模擬檢測卷1（理科）-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷1

高三數(shù)學(xué)（理科）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1,本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：高中全部知識點(diǎn)。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=（z+l）（2i-l）,則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和為（）

1

A.1B.-1C.-D.——

55

【答案】D

43

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z=-+則得到答案?

【詳解】z（l+i）=z（2i-l）+（2i-l）

2i-l_(2i-l)(2+i)-4+3i43.

z(2-i)=2i-l,-------F—1

55

431

故實(shí)部與虛部的和為-g+：=-丁

故選：D.

2.已知=五口的定義域?yàn)?集合3={xeR|l<ax<2},若B=則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（）

A.[-2,1]B.[-1,1]C.（f,一2]D.（-8,T31,+8）

【答案】B

【分析】先根據(jù)二次不等式求出集合A,再分類討論集合瓦根據(jù)集合間包含關(guān)系即可求解.

【詳解】/（幻=77工的定義域?yàn)锳,所以/-120,所以X21或x<T,①當(dāng)。=0時(shí)，

8={無€劉1<0》<2}=0,滿足2勺4,所以4=0符合題意；

②當(dāng)a>0時(shí)，B={xeR\-<x<-},所以若

aa

19

則有一21或一工一1,所以0<〃《1或〃工一2（舍）

aa

9117

③當(dāng)。<0時(shí)，B={xeR|-<x<-},所以若3勺4,則有一V-1或一21(舍),

aaaa

-1<a<0,綜上所述，ae[-l,l],故選：B.

3.在研究急剎車的停車距離問題時(shí)，通常假定停車距離等于反應(yīng)距離（4,單位：m）與

制動距離（4,單位：m）之和.如圖為某實(shí)驗(yàn)所測得的數(shù)據(jù)，其中“KPH”表示剎車時(shí)汽車

的初速度v（單位：km/h）.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以推測，下面四組函數(shù)中最適合描述4,由與v

的函數(shù)關(guān)系的是（）

A.dt=av,d、=B.4=av,d2=附

2

C.dx=a-^v,d2=/3vD.dx=a4v,d2=/3v

【答案】B

【分析】設(shè)4(v)=〃v),d2(v)=g(v)，根據(jù)圖象得到函數(shù)圖象上的點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖，即

可得到答案.

【詳解】設(shè)4(v)=/(v),d2(y)=g(y).

由圖象知，4")=/?過點(diǎn)(40,8.5),(50,10.3),(60,12.5),(70,14.6),(80,16.7),(90,18.7),

(100,20.8),(110,22.9),(120,25),(130,27.1),(140,29.2),(150,31.3),(160,33.3),(170,35.4),

(180,37.5),

作出散點(diǎn)圖，如圖1.

v-單位：km/h

40

30

20

10

單位：m

O20406080100120140160180""不

圖1

由圖1可得，4與口呈現(xiàn)線性關(guān)系，可選擇用4=。叫

4。)=且。)過點(diǎn)(40,8.5),(50,16.2),(60,23.2),(70,31.4),(80,36),(90,52),(100,64.6),

(110,78.1),(120,93),(130,108.5),(140,123),(150,144.1),(160,164.3),(170,183.6),

(180,208).

作出散點(diǎn)圖，如圖2.

~單位：km/h

200-.

150-?

*

100-??

*

50'°

*

?單位：m

~o4080120160180辦

圖2

由圖2可得，4與v呈現(xiàn)非線性關(guān)系，比較之下，可選擇用刈=?’.

故選：B.

皿x>0

4.已知函數(shù)〃x)=X''則函數(shù)y=〃l-x)的圖象大致是()

xex,x<0,

【答案】B

【分析】分段求出函數(shù)y=/(i-x)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得答

案.

【詳解】當(dāng)i-x>0,即X<1時(shí)，J=/(l-x)=ln(1~x),

1-x

-----?(1-x)+ln(l-x)

y'=1-X-----------------------l+ln(l-x)

(ifdp

令，'>0,得X<1—e,令y<0,得1—e<x<l,

所以函數(shù)y=在(-s,l-e)上為增函數(shù)，在(l-e,l)上為減函數(shù)，由此得A和C和D

不正確；

當(dāng)1-xWO,即時(shí)，y=/(I-x)=(1-,

y=(l-x),e1-v+(l-x)(e1-xy=-e1^-(l-x)e1^x=-e1-v(2-x),

令，’>。，得x>2,令y'<0,得lWx<2,

所以函數(shù)y=/(l-x)在(2,+co)上為增函數(shù)，在工2)上為減函數(shù)，由此得B正確；

故選：B

5.若函數(shù)/lx)存在一個(gè)極大值/&)與一個(gè)極小值/(%)滿足/(%)>/■&)，則/(無)至少

有()個(gè)單調(diào)區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

［答案］B

【彳析】根據(jù)單調(diào)性與極值之間的關(guān)系分析判斷.

【詳解】若函數(shù)/(X)存在一個(gè)極大值/(西)與一個(gè)極小值/(9)，則/(尤)至少有3個(gè)單調(diào)

區(qū)間，

若/(x)有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，

不妨設(shè)了(X)的定義域?yàn)?。,6)，若。<%<尤2<8，其中?？梢詾橐弧恪?，6可以為+℃,

則在(。,大),伍力)上單調(diào)遞增，在(和馬)上單調(diào)遞減，(若“X)定義域?yàn)?。/)內(nèi)不連

續(xù)不影響總體單調(diào)性)，

故"/)<?/&)，不合題意，

^a<x2<x1<b,則“X)在(a,%),(七,8)上單調(diào)遞減，在(馬，不)上單調(diào)遞增，有

/@)<〃西)，不合題意；

若〃無)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，

例如“X)=X+上的定義域?yàn)閧x|XX0},則廣(x)=*,

%X

令/4對>0,解得X>1或》<一1,

則”X)在(―,-1),(1,+?)上單調(diào)遞增，在(-1,0),(0,1)上單調(diào)遞減，

故函數(shù)/(X)存在一個(gè)極大值〃-1)=-2與一個(gè)極小值〃1)=2,且〃-1)<”1),滿足題意，

此時(shí)了(無)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，

綜上所述：/>(X)至少有4個(gè)單調(diào)區(qū)間.

故選：B.

x+y-l<0

9y—18x-2

6.已知實(shí)數(shù)x、y滿足4xy+l>0,則2=+°的最小值為()

x-2y-2

y>-i

A.上I

3.—C.—D.2

222

【答案】A

【分析】由約束條件作出可行域，求出:渭的范圍，再由z=*+?|=9q結(jié)合

函數(shù)的單調(diào)性求得答案.

【詳解】解：令"匚f,則2="+”|=%+；,

則A（—2,-l）,B（2,-l）,C（0,l）

設(shè)點(diǎn)P（x,y）,D（2,2）,其中「在可行域內(nèi)，.」="|=人陽,

x-2

1-21

由圖可知當(dāng)P在。點(diǎn)時(shí)，直線斜率最小，.」而=%8

110-22

11

tG—,+00z=9t+-te—,+oo

當(dāng)尸在B點(diǎn)時(shí)，直線PO斜率不存在，，2，在2上為增函數(shù),

113

,當(dāng)公5時(shí)==萬?故選:A.

7.在正方體ABCD-A4GA中，點(diǎn)P在正方形3CG4內(nèi)，且不在棱上，則（）

A.在正方形。CGQ內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得PQ/AC

B.在正方形。eq。內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得PQLAC

C.在正方形。CG2內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得平面尸。和〃平面A3C

D.在正方形DCG2內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得AC,平面PQG

［答案］B

【彳析】對于A,通過作輔助線，利用平行的性質(zhì)，推出矛盾，可判斷A;對于B,找到特

殊點(diǎn)，說明在正方形QCG2內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得PQLAC,判斷B;利用面面平行的

性質(zhì)推出矛盾，判斷C;利用線面垂直的性質(zhì)定理推出矛盾，判斷D.

【詳解】A、假設(shè)在正方形OCG2內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q，使得PQ〃AC,

作PEL8CQ尸，C。，垂足分別為瓦尸,連接耳尸，則尸跖。為矩形，且即與AC相交,

故PQ〃E尸,由于尸?！ˋC,則AC〃毋，這與AC,EF相交矛盾，故A錯(cuò)誤；

B、假設(shè)尸為正方形BCCg的中心，。為正方形。CG2的中心，

作尸，垂足分別為8,G,連接8,G,則PHG。為矩形，

則P0〃"G，且"G為BC,CD的中點(diǎn)，連接G",B。，

則GH〃皿)，因?yàn)锳C13。，所以G”_LAC,即PQ，AC,故B正確;

C、在正方形DCC2內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得平面尸QC〃平面A3C,

由于平面ABCc平面DCCR=CD，平面PQQ平面DCCR=Q2,

故co〃a。，而G2〃C￡>，則。在GA上，這與題意矛盾，c錯(cuò)誤；

D、假設(shè)在正方形。CGR內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得AC,平面PQG，

G。u平面p。G,則AC，G。，

又CG，平面ABCr),ACi平面ABCD,故C|C，AC,

而GCAGQ=G，GCGQu平面DCqR,故AC,平面DCCQ,

由于平面。CC|2,故C,O重合，與題意不符，故D錯(cuò)誤，

故選：B

8.對于平面上點(diǎn)尸和曲線C,任取C上一點(diǎn)Q,若線段尸。的長度存在最小值，則稱該值為

點(diǎn)尸到曲線C的距離，記作”GP,C).若曲線C是邊長為6的等邊三角形，則點(diǎn)集

D=Md(P,C)<l｝所表示的圖形的面積為()_

A.36B.36-3-73

C.36-373+271D.36—34+兀

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出到曲線C的距離為1的邊界，即可得到點(diǎn)集的區(qū)域，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意作出點(diǎn)集D={P|d（P，C）41}的區(qū)域如圖陰影所示，

其中四邊形ADEC,ABKM,8C尸G為矩形且邊長分別為1,6,圓都是以1為半徑的，過點(diǎn)

/作WLAC于N,連接AL則M=l,NNAI=30,所以AN=7^,

則.H〃是以6-26為邊長的等邊三角形，

矩形ABKM的面積H=1x6=6,

27r12兀71

ZDAM=—,扇形ADM的面積為S2=L.xl=j

3233

5ABc=-xM2-sin60=1X62X^=9V3,

222

2

SW7=1x|HZ|-sin60=9爭（6一2⑹?=12石一18,

所以S=3S]+3S?+（$,^0-S9）=3x6+3x—+9>/3—^12^-18j=36-3A/3+TT.

故選：D.

9.一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請參加一個(gè)節(jié)目，要求必須有人去，但去幾個(gè)人自行決定.其

中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，則該宿舍同學(xué)的去法共有（）

A.15種B.28種C.31種D.63種

【答案】C

【分析】滿足條件的去法可分為兩類，第一類甲乙都去，第二類甲乙都不去，再進(jìn)一步通過

分類加法原理求出各類的方法數(shù)，將兩類方法數(shù)相加即可.

【詳解】若甲和乙兩名同學(xué)都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，

所以滿足條件的去法數(shù)為C；+C；+C+C；+C；=16種；

若甲和乙兩名同學(xué)都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件去法有

C；+C；+C；+C：=15種；

故該宿舍同學(xué)的去法共有16+15=31種.

故選：C.

10.已知橢圓C的焦點(diǎn)為4（0,-1）,乙（0,1）,過F?的直線與c交于P,。兩點(diǎn)，若

|即|=3優(yōu)。|,|尸。|=?。聞，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】B

【分析】由已知可設(shè)內(nèi)。|=私歸詞=3〃7可求出所有線段用機(jī)表示，在例中由余弦定

理得/耳尸乙=90°從而可求.

【詳解】如圖，由已知可設(shè)內(nèi)。|=私|尸局=3〃?，又因?yàn)橛??』Q4|=5根

根據(jù)橢圓的定義|QE|+|Q周=2。,「.6機(jī)=2〃,「.a=3m,—2a—\PF^=2a—a=a=3,m

在2咽中由余弦定理得cos/F\PQ=閘：呷-押=16加+9/-25療=。，所以

-2忖0卜|尸周2-4m-3m

NF]PQ=90°

22

:.\PF2^+\PF^^>9m+9m=4:.m=^-,a=3m=y/2^b=l

2

故橢圓方程為：匕+Y=1故選：B

2

11.已知函數(shù)〃x）=2sin（2x+。，對于任意的ae[-后1）,方程〃力=40<處根）恰有

一個(gè)實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍為（）

【答案】D

【分析】將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=〃x）的圖象與直線y=a有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，畫

出圖象，數(shù)形結(jié)合得到不等式組，求出機(jī)的取值范圍.

（詳解】方程〃x）=a（o<xwm）恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)y=/（X）的圖象與直線y=a

有且僅有1個(gè)交點(diǎn).

R（兀兀

當(dāng)0<x<根得：2x+—G—,2m+—,

6<66_

TT47rSjr\

結(jié)合函數(shù)y=〃x）的圖象可知，2m+-ey,yI,

12.已知a=0.7e04,6=elnl.4,c=0.98,則”,dc的大小關(guān)系是（）

A.a>c>bB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)x>0,利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，從而得到

ee

當(dāng)且僅當(dāng)％=e時(shí)等號成立，變形后得到In2xw2v,當(dāng)x時(shí)，等號成立，令》=0.7后

e2

得到bvc；

再構(gòu)造8(耳=尸-彳，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，得到尸"，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號成

立，

變形后得到e2i>2x,當(dāng)x=0.5時(shí)，等號成立，令彳=0.7得到〃>c,從而得到。>c>4

【詳解】構(gòu)造〃x)=lnr-」x,x>0,

e

貝|)廣(入戶當(dāng)0<x<e時(shí)，/^x)>0,當(dāng)工〉e時(shí)，/'(力<0,

所以/(%)=1通-，％在0<x<e上單調(diào)遞增，在％>e上單調(diào)遞減，

e

所以/(尤)V/(e)=lne-1=0,

故InxW’x,當(dāng)且僅當(dāng)X=e時(shí)等號成立，

e

因?yàn)?2>o,所以lux?w±=>21n%W土nlnxW±=>1口2%40^-=2兀2,

ee2e2ee

當(dāng)x=Yi時(shí)，等號成立，

2

9QQQ

當(dāng)x=0.7時(shí)，Ini.4<-x(0.7)2=elnl.4<0.98,所以6<c

ee

構(gòu)造g(x)=e'i-x,則g'(x)=e'T—1,當(dāng)x>l時(shí)，g,(x)>0,當(dāng)x<l時(shí)，g,(x)<0,

所以g(x)=e*T-x在％>1單調(diào)遞增，在x<l上單調(diào)遞減，

故g(x)2g(l)=0,所以ei2龍，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號成立，

故右Wxne2iN2x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0.5時(shí)，等號成立，

令x=0.7,則e04>L4=>0.7ea4>0.98,所以〃>c,

綜上:a>c>6，

故選：A

【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值的大小，關(guān)鍵在于觀察所給的式子特點(diǎn)，選擇合適的函數(shù)進(jìn)行

求解.

第II卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)i,J是x,y軸正方向上的單位向量，2a-b=i-3j,3+3&=117+9；,則向量a,

b的夾角為.

【答案】7

4

【分析】分別求出〃，6的表達(dá)式，利用定義求出a,b的夾角即可.

【詳解】2a-b=f一3)①,

a+3b=lli+9j②，

①x3+②得7〃=14i,「.〃=2i,

—2x②+①得—7b=—21，—A=3i+3,，a-b=3i^3+j，=話+i,§=

14=2,\b\=V？TF=3V2,???cos｛a,*而==冬三

22

14.已知雙曲線C:=-*=l(a>0,b>0)的焦距為2c,過C的右焦點(diǎn)/的直線/與C的兩條漸

ab

近線分別交于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若6=。8$//皿0且用=3E4,則C的漸近線方程

為.

【答案】y=±6x

【分析】根據(jù)題設(shè)條件確定ABLCM,進(jìn)而可確定|。4|=々|必="從而在直角AAOB中,

2h

tanZAOB=tan(71-)=一,結(jié)合正切的二倍角公式求解.

a

【詳解】因?yàn)檎?=3E4,畫出示意圖如圖，設(shè)NAO尸=a,

2

所以sin2ZAF(9=5，貝I]sinNAPO=-

cC

nh71

所以tanNATO=—.又tana=—,所以44/0+0=—,

ba2

所以AB_LQ4,^iSsinZAFO==-,cosZAFO=M=,

cccc

所以|Q4|=a,|即=6.又因?yàn)槭?=3K4,

2b

所以=2).在直角A4O5中，tan/AOB=tan(7i-2a)=—,

2b

ll1,c2tana〃..

所以tan2e=--2-b-=------—=一廣，化間得：==2,所以一.h=3r,~

a1-tan(7b/a

[2

a

則漸近線方程為：y=±^2x,

故答案為：y=+A/2X.

a+2,”為奇數(shù)

n2

15.已知數(shù)列｛%｝滿足首項(xiàng)4=1,an+i則數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的和為

3an,〃為偶數(shù)

【答案】4x3"-4/7-4

【分析】當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，由遞推關(guān)系得。”+2=31=3(%+2),構(gòu)造｛%+3｝為等比數(shù)列，可

求出通項(xiàng)，結(jié)合%+i=%+2即可分組求和.

【詳解】當(dāng)"為奇數(shù)時(shí),?！?2=3%=3"“+2),即a.+3=3(%+3),此時(shí)｛%+3｝為以

q+3=4為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，

故—日倉’—倉化(M=4?3等即…?3?3.

$2“=卬+%+%+%++%-i+%=q+(%+2)+%+3+2)++%-i+(%“-i+2)

=2(4+%+-1)+2〃=2(4?3°3+4?313+.+4?3"-13)+2〃

=2W?—-------L3n+2w=4?3"4M-4

1-3

故答案為:4x3"-4-n-4

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到相鄰奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，從而求出當(dāng)“

為奇數(shù)或〃為偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，再通過相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系求出前2〃項(xiàng)的和.

16.在三角形ABC中，BC=2,AB=2AC,。為BC的中點(diǎn)，貝han/ADC的最大值為

【答案】1##11

【分析】設(shè)出AC=x,貝UAB=2x,由NAD3+NADC=TT得到COSNAD3+COSNAT>C=0,

3

結(jié)合余弦定理得到AZ)2=|x2-l,從而得到c°sNAOC=W?亍丁二，由三角形三邊關(guān)系得

—x-1

2

到Q<2,換元后得到c-L+2,由基本不等式求出最小值，結(jié)合

〃x)=cosx在(0,3上單調(diào)遞減，g(K)=tan丈在(0,熱單調(diào)遞增，可求出tan/ADC的最大值.

【詳解】設(shè)AC=x,則A?=2尤，

因?yàn)椤锽C的中點(diǎn)，BC=2,

所以3D=OC=1,

由三角形三邊關(guān)系可知：2%+%>2且2%-尤V2,解得：-<x<2,

在三角形A3。中，由余弦定理得：cosNAD3="^土@L，

2AD

4D2+1—r2

在三角形AC。中，由余弦定理得：cos/ADC=十1x,

2AD

因?yàn)镹AZM+NAZ)C=7i,

所以cosZADB+cosZADC=3+1-(2同一+3+1"=0,

2AD2AD

解得：A￡>2=|X2-1,

-x2-l+l-x2

23

由余弦定理得：cosZADC=,—<A：<2,

2bT4

令g—-1=f

333

cosZADC=—

10io5

當(dāng)且僅當(dāng)W，即E時(shí)，等號成立，此時(shí)|x-=l,2百

解得：X=------

5

因?yàn)镃OS/AOCN]>0,故

由于=cosx在（0,3上單調(diào)遞減，g（x）=tanA■在（0,空單調(diào)遞增,

故當(dāng)cos/ADC取得最小值時(shí)，tanZADC取得最大值，

此時(shí)sinZADC="-cos?NADC=1,tanZADC=1.

4

故答案為：

【點(diǎn)睛】三角形中常用結(jié)論，sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,tan（A+B）=-tanC,

本題中突破口為由ZADB+ZADC=it得到cosZADB+cosZADC=0,結(jié)合余弦定理得到

AD-=|x2-l,進(jìn)而利用基本不等式求最值.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）數(shù)列｛叫滿足%=5,點(diǎn)尸（凡,凡+1）在直線x-y+2=0上，設(shè)數(shù)列出｝的前〃

項(xiàng)和為S“，且滿足2s“=32-3,〃eN*.

⑴求數(shù)列｛%｝和抄“｝的通項(xiàng)公式；

⑵是否存在人使得對任意的都有.

eN*,“eN*,bnbk

n

【答案】⑴%=21；bn=3

⑵存在k=l,2,使得對任意的“eN*,都有｝<+

b?bk

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得｛%｝為等差數(shù)列，由S”,包的關(guān)系可得他,｝為等比數(shù)

列，進(jìn)而可求其通項(xiàng)，

（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解最值即可求解.

【詳解】（1）點(diǎn)尸口c用）在直線x-y+2=0上，所以%-?！?2

又？=5,

則數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.

an=2n-l

又當(dāng)〃=1時(shí)，2S]=3偽-3得々=3,

當(dāng)此2,由25“=32-3①，

得2s“一%-3②

由①一②整理得：bH=3bn_lt

4=3w0,2_iw0

?-^-=3

Ft'

?,?數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，故a=3〃

a2n-l

⑵設(shè)g=T=~

bn3

,2n+l2n—12n+1-6n+34—4n

pnc—c=------------------=-------------------=---------

?+in3〃+i3〃3〃+i3〃+i

當(dāng)”=1時(shí)，G=q，當(dāng)"N2時(shí)，c?+1<c?,

a

所以當(dāng)”=1或2時(shí)，g取得最大值，即廣n取得最大

所以存在k=1,2,使得對任意的“eN*,都有?

b?bk

（1）求證：AD1BC-,

（2）若M是棱ZM上一點(diǎn)，且兩三角形的面積滿足SBMD=2SBM4,求直線與平面ACD所

成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

63屈

\Z7-------

10

【分析】（1）取3c中點(diǎn)為。，證明平面AOD即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與平面ACD所成角的正弦值.

【詳解】（1）設(shè)。是BC的中點(diǎn)，

連接AO,DO,由題知：AB=AC,DB=DC,則3C_LAO,BC±DO,

又AOcDO=O,AO,￡>Ou平面AO￡）,

所以8C1平面AOD,又ADu平面AOD,所以ADI3c.

（2）由題知，OA.BC、兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，。4,。伐。。方向分別為了，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

因?yàn)镾BMD=2SBMA,所以AA/=§AD,設(shè)AB=2cz,貝!]OA=0。=,

則4（耳,0,0）,B（0,a,0）,C（0,-a,0）,0（0,0,島），M^^a,0,^-a,

所以04=（迅0,°,0）,DA=（yj3a,0,-y/3aj,BM=^^-a,-a,^-a,

設(shè)平面ACD的法向量為。=（x,y,z）,

則廠廠，取X=l,可得為=一0」，

n.DA=<3ax-13az=0

設(shè)直線BM與平面ACD所成的角為巴

BMn3回

則sing=\cos(BM,n

10

所以直線BM與平面ACD所成角的正弦值為題.

19.(12分)甲、乙兩位選手參加一項(xiàng)射擊比賽，每位選手各有"個(gè)射擊目標(biāo)，他們擊中每

一個(gè)目標(biāo)的概率均為且相互獨(dú)立.甲選手依次對所有〃個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，且每擊中一個(gè)

目標(biāo)可獲得1顆星；乙選手按規(guī)定的順序依次對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中一個(gè)目標(biāo)后可繼續(xù)對下

一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊直至有目標(biāo)未被擊中時(shí)為止，且每擊中一個(gè)目標(biāo)可獲得2顆星.

(1)當(dāng)〃=5時(shí)，分別求甲、乙兩位選手各擊中3個(gè)目標(biāo)的概率；

(2)若累計(jì)獲得星數(shù)多的選手獲勝，討論甲、乙兩位選手誰更可能獲勝.

【答案】⑴得擊

⑵當(dāng)“=1,2,3時(shí)，乙更可能獲勝；當(dāng)〃時(shí)，甲更可能獲勝.

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可計(jì)算甲擊中3個(gè)目標(biāo)的概率，由相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算

公式可得乙擊中3個(gè)目標(biāo)的概率；

(2)設(shè)X為甲累計(jì)獲得的星數(shù)，F(xiàn)為乙累計(jì)獲得的星數(shù)，分別計(jì)算期望，分別討論〃=1,2,3

及的E(X),E(y),得出結(jié)論.

【詳解】(1)當(dāng)〃=5時(shí)，甲擊中3個(gè)目標(biāo)的概率為勺=C；xd)3x(=)2=[,

乙擊中3個(gè)目標(biāo)，則前3個(gè)目標(biāo)被擊中，第4個(gè)目標(biāo)未被擊中，

1

其概率為8=(彳)3X7=^.

2216

(2)設(shè)X為甲累計(jì)獲得的星數(shù)，則X=0,1,2,-,77,設(shè)y為乙累計(jì)獲得的星數(shù)，

則y=0,2,4,…,2〃，設(shè)擊中了伍個(gè)目標(biāo)，其中04〃心”，

11cm

則甲獲得星數(shù)為m的概率為P(X=m)=C：(-)m(-)"-ra=寸，

所以甲累計(jì)獲得星數(shù)為E(X)=oC+iC+;：C++-C；；

記SL0C+1C++n-C；=n-Cy(n-l)-C'n++0-C：,

n1

所以2S.="(C：+C：++C^=n-2,Sn=n-2-,

n

所以E(X)=

2

11

乙獲得星數(shù)為2m(0<m<n-l)的概率為P(Y=2m)=

22m+1

當(dāng)相二兒時(shí)，尸(y=2機(jī))=：,

所以乙累計(jì)獲得星數(shù)為E(y)=：+?++￥2+2,

0242（n-l）…,八242（n-l）

記（=5+級+可++下「’貝1]21=°+3+相++亍=’

所以看=21—7；=2（—+：++-）―2（/）=2一3,

E（y）=2-1,

13

當(dāng)〃=1時(shí)，E（x）=-<￡（y）=l,當(dāng)”=2時(shí)，E（x）=l<￡（y）=-,

37

當(dāng)"=3時(shí)，E（X）=—<E（X）=—,當(dāng)“24時(shí)，E（X）>2>E（y）

24

所以當(dāng)”=1,2,3時(shí)，乙更可能獲勝；當(dāng)“24時(shí)，甲更可能獲勝.

22

20.（12分）已知拋物線y2=46尤的焦點(diǎn)與橢圓。：5+%=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)重合，直

線4」+；=1與圓尤?+丁=2相切.

ab

⑴求橢圓。的方程；

（2）設(shè)不過原點(diǎn)的直線4與橢圓。相交于不同的兩點(diǎn)4B,M為線段A3的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，射線OM與橢圓。相交于點(diǎn)P,且。點(diǎn)在以A8為直徑的圓上，記AOM,△BOP的

面積分別為S-S2,求去的取值范圍.

系2v2

【答案】⑴一+3=1

o3

⑵3’丁

【分析】（1）根據(jù)條件建立關(guān)于。泊的方程組，即可求解橢圓方程；

ss

（2）根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知寸=甘”=\O焉M\，分直線斜率不存在，或斜率為0,以及斜率不

?2、ABOP

為0,三種情況討論去的值或范圍.

【詳解】⑴???拋物線產(chǎn)=4氐的焦點(diǎn)為（省,0）,.?.c=指,

從而/=+3①，

一二五②,

?.?直線=1與圓/+丁=2相切，

aba1+b2

由①②得：a=A/6,b=V3，

，橢圓Q的方程為：—+j=l

o3

OM

（2）???加為線段AB的中點(diǎn)，，甘

?2VBOP

（i）當(dāng)直線4的斜率不存在時(shí),，2_Lx軸，由題意知。4_LOB,結(jié)合橢圓的對稱性，不妨設(shè)

所在直線的方程為y=x,得只=2,

從v而=2,Xp=6,

3

（2）當(dāng)直線4的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線4：,二丘+根（加力。），人（石，x），⑶5,%）

y=kx+m

22222

由＜■xy可得：（2k+l）x+4Amx+2m-6=0,

163

由A=162一4（24？+1）（2根2-6）＞0可得：6左2_療+3＞0（*）

._4km2m2-6

??i2=-藥'7r

;。點(diǎn)在以A5為直徑的圓上，???Q4.OB=0，即玉兀2+%％=。，

七元2+,1，2=（1+k2）石％2+6（七+12）+加2=0,

即IN筌+"-券"=°，

^＞m2=2k1+2,（**）滿足（*）式.

2kmm

，線段AB的中點(diǎn)M-

2r+l'2/+U'

L

若上=0時(shí)，由（**）可得：m2=2,此時(shí)?,?《=g^=，=￥，

力|Czi|A733

若時(shí)，射線OM所在的直線方程為

2k

1

y=x

2krg12k?

由，可得:-z,

222

土+工=12k+1

I63

.S,_\OM\=\xM+21

「星一|OP「L2k2+1、

S，B瓜

隨著的增大而減小，?.妤＞o,

7

給卜AJ6指

練上’丁

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（石,弘）,（尤2，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算A；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為%+%、（或%+%、%丫2）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

21.（12分）已知函數(shù)/'（x）=e*-辦-a

⑴當(dāng)。=1時(shí)，證明:/（x）20.

⑵若/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)玉,%（不＜%）且KfeRe?],求玉+七的取值范圍.

【答案】（1）見解析；

「41

⑵31n2-2,「

e-1

x

【分析】（1）f（x）=e-x-lf求導(dǎo)得/（%）-=7（。）=0,則/（%）..0；

々十X|

（2）由題得d=〃再+”，=ax2+a,則儼-」二1,e+e巧=a（為+x+2）,

%+]2

e*—8=a(9—X),則占+4+2=(%_??+：爸")，從而設(shè)t=N-尤”[ln2,2],得到

—」(：+；),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)且“)=少?的值域，則得到占+%的范圍.

【詳解】(1)證明:當(dāng)a=l時(shí),/(x)=e-x-l,則尸(x)=e-l.

當(dāng)X￡(-00,0)時(shí),/'(X)<0,當(dāng)X￡(0,+00)時(shí),/'(%)〉0,

所以/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則八%篇=〃。)=。,故/(初。

(2)由題意得e為一a%—〃=匕巧一心—Q=0，

貝|e*=ax1+a,e巧=ax2+a,

JQ+]

從而e巧』=2+],e"'+e爸=。(玉+w+2),e*2—e'l=a(xj_&)，

故玉+々+2=

因?yàn)楦踖[2d],所以6,25424],即％—^e[ln2,2],

r(l+eQ

設(shè)/=%-3w[ln2,2],則/+w+2=

e'-l

設(shè)g?)=巖，/、e2r-2rez-l

，則"17^

e—1

設(shè)/?(/)=e"-2fe'-1,則h'(f)=2e'(e'-r-1),

由⑴可知"⑺=2e'(e'—T..O在R上恒成立，

從而恤)=e"-2汨-1在[In2,2]上單調(diào)遞增，

故萬⑺5=〃(山2)=4-4In2-1>0,即g'⑺>。在[in2,2]上恒成立,

2(l+e2f

所以g⑺在Un2,2]上單調(diào)遞增,所以再+9+2e31n2,\,

e—1