2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.2-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【課件】

第七章立體幾何與空間向量第2節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論 (1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過________________的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α不在一條直線上基本事實(shí)2如果一條直線上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條__________________P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l兩個(gè)點(diǎn)過該點(diǎn)的公共直線(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言

符號(hào)語言a，b是異面直線a?α

3.基本事實(shí)4和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線__________.

等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角____________.4.異面直線所成的角 (1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).互相平行相等或互補(bǔ)1.證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.×解析(1)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，故錯(cuò)誤.(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交或重合，故錯(cuò)誤.(4)由于a不平行于平面α，且a?α，則a與平面α相交，故平面α內(nèi)有與a相交的直線，故錯(cuò)誤.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.(

) (2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.(

) (3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.(

) (4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面.(

)√××ABC解析依題意，m∩α＝A，n?α，∴m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.2.(多選)α是一個(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系可能是(

) A.垂直

B.相交

C.異面

D.平行D解析由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交.若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾.故l至少與l1，l2中的一條相交.3.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(

) A.l與l1，l2都不相交 B.l與l1，l2都相交 C.l至多與l1，l2中的一條相交 D.l至少與l1，l2中的一條相交解析如圖，連接BE，因?yàn)锳B∥CD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即為∠EAB.4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為(

)C解析∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據(jù)基本事實(shí)3可知，M在γ與β的交線上.同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上.5.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(

) A.點(diǎn)A

B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D.點(diǎn)C和點(diǎn)MD解析連接MP，AC(圖略)，因?yàn)镸P∥AC，MP≠AC，所以AP與CM是相交直線，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一點(diǎn)，則A不正確，B正確.6.(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是(

) A.AP與CM是異面直線 B.AP，CM，DD1相交于一點(diǎn) C.MN∥BD1 D.MN∥平面BB1D1DBD令A(yù)C∩BD＝O，連接OD1，ON.因?yàn)镸，N分別是C1D1，BC的中點(diǎn)，則四邊形MNOD1為平行四邊形，所以MN∥OD1，因?yàn)镸N?平面BD1D，OD1?平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，C不正確，D正確.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2證明

∵EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.例1

如圖所示，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線.證明

在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1為α，平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn)，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線.證明

因?yàn)镵∈EH，EH?平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn).訓(xùn)練1

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，G，H分別是CD和AD上的點(diǎn).若EH與FG相交于點(diǎn)K.

求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn).解析根據(jù)條件作出示意圖，容易得到以下三種情況均有可能，例2(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(

) A.平行 B.異面 C.相交或平行 D.平行或異面或相交均有可能D如圖可知AB，CD有相交，平行，異面三種情況，故選D.(2)(多選)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，則在這個(gè)正四面體中(

)A.GH與EF平行

B.BD與MN為異面直線C.GH與MN成60°角

D.DE與MN垂直解析還原成正四面體A－DEF，如圖所示，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合，易知GH與EF異面，BD與MN異面.連接GM，∵△GMH為等邊三角形，∴GH與MN成60°角.由圖易得DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE，因此正確的選項(xiàng)是B，C，D.BCD解析如圖所示，取PB的中點(diǎn)H，連接MH，HC，訓(xùn)練2(1)(多選)四棱錐P－ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N分別為PA，CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是(

) A.MN與PD是異面直線

B.MN∥平面PBC C.MN∥AC D.MN⊥PBABD由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，設(shè)四邊形MHCN確定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P?平面α，D?MN，因此MN與PD是異面直線；故A，B說法均正確.若MN∥AC，由于CH∥MN，則CH∥AC，事實(shí)上AC∩CH＝C，C說法不正確；因?yàn)镻C＝BC，H為PB的中點(diǎn)，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D說法正確.解析連接D1E并延長(zhǎng)，與AD交于點(diǎn)M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點(diǎn)，(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是(

)A.相交但不垂直

B.相交且垂直C.異面

D.平行D連接BF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)N，因?yàn)镃F＝2FA，可得N為AD的中點(diǎn)，解析如圖，連接C1P，因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點(diǎn)，所以C1P⊥B1D1，例3(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為(

)D又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，(2)將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直線AB與CD所成的角為(

)A.90°

B.60° C.45°

D.30°解析如圖，取AC，BD，AD的中點(diǎn)，分別為O，M，N，B則ON∥CD，MN∥AB，所以∠ONM或其補(bǔ)角即為所求的角.因?yàn)槠矫鍭BC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC?平面ACD，所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.所以O(shè)N＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等邊三角形，∠ONM＝60°.所以直線AB與CD所成的角為60°.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角.解析法一如圖，補(bǔ)上一相同的長(zhǎng)方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.C在△B1DE1中，由余弦定理，法二如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角.于是在△DMO中，由余弦定理，解析如圖，取B1C1的中點(diǎn)D1，連接A1D1，則AD∥A1D1，∠CA1D1(或其補(bǔ)角)就是異面直線A1C與AD所成的角.連接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，C∴∠CA1D1＝60°.∵D1C?平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1D1C為直角三角形，立體幾何中的截線、截面問題利用平面的性質(zhì)確定截面的形狀是解決問題的關(guān)鍵.(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.設(shè)直線C1M，CD相交于點(diǎn)P，直線C1N，CB相交于點(diǎn)Q，連接PQ交直線AD于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形.解析先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點(diǎn)，再確定截面與幾何體的棱的交點(diǎn).C一、截面問題(2)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為(

)解析如圖，依題意，平面α與棱BA，BC，BB1所在直線所成角都相等，容易得到平面AB1C符合題意，進(jìn)而所有平行于平面AB1C的平面均符合題意.A由對(duì)稱性，知過正方體ABCD－A1B1C1D1中心的截面面積應(yīng)取最大值，此時(shí)截面為正六邊形EFGHIJ.解析如圖，設(shè)B1C1的中點(diǎn)為E，球面與棱BB1，CC1的交點(diǎn)分別為P，Q，連接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD為等邊三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1為等邊三角形，二、截線問題∴P，Q分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，解析如圖所示，連接EF，A1B，連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)M，連接B1E，BC1交于點(diǎn)N，由EF∥B1D1，即E，F(xiàn)，B1，D1共面，由P是線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P重合于A1或B時(shí)，C1A1，C1B與平面D1EF的交點(diǎn)分別為M，N，即Q的軌跡為MN，由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，F(xiàn)ENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.1.a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是(

) A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面 B.若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交 C.若a∥b，則a，b與c所成的角相等 D.若a⊥b，b⊥c，則a∥cC2.給出以下四個(gè)命題： ①依次首尾相接的四條線段必共面； ②過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面； ③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等； ④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

) A.0

B.1

C.2 D.3B解析①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯(cuò)誤；②中，由基本事實(shí)1知道，過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故②正確；③中，由空間角的等角定理知，空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤；④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯(cuò)誤.解析圖A中，直線GH∥MN；圖B中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖D中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，因此GH與MN異面.3.(多選)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有(

)BD解析∵M(jìn)∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M(jìn)∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即A，M，O三點(diǎn)共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選A，B，C.4.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(

) A.A，M，O三點(diǎn)共線

B.A，M，O，A1共面 C.A，M，C，O共面

D.B，B1，O，M共面ABCA.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面B.FG∥平面ADCC.若直線FG，HE交于點(diǎn)P，則P，A，C三點(diǎn)共線D.若△ABD的面積為6，則△BCD的面積為3ACD因此E，F(xiàn)，G，H共面，A項(xiàng)正確；假設(shè)FG∥平面ADC成立，因?yàn)槠矫鍭BC∩平面DAC＝AC，因?yàn)镕G?平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線，因此C正確；解析延長(zhǎng)AN，與CC1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則P∈平面BB1C1C，連接PM，與B1C1交于點(diǎn)E，連接NE，6.我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分別是BB1和A1C1的中點(diǎn)，則平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積為(

)A得到的四邊形AMEN是平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形，∴△AMN中MN邊上的高∴AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積解析因?yàn)锳B∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個(gè)側(cè)面，與另外四個(gè)側(cè)面相交.7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.4解析如圖所示，設(shè)正方體的表面ABB1A1的中心為P，容易證明OP∥A1D，所以直線l即為直線OP，角θ即∠POC1.8.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O是底面ABCD的中心，過O點(diǎn)作一條直線l與A1D平行，設(shè)直線l與直線OC1的夾角為θ，則cosθ＝________.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則解析如圖，過點(diǎn)B作BM∥C1E交B1C1于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作BD的平行線，交C1D1于點(diǎn)N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，9.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________.由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，∴等腰梯形MNDB的高為證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，∴四邊形BCHG為平行四邊形.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面.又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？解

由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，所以四棱錐O－ABCD的體積11.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn). (1)求四棱錐O－ABCD的體積；即DE2＋EM2＝MD2，(2)求異面直線OC與MD所成