《通信原理》課件2第2章

2.1確知信號的分析2.2隨機信號的分析2.3信道與噪聲

2.4信息及其信息量本章小結(jié)習(xí)題2.1.1周期性信號與傅立葉級數(shù)

當(dāng)信號隨著時間的變化而變化時，稱此信號為時域信號，常用f(t)表示。

每經(jīng)過固定的時間間隔就完全重復(fù)出現(xiàn)的時域信號稱為周期性信號，如正弦、余弦函數(shù)等等。下面我們來看看周期性信號的特性。2.1確知信號的分析圖2.1.1周期性矩形脈沖的合成(a)基波;(b)基波、三次諧波的合成波;(c)基波、三次諧波、五次諧波的合成波;(d)前100個諧波的合成波;(e)無限個諧波的合成波

1．時域特性

圖2.1.1(a)所示是一個周期為T、幅度為的正弦波，(b)圖所示是周期分別為T、，幅度分別為、兩個正弦波的合成波，(c)圖所示是周期分別為T、、，幅度分別為

、、的3個正弦波的合成波，(d)圖所示為幅度按一定規(guī)律變化的前100個正弦波的合成波，(e)圖所示為無限個正弦波的合成波，即為周期性矩形脈沖。由此可以看出，正弦波按一定的規(guī)律可以合成為周期性的矩形波。當(dāng)正弦波的周期與周期性信號的周期相同時，此正弦波稱為基波信號；當(dāng)正弦波的頻率是基波頻率的整數(shù)倍時，稱此正弦波為諧波分量，如正弦波的頻率為基波信號頻率的2倍，則稱該正弦波為二次諧波分量。若正弦波的頻率為基波信號頻率的n倍，則稱此正弦波為n次諧波分量。在圖2.1.1中，一個周期性的奇對稱的矩形脈沖信號可以分解為基波、三次諧波、五次諧波、……無數(shù)個奇次諧波的疊加，但各次諧波的加權(quán)系數(shù)不同，就是傅立葉級數(shù)。

除矩形波外，周期性的三角波、鋸齒波等周期性信號均可分解為無數(shù)正弦波的疊加。

圖2.1.2所示是鋸齒波的合成情況圖。鋸齒波是由一次諧波、二次諧波等諧波合成的。圖2.1.2周期性鋸齒波的合成(a)一次諧波(基波);(b)一次、二次諧波的合成波;(c)一、二、三次諧波的合成波(d)一、二次至100次諧波的合成波;(e)理想鋸齒波的波形鋸齒波可用數(shù)學(xué)公式描述為(2-1-1)其中n為正整數(shù)?？梢钥闯觯喝魏我粋€周期性信號都可以由基波和各次諧波分量的疊加來逼近。換句話說，任何一個周期性信號都可以分解成無數(shù)正弦波的疊加，只不過各次諧波的幅度不同而已。矩形波函數(shù)如式(2-1-2)所示，可以表示為基波、三次諧波、五次諧波等諧波分量的疊加。對圖2.1.3所示的周期性三角波來說，也可以將其表示為基波和各次諧波的疊加，但其具有直流分量，因此周期性三角函數(shù)可以描述為直流分量、基波分量和各次諧波分量的疊加。式(2-1-3)就是周期性三角函數(shù)的傅立葉級數(shù)。(2-1-2)(2-1-3)圖2.1.3周期為T、幅度為1的三角波式中n為正整數(shù)?？梢钥闯?，任何一個周期性信號都可以分解成直流分量、基波分量和各次諧波分量的疊加。根據(jù)波形的特點可見，有的具有直流分量，有的沒有直流分量，有的具有奇次諧波，有的具有偶次諧波，這些可根據(jù)周期性信號的具體特點來分析。從上面的周期性信號可以看出：周期性矩形脈沖信號是相對于坐標原點奇對稱的，而正弦波也是對于坐標原點奇對稱的，且正負方向的幅度相等。因此周期性奇對稱信號可以由奇次諧波疊加而成。同理，偶對稱的周期性信號也具有類似的特性。

奇對稱的周期性信號可以表示為各正弦函數(shù)諧波分量的疊加，偶對稱的周期性信號可以表示為各余弦函數(shù)諧波分量的疊加。當(dāng)周期性信號具有直流分量時，傅立葉級數(shù)也具有

直流分量。對于任意一個周期性信號f(t)，其傅立葉級數(shù)可以表示為(2-1-4)式中的3個等號為傅立葉級數(shù)的3種表達形式。第一個等號后的A0為直流分量，

An、Bn為正、余弦分量的系數(shù)；第二個等號后的C0為直流分量，余弦函數(shù)是第一個等號后的兩個函數(shù)通過和差化積合并而成的；第三個等號后的式子是傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式，F(xiàn)n為復(fù)數(shù)，包括幅值和相角兩項。各個系數(shù)分別為(2-1-5)其中，T為周期性信號的周期；ω0為周期性信號的角頻率，

ω0=2π/T=2πf0，量綱為rad/s(弧度/秒)，是基波的角頻率。

三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的傅立葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種不同的表示方法。指數(shù)函數(shù)是傅立葉變換的基礎(chǔ)，是頻域分析中的運算工具，也是本書最常用的表達式。頻譜圖中的

幅度即為指數(shù)函數(shù)的系數(shù)Fn。

2．頻域特性

我們知道，一個正弦波對應(yīng)于一個頻率，其幅度可以唯一確定。用以描述信號與頻率的關(guān)系圖稱為頻譜圖，可分為幅度頻譜和相位頻譜。相應(yīng)的時域函數(shù)用f(t)表示，頻域函數(shù)用F(ω)表示，并用“

”表示時域與頻域之間的對應(yīng)關(guān)系。圖2.1.4(a)所示為頻率為1Hz余弦波的時域波形圖，其幅度為A，周期為1s，唯一地確定了一個余弦波波形。換句話說，由幅度和頻率就可以唯一地確定一個余弦波函數(shù)。圖2.1.4(b)即為對應(yīng)的幅度—頻率波形圖，這種圖稱之為頻譜圖。橫坐標用角頻率或頻率描述，縱坐標用幅度來描述。在此，其角頻率為±2πrad/s時，幅度為πA，縱坐標為復(fù)幅度，是傅立葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)。從圖中可見，一種頻率的余弦波對應(yīng)頻譜圖中的一對譜線，在正頻率方向和負頻率方向各有一條譜線，其幅度為正弦波振幅的π倍。圖2.1.4余弦波時域與頻域?qū)φ贞P(guān)系圖(a)頻率為1Hz余弦波的時域波形;(b)頻率為1Hz余弦波的頻域圖形圖2.1.5所示為周期性三角波的時域波形圖和與其對應(yīng)的頻譜圖。由圖可以看出，連續(xù)的周期性信號的頻譜是離散的，它有多個頻率分量，各分量的幅度不同，相位也不同，因此頻譜圖分為幅度頻譜圖和相位頻譜圖。頻譜的幅度和相位反映在傅立葉級數(shù)的系數(shù)上。

圖2.1.6為周期性脈沖信號的時域波形圖，周期為T0，脈沖的寬度為τ，幅度為A。圖2.1.5周期性三角波及其頻譜特性(a)周期為1ms的三角波的時域波形;(b)周期為1ms的三角波的頻域圖形圖2.1.6周期性脈沖信號根據(jù)傅立葉級數(shù)的公式可以推出復(fù)振幅與角頻率之間的關(guān)系如圖2.1.7所示。當(dāng)T0＝5τ時，頻譜為圖2.1.7(a)，在0到第一個過零點間(或兩個相鄰的過零點)有5條譜線；當(dāng)T0＝10

τ時，譜線變密，兩相鄰過零點間有10條離散譜線，頻譜幅度的包絡(luò)均為Sa(x)函數(shù)的形式，頻譜的幅度是衰減振蕩變化的?？梢姡S著脈沖占空比的改變，譜線的稀疏程度也發(fā)生變化。T/τ的比例越大，譜線之間的距離越小，幅度也相應(yīng)地從A/5減小到A/10，但頻譜過零點的位置不變，兩個過零點之間的譜線的個數(shù)(等于T/τ)從5條變化到10條。譜線的位置均為基波頻率和各次諧波頻率。

周期性信號的頻譜是離散譜且具有諧波特性。圖2.1.7周期性脈沖信號的頻譜(a)T0=5τ時;(b)T0=10τ時2.1.2非周期性信號與傅立葉變換

隨著T的增加，周期性的脈沖信號轉(zhuǎn)變成一個門函數(shù)，通常用Dτ(t)表示，其中下標τ表示門函數(shù)的寬度，A是門函數(shù)的幅度。該門函數(shù)的離散頻譜的兩過零點之間譜線的個數(shù)也在增加。

當(dāng)T→∞時，譜線越來越密，由離散頻譜轉(zhuǎn)變到連續(xù)頻譜Sa函數(shù)，這就是連續(xù)譜，如圖2.1.8所示。非周期性信號與其頻譜之間聯(lián)系的紐帶就是傅立葉變換，其公式為(2-1-6)(2-1-7)式(2-1-7)稱為時域函數(shù)f(t)的傅立葉正變換，它把一個時間域內(nèi)t的函數(shù)變換為頻率域內(nèi)ω的函數(shù)；式(2-1-6)稱為頻域函數(shù)F(ω)的傅立葉反變換或逆變換，它把一個ω的函數(shù)變

換為t的函數(shù)，簡記為(2-1-8)圖2.1.8非周期性脈沖信號的頻譜(a)時域信號；(b)頻譜傅立葉變換也稱為傅氏變換，常用“

”表示一對變換關(guān)系。在本書中常用的信號有矩形脈沖、正余弦函數(shù)、沖擊函數(shù)等，現(xiàn)將一些常用信號的時域與頻域之間的對應(yīng)關(guān)系用

表2-1-1列出，以供參考。表2-1-1常用信號的時域與頻域之間的對應(yīng)關(guān)系周期性信號的頻譜分析——用傅立葉級數(shù)實現(xiàn)——對應(yīng)離散頻譜。

非周期信號的頻譜分析——用傅立葉變換實現(xiàn)——對應(yīng)連續(xù)頻譜。

函數(shù)在時域中存在于有限空間，則其函數(shù)在頻域中存在于無限空間。

函數(shù)在時域中存在于無限空間，則其函數(shù)在頻域中存在于有限空間。

若f(t)

F(ω)，則傅立葉變換的主要性質(zhì)見表2-1-2。表2-1-2傅立葉變換的性質(zhì)2.1.3信號的功率譜與能量譜

由前面的分析可以看到，傅立葉分析用于理解信號在頻域和時域中的對應(yīng)關(guān)系和表現(xiàn)形式，這兩種形式都描述了信號的特性，都是有效的。在某些應(yīng)用中，一種形式更有效，在另一些應(yīng)用中，另一種形式更有效。研究信號頻率分量的幅度(或相位)是研究隨時間變化的信號的等效方法。傅立葉分析和頻譜的概念還有一個重要的用途，即研究信號在各個頻率上的能量和功率。我們知道，通信系統(tǒng)的任務(wù)就是從源(消息的發(fā)送方)到接收方(消息用戶)傳送電磁信號能量。通信信道(無論是空氣、電線、電路或是其他什么物質(zhì))必須允許這個能量通過。因此，發(fā)送的能量、通過系統(tǒng)的能量和最后接收的能量之間的關(guān)系非常重要。為了解決這一點，有必要了解一下信號能量和功率的譜型，以及它們是如何定義的。

在電子學(xué)中，利用電流或電壓的平方來定義功率：P=I2×R=U2/R，其中電流或電壓用來測量信號幅度。功率是能量傳輸?shù)乃俾剩?，在能量值中?yīng)用了“平方”。在傅

立葉等式中，將f(t)替換為［f(t)］2即可。［f(t)］2的積分通常不等于f(t)積分的平方。

圖2.1.9(a)所示為周期性脈沖的頻譜分量，圖2.1.9(b)所示為其功率譜。注意，功率譜并不是頻譜值的平方，而是一個新的圖形，有更多的隆起(或者叫圓形突起)，并且中心的圓形突起最大。每個頻點的功率分量的幅度都是非負值，因為功率永遠不會是負值。圖2.1.9數(shù)字脈沖的功率譜(a)頻譜；(b)功率譜在典型的聲音能量譜中，大部分功率集中在300～3000Hz的范圍內(nèi)，有很少的一部分在3000～8000Hz的頻帶內(nèi)。這就意味著設(shè)計一個可以工作的通信系統(tǒng)的最小帶寬是3kHz。

實際上，電話系統(tǒng)和聲音通信系統(tǒng)就是這樣工作的。

盡管頻譜幅度分量可正、可負，但功率譜或能量譜的幅度永遠是非負值。

下面給出功率信號和能量信號的定義。

1．能量信號和功率信號

信號f(t)(電壓或電流)在1Ω電阻上所消耗的能量定義為信號的歸一化能量，簡稱能量。能量信號表示為

(2-1-9)

能量有限的信號稱為能量信號。當(dāng)信號能量趨于無窮大時，其平均功率是有限的，稱此信號為功率信號。功率信號表示為

(2-1-10)

式中，T取時間平均的區(qū)間，P為平均功率。

能量信號的能量是有限的，功率信號的功率是有限的。能量信號一定是功率信號，功率信號不一定是能量信號。周期性信號一定是功率信號，非周期性信號可以是功率信號，也可以是能量信號。

2．帕什瓦爾定理

帕什瓦爾定理是把功率信號或能量信號與頻譜聯(lián)系起來的定理。

若信號f(t)為能量信號，且f(t)和F(ω)是一對傅氏變換，即

f(t)

F(ω)

(2-1-11)用E表示總能量，則

(2-1-12)

式(2-1-12)說明，時域內(nèi)能量信號的總能量等于頻域內(nèi)各個頻率分量能量的連續(xù)和。

若周期性信號f(t)為功率信號，其傅立葉級數(shù)為

(2-1-13)用P表示總功率，則

(2-1-14a)

式中，T為信號f(t)的周期，F(xiàn)n為f(t)的傅立葉級數(shù)的系數(shù)。對非周期功率信號，

(2-1-14b)

FT(ω)是時域函數(shù)f(t)在~之間的截取函數(shù)fT(t)的頻譜。

式(2-1-14a)說明，周期信號的平均功率等于各個頻率分量平均功率的總和。式(2-1-12)和式(2-1-13)的這種關(guān)系稱為帕什瓦爾定理。

此定理表明能量守恒定理，即時域內(nèi)的能量等于頻域內(nèi)的能量；時域內(nèi)的功率等于頻域內(nèi)的功率。

3．能量譜密度和功率譜密度

若用E表示能量，P表示功率，在頻域內(nèi)可將E和P表示為

(2-1-15)

(2-1-16)則稱E(ω)為能量譜密度函數(shù)，單位為J/Hz(焦耳/赫茲)；稱P(ω)為功率譜密度，單位為W/Hz(瓦特/赫茲)。式中ω＝2πf。能量譜密度和功率譜密度簡稱能量譜和功率譜。

對照式(2-1-12)、(2-1-15)，(2-1-14a)、(2-1-14b)、(2-1-16)可得

E(ω)=|F(ω)|2

(2-1-17)非周期信號

(2-1-18a)

周期信號

(2-1-18b)

4．信號帶寬

帶寬這個名稱在通信系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)。在通信系統(tǒng)中從信號傳輸?shù)倪^程來看，實際上有兩種不同含義的帶寬：一種是信號帶寬(或者是噪聲帶寬)，是由信號(或噪聲)的能量譜密度或功率譜密度在頻域的分布規(guī)律確定的，即在此要講的信號帶寬；另一種是信道帶寬，是由傳輸電路的傳輸特性決定的。帶寬的符號都用B表示，單位Hz，在應(yīng)用中將說明是信號帶寬還是信道帶寬。幾乎所有的實際信號，其能量或功率的主要部分往往集中在一定的頻率范圍之內(nèi)，超出此范圍的成分將大大減小。這個頻率范圍通常用信號帶寬來描述。能量譜和功率譜為定義信號帶寬提供了有效的方法。根據(jù)實際系統(tǒng)的不同要求，信號帶寬有不同的定義。以基帶信號為例，常用的定義有以下3種，它們都是根據(jù)基帶信號頻譜的主要成分集中在ω＝0附近而提出來的。

1)以集中一定百分比的能量(功率)來定義

對能量信號，信號帶寬B是根據(jù)該頻率范圍內(nèi)各頻率分量的能量或功率占總能量或總功率的百分數(shù)來確定的，即由

公式

(2-1-19)來求B。其中，E是整個頻域內(nèi)的總能量，γ為所需能量的百分數(shù)，可取90％、95％或99％等。

(2-1-20)對于功率信號亦可用同樣的方式求得帶寬B:

(2-1-21)

式中，P為總功率，百分比γ可取90％、95％、99％等。

2)以能量譜(功率譜)密度下降3dB內(nèi)的頻率間隔作為帶寬

對于頻率軸上具有明顯的單峰形狀(或一個明顯的主峰)的能量譜(或功率譜)密度的信號，且峰值位于f=0處，則信號帶寬B為正頻率軸上G(f)(或P(f))下降到3dB(半功率點)處的相應(yīng)頻率間隔，如圖2.1.10所示。圖2.1.10百分比帶寬在G(f)—f或P(f)—f曲線中，由

或

得B=f1

(2-1-22)

3)等效矩形帶寬B

如圖2.1.11所示，用一個矩形譜代替信號的功率(或能量)譜，矩形譜具有的能量或功率與信號的能量或功率相等，矩形譜的幅度為信號能量(或功率)譜f=0時的幅度。由或(2-1-23)或得圖2.1.11矩形等效帶寬2.2.1概率與隨機變量

1．概率

我們知道隨機信號具有某種不確定性，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。只能大概估計到其發(fā)生可能性的大小，卻無法預(yù)測什么時候發(fā)生的事件稱為隨機事件。比如拋硬幣、摸彩票就是隨機事件，拋硬幣的過程就稱為隨機過程。對隨機事件的觀察稱為隨機實驗。

如果增加隨機實驗的次數(shù)，就可以預(yù)測隨機事件發(fā)生的可能性。2.2隨機信號的分析假設(shè)在同樣的條件下，將隨機實驗重復(fù)操作n次，考察實驗的每一個結(jié)果，將其中的一個實驗結(jié)果用事件A表示。若事件A出現(xiàn)nA次，定義事件A的概率PA為

(2-2-1)從嚴格意義上說，只有當(dāng)實驗次數(shù)n趨于無限大時，相對頻率nA/n才趨于概率PA。實際上，只要實驗的次數(shù)n足夠大，事件的相對頻率和概率之間出現(xiàn)顯著差別的可能性是很小的。對于一個必然事件來說，總有nA=n，因此必然事件的概率為1；對于一個不可能事件，總有nA=0，因此不可能事件的概率為0。由此可見，對于任一個事件，其概率一定是一個小于或等于1的非負數(shù)。假設(shè)一個實驗有A1,A2,…,AN個結(jié)果可能發(fā)生，它們之間是相互排斥的，即任一事件發(fā)生后，排斥了其他事件發(fā)生的可能。通常，若包括所有可能發(fā)生的事件A1到AN，則有

(2-2-2)

比如，拋硬幣實驗，當(dāng)正面出現(xiàn)時，背面就不可能出現(xiàn)，反之亦然，則正面和反面出現(xiàn)的概率之和是1。

2．隨機變量

在數(shù)學(xué)分析中，每一個實驗結(jié)果用一個變量來表示，如果變量的取值是不確定的，則稱這種變量為隨機變量。比如，拋一次硬幣會出現(xiàn)正面和反面的隨機實驗，我們用X=0表示正面，用X=1表示反面，這樣就引入了一個隨機變量X。它將隨機地取兩個值0和1(也可以任意取其他值，比如用X=5表示正面，X=9表示反面)，而且取每一個值都對應(yīng)了一個概率，這個變量就是所謂的隨機變量。當(dāng)隨機變量取值個數(shù)有限或無限時，稱之為離散隨機變量，否則稱為連續(xù)隨機變量，即取值在某一有限或無限空間。X的取值是隨意的，只是用數(shù)學(xué)的方式來描述它而已。

3．概率密度函數(shù)

隨機變量在事件發(fā)生時出現(xiàn)的概率是可以統(tǒng)計的，其發(fā)生的可能性大小可以通過概率密度函數(shù)來確定。

概率密度函數(shù)就是單位變量上事件發(fā)生可能性的大小，用pX(x)表示。X表示隨機變量，x表示隨機變量的取值。在拋硬幣的例子中，X=0表示正面，出現(xiàn)的概率為，則概率密度函數(shù)為δ(x=0)；X=1表示反面，則概率密度函數(shù)為δ(x=1)。在整個變量域內(nèi)，正、反面發(fā)生的概率為

(2-2-3)圖2.2.1是一個概率密度函數(shù)的例子，它表明在整個變量范圍內(nèi)每一點概率的變化規(guī)律，在陰影部分其發(fā)生的概率可以表示為

P(x1<X≤x2)=

pX(x)dx

(2-2-4)圖2.2.1概率密度函數(shù)舉例概率密度函數(shù)pX(x)具有以下性質(zhì)：

(1)pX(x)是非負函數(shù)，即pX(x)≥0。

事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生。

(2)

pX(x)dx=1

(2-2-5)

即概率密度曲線下所圍的總面積為1，或者說所有事件發(fā)生的概率為必然事件發(fā)生的概率。2.2.2隨機變量的數(shù)字特征

1．?dāng)?shù)學(xué)期望(均值，期望)

數(shù)學(xué)期望也稱為均值或期望值，是指隨機變量X的統(tǒng)計平均值，記作αX，它反映了X取值的集中位置。

離散的隨機變量X取值為xi時的概率為P(xi)，則其數(shù)學(xué)期望為

(2-2-6)它實際上就是對隨機變量的加權(quán)求和，而加權(quán)值就是各個可能值出現(xiàn)的概率。

對于連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望可用積分計算，設(shè)pX(x)為連續(xù)隨機變量X的概率密度函數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望定義為

αX=E［X］=

xpX(x)dx

(2-2-7)數(shù)學(xué)期望的定義可以推廣到更普遍的情況。若g(x)是隨機變量X的函數(shù)，則g(x)的數(shù)學(xué)期望可表示為

(2-2-8)

【例2.2.1】

若正弦振蕩源所產(chǎn)生的振蕩信號的相位θ在(0，2π)上均勻分布，求函數(shù)Asinθ的均值。

解因為相位θ在(0，2π)上均勻分布，所以θ的概率密度函數(shù)為pθ(θ)=

,其函數(shù)Asinθ的均值為

也就是說，其概率平均值為0，均值在0附近振蕩。

2．方差

隨機變量的方差是隨機變量X與它的數(shù)學(xué)期望αX之差的平方的數(shù)學(xué)期望，記作D［X］，它反映了隨機變量取值的集中程度。對于離散隨機變量X，如果它可能的取值為x1,x2,…,xN，其相應(yīng)的概率分別為P(x1),P(x2),…,P(xN)，則其方差定義為

(2-2-9)對于連續(xù)隨機變量X，如果概率密度函數(shù)為pX(x)，則其方差定義為

(2-2-10)

方差表示隨機變量X的取值相對于數(shù)學(xué)期望E［X］的“離散程度”。方差一般用σ2X表示，方差的平方根σX稱為隨機變量的標準偏差。方差越小說明隨機變量取值越集中，方差越大說明隨機變量取值越分散。

3．隨機過程

通信系統(tǒng)中遇到的信號，通?？値в心撤N隨機性。這些信號隨著時間的變化而變化的過程稱隨機過程。假如有n臺性能相同的接收機，在相同的條件下工作，記錄n臺接收機的輸出波形，如圖2.2.2所示。測試結(jié)果表明，得到的n張記錄圖形并不因為有相同的條件而輸出相同的波形，每一條曲線都是一個隨機起伏的時間函數(shù)，這種時間函數(shù)稱為隨機函數(shù)，這種無數(shù)的隨機函數(shù)的總體稱為隨機過程，即隨機變量隨時間變化的集合體稱為隨機過程。圖2.2.2n臺接收機的輸出波形在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲絕大多數(shù)是平穩(wěn)隨機過程。所謂平穩(wěn)隨機過程是指它的n維概率密度函數(shù)與時間起點的選擇無關(guān)。比如平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度函

數(shù)與時間無關(guān)，可表示為

p1(x,t)=p1(x,t+τ)=p1(x)

(2-2-11)而二維概率密度函數(shù)只與時間差有關(guān)，即

p2(x1,x2;t1,t2)=p2(x1,x2;t1-t2)=p2(x1,x2;τ)

(2-2-12)式中,τ=t1-t2。

以后討論的隨機過程，如無特別聲明，都假定為平穩(wěn)隨機過程。

4.高斯隨機過程

高斯過程又稱正態(tài)隨機過程，它是一種普遍存在且重要的隨機過程。在通信信道中的噪聲，通常是一種高斯隨機過程，故又稱為高斯噪聲。圖2.2.3正態(tài)分布的密度函數(shù)若隨機變量的概率密度函數(shù)可表示成

(2-2-13)

則稱此變量為服從正態(tài)分布的隨機變量。式中α和σ2是兩個常量，分別為隨機變量的均值(數(shù)學(xué)期望)和方差，p(x)可由圖2.2.3表示。正態(tài)分布的函數(shù)有以下特點：

(1)p(x)對稱于x=α這條直線，即

p(α+x)=p(α-x)

(2-2-14)

(2)p(x)在(-∞,α)內(nèi)單調(diào)上升，在(α,+∞)內(nèi)單調(diào)下降，且在點x=α處達到極大值。當(dāng)x→±∞時，p(x)→0。

(3)

p(x)dx=1

(2-2-15)且有

(2-2-16)

(4)當(dāng)σ不變時，對于不同的α，表現(xiàn)為p(x)的圖形左右平移；當(dāng)α不變時，對不同的σ，表現(xiàn)為p(x)的圖形將隨σ的減小而變高和變窄。

α=0和σ=1時的正態(tài)分布稱為標準化的正態(tài)分布：

(2-2-17)所謂信道，就是信號的傳輸通道。前面多次提到信道，在第1章中，信道被定義為發(fā)送設(shè)備和接收設(shè)備之間的用以傳輸信號的傳輸媒質(zhì)，根據(jù)傳輸媒質(zhì)是否是實線分為有線信道和無線信道兩大類。有線信道包括架空明線、對稱電纜、同軸電纜、光纜等，如圖2.3.1所示。而無線信道包含地波傳播、電離層反射、超短波或微波中繼、衛(wèi)星中繼以及各種散射傳播等。2.3信道與噪聲圖2.3.1有線信道的傳輸媒質(zhì)(a)光纖；(b)屏蔽線；(c)雙絞線；(d)同軸線圖2.3.2所示為無線GPS通信系統(tǒng)。在通信系統(tǒng)的研究中，為簡化系統(tǒng)的模型和突出重點，通常將信道的范圍擴大到包含傳輸媒介以外的有關(guān)裝置，如發(fā)送設(shè)備、接收設(shè)備、饋線和天線、調(diào)制器、解調(diào)器等等。通常將這種擴大了的信道稱為廣義信道，而將原先的傳輸媒質(zhì)的信道稱為狹義信道。在討論通信系統(tǒng)的原理時，通常采用廣義信道(簡稱信道)，而狹義信道是廣義信道的重要組成部分，對通信系統(tǒng)的性能也是非常重要的。圖2.3.2無線GPS通信系統(tǒng)2.3.1信道的定義和模型

信道按其功能可以分為調(diào)制信道和編碼信道。所謂的調(diào)制信道，是指從調(diào)制器的輸出端到解調(diào)器的輸入端之間已調(diào)信號經(jīng)過的路徑，如圖2.3.3所示。同樣，編碼信道就是從

編碼器的輸出端到譯碼器的輸入端之間已調(diào)信號經(jīng)過的路徑。編碼信道傳輸?shù)氖菙?shù)字信號，而調(diào)制信號傳送的可以是模擬信號也可以是數(shù)字信號。圖2.3.3調(diào)制信道和編碼信道因此，我們可以把信道分成狹義信道和廣義信道。狹義信道包括有線信道和無線信道；廣義信道可分為調(diào)制信道和編碼信道。

以調(diào)制信道為例，我們可以把調(diào)制器的輸出端和解調(diào)器的輸入端之間看做一個二端網(wǎng)絡(luò)。經(jīng)過大量考察之后可知這個網(wǎng)絡(luò)是時變線性網(wǎng)絡(luò)。調(diào)制信道模型如圖2.3.4所示。圖2.3.4調(diào)制信道模型對于二端網(wǎng)絡(luò)，輸入和輸出之間存在一定的關(guān)系，除了系統(tǒng)本身的影響外，還有噪聲的影響，可用公式表示為：

eo(t)=k(t)ei(t)+n(t)

(2-3-1)式中，k(t)是和系統(tǒng)特性有關(guān)的系數(shù)，而n(t)與網(wǎng)絡(luò)特性無關(guān)。兩者對于輸入信號來說都是干擾，k(t)與ei(t)之間是相乘關(guān)系，故稱k(t)為乘性干擾，n(t)稱為加性干擾。若能了解k(t)和n(t)的特性，就能弄清楚信道對信號的影響了。

乘性干擾k(t)是一個復(fù)雜的函數(shù)，它可能包含各種線性畸變和非線性畸變，這是因為信道的遲延特性和損耗特性隨時間做隨機變化的緣故；k(t)是一個隨機變量。大量觀察表明，有些信道的k(t)是基本不隨時間變化的。換句話說，這些信道對信號的影響是固定不變的或變化極為緩慢的。有些信道的k(t)是隨機變化的。因此根據(jù)k(t)的變化情況可將信道分成兩大類：恒參信道和隨參信道。恒參信道即是其k(t)不隨時間變化或基本不變化的信道；隨參信道則是其k(t)隨機快變化的信道。對于恒參信道來說，信道模型可以簡化為非時變線性網(wǎng)絡(luò)。這種信道對信號的干擾就只剩下加性干擾了。加性干擾也稱為加性噪聲，簡稱噪聲。

加性噪聲按其來源分為兩大類：系統(tǒng)內(nèi)噪聲和系統(tǒng)外噪聲。系統(tǒng)外噪聲包括：自然界產(chǎn)生的噪聲，如雷鳴、閃電、宇宙射線等；人類社會活動引起的電磁干擾，如電火花、干擾源等；周圍無線電設(shè)備產(chǎn)生的無線電干擾，如交調(diào)干擾、鄰道干擾、諧波干擾等，此類噪聲可通過合理地選擇工作頻段，加強無線電頻率管理以及采用相應(yīng)的技術(shù)手段加以設(shè)防。

系統(tǒng)內(nèi)的噪聲主要包括導(dǎo)體的熱噪聲和電子元器件的器件噪聲(如電子管、半導(dǎo)體器件的散彈噪聲等)。這些噪聲都是隨機變化的，因此要通過隨機過程來分析。2.3.2高斯白噪聲

通信系統(tǒng)的內(nèi)噪聲主要是熱噪聲和散彈噪聲，可以把它們看成是無數(shù)獨立的微小電流脈沖的疊加和具有高斯分布的平穩(wěn)隨機過程，并且它們的噪聲功率譜密度在很寬的范圍內(nèi)(0～1013Hz)基本上是一個常數(shù)，此類噪聲稱為高斯白噪聲

對于平穩(wěn)的高斯過程，其均值和方差都是與時間無關(guān)的常數(shù)，它的一維概率密度函數(shù)為

(2-3-2)式中，α為幅度取值的均值，是噪聲電壓(或電流)的直流分量；σ2為方差，是噪聲在1Ω電阻上消耗的交流功率。噪聲除了用概率分布進行描述外，還要用功率譜密度進行描述。若噪聲的功率譜密度在很寬的頻帶內(nèi)均勻分布，則稱它為白噪聲。如圖2.3.5所示，白噪聲的功率譜密度為

(2-3-3)圖2.3.5白噪聲的功率譜密度高斯白噪聲是一個理想的噪聲模型，其統(tǒng)計規(guī)律符合高斯分布，功率譜密度為均勻分布。實際上功率譜密度在無限寬的頻域內(nèi)均勻分布是不可能的。通常情況下，如果噪聲的功率譜密度均勻分布的帶寬遠大于系統(tǒng)的帶寬，即在系統(tǒng)的帶寬內(nèi)，噪聲的功率譜密度基本上是常數(shù)，則這樣的噪聲就可以按白噪聲處理了。

如果白噪聲的頻率被限制在一段范圍(-ω0,ω0)內(nèi)，則這樣的噪聲就稱為限帶噪聲，如圖2.3.6所示。圖2.3.6限帶白噪聲的功率譜通信的目的就是為了傳遞信息。那么什么是信息呢？比如說天氣預(yù)報可以通過廣播、電視、報紙、網(wǎng)絡(luò)或手機短信來獲取，這些都是消息的來源，可以通過多種途徑得到。消息是具體的，而信息是抽象的。同一則消息，對不同的接收對象來說，信息的多少也是不同的。因此可以看出：信息在概念上與消息類似，但它的含義卻更普遍化和抽象化，信息可理解為消息中有意義的內(nèi)容。如同運輸貨物的多少用“貨運量”來衡量一樣，我們將傳輸信息的多少用“信息量”去衡量。我們該如何度量信息的大小呢？2.4信息及其信息量2.4.1信息量

消息是多種多樣的，因此度量消息中所含信息量的方法，必須能夠用來度量所傳消息的信息量，而與消息的種類無關(guān)。另外，消息中所含信息量的多少也應(yīng)與消息的重要程度無關(guān)。

比如，天氣預(yù)報說“明天深圳將有冰雹！”，你會想“可能嗎？”，聽后會震驚、關(guān)注。比如天氣預(yù)報說“明天深圳地區(qū)仍是艷陽高照！”，你會有什么反應(yīng)？天天一樣嘛！這兩則消息對你所含的信息量是不同的。前一事件很難發(fā)生，聽后使人震驚，但后者是一件很容易發(fā)生的事件，聽后不足為奇。這表明確有衡量信息大小的必要。對我們來說，事件發(fā)生的可能性越大，信息量越?。皇录讲豢赡馨l(fā)生，越是使人感到驚奇和意外，信息量就越大。事件發(fā)生可能性的大小，可以通過概率論的知識認識，事件發(fā)生的可能性越大，概率越大；反之，概率越小。從前面的介紹可以看出，消息中的信息量與消息發(fā)生的可能性緊密相關(guān)，消息發(fā)生的可能性越大，消息中所含的信息量越小。如果事件是必然事件，則消息中所含的信息量為零。消息發(fā)生的可能性越小，消息中所含信息量越大。如果事件是不可能發(fā)生的，則它具有無窮的信息量。因此消息中所含信息量的大小與事件發(fā)生的可能性有關(guān)；事件發(fā)生的可能性越大，消息所攜帶的信息量越?。皇录l(fā)生的可能性越小，消息所攜帶的信息量越大；消息中所含的信息量依賴于潛在事件的不確定性，而不是組成消息的符號數(shù)。

定義：一個消息xi出現(xiàn)的概率為P(xi)，則這一消息所含的信息量為

(2-4-1)

信息量用I來表示，信息量的單位取決于對數(shù)的底a的取值，當(dāng)對數(shù)是以2為底時，信息量的單位是比特(bit)；當(dāng)對數(shù)是以e為底時，信息量的單位為奈特(nit)；若對數(shù)的底為10時，信息量的單位為十進制單位，叫做哈特萊。信息量單位的選擇是根據(jù)計算和使用的方便程度來決定的，目前應(yīng)用最廣泛的是比特。對于二進制信號，0和1等概率出現(xiàn)時，則出現(xiàn)0或1這一消息所含的信息量為

若信號為四進制信號，出現(xiàn)0、1、2、3的概率均為1/4，則出現(xiàn)0所含的信息量為

若信號為M進制信號，且M個元素等概出現(xiàn)，則傳送每一元素的信息量為

【例2.4.1】

表2-4-1給出英文字母出現(xiàn)的概率。求空格和字母z的信息量。表2-4-1英文字母出現(xiàn)的概率

解由表2-4-1可知，空格出現(xiàn)的概率為0.2，可計算其信息量為

I(空格)=-lbP(空格)=-lb0.2=2.32(bit)

z出現(xiàn)的概率為0.001，其信息量為

I(z)=-lbP(z)=-lb0.001=9.97(bit)

【例2.4.2】一個信息源由4個符號0、1、2、3組成，它們出現(xiàn)的概率分別為1/4、1/8、3/8、1/4，且每個符號的出現(xiàn)都是相互獨立的。試求102203202120302113032332032201202320的信息量。

解符號0、1、2、3所攜帶的信息量分別為

I0=-lb

=lb4=2(bit)

I1=-lb

=lb8=3(bit)

I2=-lb

=lb

=1.415(bit)

I3=-lb

=lb4=2(bit)

此串消息共有18個符號，其中0出現(xiàn)10次，1出現(xiàn)5次，2出現(xiàn)13次，3出現(xiàn)8次，則此串消息所攜帶的信息量為

I=I0×10+I1×5+I2×13+I3×8

=2×10+3×5+1.415×13+2×8

=69.395(bit)這就是一個消息總的信息量。對于由一串符號構(gòu)成的消息，假設(shè)各符號是相互獨立的，根據(jù)信息量疊加的概念，整個消息所攜帶的信息量為

I=-

nilbP(xi)(bit)

(2-4-2)式中ni為第i種符號出現(xiàn)的次數(shù)，P(xi)為第i種符號出現(xiàn)的概率，N為信息源的符號種類。

當(dāng)消息很長時，用符號出現(xiàn)的次數(shù)和概率來計算消息所含的信息量是比較麻煩的。此時可用平均信息量來計算。2.4.2平均信息量

平均信息量是指每個符號所含信息量的統(tǒng)計平均值。N種符號的平均信息量為

H(x)=-

P(xi)lbP(xi)(bit)

(2-4-3)有了平均信息量H(x)和消息中所含的符號總數(shù)n，我們就可以求得一則消息所含的總信息量：

I=H(x)·n(bit)

(2-4-4)這種估算方法有誤差，但比較方便。

【例2.4.3】

用平均信息量的方法求例2.4.2的信息量。

解該字符串中共有四個符號，N＝4，則其平均信息量為

=1.9056(bit)

該字符串中共有36個符號，則總的信息量為

I=H(x)·n

=1.9056×36

=68.602(bit)這個結(jié)果與上述方法計算的結(jié)果是有出入的。因為在例2.4.3中用字符出現(xiàn)的次數(shù)代替字符出現(xiàn)的概率，而概率是大量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)果，字符出現(xiàn)36次只是一個有限次的實驗，

事件出現(xiàn)的概率與其概率取值是有一定誤差的。當(dāng)發(fā)送的字符串的長度趨于無限長時，字符串中字符出現(xiàn)的頻率才等于概率。由于傳送的信息只是在某個時間段內(nèi)傳輸?shù)男畔⒘浚虼诉@兩種算法存在誤差是可以理解的。本章包括確知信號分析和隨機信號分析兩部分內(nèi)容。

通過對確定時域信號的傅立葉級數(shù)的分解，建立起時域與頻域信號之間的對應(yīng)關(guān)系，對周期性信號，其頻譜為離散譜，即具有離散性和諧波性，或者說，任何一個周期性信號可以

分解為直流、基波和各次諧波分量的疊加。對非周期性信號通過傅立葉變換建立了其時域與頻域之間的關(guān)系。本章小結(jié)非周期性信號的頻譜是連續(xù)的。同時可以看到：時域有限的信號其頻域無限，時域無限的信號其頻域有限。

然而，通信中所遇到的信號都是不可預(yù)知的，即隨機的，因此在分析此類信號時要用統(tǒng)計規(guī)律即概率去衡量。用隨機變量、隨機過程、均值和方差、概率密度函數(shù)等去描述信號的特征。

聲是統(tǒng)計規(guī)律滿足高斯分布，功率譜均勻分布的噪聲。信息量是信息的度量單位，信息量的大小與消息發(fā)生可能性的大小有關(guān)，事件發(fā)生可能性越大，消息所攜帶的信息量越小。必然事件的信息量為零，不可能事件的信息量為無窮大。

一、單選題

1．有關(guān)能量信號和功率信號正確的敘述是()。

A．能量信號和功率信號的能量都是無限的

B．能量信號和功率信號的能量都是有限的

C．能量信號的能量是有限的，功率信號的能量是無限的

D．能量信號的能量是無限的，功率信號的能量是有限的習(xí)題

2．信號的能量譜密度(或功率譜密度)是表示()。

A．能量信號的能量或功率信號的功率在不同時間上的分布

B．能量信號的能量或功率信號的功率在不同頻率上的分布

C．能量信號的能量或功率信號的功率在不同相位上的分布

D．能量信號的能量或功率信號的功率在不同信號幅度上的分布

3．周期信號的傅立葉變換所對應(yīng)的頻譜為()。

A．直流、基波和各次諧波分量的離散沖激函數(shù)譜B．直流、基波和各次諧波分量的離散非沖激函數(shù)譜C．連續(xù)函數(shù)譜

D．階躍函數(shù)譜

4．傅立葉級數(shù)表達了任一周期函數(shù)可分解成()的疊加。

A．正弦波 B．方波

C．三角波 D．鋸齒波

5．單位沖激信號對應(yīng)傅立葉變換所得的頻譜函數(shù)是()。

A．0 B．1 C．2

D．2π

6．躍變信號的上升沿或下降沿越陡，其高頻