②復(fù)數(shù)的三角表示形式可以解決三角函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(共30分)某位教師設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容“分層抽樣”的教學(xué)目標(biāo)為：

①通過(guò)實(shí)例，了解分層抽樣的特點(diǎn)、適用范圍及分層抽樣的必要性，掌握分層抽樣的操作步驟；

⑦體會(huì)分層抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及系統(tǒng)抽樣的區(qū)別和聯(lián)系，提升整體把握知識(shí)的能力。

基于上述內(nèi)容，完成下列任務(wù)：1.

基于教學(xué)目標(biāo)①，設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)例，總結(jié)分層抽樣的步驟，并說(shuō)明設(shè)計(jì)意圖；正確答案：實(shí)例：假設(shè)某地區(qū)高中生2400人，初中生10900人，小學(xué)生11000人。此地區(qū)教育部為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的中小學(xué)生中抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本?

分層抽樣的實(shí)施步驟如下：

①根據(jù)已經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不相交的層；

②根據(jù)總體中的個(gè)數(shù)N和樣本容量n計(jì)算抽樣比

③確定第i層應(yīng)該抽取的個(gè)體數(shù)目。

ni=Ni×k(Ni為第i層所包含的個(gè)體數(shù))，使得各ni之和為n；

④按步驟③中確定的數(shù)目在各層中隨機(jī)抽取個(gè)體，合在一起得到容量為n的樣本。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)實(shí)例的探究引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)：①不同的年齡階段影響近視的因素是不一樣的，利用簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣不具有代表性。所以調(diào)查者應(yīng)利用事先掌握好的各種信息對(duì)總體進(jìn)行分層，這可以保證每一層一定有個(gè)體被抽到，從而使樣本更具有代表性。②對(duì)小學(xué)、初中、高中抽樣個(gè)數(shù)的探究，體會(huì)含有個(gè)體多的層在樣本中的代表也應(yīng)該多，即樣本從該層中取的個(gè)體數(shù)也應(yīng)該多。該樣的樣本才更具有代表性。在整個(gè)探究過(guò)程中，根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)，提升學(xué)生對(duì)分層抽樣的理解。感受分層抽樣的必要性以及它的特點(diǎn)。通過(guò)實(shí)例以及問(wèn)題的引導(dǎo)，提高學(xué)生對(duì)分層抽樣步驟的理解，提升對(duì)分層抽樣適用范圍的理解。

2.

基于教學(xué)目標(biāo)②，簡(jiǎn)要說(shuō)明隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣以及分層抽樣各自的特點(diǎn)及適用范圍。正確答案：①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。優(yōu)點(diǎn)：操作簡(jiǎn)單易行。缺點(diǎn)：適合總體個(gè)數(shù)較少，當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，不快捷?！皵嚢杈鶆颉币脖容^困難，容易導(dǎo)致樣本的代表性差。適用范圍：總體的個(gè)數(shù)